摘要:表面磁等离子体(surfacemagnetoplasmons, SMPs)是一种在电介质和偏置磁场作用下磁光材料界面处传播的近场电磁波. 其独特的非互易传播特性引起了大量科研工作的关注, 但在具体的波导结构设计上仍存在很多问题. 本文研究了一种银-硅-磁光材料的3层平面波导结构, SMPs在磁光材料和硅的界面处传播, 发现在特定的频率范围内, SMPs的基模及高阶模式均具有正向或反向的单向传播特性. 分别计算了旋磁与旋电材料平面波导的色散方程, 研究了硅层厚度与外加磁场对能带结构及SMPs单向传播区域的影响, 发现无论是旋磁或旋电材料的结构, 硅层厚度的增加使高阶模式使高阶模式出现在更低的频率位置, 使单向传输带宽变小甚至消失, 外加磁场的变大使磁光材料的能带结构频率增大的同时带隙中也引入了高阶模式. 计算了2种磁光材料平面波导的正向和反向的单向传播带宽宽度, 发现旋磁材料YIG的单向SMPs模式出现在GHz波段, 最大单向带宽可达到2.45 GHz; 旋电材料InSb的单向SMPs模式出现在THz波段, 最大单向带宽达到3.9 THz.
关键词: 单向传播/
磁光材料/
表面磁等离激元/
非互易性

English Abstract

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单向传播模式是指电磁波仅能沿着通道的一个方向传播的特性^[1,2], 这个概念是由斯坦福大学的Raghu和Haldane提出的, 其关键原理是法拉第旋光效应打破了时间反演对称性. 根据施加磁场后磁光材料的属性变化, 可将磁光材料分为旋磁^[3]和旋电^[4]两类. 理论上, 单向传播模式由旋磁或旋电磁光介质激发, 磁场导致磁光材料的磁导率或介电常数2阶张量的非对角线元素不对称^[5], 因此磁光材料和介质界面处的表面等离激元(surfaceplasmons, SPs)^[6]可以实现不对称地非互易传播^[7], 这种在磁场作用下非互易传播的SPs被称为表面磁等离激元(surfacemagnetoplasmons, SMPs)^[3,4,8]. 由于单向传播模式能够不受背向散射影响而具有优良的抗干扰性, 引起了科研工作者的关注, 随后人们利用光子晶体波导^[5,9-13]和平面介质波导^[14-17]结构的单向传播特性, 进行了大量关于集成光隔离器^[18,19]、偏振器件^[20]等的相关研究工作. 在先前的非互易器件研究工作中, 由于器件工艺复杂且工作带宽窄等问题, 因此没有得到广泛的应用.
本文利用磁光材料与硅构成的平面磁光波导, 对模式的单向传播特性进行分析, 分别研究了旋磁材料和旋电材料的波导厚度以及外加磁场强度对波导色散特性和单向传播带宽等非互易特性的影响.

图1是本文研究的3层磁光平面波导结构, 表面磁等离激元在硅和磁光材料的界面处传播, 银限制电磁场, 外部磁场B沿y方向均匀作用于磁光材料. 在外磁场的作用下, 磁光材料性质会发生变化, 根据其磁导率或介电常数的变化可分为旋磁或旋电两类. 通常, 在微波频段, 材料属性的变化出现在磁导率上, 在兆赫兹至光频段, 材料属性的变化出现在介电常数上. 在外磁场的作用下, 旋磁材料的磁导率2阶张量和旋电材料的介电常数2阶张量可写成下面的形式^[3,4]:
图 1 3层磁光平面波导结构
Figure1. Structure of three layers magneto-optical planar waveguide.

${{\mu}} =\left[\!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mu _{\rm{r}}}}&0&{ - {\rm i} {\mu _{\rm{k}}}} \\ 0&{{\mu _0}}&0 \\ {{\rm i}{\mu _{\rm{k}}}}&0&{{\mu _{\rm{r}}}} \end{array}}\!\!\!\!\right], \;\varepsilon = \left[\!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\varepsilon}} _1}}&0&{{\rm i}{\varepsilon _2}} \\ 0&{{\varepsilon _3}}&0 \\ { - {\rm i}{\varepsilon _2}}&0&{{\varepsilon _1}} \end{array}}\!\!\!\!\right]. $

在旋磁或旋电材料中, 由于法拉第旋光效应使偏置磁场和磁场矢量(或电位移矢量)不在同一方向上, 因此2阶矩阵的反对角线元素都是不对称的. 正是这种不对称性使得电磁波在磁光材料中沿特定方向传播时具有非互易性, 甚至在一定频率范围内能够实现单向传播.
将磁流线源放置在硅和磁光材料的界面上0点处激发SMPs, 波导中Si的厚度为9.6 μm, 外加磁场强度为0.3 T时, 调整电磁波频率, 发现在9.1—10.4 THz频率区间内, 只有向左或向右稳定单向传播的SMPs模式, 如图2所示, 激励了向右单向传播的SMPs, 仿真得到的正向传播15 μm处与反向传播15 μm处的消光比达到22.6 dB. 我们称激发这种模式的电磁波频率区间即为单向传播区域.
图 2 磁流线源激励的单向传播模式, 图中显示电场振幅沿传播方向的演化. (Si厚度为9.6 μm, 磁光材料为8 μm厚的InSb, 外加磁场强度为0.3 T, 电磁波频率为1.56 THz)
Figure2. The one-way propagation mode of the magnetic current source excitation, the figure shows the evolution of the electric field amplitude along the propagation direction. (The thickness of the Si and magneto-optical materials InSb are 0.6 μm and 8 μm, the applied magnetic field strength is 0.3 T, and the electromagnetic frequency is 1.56 THz.)

不考虑损耗, 旋磁材料的磁导率二阶张量矩阵元有以下形式^[21]:

$\begin{split}& {\mu _{\rm{r}}} = {\mu _0}\left(1 + \frac{{{\omega _0}{\omega _{\rm{m}}}}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2}}}\right),\\ &{\mu _{\rm{k}}} = {\mu _0}\frac{{\omega {\omega _{\rm{m}}}}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2}}}, \end{split}$

其中, ${\omega _{\rm{m}}} = {\mu _0}\gamma {M_{\rm{s}}}$表示特征角频率, 相应的波数和波长分别为${k_{\rm{m}}} = {\omega _{\rm{m}}}/c$, ${\lambda _{\rm{m}}} = 2{\text{π}}c/{\omega _{\rm{m}}}$, ${\omega _0} = {\mu _0}\gamma {H_0}$表示进动角频率, ${M_{\rm{s}}}$和${H_0}$分别是材料的饱和磁化强度和外加磁场强度.
本文选用微波频段下的钇铁石榴石(Yttrium Iron Garnet, YIG)作为旋磁材料.
在YIG中($x < 0$),

${E_y} = B{{\rm e}^{{\alpha _1}x}}{{\rm e}^{{\rm i}(kz - \omega t)}}, $

${H_z} = - {\rm i}\frac{{B({\alpha _1}{\mu _{\rm{r}}} - k{\mu _{\rm{k}}})}}{{\omega (\mu _{\rm{r}}^2 - \mu _{\rm{k}}^2)}}{{\rm e}^{{\alpha _1}x}}{{\rm e}^{{\rm i}(kz - \omega t)}}. $

在Si中($0 < x < d$),

${E_y} = ({A_1}{{\rm e}^{ - {\alpha _2}x}} + {A_2}{{\rm e}^{{\alpha _2}x}}){{\rm e}^{{\rm i}(kz - \omega t)}}, $

${H_z} = - \frac{\rm i}{{\omega {\mu _2}}}( - {\alpha _2}{A_1}{{\rm e}^{ - {\alpha _2}x}} + {\alpha _2}{A_2}{{\rm e}^{{\alpha _2}x}}){{\rm e}^{{\rm i}(kz - \omega t)}}. $

在Ag中($x > d$),

${E_y} = C{{\rm e}^{ - {\alpha _3}x}}{{\rm e}^{{\rm i}(kz - \omega t)}}, $

${H_z} = \frac{{{\rm i}C{\alpha _3}}}{{\omega {\mu _3}}}{{\rm e}^{ - {\alpha _3}x}}{{\rm e}^{{\rm i}(kz - \omega t)}}. $

其中${\alpha _1} \!=\!\sqrt {{k^2} \!-\! {\omega ^2}{\varepsilon _1}{\mu _{\rm{v}}}} $, ${\alpha _2}\! =\! \sqrt {{k^2}\!-\! {\omega ^2}{\varepsilon _2}{\mu _2}},{\alpha _3}\!=$ $\sqrt {{k^2} - {\omega ^2}{\varepsilon _3}{\mu _3}} $, ${\mu _{\rm{v}}} = ({{\mu _{\rm{r}}^2 - \mu _{\rm{k}}^2}})/{{{\mu _{\rm{r}}}}}$是YIG的Voigt磁导率常数, ${\mu _2}$和${\mu _3}$是Si和Ag的相对磁导率. ${\varepsilon _1}$, ${\varepsilon _2}$, ${\varepsilon _3}$分别是YIG, Si和Ag的相对介电常数.
旋磁材料中TM模式的SMPs不具有非互易性, 因此仅讨论TE模式的电磁场分量${E_y}$和${H_z}$在x = 0和x = d两界面处的连续性, 利用边界条件, 得到

$\left| {\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1}&0 \\ {\dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\mu _2}}}}&{ - \dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\mu _2}}}}&{\dfrac{{{\mu _{\rm{r}}}{\alpha _1} - {\mu _{\rm{k}}}k}}{{\mu _{\rm{r}}^{\rm{2}} - \mu _{\rm{k}}^2}}} & 0 \\ {{{\rm e}^{ - {\alpha _2}d}}}&{{{\rm e}^{{\alpha _2}d}}}&0&{ - {{\rm e}^{ - {\alpha _3}d}}} \\ {\dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\mu _2}}}{{\rm e}^{ - {\alpha _2}d}}}&{ - \dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\mu _2}}}{{\rm e}^{{\alpha _2}d}}}&0&{ - \dfrac{{{\alpha _3}}}{{{\mu _3}}}{{\rm e}^{ - {\alpha _3}d}}} \end{array}}\! \!\!\right| \!=\! 0. $

化简得到TE模SMPs的色散方程:

$\tanh ({\alpha _2}d)= - \dfrac{{{\alpha _1} - \dfrac{{{\mu _{\rm{k}}}}}{{{\mu _{\rm{r}}}}}k + \dfrac{{{\alpha _3}}}{{{\mu _3}}}{\mu _{\rm{v}}}}}{{\left({\alpha _1} - \dfrac{{{\mu _{\rm{k}}}}}{{{\mu _{\rm{r}}}}}k\right) \cdot \dfrac{{{\mu _2}{\alpha _3}}}{{{\mu _3}{\alpha _2}}} + \dfrac{{{\mu _{\rm{v}}}{\alpha _2}}}{{{\mu _2}}}}}. $

外磁场H₀ = 600 Oe时, 图3(a)(b)(c)分别给出了硅的厚度d为0.08λ_m, 0.13λ_m, 0.25λ_m的色散曲线. 图中黄色区域表示YIG材料的能带. 红色实线表示在硅和旋磁材料界面处的SMPs基模. 与无磁光效应中波导的表面等离激元色散方程不同, 式(10)的传播常数k的一次项系数不为0, 导致SMPs不关于k = 0对称, k > 0表示电磁波正向传播, k < 0表示电磁波反向传播. 增大硅层厚度d或外加磁场H₀, 出现高阶模式, 如图3(b)(c)(d)中的绿色实线. 橙色虚线对应ω = ± kc, 内部区域的数值解具有超光速的伪意义, 因此应舍去, 图中基模与高阶模在此区域内均用虚线表示. 在蓝色区域对应的频段中, 色散方程仅有k > 0的解, 电磁波仅能朝k > 0的方向传播, 称这个区域为正向单向传播区. 在绿色区域对应的频段中, 色散方程仅有k < 0的解, 称这个区域为反向单向传播区.
图 3 旋磁平面波导的色散曲线　(a)?(c) H₀ = 600 Oe, d = 0.08λ_m, 0.13λ_m, 0.25λ_m; (d) H₀ = 2600 Oe, d = 0.08λ_m
Figure3. Dispersion curve of the gyromagnetic plane waveguide (a)?(c) H₀ = 600 Oe, d = 0.08λ_m, 0.13λ_m, 0.25λ_m; (d) H₀ = 2600 Oe, d = 0.08λ_m

对比图3(a)(b)(c)中的不同硅厚度的色散曲线, 可以看出, 在d = 0.08λ_m, 时, 实线表示的基模在YIG的带隙中存在2个方向的单向传播区, 当d增大到0.13λ_m时, 2条实线分别表示基模与2阶模的色散曲线, 基模色散曲线底部与YIG能带结构重叠, 导致反向单向传播区消失, 而2阶模式的出现使正向单向传播区被压缩. 当d继续增大到0.25λ_m时, 在频率更低处就出现了2阶模式以及3阶模式, 使得此结构的基模不再支持波导单向传播.
对d = 0.08λ_m的波导, 当外加磁场强度增大为H₀ = 2600 Oe时, 对比图3(a)和(d)可以发现, 增大磁场使YIG的能带上移, 单向传播区的频率也随之增大, 但高阶模式也会随之出现, 使反向单向传播区域消失, 正向单向传播也受到挤压变窄.

不考虑损耗, 旋电材料的介电常数2阶张量矩阵元有以下形式^[4]:

$\begin{split}& {\varepsilon _1} = {\varepsilon _\infty }\bigg( {1 - \frac{{\omega _{\rm{p}}^2}}{{{\omega ^2} - \omega _{\rm{c}}^2}}}\bigg),\\ &{\varepsilon _2} = {\varepsilon _\infty }\frac{{{\omega _{\rm{c}}}\omega _{\rm{p}}^2}}{{\omega \left( {{\omega ^2} - \omega _{\rm{c}}^2} \right)}},\\ & {\varepsilon _3} = {\varepsilon _\infty }\big({1 - {{\omega _{\rm{p}}^2}}/{{{\omega ^2}}}} \big),\end{split}$

其中, ${\varepsilon _\infty }$是高频近似介电常数, ${\omega _{\rm{c}}} = {{e{B_0}}}/{{{m^*}}}$是电子的回旋频率, ${\omega _{\rm{p}}} = \sqrt {{{N{e^2}}}/({{{\varepsilon _0}{m^*}}})}$是磁光材料的等离子体频率, 相应的波数和波长分别为${k_{\rm{p}}} = {\omega _{\rm{p}}}/c$, ${\lambda _{\rm{p}}} = 2{\text{π}}c/{\omega _{\rm{p}}}$. 旋电材料产生的TE模式没有非互易性, 因此本文仅对由Ag、Si和InSb组成的平面波导中的TM模式的SMPs进行分析.
根据边界条件可推导出色散曲线方程^[17]

$\tanh ({\alpha _2}d)= - \frac{{{\alpha _{\rm{s}}} + \dfrac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}k + \dfrac{{{\varepsilon _{\rm{v}}}{\alpha _{\rm{m}}}}}{{{\varepsilon _{\rm{m}}}}}}}{{\left({\alpha _{\rm{s}}} + \dfrac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}k\right) \cdot \dfrac{{{\varepsilon _{\rm{r}}}{\alpha _{\rm{m}}}}}{{{\varepsilon _{\rm{m}}}{\alpha _{\rm{r}}}}} + \dfrac{{{\varepsilon _{\rm{v}}}{\alpha _{\rm{r}}}}}{{{\varepsilon _{\rm{r}}}}}}}, $

其中, ${\alpha _{\rm{s}}} = \sqrt {{k^2} - {\omega ^2}{\mu _0}{\varepsilon _{\rm{v}}}} $, ${\alpha _{\rm{r}}} = \sqrt {{k^2} - {\omega ^2}{\mu _2}{\varepsilon _2}} $, ${\alpha _{\rm{m}}} = \sqrt {{k^2} - {\omega ^2}{\mu _3}{\varepsilon _3}} $, ${\varepsilon _{\rm{v}}} = ({{\varepsilon _1^2 - \varepsilon _2^2}})/{{{\varepsilon _1}}}$是InSb的Voigt介电常数.
外加磁场B₀ = 0.3 T时, 图4(a)(b)(c)分别给出了硅的厚度d为0.08λ_p, 0.13λ_p, 0.2λ_p时的色散曲线. 图中黄色区域表示InSb材料的能带. 红色实线表示在Si和InSb界面处的SMPs基模, 绿色实线代表高阶模式, 橙色虚线对应ω = ± kc, 蓝色区域对应正向单向传播区, 绿色区域对应反向单向传播区.
图 4 旋电平面波导的色散曲线　(a)?(c) B₀ = 0.3 T, d = 0.08λ_p, 0.13λ_p, 0.2λ_p; (d) B₀ = 1.5 T, d = 0.08λ_p
Figure4. Dispersion curve of the gyroelectric plane waveguide (a)?(c) B₀ = 0.3T, d = 0.08λ_p, 0.13λ_p, 0.2λ_p; (d) B₀ = 1.5 T, d = 0.08λ_p

对比图4(a)(b)(c)中的不同硅厚度的色散曲线, 可以看出当d = 0.08λ_p时, 不仅存在基模的正向传播区, 还存在有2阶模的反向传播区. 当d增大到0.13λ_p时, 2阶模的单向传播区消失, 基模单向传播区被2阶模压缩. 当d继续增大到0.2λ_p时, 在此结构中不再支持单向传播. 对d = 0.08λ_p时的波导, 当外加磁场强度增大到B₀ = 1.5 T时可以发现, InSb的能带及单向传播区域频率变高, 更高阶的模式使带隙中2阶模的反向单向传播区消失.

在400—2000 Oe磁场范围内及给定的波导厚度下, 对每组H₀和d计算如图3所示的波导SMPs色散方程及磁光材料能带结构, 正向单向传播模式(蓝色区域)和反向传播模式的宽度(绿色区域)的频率宽度, 得到的数值用颜色表示, 即可得到如图5(a)和图5(b)所示的正向和方向的旋磁波导单向带宽. 深蓝色代表单向带宽为0, 即在该结构参数下, 波导不存在单向传播模式, 亮黄色代表带宽在计算范围内达到最大. 可以看出, 正向单向传播的最大带宽为0.5ω_m (ω_m = 4.9 GHz, 最大带宽为2.45 GHz), 对应图中亮黄色区域, 且磁场改变时, 相应调整Si层厚度, 仍然可以达到最大单向带宽. 当Si厚度较小时, 正向单向带宽随Si增厚而增大, 直到最大单向带宽; 若Si层厚度继续增加, 由于高阶模式的影响, 单向传输带宽逐步减小并最终消失. 反向传播模式的最大单向带宽仍可达0.5ω_m, 磁场强度越大, 能够在更薄的波导中获得最大单向带宽.
图 5 旋磁波导单向带宽　(a)正向单向传播模式; (b)反向单向传播模式
Figure5. One-way propagation mode bandwidth of the gyromagnetic waveguide (a) Forward one-way propagation mode; (b) Backward one-way propagation mode

类似地, 在0.1至1 T磁场范围内及给定的波导厚度下, 对每组B₀和d计算如图4所示的波导SMPs色散方程及磁光材料能带结构, 正向单向传播模式(蓝色区域)和反向传播模式的宽度(绿色区域)的频率宽度, 得到的数值用颜色表示, 即可得到如图6(a)和图6(b)所示的正向和方向的旋磁波导单向带宽. 可以发现, 随着Si厚度变大, 旋电InSb波导的正向单向传播带宽逐步变小直至消失. 最大单向带宽随外加磁场的变化而改变, 当外磁场在0.3—0.4 T之间, Si厚度小于10 μm时能够达到最大单向带宽0.25ω_p (ω_p = 15.6 THz, 最大带宽为3.9 THz), 如当B₀ = 0.3 T时, 单向带宽为0.64ω_p—0.89ω_p (约为9.98—13.88 THz). 反向单向传播模式是出现在InSb带隙中的高阶模式, 最大单向带宽随磁场的增大逐步递增, 在本文的计算范围内能够达到0.2ω_p.
图 6 旋电波导单向带宽　(a)正向单向传播模式; (b)反向单向传播模式
Figure6. One-way propagation mode bandwidth of the gyroelectric waveguide (a) Forward one-way propagation mode; (b) Backward one-way propagation mode

本文研究了2种3层磁光平面波导的单向传播特性, 其中传播的模式本质是在旋磁材料(如YIG)与硅之间传播的TE模式SMPs, 或者在旋电材料(如InSb)与硅之间传播的TM模式SMPs, 其结构简单且拥有较大的工作带宽. 通过数值分析得到了3层磁光平面波导的能带及色散方程解析形式, 结果表明基模和高阶模式都可能存在单向传播区, 位于磁光材料的能带结构下方或带隙中. Si厚度的增加会使高阶模式出现在更低频的位置, 从而使基模的单向传播区域带宽变窄, 甚至使该结构失去单向传播特性. 基于YIG的旋磁3层平面波导最大单向带宽可在GHz频段达到2.45 GHz, 基于InSb的旋电3层平面波导最大单向带宽可在THz频段达到3.9 THz. 本文的研究结果, 对单向传输的非互易波导设计和制作具有重要而有效的意义.