1.Ocean College, Zhejiang University, Zhoushan 316021, China 2.Zhejiang Institute of Modern Physics, Department of Physics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China
Abstract:Spiral waves are ubiquitous in diverse physical, chemical, and biological systems. Periodic external fields, such as polarized electric fields, especially circularly polarized electric fields which possess rotation symmetry may have significant effects on spiral wave dynamics. In this paper, control of spiral waves in excitable media under polarized electric fields is reviewed, including resonant drift, synchronization, chiral symmetry breaking, stabilization of multiarmed spiral waves, spiral waves in subexcitable media, control of scroll wave turbulence, unpinning of spiral waves in cardiac tissues, control of spiral wave turbulence in cardiac tissues, etc. Keywords:polarized electric fields/ excitable media/ spiral waves/ control
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1.引 言许多生物膜、生理组织、化学反应系统都具有“可激发”的性质[1]. 当此类系统的局部区域处于静息状态时, 对微扰是稳定的; 但对于较强的扰动将有一个快速的响应, 呈现激发状态, 最后回到静息状态. 螺旋波广泛地存在于各类可激发介质, 包括Belousov-Zhabotinsky(BZ)化学反应[2]、一氧化碳在铂金表面的氧化反应[3]、心脏组织[4]等系统中. 心脏实验表明, 心律失常与螺旋波的自组织及螺旋波湍流态有密切关系[4,5], 螺旋波的深入研究对心脏病研究将会产生重要影响. 另外, 与人们所熟悉的行波表现为平行的波前和波背完全一致地传播的情形不同, 螺旋波的波前和波背在顶点处融为一体, 形成具有奇异性结构的螺旋波端点. 此端点构成了螺旋波的组织中心, 是一个时空点拓扑缺陷(相位奇点), 研究螺旋波可为人们研究拓扑缺陷动力学提供一种有效的途径. 电场对螺旋波影响的实验和理论工作比较丰富, 包括直流电场和交流电场. 在BZ反应实验中, Steinbock等[6]发现直流电场可使螺旋波的漂移速度形成分别与电场方向平行和垂直的两个分量, 且其垂直分量的方向会因螺旋波的手征性不同而各异. Mu?uzuri等[7]指出, 当交流电场频率成两倍于螺旋波频率时, 螺旋波会产生共振漂移. Zhang等[8]研究了直流、交流电场作用下的螺旋波漂移行为, 得到了螺旋波漂移速度的一个近似解析公式. 上述研究的外加电场, 只具有一个方向指向. 由于螺旋波绕其端点旋转, 具有旋转对称性, 人们希望外加的电场也具有旋转对称性. Chen等[9]通过把两个相互垂直且频率相同的交流电场叠加, 理论上提出了一个极化电场(图1), 实现了外电场具有旋转对称性的特性. 通过调节两交流电场间的相位差, 可以得到不同模式的极化电场, 比如线极化、椭圆极化、圆极化电场等(图2). 近来, Ji等[10]在BZ反应实验中实现了外加极化电场. 图 1 极化电场示意图[11]${E_x}$, ${E_y}$表示两个相互垂直的交流电场, ${E_0}$, ${\omega _{\rm{e}}}$分别是交流电场的振幅和频率, ${\phi _{\rm{e}}}$, ${\phi _{xy}}$分别是初相位和相位差 Figure1. Realization sketch of a polarized electric field[11]: ${E_x}$, ${E_y}$ are two ac electric fields perpendicular to each other, where ${E_0}$, ${\omega _{\rm{e}}}$ are the amplitude and the frequency of the electric field, respectively, and ${\phi _{\rm{e}}}$, ${\phi _{xy}}$ are the initial phase and the phase difference, respectively.
图 2 不同相位差的极化电场[9] Figure2. Polarized electric fields at different phase differences[9].
其中$| {\dot R} |$表示螺旋波的漂移速率; $\varTheta $是漂移角; $\varPhi $是螺旋波的初相位; ${\mu _2}$, ${\upsilon _2}$是漂移系数, 可由响应函数理论计算得到. 从方程(2)可看出, 当圆极化电场与螺旋波同向旋转时(${\phi _{xy}} = 0.5{\text{π}}$), 螺旋波的漂移速率$| {\dot R} |$最大; 当圆极化电场与螺旋波反向旋转时(${\phi _{xy}} = 1.5{\text{π}}$), 螺旋波漂移速率$| {\dot R}| = 0$. 当$\varPhi $或${\phi _{\rm{e}}}$改变时, 漂移角$\varTheta $会均匀改变, 且$\Delta \varTheta = 2\Delta \varPhi $及$\Delta \varTheta = \Delta {\phi _{\rm{e}}}$. 当${\phi _{xy}}$改变时, 漂移的方向也会发生改变, 且$\Delta \varTheta = 0.5\Delta {\phi _{xy}}$. 研究表明, 理论结果与数值结果定量符合(图4). 图 4 极化电场作用下顺时针旋转螺旋波的漂移[15] (a),(b)顺时针(${\phi _{xy}} = 0.5{\text{π}}$)、逆时针(${\phi _{xy}} = 1.5{\text{π}}$)旋转的圆极化电场作用下螺旋波的漂移, 其中, ${\omega _{\rm{e}}} = 2\omega $, ${\phi _{\rm{e}}} = 0$, $\varPhi = 0$, $\omega $是螺旋波的频率; (c),(d)漂移速率与相位差${\phi _{xy}}$的关系, 实线为理论结果, 圆圈为数值结果; (e),(f)漂移角与相位差${\phi _{xy}}$的关系, 实线为理论结果, 圆圈为数值结果. 当漂移速率为0(${\phi _{xy}} = 1.5{\text{π}}$), 无漂移角; (a),(c),(e)强激发介质; (b),(d),(f)弱激发介质 Figure4. Drifting behaviors of cw spirals under the influence of a polarized electric field[15]: (a),(b) Drifting behaviors of spirals under the influence of a cw (${\phi _{xy}} = 0.5{\text{π}}$) and a counterclockwise (ccw) (${\phi _{xy}} = 1.5{\text{π}}$) circularly polarized electric fields (CPEFs) with ${\omega _{\rm{e}}} = 2\omega $, ${\phi _{\rm{e}}} = 0$, $\varPhi = 0$, and $\omega $ being the frequency of the spiral waves; (c),(d) dependence of theoretical (lines) and numerical (circles) drift speeds on the phase difference ${\phi _{xy}}$; (e),(f) dependence of theoretical (lines) and numerical (circles) drift angles on the phase difference ${\phi _{xy}}$. When the drift speed is 0 (${\phi _{xy}} = 1.5{\text{π}}$), the drift angle cannot be defined. (a),(c),(e) Highly excitable medium; (b),(d),(f) Weakly excitable medium.
6.次激发介质中的螺旋波若介质的激发性只能维持平面波的传播, 但不能让螺旋波旋转起来, 则介质属于次激发介质[28]. Jung 和Mayer-Kress[29,30]提出, 噪声作用可助次激发介质产生螺旋波. Cai等[11]发现, 圆极化电场可使次激发介质中原先不断收缩的半平面波不再收缩, 而是发生卷曲形成螺旋波(图11). 所形成的螺旋波可处于严格旋转状态, 且与圆极化电场同步. 基于运动学关系[31] 图 11 次激发介质中半平面波的演化[11] (a)?(c)无外场作用; (d)?(f)有圆极化电场作用. ${E_0} = 0.2$, ${\omega _{\rm{e}}} = 0.2$ Figure11. The evolution of a broken plane wave in the subexcitable system without (a)?(c) and with (d)?(f) CPEFs[11]. ${E_0} = 0.2$, ${\omega _{\rm{e}}} = 0.2$.
${c_{\rm t}} = {c_0} + {c_B} + {c_E},$
研究给出了圆极化电场使次激发介质产生螺旋波的定量解释. 方程(3)中, ${c_{\rm{t}}}$是半平面波端点的切向速度, ${c_0}$表示平面波的速度. ${c_B} = {c_0}(B - {B_{\rm{c}}})/K$, 其中, $B = 4\sqrt 3 \varepsilon /{\varDelta ^3}$表征介质的激发性, $\varDelta = {\delta ^3} - 3\delta $由系统参数$\delta $确定; ${B_{\rm{c}}} = 0.535$是区分次激发介质($B > {B_{\rm{c}}}$)和激发介质($B < {B_{\rm{c}}}$)的临界值; $K \approx 0.63$是常数. ${c_E} = {\gamma _{//}}{E_{//}} + {\gamma _ \bot }{E_ \bot }$, 其中${E_{//}} = {E_0}\cos \theta $, ${E_ \bot } = {E_0}\sin \theta $分别是与${c_{\rm{t}}}$平行和垂直的电场分量; ${\gamma _{//}} \approx - 0.850$, ${\gamma _ \bot } \approx 0.929$是常数; $\theta $是${c_{\rm{t}}}$与电场E之间的夹角(图12(a)). Hakim 和Karma[31]提出, 方程(3)中, 若${c_{\rm{t}}} < {c_0}$, 则介质可产生螺旋波. Cai等[11]通过半解析分析, 得出与图11中的螺旋波对应的方程(3)中, ${c_B} + {c_E} < 0$(图12(b)), 即${c_{\rm{t}}} < {c_0}$, 从而使得次激发介质中形成了螺旋波, 且数值与半解析结果取得了一致的结果(图12(c)). 值得提出的是, 图11中的系统参数$B = 0.5515$, ${c_0} \approx 0.8887$, 从而可有${c_B} > 0$. 因此, ${c_B} + {c_E} < 0$是圆极化电场作用的结果. 图 12 圆极化电场使次激发介质产生螺旋波的机制分析[11], ${E_0} = 0.1$ (a)圆极化电场对螺旋波端点的作用示意图; (b)${c_B} + {c_E}$随${\omega _{\rm{e}}}$的变化关系; (c)${c_{\rm{t}}}$的半解析解与数值解的比较 Figure12. The mechanism analyses for spiral waves sustained by CPEF in subexcitable media[11], ${E_0} = 0.1$: (a) The sketch of a spiral wave tip submitted to a CPEF; (b) results of ${c_B} + {c_E}$varying with ${\omega _{\rm{e}}}$; (c) the comparison of the semi-analytical ${c_{\rm{t}}}$ with the numerical ${c_{\rm{t}}}$.
7.三维回卷波湍流态的控制回卷波会因其奇异线张力为负而失稳成湍流态[32], 相反, 若奇异线张力为正, 则可使回卷波处于稳定状态. 在系统全空间加周期信号[33], 或在系统的某一局部加一个较强的周期信号[34], 这种张力为负引起的回卷波湍流态可以被控制到空间均匀状态. 最近, Li等[35]发现, 圆极化电场可抑制因张力为负引起的回卷波湍流态, 而使其从无序湍流态走向有序回卷波态(图13). 其原因在于圆极化电场可使回卷波锁相, 进而将奇异线张力由负变为正, 以及具有较原先高些的频率. 研究进一步发现, 在圆极化电场频率与回卷波频率较为接近的范围内, 如此的回卷波湍流被抑制现象存在一定的范围(图14). 另外, 基于响应函数理论, 研究发现圆极化电场下, 奇异线张力满足以下关系[35]: 图 13 圆极化电场作用下, 回卷波湍流态从无序走向有序[35]${E_0} = 0.4$, ${\omega _{\rm{e}}} = {\omega _0} = 1.2455$, 其中${\omega _0}$表示螺旋波的频率; $t = 0$, 施加圆极化电场作用; 黄线表示奇异线 Figure13. Ordering of scroll wave turbulence by switching on a ccw CPEF at $t = 0$ with ${E_0} = 0.4$ and rotation frequency ${\omega _{\rm{e}}} = 1.2455$ equal to the natural spiral wave frequency ${\omega _0}$[35]. Filaments are shown in yellow.
图 14 圆极化电场抑制(实心圆圈)回卷波湍流态的参数区域中, 电场强度${E_0}$与归一化频率${\omega _{\rm{e}}}/{\omega _0}$的关系[35], 交叉表示不能抑制回卷波湍流态 Figure14. Parameter region of scroll wave turbulence suppression (full circles) as a function of external field amplitude ${E_0}$ and normalized frequency ${\omega _{\rm{e}}}/{\omega _0}$[35]. Crosses denote failure of ordering turbulence.