基于量子催化的离散调制连续变量量子密钥分发

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1.引　言

量子密钥分发^[1-4]旨在通过不安全信道建立起合法通信双方的密钥, 它的无条件安全源于海森伯不确定性关系和不可克隆原理, 使得它在商业金融、国防军事、外交通信等安全领域发挥着重要作用. 近几十年来, 量子密钥分发在量子信息领域中蓬勃发展, 它主要分为两大类: 离散变量量子密钥分发^[1,2]和连续变量量子密钥分发^[3,4]. 对于离散变量量子密钥分发, 单光子极化被常用来传输密钥比特信息, 使得它具有长距离安全通信的特征. 但是单光子探测器的使用造成了离散变量量子密钥分发的密钥率相对较低. 不同于前者, 在连续变量量子密钥分发中, 信息被发送端Alice编码到相干态或压缩态的正则坐标和正则动量上, 经信道传输后, 接收端Bob通过相干探测进行信息的解码. 虽然连续变量量子密钥分发具有高密钥率和易与传统光纤技术相容等优势, 但它的通信距离仍然存在局限性. 例如, 2002年 Grosshans和Grangier^[5]提出的高斯调制“GG02”协议. 该协议虽然采用常见的相干态进行信息的编码, 使得它具有很好的实用价值, 但是其传输距离不超过15 km. 同年, Silberhorn等^[6]采用的逆向协商协议打破了这种安全距离的局限性, 进一步提升了该协议的实用性. 2007年, Lodewyck等^[7]实验上报道了在全光纤连续变量系统下, 量子密钥在25 km的分布情况. 因此, 如何有效地提升量子密钥分发性能, 尤其是安全通信距离, 成为了连续变量量子通信的前沿热点之一.
为了实现长距离安全通信的目标, 人们提出了两种解决方案. 一种解决方案是通过引入非高斯操作^[8-10]来提高量子态的抗噪能力, 使得信息保持稳定传输; 另一种方案则是采用离散调制协议^[11-14], 如四态协议、八态协议等. 例如, 2013年Huang等^[15]将光子扣除操作运用到连续变量量子密钥分发系统. 研究表明, 这种操作的使用能够显著地提高安全传输距离和最大可容忍过噪声. 尤其是, 单光子扣除情况对协议性能改善最为明显. 不幸的是, 光子扣除操作需要多光子探测器, 加大了实验操作的复杂性. 为了解决这个问题, 2016年Li等^[16]指出了光子扣除操作可等效于一种虚拟后处理方案. 此外, 除了单路协议外, 光子扣除操作在双路协议^[17]、测量设备无关协议^[18]发挥着显著的性能优势. 另一方面, 由于存在一种对离散值甚至低信噪比都具有高效率的纠错码, 离散调制协议可以极大地提高安全距离^[11,12]. 在安全性分析方面, 该协议也对应于低调制方差的高斯调制的连续变量量子密钥分发协议^[13,14]. 最近, Liao等^[19]将光子扣除操作运用于四态离散调制协议进一步提升量子密钥分发的性能. 尽管光子扣除有上述优势, 但是在优化调制方差的情况下, 执行减光子操作的成功概率却低于0.25, 这使得它在提升量子密钥分发性能方面也存在某种缺陷^[20]. 为了克服这种缺陷, 量子催化操作^[21,22]是一种可行的和较为成功的方案. 在催化过程中, 辅助模的光子似乎看起来没有变化, 但是却能够促进主通道模之间的量子态转换, 从而避免了通信双方的信息量丢失. 最近, 这种量子催化被应用于传统的高斯调制协议^[20,23]. 特别是, 在零光子催化的情况下, 它不仅能展现出较高的成功概率, 还能在连续变量量子密钥分发性能上优于光子扣除操作的情况.
基于量子催化的使用优势, 本文提出了一种离散调制连续变量量子密钥分发方案, 主要关注量子催化用来改善离散调制协议的性能. 具体安排如下: 第2节阐述离散调制协议和量子催化, 其一是简要回顾离散调制协议的纠缠模型, 同时给出四态协议在集体攻击下的渐近密钥率, 其二是将量子催化运用于离散调制协议中, 导出零光子催化对输入-输出量子态之间的作用; 第3节详细地讨论和分析不同参数下量子催化对离散调制协议的性能影响; 最后, 第4节是本文的主要结论.

2.离散调制协议和量子催化

首先从纠缠型的视角来回顾离散调制协议, 尤其是传统的四态调制协议, 同时给出该协议在集体攻击下的渐近密钥率计算. 随后, 将量子催化运用于离散调制协议中, 具体地分析零光子催化对信息载体的贡献, 并导出量子态输入-输出的关系.
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2.1.四态调制协议

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2.1.四态调制协议

在标准的制备-测量型四态调制协议中, Alice通过采用高斯调制器制备和调制出一个四进制的相干态$\big\{ {\left| {{\alpha _k}} \right\rangle } \big. = \big. {\left| {\alpha {{\rm{e}}^{{\rm{i}{\text{π} }}\left( {2 k + 1} \right)/4}}} \right\rangle,\; k = 0,\; 1,\; 2,\; 3} \big\}$

, 并且通过高斯信道发送给Bob. 当Bob接收量子态$\left\{ {\left| {{\alpha _k}} \right\rangle } \right., \left. \;{ k = 0,\; 1, \;2,\; 3} \right\}$

后, 对其正交分量(x和p)进行零差探测或者外差探测. 最后, 经过经典后处理, Alice和Bob共享一串密钥.
虽然制备-测量型协议易于实际操作, 但是在安全性能分析方面却显得无能为力. 为此, Leverrier和Grangier^[11]提出了一种纠缠型四态调制协议, 正如图1所示. Alice制备一种双模纠缠态$\left| {{\varphi _{{\rm{AB}}}}\!\left(\! \alpha \right)} \right\rangle $

, 对A模进行投影测量${\displaystyle\sum\nolimits_{k = 0}^3 {\left| {{\psi _k}} \right\rangle } _{\rm{A}}}\left\langle {{\psi _k}} \right|$

, 则将待发送的量子态塌缩到相应的态${\left| {{\alpha _k}} \right\rangle _{\rm{B}}}$

上, 经高斯信道传输给Bob进行零差探测(信道参数: 透射率η和可容忍过噪声ξ). 利用Schmidt分解, Alice所制备的纠缠态可表示为

图 1 纠缠型的零光子催化四态调制协议原理图
Figure1. Schematic diagram of the entanglement-based (EB) model of the four-state modulation protocol using a zero-photon catalysis

$\begin{split}\left| {{\varphi _{{\rm{AB}}}}\left( \alpha \right)} \right\rangle ={}& \frac{1}{2}{\sum\limits_{k = 0}^3 {\left| {{\psi _k},{\alpha _k}} \right\rangle } _{{\rm{AB}}}} \\=\;& {\sum\limits_{k = 0}^3 {\sqrt {{\lambda _k}} \left| {{\phi _k},{\phi _k}} \right\rangle } _{{\rm{AB}}}},\end{split}$

其中

$\left| {{\psi _k}} \right\rangle = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 0}^3 {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {2k + 1} \right)n{\text{π }}/4}}\left| {{\phi _n}} \right\rangle },\tag{2a} $

$\left| {{\phi _k}} \right\rangle = \frac{{{{\rm{e}}^{ - {\alpha ^2}}}}}{{\sqrt {{\lambda _k}} }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{\alpha ^{4n + k}}}}{{\sqrt {\left( {4n + k} \right)!} }}} \left| {4n + k} \right\rangle,\tag{2b} $

${\lambda _{0,2}} = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - {\alpha ^2}}}\left[ {\cosh \left( {{\alpha ^2}} \right) \pm \cos \left( {{\alpha ^2}} \right)} \right],\tag{2c}$

${\lambda _{1,3}} = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - {\alpha ^2}}}\left[ {\sinh \left( {{\alpha ^2}} \right) \pm \sin \left( {{\alpha ^2}} \right)} \right].\tag{2d}$

对于任意的量子密钥分发协议, 安全性是衡量其性能优越性的重要体现. 这种纠缠型四态调制协议通过Alice和Bob未做测量前构建的协方差矩阵为安全性证明提供了便捷. 在上述情况下, Alice所制备纠缠态$\left| {{\varphi _{{\rm{AB}}}}\left( \alpha \right)} \right\rangle $

的协方差矩阵可表示为

${{ \varGamma} _{{\rm{AB}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {VII}&{{Z_4}{\sigma _z}} \\ {{Z_4}{\sigma _z}}&{VII} \end{array}} \right),$

这里$II = {\rm{diag}}\left( {1, 1} \right), {\sigma _z} = {\rm{diag}}\left( {1, - 1} \right), V = 2{\alpha ^2} + 1$

和${Z_4} = 2{\alpha ^2}\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^3 {\dfrac{{\lambda _{k - 1}^{3/2}}}{{\lambda _k^{1/2}}}} $

. 于是, 经过高斯信道后, 态${\rho _{{\rm{A}}{{\rm{B}}_1}}}$

的协方差矩阵则为

${{ \varGamma} _{{\rm{A}}{{\rm{B}}_1}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {VII}&{\sqrt \eta {Z_4}{\sigma _z}} \\ {\sqrt \eta {Z_4}{\sigma _z}}&{\eta \left( {V + \chi } \right)II} \end{array}} \right),$

其中η表示信道的透射率, $\chi = \left( {1 - \eta } \right)/\eta + \xi $

表示高斯信道引入的过噪声.
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2.2.安全密钥率

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2.2.安全密钥率

为了获取四态调制协议的安全码率, 这里首先假设敌手Eve采取集体攻击, 且Alice和Bob使用逆向协商(协商效率为β). 因此, 密钥率可表示为

$K = \beta I\left( {{\rm{A}}:{\rm{B}}} \right) - S\left( {{\rm{B}}:{\rm{E}}} \right),$

这里的$I\left( {{\rm{A}}:{\rm{B}}} \right)$

表示Alice和Bob之间的Shannon互信息, $S\left( {{\rm{B}}:{\rm{E}}} \right)$

表示Bob和Eve之间的互信息.
实际上, Bob采取的零差探测对于密钥率有着显著的影响. 由(5)式可知, 对于零差探测, Alice和Bob之间的Shannon互信息分别表示为

${I_{{\rm{Hom}}}}\left( {{\rm{A}}:{\rm{B}}} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{V + \chi }}{{1+\chi }},$

为了计算出Bob和Eve之间的最大Holevo信息$S\left( {{\rm{B}}:{\rm{E}}} \right)$

, 需借助于传统的高斯调制方案. 根据(4)式可知, 这种四态协议的离散调制协方差表达形式与常用的高斯调制情况相似, 即有

${{ \varGamma} _G}_{{\rm{A}}{{\rm{B}}_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {VII}&{\sqrt \eta {Z_G}{\sigma _z}} \\ {\sqrt \eta {Z_G}{\sigma _z}}&{\eta \left( {V + \chi } \right)II} \end{array}} \right),$

其中${Z_G} = \sqrt {{{\left( {V - 1} \right)}^2} + 2\left( {V - 1} \right)} $

. 因此, 由(3)式和(7)式可得, ${Z_4}$

和${Z_G}$

随V的变化曲线图, 如图2所示. 显然, 当$V < 1.5$

时, ${Z_4}$

与${Z_G}$

不可区分, 这意味着${S_4}\left( {{\rm{B}}:{\rm{E}}} \right)$

$ \approx {S_G}\left( {{\rm{B}}:{\rm{E}}} \right)$

^[11,12]. 于是,

图 2 ${Z_4}$

和${Z_G}$

随调制方差V的变化
Figure2. Both ${Z_4}$

and ${Z_G}$

as a function of the modulation variance V.

${S_4}\left( {{\rm{B}}:{\rm{E}}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^2 {G\left( {\frac{{{\lambda _j} - 1}}{2}} \right)} - G\left( {\frac{{{\lambda _3} - 1}}{2}} \right),$

这里的$G\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\log _2}\left( {x + 1} \right) - x{\log _2}x$

. 此外, 辛本征值${\lambda _{1, 2, 3}}$

可由(4)式协方差矩阵获取, 即

$\lambda _{1,2}^2 = \frac{1}{2}\left( {A \pm \sqrt {{A^2} - 4B} } \right),\tag{9a}$

$\lambda _3^2 = {V^2} - \frac{{{V^2}Z_4^2}}{{V + \chi }},\tag{9b}$

其中

$A = {V^2} + {\eta ^2}{\left( {V + \chi } \right)^2} - 2\eta Z_4^2, \tag{10a}$

$B = {\left( {\eta {V^2} + \eta V\chi - \eta Z_4^2} \right)^2}.\tag{10b}$

2.3.量子催化的离散调制协议

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2.3.量子催化的离散调制协议

将量子催化(浅绿色框)运用于四态调制协议, 如图1所示. 值得注意的是, 为了减少发送端Alice的实验器材成本, 量子催化操作受不可信任方Charlie操控. 此外, 为了便于安全性分析, 这里假设Eve意识到Charlie的存在. 量子催化的概念首次被文献[22]提出. 例如, 对于零光子催化过程, 辅助模C的输入端口注入零光子, 经过透射率为T的分束器后, 开关探测器在输出端口仅探测零光子. 注意, 开关光子探测器的无响应意味着探测到零光子. 于是, 输入的真空态${\left| 0 \right\rangle _{\rm{C}}}$

在辅助模C与模B的待输入量子态${\left| \varphi \right\rangle _{{\rm{in}}}}$

进行分束器干涉; 随后, 开关光子探测器在模C的输出端进行无响应探测. 可见, 尽管在辅助模输入端输入真空态, 输出端探测真空态, 看上去模C没有变化, 但是这种催化效果确实能够促进输入-输出的量子态之间的转换. 为了表述量子态输入-输出的关系, 这里引入一种量子催化等效算符:

${\hat O_0} = {\left( T \right)^{{b^{\dagger } }b/2}}.$

关于更详细的量子催化等效算符的推导可参考文献[9, 20, 21, 23]. 因此, 输入-输出量子态的关系式可表示为

${\left| \psi \right\rangle _{{\rm{out}}}} = \frac{{{{\hat O}_0}}}{{\sqrt {{P_{\rm{d}}}} }}{\left| \varphi \right\rangle _{{\rm{in}}}},$

这里${P_{\rm{d}}}$

表示量子态${\left| \psi \right\rangle _{{\rm{out}}}}$

的归一化系数. 如图1所示, 对于四态调制协议, 传输给Bob的是相干态$\left| {{\alpha _k}} \right\rangle $

. 于是, 催化后的量子态为

$\left| {{{\tilde \alpha }_k}} \right\rangle = \frac{{{\operatorname{e} ^{\frac{1}{2}\left( {T - 1} \right){{\left| {{\alpha _k}} \right|}^2}}}}}{{\sqrt {{P_{\rm{d}}}} }}\big| {\sqrt T {\alpha _k}} \big\rangle, $

其中

${P_{\rm{d}}} = {\operatorname{e} ^{\left( {T - 1} \right){{\left| {{\alpha _k}} \right|}^2}}}.$

根据(13)式可知, 经过零光子催化后, 量子态的振幅变化关系可写成${\tilde \alpha _k}=\sqrt T {\alpha _k}$

. 因此, 只要将2.2节的符号“α”替换成“$\sqrt T \alpha $

”. 特别注意的是, 当T = 1, 输出态简化成输入态形式, 即$\left| {{{\tilde \alpha }_k}} \right\rangle = \left| {{\alpha _k}} \right\rangle $

, 这暗示着不存在任何量子催化效应. 此外, 由于执行零光子催化是一种概率性事件, 使得相应的密钥率公式应改写成:

${K_0} = {P_{\rm{d}}}\left( {\beta I\left( {{\rm{A}}:{\rm{B}}} \right) - S\left( {{\rm{B}}:{\rm{E}}} \right)} \right).$

由(15)式可知, 量子催化的成功概率${P_{\rm{d}}}$

是与密钥率安全性边界(${K_0} = 0$

)密切相关. 若${P_{\rm{d}}}=0$

, 则${K_0} = 0$

. 若$0 < {P_{\rm{d}}} \leqslant 1$

, 则成功概率${P_{\rm{d}}}$

不会影响密钥率的安全性边界. 此外, 根据(14)式, 图3给出了不同的调制方差V = 1.2, 1.3, 1.4, 1.5下量子催化的成功概率${P_{\rm{d}}}$

随透射率T的变化. 显然, 在固定透射率T下, ${P_{\rm{d}}}$

随着调制方差V减小而增大. 当给定调制方差V时, ${P_{\rm{d}}}$

随着透射率T的增加而增大. 这意味着零光子催化易于实现, 极大地促进了输入-输出量子态之间的转换, 从而避免通信双方量子信息的丢失.

图 3 对于不同的调制方差V下量子催化的成功概率${P_{\rm{d}}}$

随透射率T的变化(图中从上往下的虚线分别表示V = 1.2, 1.3, 1.4, 1.5)
Figure3. Success probability of implementing such a zero-photon catalysis as a function of the transmittance T for several different V. The dashed lines from bottom to top correspond to V = 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, respectively.