1.Department of Physics, Shaoxing University, Shaoxing 312000, China 2.Department of Physics, Sun Yet-San University, Guangzhou 510275, China 3.Department of Physics, Graduate School of Science, Osaka University, Osaka 565-0871, Japan 4.International Center for Materials Nanoarchitectonics, National Institute for Materials Science, Tsukuba 305-0044, Japan 5.Kavli Institute for Theoretical Physics, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China
Abstract:Majorana bound states are considered useful for realizing topological quantum computation since they obey the non-Abelian quantum statistics. Recent experiments have provided evidences for their existence in some superconducting systems, triggering significant interests from scientists in the field of condensed matter physics and related materials science. In this article, we briefly review the basic concepts and recent developments in the study of Majorana bound states. We first discuss about the origin of the nontrivial topology in superconducting systems within the Bogoliubov-de Gennes mean-field scheme. Then we show the construction of Majorana quasiparticle excitations from an electronic state, and the realization of non-Abelian statistics based on position exchanges of the Majorana bound states hosted in superconductivity vortices. Afterwards we talk about specific one-dimensional and two-dimensional topological superconductors, and propose possible experimental methods for detecting Majorana bound states and operating the Majorana qubits. In particular, a quantum device for Majorana braiding without moving vortices is introduced. Finally, perspectives of the study on Majorana bound states are provided. Keywords:Majorana bound state/ topological superconductivity/ non-Abelian statitistics/ quantum computation
4.Majorana束缚态和非阿贝尔统计Majorana束缚态的自共轭性(3)式使得其可能遵循与普通费米粒子不同的量子统计[14]. 我们考察伴随二维超导体量子涡旋位置交换而产生的Majorana束缚态的相位变化. 如图3所示, 每个量子涡旋都带有伴随超导能隙相位2π不连续地变化的线段. 当准粒子跨越一根线段时, 其相位增加π (超导能隙相位一半). 在图3中, 鉴于第二和第三超导量子涡旋交换位置时只有第三超导量子涡旋跨越第二超导量子涡旋所带的线段, 所以仅有第三Majorana束缚态获得相位π. 所以有$({ \gamma }_{2}, { \gamma }_{3})$$\to ({ \gamma }_{3}, {- \gamma }_{2})$. 利用自共轭性(3)式, 可以将这个变换用幺正变换来表示: 图 3 利用拓扑超导量子涡旋里的Majorana束缚态实现非阿贝尔统计的示意图, 其中黑色箭号代表量子涡旋位置交换的轨迹, 当量子涡旋跨越红线时超导相位发生2π的不连续跳跃 Figure3. Schematics of realization of non-Abelian statistics using Majorana bound states in vortex cores of a topological superconductor. Black arrows denote the exchanging paths of two quantum vortices. Superconducting phase takes a 2π jump when a vortex crosses the red cuts.
对于二维拓扑超导体来说, 在体材料的边界处, 束缚态变成了连续的边界态. 如图1(c)所示, 这些边界态满足连续的色散关系, 因此难以实现受有限能隙保护的零能量Majorana束缚态. 另一方面, 一维的拓扑超导体, 其边界态是具有局域波函数的束缚态, 而体系具有有限能隙, 因此有利于产生具有拓扑保护的零能Majorana束缚态[15]. 为了在实际体系中实现一维拓扑超导态, Lutchyn等[19]提出了一种如图4(a)所示的超导体-半导体混合系统. 在这个系统里, 半导体纳米线具有很强的自旋轨道耦合, 这样原本具有两重自旋简并的能带结构就在动量方向上发生劈裂(如图4(b)所示), 具有向外自旋的电子能带向左平移, 而具有向内自旋的电子能带则向右平移. 此时, 费米能附近主要有两类电子态: Γ点附近的线性Dirac电子, 以及两边kF费米动量附近的电子态. 如果在纳米线上施加足够大的外部磁场, 塞曼劈裂就会打破时间反演对称性带来的Kramers简并性, 使得Γ点附近的线性Dirac电子消失(图4(b)). 此时在该系统中, kF动量附近的电子具有动量-自旋锁定, 即相反动量的电子携带几乎相反的自旋. 这样, 由s波超导态带来的Cooper对可以通过近临效应在纳米线中引致超导. 同时, 由于纳米线是一维系统, 电子不会具有回旋运动, 这抑制了磁场对超导的破坏. 动量-自旋锁定的能带结构加上s波超导, 使得超导能隙仅在费米能附近的单个能带中打开, 这样就在纳米线中实现了等效的无自旋超导性. 由于泡利不相容, 无自旋超导体的超导能隙必定具有p波或者f波的空间对称性. 理论计算表明图3中的系统对应于p波超导体[17], 因此, 尽管此系统的超导Cooper对来源于正常的自旋单态s波超导体, 但通过近邻效应在自旋轨道耦合的半导体中的实现了等效的无自旋p波超导性 . 图 4 (a)具有自旋轨道耦合的半导体纳米线和s波超导的混合系统的示意图; (b)半导体纳米线在有限磁场(实线)和零磁场(虚线)下的色散关系 Figure4. (a) Schematics of a heterostructure consisting of a spin-orbital coupling semiconductor nanowire and an s wave superconductor; (b) the band dispersion of the nanowire with finite magnetic field (solid lines) and zero magnetic field (dashed lines).
当一维拓扑超导体的末端存在如图4(a)所示的Majorana束缚态时, 在系统中会出现新的量子隧穿现象. 其中尤其有趣的一种是约瑟夫隧道效应. 我们考虑如图5(a)所示的拓扑约瑟夫森结, 两边都是一维拓扑超导体. 此时, 约瑟夫森结中的Majorana束缚态组成一个量子比特系统, 如图5(b)所示, 其有效哈密顿量为 图 5 (a) 通过电压差控制Majorana量子比特的设计; (b) Majorana量子比特的两能级系统; (c)-(e) 量子比特在电流脉冲下的LZS震荡: (c)短脉冲, (d)长脉冲, (e)序列脉冲[25] Figure5. (a) Schematic design of a universal quantum gate for Majorana qubit, where the qubit is manipulated by voltage across the Josephson-Majorana junction; (b) the two energy levels of the Majorana qubit depending on the phase difference across the junction; (c)-(e) the LZS oscillation of Majorana qubit under current pulse: (c) a short pulse, (d) a long pulse, (e) a sequence of pulses[25].
其中$ {{\rm{J}}}_{0}\left(x\right) $是贝塞尔函数. 利用这种量子振荡, 可以构建出一个Majorana量子比特的通用门, 如图5(c)—(e)所示, 通过控制电流脉冲实现任意的量子操作. 这种通用型量子门有望成为拓扑量子比特的基本构件, 并与Majorana束缚态的编织操作结合, 完成拓扑量子计算中的操作. Majorana量子比特的LZS 振荡会体现在拓扑约瑟夫森结的微波辐射中[26]. 在辐射光谱中包含分数约瑟夫森效应的分量, 因此通过测量微波辐射, 就可以获得Majorana量子比特的时间演化的特征时间. 如上所述, 虽然Majorana束缚态在空间上是分离的, 但实际上一对Majorana束缚态共同描述了拓扑超导体的量子态(即电子占有数的奇偶性), 因此Majorana束缚态处于量子纠缠状态. 这个物理特性可以用来实现基于Majorana束缚态的量子传送(teleportation)[27]. 如图6(a)所示, 可以在两端带有Majorana束缚态的一维拓扑超导体的两端各自放置一个量子点, 调制一维拓扑超导体与量子点之间的量子隧穿. 由于两个远距离的Majorana束缚态之间具有长程纠缠, 而每个Majorana束缚态又分别与量子点进行局域耦合, 最后导致两个量子点的占据态之间也产生了非局域的纠缠. 如图6(b)所示, 考虑了两个量子点的电子占有率的关联函数[28]. 考虑一维拓扑超导体的库仑阻塞效应, 可以发现空间上分离的两个量子点的电子占有率之间具有非局域的量子关联, 而这种量子关联也正体现了Majorana束缚态之间的纠缠性. 图 6 (a) Majorana束缚态与量子点耦合体系; (b)两个量子点的占据态关联函数[28] Figure6. (a) System with couplings between Majorana bound states and two quantum dots; (b) correlation between the electron occupations on the two quantum dots[28].
25.3.二维拓扑超导的量子涡旋和Majorana束缚态 -->
5.3.二维拓扑超导的量子涡旋和Majorana束缚态
5.2节讨论了一维拓扑超导纳米线两端的边界Majorana束缚态的物理性质, 本节讨论二维拓扑超导体的量子涡旋中的Majorana束缚态及其量子性质. 与图4(a)中具有强自旋轨道耦合的量子线相似, 三维拓扑绝缘体的表面出现自旋和动量锁定的二维Dirac表面态(如图7(a)所示). 因此该二维电子系统也可以通过类似机制实现二维无自旋的手征p波超导[16]. 由于拓扑绝缘体的上下表面在理想情况下各自仅具有一个Dirac电子态费米面, 因此实现无自旋超导无需借助Zeeman场. 根据上述理论, 上海交通大学实验组在NbSe2超导衬底上生长了三维拓扑绝缘体Bi2Te3薄膜. 通过调节拓扑绝缘体薄膜的厚度调制费米面位置使其位于拓扑绝缘体的导带和价带之间, 并利用扫描隧道显微镜/扫描隧道谱(STM/STS)观察了超导量子涡旋里的准粒子激发, 捕捉到了Majorana束缚态的信号(图7(b))[22]. 图 7 三维拓扑绝缘体(TI)色散关系(a)及TI-s波超导(SC)的异质结(b)的示意图, (b)中的红点代表Majorana束缚态[29] Figure7. (a) Schematic of the linear dispersion of surface state of a 3D TI; (b) schematic of a TI/s-SC heterostructure, where the red points denote the Majorana bound states at the center of a quantum vortex[29].
其中l为轨道角动量, $ s/2 $为自旋角动量, 由于量子涡旋引起的超导序参量的相位变化产生$ -1/2 $(符号由磁场方向决定). 因为Majorana束缚态与其反粒子空穴等价, 要求其能量和总角动量为零. 从(9)式可以看出, 总角动量归零$ j=0 $必须通过量子涡旋带来的半整数的角动量与电子自旋带来的半整数的自旋角动量的调节才能实现. 之前的研究已经从拓扑保护的角度对这一点进行了更严格的讨论[30]. Majorana束缚态的总角动量归零可以由两组不同的自旋角动量和轨道角动量的组合来实现, $ \left(s, l\right)=\left(+{1, 0}\right), (-{1, 1}) $. 如图8(a)所示, 自旋向上和自旋向下的准粒子波动函数在空间的振动满足贝塞尔函数$ {{\rm{J}}}_{l}\left({k}_{{\rm{F}}}r\right) $. 同理, 第一激发态$ j=-1 $由$ \left(s, l\right)=\left(+1, -1\right), (-{1, 0}) $的组合来实现. 从自旋向上分量和自旋向下分量之和给出的准粒子激发的态密度来看, Majorana束缚态和第一激发态并无两样, 这个特性给Majorana束缚态的推测带来了困难. 图 8 (a)拓扑超导量子涡旋里的低能准粒子激发的自旋分辨波函数; (b)准粒子激发的自旋向上态密度和自旋向下态密度之比的能量-空间分布[29] Figure8. (a) Spin-resolved wavefunctions of the low energy quasiparticle states in the vortex core of a topological superconductor; (b) spectrum of the ratio between densities of states for the spin-up and spin-down components[29].