表面等离极化激元的散射及波前调控

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2.1.基于周期性体系的模展开求解方法

为了建立一个完善的理论以便于深入理解SPPs遇到非连续性界面时远场散射的物理机理, 本课题组基于图4(a)所示的系统进行了研究^[38], 即将两种不同的金属($\varepsilon _{\rm m}^{\rm I}, \varepsilon _{\rm m}^{\rm II}$

)/介质($\varepsilon _{\rm d}^{\rm I}, \varepsilon _{\rm d}^{\rm II}$

)周期性体系在x = 0处对接. 当左边入射的SPPs模式遇到x = 0处的界面时, 由于体系光学参数的非连续性会产生近场透反射模式和远场散射模式, 它们均为周期性体系的布洛赫模式. 考虑体系中所有的本征模式并匹配x = 0处的边界条件, 就可以基于模展开方法求解两边体系所有模式的强度和相位. 图4(a)所示的周期性系统的好处在于: 1)可将开放体系(如图3(e))中难以处理的连续化散射模式转换成可解析求解的离散化布洛赫模式, 从而进一步求解. 2)该体系可在不同极限下自动回到两类之前人们广泛研究的体系, 当金属层与介质层厚度都足够大时, 该体系等效为图3(e)所示的金属/介质单界面开放系统; 而当介质层厚度${d_{\rm d}}$

远小于波长时, 体系近似等效于常见的等离激元波导. 总的来说, 基于图4(a)的体系可以定量化求解等离激元单界面体系和波导体系两大常见系统中的SPPs传输行为, 可谓一举两得.

图 4 (a) 周期性等离激元体对接结构; 特定等离激元周期结构中的(b) SPPs和散射模式以及(c)倏逝波模式的色散关系^[38]
Figure4. (a) Periodic plasmonic junction system; dispersion relations of (b) SPPs and scattering modes, and (c) evanescent modes inside a typical plasmonic superlattice^[38].

如果求解图4(a)体系中SPPs的透反射系数, 首先需要利用转移矩阵方法计算周期性体系中的本征布洛赫模式^[39], 考虑到SPPs为TM偏振, 其对应的色散方程为^[40,41]

$\begin{split} &2\cos ({k_{z,{\rm{d}}}}{d_{\rm{d}}})\cos ({k_{z,{\rm{m}}}}{d_{\rm{m}}}) - \left(\frac{{{Z_{\rm{d}}}}}{{{Z_{\rm{m}}}}} + \frac{{{Z_{\rm{m}}}}}{{{Z_{\rm{d}}}}}\right)\\ & \times\sin ({k_{z,{\rm{d}}}}{d_{\rm{d}}})\sin ({k_{z,{\rm{m}}}}{d_{\rm{m}}}) = 2\cos (KP),\end{split}$

式中K为布洛赫波矢; P为晶格常数; k₀是真空中的波矢, ${k_0} = {\omega / c}$

, 其中c是真空中的光速; ${k_{z, l}} = \sqrt {{\varepsilon _l}k_0^2 - k_x^2} $

为z方向电磁波的波矢, l = m, d代表金属或介质材料区域; ${Z_{\rm{d}}} = {{{k_{z, {\rm{d}}}}} / {{\varepsilon _{\rm{d}}}}}, {Z_{\rm{m}}} = {{{k_{z, {\rm{m}}}}} / {{\varepsilon _{\rm{m}}}}}$

分别是介质和金属中电磁波的阻抗. 在图4(a)的系统中, 由于所考虑的SPPs是沿x轴正向入射到界面的, 因此只需考虑(2)式中$K \equiv 0$

情况下的本征模式并选择其中的磁场对称模式. 图4(b)和图4(c)分别展示了一个特定的周期性等离激元体系统中存在的所有${k_x}$

为实数和虚数的本征模式色散关系, 以$\omega = 0.4{\omega _{\rm{p}}}$

处为例, 体系存在一支SPPs模式(标记为n = 0, ${k_x} > {k_0}$

), 一个散射波模式 (n = 1, ${k_x} < {k_0}$

), 以及许多倏逝波模式 (n > 1, ${k_x}$

是纯虚数).
在获得了体系所有本征模式的物理性质后, 就可以利用模展开方法来计算整个体系的散射系数. 如图4(a)中x = 0界面左侧的场分布包括入射SPPs模式、反射SPPs模式和左向传输的散射波模式; 右边的场分布包括透射SPPs模式和右向传输的散射波模式. 两边的场分布需要在x = 0处匹配边界条件, 并利用模式之间的正交条件^[40]就可以求出不同模式的系数, 例如可以解析得到SPPs的反射系数${r_0}$

为^[38]

${r_0} = \frac{{{Z_{{\rm{eff}}}} - 1}}{{{Z_{{\rm{eff}}}} + 1}},$

其中${Z_{{\rm{eff}}}}$

为体系的等效阻抗, 交叠积分S与矩阵A被定义为

$\left\{ \begin{aligned}& {Z_{{\rm{eff}}}} = \sum\limits_{m',n'} {\frac{{k_{m',x}^{{\rm{II}}}}}{{k_{0,x}^{\rm{I}}}}{{S}}_{m',0}^*({{I}} + {{A}})_{m',n'}^{ - 1}{{ S}_{n',0}},} \\& {{{A}}_{m',n'}} = \sum\limits_{m \ne 0} {\frac{{k_{n',x}^{{\rm{II}}}}}{{k_{m,x}^{\rm{I}}}}{{{S}}_{m',m}}{{S}}_{n',m}^*,} \\ & {{{S}}_{i,j}} = \int_{{\rm{u}}{\rm{.c}}{\rm{.}}} {\frac{1}{{{\varepsilon ^{{\rm{II}}}}(z)}}H_{i,y}^{{\rm{II}}*}(z) \cdot H_{j,y}^{\rm{I}}(z){\rm{d}}z,} \end{aligned} \right.$

其中, I表示单位矩阵. 显然, SPPs在界面处的反射系数也可以用一个类似的菲涅耳公式描述, 其中${Z_{{\rm{eff}}}}$

描述了体系左边和右边两个等离激元体系的阻抗“失配程度”. 由于高阶倏逝波只能局域在x = 0界面附近而不带走能量, 它与SPPs之间的耦合又几乎为0, 因此在选取布洛赫模式时可以选择一个合理的截断整数M, 此时只需考虑0—M阶以内的所有模式来计算体系的等效阻抗${Z_{{\rm{eff}}}}$

. 采用模展开方法除了可以得到${r_0}$

以外, 还可以利用相同的办法得到${t_0}$

和其他系数${r_n}, {t_n}(n \geqslant 1)$

.
本课题组首先利用此方法解析研究了SPPs波导体系. 当体系满足${d_{\rm{m}}} \!\to\! \infty$

, ${d_{\rm{d}}} \ll {\lambda _0}$

时, 图4(a)中的周期性系统自动回归到金属-介质-金属等离激元波导体系(如图5(a))^[38]. 则x = 0两边区域只存在SPPs模式和高阶倏逝波模式(不带走能量), 且两者耦合很弱, 因此就可以采用单模近似(single mode approximation, SMA)的方法来化简等效阻抗的形式, 即只需考虑SPPs模式对体系等效阻抗的贡献, SPPs反射系数((3)式和(4)式)可简化为如下的单模近似菲涅耳公式形式(SMA):

图 5 (a) 等离激元波导对接体系; (b), (c) 不同金属和不同介质对接的波导体系中SPPs的反射率谱线; (d) 开放式等离激元对接体系; (e) 反射率的变化谱线; (f) 体系中存在一阶波导模式时的场分布^[38]
Figure5. (a) Plasmonic waveguide junction system; (b), (c) SPPs reflectance spectra in a waveguide junction system with different metals or dielectrics; (d) an open plasmonic junction system; (e) SPPs reflection amplitude as function of periodicity P in such system; (f) field distributions inside such plasmonic system with the first-order scattering modes appearing^[38].

$\left\{ \begin{aligned} & {R_0} = {\left| {\frac{{{Z_{{\rm{SMA}}}} - 1}}{{{Z_{{\rm{SMA}}}} + 1}}} \right|^2}, \\ & {Z_{{\rm{SMA}}}} = \frac{{k_{{\rm{SPP}}}^{{\rm{II}}}}}{{k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}}}}{\left| {S_{0,0}^{}} \right|^2}. \end{aligned} \right.$

2.2.波导体系和开放体系中的应用

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2.2.波导体系和开放体系中的应用

利用模展开方法还可以解析计算图5(a)所示的亚波长波导体系中的SPPs反射率. 假设将区域I中的介质层取为空气, 固定金属的$\omega _{\rm{p}}^{\rm{I}} = 2\omega _0^{}$

($\omega _0^{}$

是工作频率), 可以连续地改变II区域金属的$\omega _{\rm{p}}^{{\rm{II}}}$

(图5(b))或者介质的介电常数$\varepsilon _{\rm{d}}^{{\rm{II}}}$

(图5(c)). 图5(b)和图5(c)比较了SPPs在两种体系中的反射率$R_0^{}$

谱线, 包括严格的模展开公式((3)式和(4)式)、单模近似公式((5)式)和全波模拟的计算结果. 显然, 单模近似结果与严格解和全波模拟的结果都完美符合, 证明了单模近似在该类系统中的合理性. 另外, 我们还比较了前人提出的SPPs反射率经验公式^[35]:

${R_0} = {\left| {\dfrac{{1 - {{k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}}} / {k_{{\rm{SPP}}}^{{\rm{II}}}}}}}{{1 + {{k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}}} / {k_{{\rm{SPP}}}^{{\rm{II}}}}}}}} \right|^2}.$

这里, 体系两侧等效阻抗采用了SPPs传播波矢之比. 如图5(b)和图5(c)所示, (6)式(图5(b)中空心点)虽然近似可以描述体系中SPPs的反射率, 但是在强散射区域还存在一定误差. 对比(5)式与(6)式可以看出, 波导体系中SPPs的等效阻抗不能简单用传播波矢的比值描述, 还需要包含不同模式波函数之间的交叠积分. 相较来说, (6)式的形式较为简单但需工作在弱散射区域, 而(5)式的形式稍微复杂但是适用范围要更广.
基于周期性体系提出的严格解((3)式和(4)式), 还可以研究两个不同的金属/介质单界面体系. 将图4(a)所示的周期性体系, 当${d_{\rm{d}}}, {d_{\rm{m}}} \to \infty $

时, 在介质中会支持越来越多的离散化远场散射模式, 如果模式数足够多则可以近似认为散射波是连续模式, 该系统将等效于如图5(d)的开放式系统. 首先设定金属厚度均远大于SPPs的衰减长度, 接着逐渐增大介质厚度${d_{\rm{d}}}$

并计算体系的SPPs反射率${R_0}$

, 会发现SPPs的反射谱会产生一系列振荡(如图5(e)), 并且在${d_{\rm{d}}}$

足够大的情况下振荡行为会变得越来越弱, 因为体系中的散射模式已经趋近于稳定状态, 最终会收敛于模拟计算的开放体系结果. 通过深入研究发现每个振荡位置都伴随着在体系的某一侧产生了一只新的布洛赫散射波模式(图5(f)), 这是熟知的Wood anomaly现象^[42]; 更重要的是, 随着P的增大${R_0}$

的振荡行为会逐步减弱并且收敛, 该收敛值与全波模拟计算的开放单界面体系的反射率(蓝色虚线)几乎相等, 因此证明了模展开方法在体系周期取得足够大时, 给出的${R_0}$

是完全可以描述半无限大体系中SPPs的反射行为. 在弱散射近似下, SPPs的反射系数的严格解还可以进一步化简, 从而更清楚地揭示方程背后的物理, 在这里就不过多展开了.

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3.1.等效电流源模型研究三维等离激元体系

考虑一种最基本的非连续等离激元系统: 两个半无限大的具有不同负介电常数金属(${\varepsilon _1}$

和${\varepsilon _2}$

)的对接体系(如图8(a)所示)^[59]. 假设一束单位强度的SPPs从左边沿着+x方向传播, 在x = 0处的交界面发生近场透反射及远场散射效应, 其透反射系数和界面两侧SPPs的本征波矢分别是${r_{{\rm{SPP}}}}$

和${t_{{\rm{SPP}}}}$

与$k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}}$

和$k_{{\rm{SPP}}}^{{\rm{II}}}$

. 为了清楚呈现SPPs的散射特性, 首先利用全波模拟计算了对接体系中磁场分布, 例如当${\varepsilon _1} = - 1.12$

, ${\varepsilon _2} = - 16$

时体系中表SPPs在界面处远场散射的主辐射角度为${\varphi _{\rm{p}}} = {25.1^{\rm{\circ}}}$

, 半峰宽为$\Delta \varphi = {71.1^{\rm{\circ}}}$

(见图8(b)插图). 为了更加清楚理解SPPs的散射规律, 又进一步计算了散射场强度随着$\varphi $

和${\varepsilon _2}$

变化的相图(如图8(b)所示), 显然${\varepsilon _2}$

从–16变化到–1时, 由于两边金属的介电常数更为接近, 体系的等效阻抗差异变小, 因而散射远场的强度明显变弱; 更重要的是, 可以发现散射远场的主辐射角度和半峰宽也随之增大.

图 8 (a) 半无限大等离激元体金属对接系统; (b) 远场散射强度随着散射角度$\varphi $

和$\sqrt {\left| {{\varepsilon _2}} \right|} $

的变化; (c) 特定等离激元对接体系中的远场散射角分布^[59]
Figure8. (a) Semi-infinite plasmonic metal junction system; (b) scattering far-field intensity as function of $\varphi $

and $\sqrt {\left| {{\varepsilon _2}} \right|} $

; (c) scattering far-field angular distribution of SPPs in a typical plasmonic junction system^[59].

这里介绍一种可以定量描述SPPs散射效应的解析模型^[59]. 考虑到远场辐射是由金属中的振荡电流源产生的, 这个辐射次波源可以被表示成${{j}}({{r}}) = - {\rm{i}}\omega [\varepsilon ({{r}}) - {\varepsilon _0}]{{{E}}_{{\rm{local}}}}({{r}})$

. 然而这个局域电场${{{E}}_{{\rm{local}}}}({{r}})$

不但包含了入射SPPs的电场, 而且还包含了透反射SPPs、辐射远场和高阶倏逝波共同贡献的场. 在将整个体系自洽地求解清楚之前, 很难得到任何一种模式对应的场分布信息. 为了抓住复杂的远场散射过程中的主要物理, 先对整个局域场做最低阶近似, 也就是忽略传输波和倏逝波对局域场的贡献, 认为局域场${{{E}}_{{\rm{local}}}}({{r}})$

主要由SPPs对应的场组成. 因此, 在金属I中的电流源只是由入射和反射SPPs对应的电流源${{j}} = {{{j}}_{{\rm{in}}}} + {{{j}}_{\rm{r}}}$

组成, 在金属II中的电流源只是由透射SPPs对应的电流源(${{j}} = {{{j}}_{\rm{t}}}$

)决定. 考虑到SPPs的局域场在金属中会迅速衰减到0, 因而可以通过数学积分将SPPs的体电流源简化成为面电流的形式${{J}}(r, t) = {{J}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_{{\rm{SPP}}}}x}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}\delta (z)$

^[60], 其中${{J}} = ({J^x}{{x}} + {J^z}{{z}})$

包含x和z方向的两个分量,

${{J}}({{r}}, t) = {{{{j}}({{r}}, t)} / {{\alpha _{\rm{m}}}}}$

(${\alpha _{\rm{m}}} = \sqrt {{{\left( {{k_{{\rm{SPP}}}}} \right)}^2} - {\varepsilon _{\rm{m}}}{{\left( {{k_0}} \right)}^2}} $

为SPPs在金属中的衰减速率), 最后体系中总电流源的表达式为

$\begin{split}{{J}}({{r}}) =\; & \left[ \left( {{{{J}}_{{\rm{in}}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}}x}} + {{{J}}_{\rm{r}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}}x}}} \right)\theta ( - x)\right.\\ & \left.+ {{{J}}_{\rm{t}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}k_{{\rm{SPP}}}^{{\rm{II}}}x}}\theta (x) \right]\delta (z),\end{split}$

这里$\theta (x) = \left\{\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{1, \;\;\;x \geqslant 0} \\{0, \;\;\;x < 0}\end{array}} \right.$

是阶梯函数, ${{{J}}_{{\rm{in}}}}, {{{J}}_{\rm{r}}}$

和${{{J}}_{\rm{t}}}$

分别是由入射、反射和透射SPPs波产生的电流源强度. 现在开始解析求解(7)式的电流源辐射行为, 首先考虑入射的半无限大表面电流源:

${{J}}(r) = {{{J}}_{{\rm{in}}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}}x}}\theta ( - x)\delta (z).$

接下来可以利用格林函数法来解析求解这个半无限大SPP电流源((8)式)所产生的辐射场^[61]:

$\begin{split}{{{E}}_{{\rm{far}}}}({{r}},\varphi ) =\; & - \frac{{{\mu _0}\omega {{\rm{e}}^{{\rm{i}}({k_0}r - {{\text{π}} / 4})}}}}{{{\rm{i}}\sqrt {8{\text{π}}{k_0}r} ({k_{{\rm{SPP}}}} - {k_0}\cos \varphi )}}\\ & \times\left( {J_{{\rm{in}}}^x\sin \varphi - J_{{\rm{in}}}^z\cos \varphi } \right){{{e}}_\varphi },\end{split}$

它显然是由x偏振和z偏振的表面电流所贡献. 首先, 对x方向偏振的电流辐射做简单的数学推导, 发现${k_{{\rm{SPP}}}}$

越大时其边界辐射的角度越倾向于$\varphi = {90^{\rm{\circ}}}$

方向, 并且半峰宽越大. 对于x偏振的半无限大电流源, 在边界处会展现出沿x方向的偶极子辐射特性, 其主辐射方向为90°, 另外不同位置处的电流源也会展现出干涉特性, 其辐射场倾向于沿0°方向, 最终的辐射远场由这两项的竞争决定. 当${k_{{\rm{SPP}}}}$

越大, SPPs的场分布高度局域, 其与沿0°方向辐射场的耦合效应越来越弱(由于波矢越来越失配), 使得边界处的偶极子辐射占据主导效应, 这导致了辐射远场倾向于沿90°方向. 并且, 当${k_{{\rm{SPP}}}}$

越大时, 由于SPPs在空间上高度局域, 这就决定了其在动量空间的变化范围很大, 这也解释了辐射半峰宽变大的原因. 利用相同的方法可以很容易地分析和解析计算出, z方面偏振的SPPs电流源边界辐射的主极大固定在$\varphi = {0^{\rm{\circ}}}$

, 且其半峰宽随${k_{{\rm{SPP}}}}$

也呈现单调递增的趋势.
接下来, 回到对接等离激元体系统, 利用格林函数求解体系中源((7)式)辐射的解析方程如下^[59]:

$\begin{split}{{{E}}_{{\rm{total}}}}(r,\varphi ) =\; & {{{E}}_0}(r) \cdot \left(\frac{{J_{{\rm{in}}}^x\sin \varphi }}{{k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}} - {k_0}\cos \varphi }} - \frac{{J_{\rm{t}}^x\sin \varphi }}{{k_{{\rm{SPP}}}^{{\rm{II}}} - {k_0}\cos \varphi }} + \frac{{J_{\rm{r}}^x\sin \varphi }}{{k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}} + {k_0}\cos \varphi }}\right)\\&- {{{E}}_0}(r) \cdot \left(\frac{{J_{{\rm{in}}}^z\cos \varphi }}{{k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}} - {k_0}\cos \varphi }} - \frac{{J_{\rm{t}}^z\cos \varphi }}{{k_{{\rm{SPP}}}^{{\rm{II}}} - {k_0}\cos \varphi }} + \frac{{J_{\rm{r}}^z\cos \varphi }}{{k_{{\rm{SPP}}}^{\rm{I}} + {k_0}\cos \varphi }}\right),\end{split}$

其中${{{E}}_0}(r) = - \dfrac{{{\mu _0}\omega }}{{{\rm{i}}\sqrt {8{\text{π}}{k_0}r} }}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}({k_0}r - {{\text{π}} / 4})}}{{{e}}_\varphi }$

. 再利用第2节介绍的单模近似方法^[38]得到${{J}}_{\rm{t}}^{}$

, ${{J}}_{\rm{r}}^{}$

与${{J}}_{{\rm{in}}}^{}$

的关系式, 将${{{J}}_{\rm{t}}}$

和${{{J}}_{\rm{r}}}$

代入到(10)式中来计算远场辐射能流的角谱分布, 其中利用总能流按照入射SPPs的能流做归一化. 利用(10)式计算图8(a)所示的体系, 两侧金属的介电常数满足Drude模型形式${\varepsilon _1} = 1 - {\left( {{{{\omega _{\rm{p}}}} / \omega }} \right)^2}$

, ${\varepsilon _2} = 1 - {\left( {{{{{\tilde \omega }_{\rm{p}}}} / \omega }} \right)^2}$

, 其中的${\tilde \omega _{\rm{p}}} = {\omega _{\rm{p}}}/\sqrt 3 $

. 发现利用电流源模型与全波模拟计算的SPPs远场散射分布具有一定差距(如图8(c)所示), 这些差异主要来源于纵向(z)偏振电流源在横波条件的限制下会受到金属“屏蔽”效应的影响. 因而, 该电流源模型尤其适合于研究那些只有切向(x)偏振电流源的体系. 显然, 二维材料 (如石墨烯等)和极端各向异性的体系(如双曲材料)等正好满足这个条件, 接着将利用电流源模型研究这些二维体系中的SPPs的远场辐射特性.
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3.2.二维等离激元体系的远场辐射性质

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3.2.二维等离激元体系的远场辐射性质

首先, 研究一个理想的半无限大二维等离激元体系统, 如图9(a)所示, 显然其透射SPPs电流源系数${\rm{ }}J_{\rm{t}}^x$

等于0, 于是可以利用(10)式(其中z偏振的电流源强度均为0)来研究SPPs的远场辐射行为. 图9(b)展示了SPPs在该理想二维体系中的色散关系$k_{{\rm{SPP}}} \!= {k_0} \cdot \sqrt {1 - {{4{\varepsilon _0}} / {({\mu _0}{\sigma ^2})}}} $

, 其中$\sigma (\omega ) = \dfrac{{{\rm{i}}{{\rm{e}}^2}{v_{\rm{f}}}\sqrt n }}{{\hbar \sqrt {\text{π}} (\omega + {\rm{i}}\varGamma )}}$

是其表面电导率, ${v_{\rm{f}}} = 9 \times {10^5}~{{\rm{m}} / {\rm{s}}}$

是费米速率, $n = 5 \times {10^{11}}~{\rm{c}}{{\rm{m}}^{{\rm{ - 2}}}}$

是载流子浓度, $\varGamma = 0$

表示阻尼率(首先忽略损耗). 选择两个不同的工作频率0.14和0.74 THz, 通过全波模拟和解析理论得到SPPs在该体系中的远场辐射行为, 如图9(c)所示, 理论预测与模拟结果完美符合. 另外, 在0.12 THz时, 体系散射的峰值和展宽都很小(26.3°和59.3°), 但在0.74 THz时峰辐射的角度和展宽明显地增大(78.5°和92.2°), 考虑到$k_{{\rm{SPP}}}^{}$

从$1.1 k_{\rm{0}}^{}$

变大到$3{k_0}$

, 以上行为完全符合(9)式分析的预测. 并且(10)式完全可以用来计算石墨烯^[62–65]的边界辐射行为, 这里就不展开讨论了.

图 9 (a) 理想的半无限大二维等离激元体系统; (d) 半无限大人工金属网栅结构; (b), (e)相应体系中的SPPs的色散关系; (c), (f) 相应体系中的SPPs散射远场角谱分布^[59]
Figure9. (a) An ideal semi-infinite 2D plasmonic system; (d) a semi-infinite artificial metallic mesh structure; (b), (e) dispersion relations and (c), (f) scattering far-field angular distributions of SPPs in two plasmonic systems^[59].

我们的电流源理论模型还可以用来研究二维人工等离激元体系中的人工SPPs的远场辐射行为. 图9(d)所示的亚波长半无限大的金属网栅(晶格常数为a)可以被看作为二维等离激元体材料, 并且支持微波段的人工SPPs模式, 显然该体系没有垂直方向的电响应. 图9(e)中展示了这个体系中的人工SPPs的色散关系, 任意选择两个频率(8.5和19.1 GHz)来研究SPPs在这个体系中的远场辐射行为, 图9(f)表明解析公式和模拟计算得到的远场散射结果可以很好地符合在一起, 再次证明电流源理论模型确实抓住了SPPs辐射的主要物理性质.

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4.1.超构表面对表面等离极化激元波前调控的物理思想

如果要利用超构表面实现对近场SPPs波前的自由调控, 根据惠更斯原理, 首先就需要能够对SPPs的相位进行全幅度调控, 研究发现, 将一个折射率可调的介质薄膜附着在平面金属镜上组成的双层体系可以实现这个目标. 其中, 金属镜可以确保将入射的SPPs完全反射, 当介质层的介电常数改变时, SPPs在介质层中传播时的水平波矢得以改变, 从而调控SPPs在结构中积累的相位$\phi $

. 原则上讲, 如果可以通过调控介质层的折射率来实现$\phi $

的360°全覆盖, 就能设计出超构表面呈现出合适的$\phi (y)$

相位分布, 进而可以有效地塑造出任意形式的SPPs波前分布. 例如, 如果超构表面的相位分布$\phi (y)$

满足:

$\phi (y) = {\phi _0} + \xi \cdot y,$

SPPs被超构表面反射后, 也将满足类似的广义斯涅耳反射定律:

$\sin {\theta _{\rm{r}}} = \sin {\theta _{\rm{i}}} + {\xi }/{{{k_{{\rm{SPP}}}}}},$

这里${\theta _{\rm{i}}}$

和${\theta _{\rm{r}}}$

分别是SPPs的入射角和反射角, ${{ k}_{{\rm{SPP}}}}$

是SPPs的波矢, 而$\xi $

是超构表面的反射相位梯度. 同理, 可以设计一个超构表面实现SPPs的聚焦效应, 其反射相位分布$\phi (y)$

满足抛物线分布:

$\phi (y) = {\phi _0} + {k_{{\rm{SPP}}}} \Big(\sqrt {{y^2} + {F^2}} - {F^2}\Big),$

其中, F是SPPs聚焦的焦距.
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4.2.超构表面的单元结构设计

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4.2.超构表面的单元结构设计

首先基于有效媒质模型来验证超构表面调控SPPs的构想是可行的. 为了方便实验的验证, 选择在微波段开展研究. 由于天然的SPPs只存在于可见光频段, 可以将一个2 mm厚的介质层(${\varepsilon _{\rm{d}}}$

= 2.65)放在一个完美电导体上, 该结构支持一种人工SPPs模式^{[12,89,91,92]}; 我们设计的超构表面是由一层5 mm厚的介质层(介电常数为${\varepsilon _{\rm{g}}}$

)和一个金属反射镜组成. 接着, 将这种超构表面垂直放置在已设计的人工等离激元体金属上, 通过计算发现人工SPPs被均匀超构表面反射后的相位会随着${\varepsilon _{\rm{g}}}$

的变换而覆盖整个360°的范围; 另外, SPPs的反射幅度也始终稳定在0.9附近, 这表明在SPPs的散射损耗很小.
接下来介绍真实超构表面的结构设计. 基于等效媒质理论, 在高折射率介质板^[80,93,94]上加工一些亚波长空气孔阵列(直径为D、周期为P, 如图12(a)), 该系统可等效模拟一个具有确定介电常数的“均匀”介质板, 并可以通过改变空气孔直径D来调控超构表面的等效介电常数^[89]. 如图12(b), 在工作频率12 GHz处, 如果空气孔直径D从0变到2.88 mm, SPPs的反射相位可以覆盖360°, 其反射幅值也一直保持在较高数值(大于0.9)^[89]. 由于几何结构的各向异性, 决定了超构表面也具有各向异性的等效介电常数张量^[95–97]:

图 12 (a) 真实的超构表面结构及(b)其对SPPs的反射系数^[89]
Figure12. (a) Practical metasurface and (b) corresponding SPPs reflection coefficients^[89].

${{{\varepsilon}} _{{\rm{eff}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _ \bot }}&0&0 \\ 0&{{\varepsilon _{/\!/}}}&0 \\ 0&0&{{\varepsilon _{/\!/}}} \end{array}} \right).$

当电场平行于超构表面表面(即y-z面)时, 入射电磁波将只会感受到等效介电常数的平行分量(即${\varepsilon _{/\!/}}$

). 在这种偏振下, 电磁波看到的是高折射率介质材料中包覆了圆柱形空气孔, 对这种构型可以利用Bruggeman理论^[95]来获得${\varepsilon _{/\!/}}$

${f_1}\frac{{{\varepsilon _1} - {\varepsilon _{/\!/}}}}{{{\varepsilon _1} + 2{\varepsilon _{/\!/}}}} + {f_2}\frac{{{\varepsilon _2} - {\varepsilon _{/\!/}}}}{{{\varepsilon _2} + 2{\varepsilon _{/\!/}}}} = 0,$

其中, ${\varepsilon _1}$

和${\varepsilon _2}$

分别是空气孔和高折射率材料的介电常数, 而f₁和f₂分别为这两个材料所占的体积分数. 当电场垂直于超构表面时(即x方向), 电磁波将会感受到等效介电常数的另一个分量${\varepsilon _ \bot }$

, 由于电场平行于空气孔和高折射率介质的交界面, 此时${\varepsilon _ \bot }$

可以利用体平均的方法求得^[96,97]:

${\varepsilon _ \bot } = {f_1} \cdot {\varepsilon _1} + {f_2} \cdot {\varepsilon _2}.$

基于(15)式和(16)式, 可以计算出${\varepsilon _{/\!/}}$

和${\varepsilon _ \bot }$

随着空气孔直径D的变化规律. 基于有效媒质理论得到的参数, 模拟计算了SPPs的反射幅度和反射相位; 与基于真实结构的全波模拟计算结果对比, 发现两者完美符合(如图12(b)), 此时已经为设计真实超构表面打好了基础.
2

4.3.表面等离极化激元的波前调控效应

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4.3.表面等离极化激元的波前调控效应

接下来介绍梯度超构表面对SPPs的波前调控. 图13(a)展示了一种具有线性相位分布的超构表面的样品照片, 其相位梯度为$\xi = 0.79{k_{{\rm{spp}}}}$

, 其超原胞由直径在0—2.77 mm范围内变化的空气孔阵列组成, 其中心工作频率为12 GHz. 根据(12)式, 可以预测正入射SPPs的奇异反射角为52.2°, 全波模拟验证了这种奇异反射效应(如图13(b)), 计算得到的反射角为${\theta _{\rm{r}}} \approx {52.3^ \circ }$

, 与理论预测符合得很好. 而且, 从模拟的场分布图中可以直观地看到镜像反射模式和–1阶衍射模式(${\theta _{\rm{r}}} = - {52.3^ \circ }$

)都被深度压制, 表明SPPs奇异反射的效率很高(模拟结果约为70%).

图 13 (a) 超构表面样品; (b), (c) 模拟和(d) 实验验证SPPs异常反射^[89]
Figure13. (a) Metasurface sample and (b), (c) numerical / (d) experimental verifications of SPPs anomalous reflection^[89].

我们还通过微波实验验证了SPPs的奇异反射, 在实验中采用超构表面高效耦合器作为激励源^[15]激发SPPs, 另外采用单极子天线测量等离金属表面的E_z场(实部)分布, 测试结果如图13(d)所示. 图13(c)展示的是全波模拟得到的与实验测试相同区域的近场E_z分布, 显然实验和模拟结果很好地符合, 实验测试的奇异反射角${\theta _{\rm{r}}} \approx {\rm{5}}{{\rm{1}}^ \circ }$

, 也和理论预测的${\theta _{\rm{r}}} = {52.2^ \circ }$

符合得很好. 此外, 实验和模拟还验证了超构表面对SPPs的奇异反射效应存在一定频率带宽.
利用超构表面可以在不同波段实现任意的SPPs波前操控. 如图14(a)所示的具有对称式线性相位梯度分布的梯度超构表面, 使得入射SPPs光束反射后形成两束沿对称的斜方向传播的SPPs光束, 它们会干涉形成一个SPPs贝塞尔光束. 另外, 基于超构表面的概念, 我们也在通信波段基于硅这种高折射率材料, 设计出相应的超构表面结构验证了SPPs的聚焦效应, 如图14(b). 之后, 还在微波段实现了SPPs聚焦效应^[90].

图 14 超构表面实现(a) SPPs贝塞尔光束激发和(b)SPPs聚焦效应^[89]
Figure14. Metasurfaces for (a) SPPs Bessel beam generation and (b) SPPs focusing^[89].

5.总　结

近二十余年间, SPPs相关研究取得了突飞猛进的发展, 在增强光与物质相互作用、超分辨成像、纳米集成光路、数据存储、生物/化学传感等领域具有重要的应用价值. 其中, SPPs的一些基础理论问题一直吸引着人们的目光, 包括SPPs在非连续性界面的近远场散射、SPPs的波前调控等. 本文首先简单回顾了SPPs的发展历程及现状; 接着, 着重介绍了包括模展开计算、电流源模型等理论方法, 来解析求解SPPs的透射、反射及远场散射特性, 这些研究帮助人们理解SPPs散射规律; 最后, 回顾了利用超构表面来自由调控SPPs波前分布的工作, 它为SPPs的相关应用提供了理想的平台. 回顾这些研究成果, 将帮助人们深入理解SPPs的基本物理性质, 并为SPPs的应用带来新的启示.

本站小编 Free考研考试/2021-12-29

English Abstract

Scatterings and wavefront manipulations of surface plasmon polaritons

1.Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2.Department of Optical Science and Engineering, Fudan University, Shanghai 200433, China
3.Department of Communication & Information Engineering, Shanghai University, Shanghai 200444, China

Corresponding author:Sun Shu-Lin, sls@fudan.edu.cn;Zhou Lei, phzhou@fudan.edu.cn

全文HTML

2.1.基于周期性体系的模展开求解方法

2.2.波导体系和开放体系中的应用

3.1.等效电流源模型研究三维等离激元体系

3.2.二维等离激元体系的远场辐射性质

4.1.超构表面对表面等离极化激元波前调控的物理思想

4.2.超构表面的单元结构设计

4.3.表面等离极化激元的波前调控效应

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