Abstract:Based on the theory of surface lattice dynamics, the surface phonon spectrums along three symmetrical directions of $\bar \varGamma \bar L$, $\bar L\bar M$ and $\bar \varGamma \bar M$ are simulated for the W(100) surface by using the modified analytic embedded atom method. The polarization vectors at different symmetrical points are also calculated. According to the criterion and marking method of surface mode, the surface modes along different symmetrical directions are drawn, the distribution range and mode coupling of surface modes are discussed as well. The vibration frequencies of surface modes calculated by us have been compared to available experimental datum and some theoretical values correspondingly. The results display that the present results are general agreement with the referenced experimental or theoretical results. Based on the calculated polarization vector, the surface vibration states are constructed for the atomic layers in the neighboring surface. And the polarization and local features of the surface modes along different symmetrical directions are analyzed. The results show that there are some coupling phenomena between surface mode dispersion, such as avoid crossing and independence crossing. The avoid crossing is found between the surface-mode branch S1 and the surface-mode branch S2 near ${\bar \zeta _y} = 0.32$ along $\bar L\bar M$ direction. In the region, going from $\bar L$ to $\bar M$, S1 changes from y polarization to z polarization, and S2 changes from z polarization to y polarization. The independence crossings exist between surface-mode branch S1 and surface-mode branch S2 at ${\bar \zeta _x} = 0.5$ along $\bar \varGamma \bar L$ direction, and surface-mode branch S2 and surface-mode branch S3 at ${\bar \zeta _x} = 0.5$ along $\bar L\bar M$ direction, respectively. Before and after the crossings, the polarization and local features of the surface modes have not changed. Inspection of the polarization vectors, the coupling phenomena are iconically demonstrated. Keywords:surface phonon spectrum/ surface mode/ localization/ polarization
表1高对称点处W(100)表面模振动频率的比较 (单位: THz) Table1.Comparison of vibration frequencies of surface modes for W(100) at high symmetry points (in units of THz).
23.3.W(100)表面模的振动特征 -->
3.3.W(100)表面模的振动特征
为了讨论W(100)表面模的局域特征和极化方式, 在W(100)表面声子谱的基础上, 计算了W(100)表面沿$\bar \varGamma \bar L$、$\bar L\bar M$和$\bar \varGamma \bar M$对称方向上不同对称点的极化矢量, 构建了近表面原子层的振动态分布. 图5是W(100)近表面原子层沿$\bar \varGamma \bar L$对称方向的局域振动态密度. 图中z轴表示极化矢量的平方[18,30]${\left| {\xi \left( l \right)} \right|^2} = {\left| {{\xi _x}\left( l \right)} \right|^2} + {\left| {{\xi _y}\left( l \right)} \right|^2} + {\left| {{\xi _y}\left( l \right)} \right|^2}$, 其中l是原子层指数, $l = 1, 2, 3, \cdots $分别对应第1原子层、第2原子层、第3原子层…, x轴表示原子层振动频率, y轴表示约化波矢. 图 5 W(100)近表面原子层沿$\bar \varGamma \bar L$对称方向的局域振动态密度 (a)第1原子层; (b)第2原子层; (c)第3原子层; (d)第4原子层 Figure5. Local vibrational state density of atomic layers in the vicinity of the W (100) surface along $\bar \varGamma \bar L$ symmetry direction: (a) First atomic layer; (b) second atomic layer; (c) third atomic layer; (d) fourth atomic layer.
从图5可以看出, 沿$\bar \varGamma \bar L$对称方向, S1和S2表面模均主要局域在第1原子层. 随原子层数的增加, 两种表面模的振幅快速减小, 完全符合表面模的特征. 图6是W(100)表面模沿$\bar \varGamma \bar L$方向的极化态密度. 如图6所示, S1表面模完全极化在y方向上(图6(b)和图6(e)), 是严格的水平剪切模(shear horizontal mode, SH), 其振动方向平行于表面且垂直于波矢方向. S2表面模完全在z方向上偏振(图6(c)和图6(f)), 是严格的垂直剪切模(shear vertical mode, SV), 其振动方向既垂直于表面又垂直于波矢方向. S1表面模色散支和S2表面模色散支在交叉前后(${\bar \zeta _x} = 0.5$处发生交叉), 其极化方式并没有发生改变, 而是保持原有的特征(具有独立性), 这种现象即为独立性实交叉. S3和S4表面模主要局域在第2原子层(图5), 其中S3表面模在第1原子层也分布有较大能量, 而S4表面模在第1原子层中振幅接近零, 两种表面模在第3和第4原子层中的振幅逼近体模的振幅. S3表面模在xz面内偏振, 其中在第1原子层上, 集中在x方向上的振幅略大于z方向上的振幅(图6(a)和图6(c)), 而在第2原子层上, 分布在z方向的能量远大于分布在x方向上的能量(图6(d)和图6(f)). S4表面模完全在y方向上极化(图6(e)), 和S1表面模一样, 是严格的水平剪切模SH. S7表面模主要局域在第3层, 与S1、S2、S3和S4表面模相比, S7表面模振幅较小, 属于弱表面模. S7表面模在第3原子层中沿z方向极化(由于篇幅原因, 图6中没有给出第3原子层和第4原子层的偏振特征). 沿$\bar \varGamma \bar L$方向, S6表面模分布在S1(100)带隙中, 其振幅主要集中在第1原子层, 并沿x方向振动, 振动方向既平行于表面又平行于波矢方向, 是纵向振动模(longitudinal mode, L). MS8伪表面模完全淹没在S1(100)带隙下边缘附近的体模带中(见图3以及图5(c)和图5(d)), 与S7表面模一样, MS8伪表面模同样主要局域在第3原子层, 原子振动方向平行于表面且垂直于波矢方向, 是水平剪切模SH. 图 6 W(100)近表面原子层沿$\bar \varGamma \bar L$对称方向的极化态密度 (a)第1原子层沿x方向极化; (b)第1原子层沿y方向极化; (c)第1原子层沿z方向极化; (d)第2原子层沿x方向极化; (e)第2原子层沿y方向极化; (f)第2原子层沿z方向极化 Figure6. Polarizing state density of atomic layers in the vicinity of the W (100) surface along $\bar \varGamma \bar L$ symmetry direction: (a) x polarization for first atomic layer; (b) y polarization for first atomic layer; (c) z polarization for first atomic layer; (d) x polarization for second atomic layer; (e) y polarization for second atomic layer; (f) z polarization for second atomic layer.
图7是W(100)近表面原子层沿$\bar L\bar M$对称方向的局域振动态密度, 图8是相应的极化特征. 从图7可以看出, 沿$\bar L\bar M$方向, S1和S2表面模均主要局域在第1原子层, 而第2原子层的振幅接近体模. S1表面模在$\bar L$点处(${\bar \zeta _y} = 0$)严格在y方向上极化(图8(b)), 随着波矢的增加, y方向上的振幅分量逐渐减小, 而z方向的振幅分量逐渐增加(图8(b)和图8(c)), 当约化波矢大于0.32时, S1表面模主要在z方向极化, 当约化波矢大于0.54时, S1表面模严格在z方向极化; S2表面模在$\bar L$点处严格极化在z方向上, 随着波矢的增加, y方向的振幅分量逐渐增加, 而z方向的振幅分量减小(图8(b)和图8(c)), 当约化波矢大于0.32时, S2表面模已主要在y方向上极化, 即在两表面模色散支在避免交叉位置处(${\bar \zeta _y} = 0.32$), S1表面模和S2表面模的振动特征发生了交换, 波矢从小到大, S1表面模由y方向极化变为z方向极化, S2表面模由z方向极化变为y方向极化, 这种避免交叉现象也曾在其它金属表面振动中被观测到[31]. S2表面模色散支和S3表面模色散支在约化波矢等于0.5处发生交叉(图3), 两表面模色散支交叉前, 局域在第1层的S2表面模严格沿y方向偏振(图8(b)), 局域在第2层的S3表面模严格沿z方向偏振(图8(f)), 交叉后, S2表面模仍沿y方向偏振, S3表面模仍沿z方向偏振, 可以看出交叉前后两表面模的偏振性质没有受到任何影响(即独立性实交叉). S4表面模在约化波矢等于0.2处进入体模带而消失, 在进入体模带前, 它保持着$\bar \varGamma \bar L$方向上的振动特征, 即主要局域在第2层, 并严格在y方向上振动(图8(e)). 沿$\bar L\bar M$方向, S1(100)带隙中存在两个表面模, 即S5和S6表面模. S5表面模主要局域在第2原子层, 并严格在x方向上极化(图8(d)), 属于纵向振动模. S6表面模则主要局域在第1层, 同样在x方向上极化(图8(a)). 在第2原子层中, S6表面模在yz面内偏振(图8(e)和图8(f)), 这种在不同原子层中极化方式不同的现象称为分层极化. S1(100)带隙下边缘附近的体模带中(约化波矢约为0.1)存在一个弱表面模(由于角度原因, 在图7(c)中并没有观测到), 这个表面模和$\bar \varGamma \bar L$方向上的伪表面模MS8具有相同的局域和极化方式(局域在第3层, 并沿y方向偏振), 因此把该表面模仍标记为MS8. 图 7 W(100)近表面原子层沿$\bar L\bar M$方向上的局域振动态密度 (a)第1原子层; (b)第2原子层; (c)第3原子层; (d)第4原子层 Figure7. Local vibrational state density of atomic layers in the vicinity of the W (100) surface along $\bar L\bar M$ symmetry direction: (a) First atomic layer; (b) second atomic layer; (c) third atomic layer; (d) fourth atomic layer.
图 8 W(100)近表面原子层沿$\bar L\bar M$方向的极化态密度 (a)第1原子层沿x方向极化; (b)第1原子层沿y方向极化; (c)第1原子层沿z方向极化; (d)第2原子层沿x方向极化; (e)第2原子层沿y方向极化; (f)第2原子层沿z方向极化 Figure8. Polarizing state density of atomic layers in the vicinity of the W (100) surface along $\bar L\bar M$ symmetry direction: (a) x polarization for first atomic layer; (b) y polarization for first atomic layer; (c) z polarization for first atomic layer; (d) x polarization for second atomic layer; (e) y polarization for second atomic layer; (f) z polarization for second atomic layer.
从图9可以看出, 沿着$\bar F\bar M$方向, S1表面模仍然局域在第1原子层并沿z方向上极化(图10(c)和图10(f)), 延续了$\bar L\bar M$方向上的极化方式, 是严格的垂直剪切模SV, 随波矢的增加, S1表面模的振幅随之增大. 在第2原子层$\bar M$点附近, 观测到一个弱表面模, 该表面模主要局域在第2原子层, 且严格沿z方向偏振, 这个表面模和$\bar L\bar M$方向上的S3表面模具有相同的局域和极化方式, 故把该表面模仍标记为S3. 在第2原子层中, 体模带下边缘附近存在弱表面模, 这些表面模的振幅略高于周围的体模, 与S3表面模具有连续性, 可以认为是S3表面模在体模中的延续, 这一表面模在第1原子层中也存在, 只是周围体模振幅相对较高, 因此不易观测, 从图10可以看出, 这些表面模在x、y和z方向都有振幅存在, 而且与周围体模具有相同的极化方式, 因此该表面模是伪表面模, 标记为MS3. 图 9 W(100)近表面原子层沿$\bar \Gamma \bar M$方向上的局域振动态密度 (a)第1原子层; (b)第2原子层 Figure9. Local vibration state density of atomic layers in the vicinity of the W (100) surface along $ \bar \Gamma \bar M $ symmetry direction: (a) First atomic layer; (b) second atomic layer.
图 10 W(100)近表面原子层沿$\bar \varGamma \bar M$方向的极化态密度 (a)第1原子层沿x方向极化; (b)第1原子层沿y方向极化; (c)第1原子层沿z方向极化; (d)第2原子层沿x方向极化; (e)第2原子层沿y方向极化; (f)第2原子层沿z方向极化 Figure10. Polarizing state density of atomic layers in the vicinity of the W (100) surface along $\bar \varGamma \bar M$ symmetry direction: (a) x polarization for first atomic layer; (b) y polarization for first atomic layer; (c) z polarization for first atomic layer; (d) x polarization for second atomic layer; (e) y polarization for second atomic layer; (f) z polarization for second atomic layer.