1.Department of Physics, Renmin University of China, Beijing 100872, China 2.Beijing Key Laboratory of Opto-electronic Functional Materials and Micro-nano Devices, Renmin University of China, Beijing 100872, China
Fund Project:Project supported by the National Key R&D Program of China (Grant No. 2018YFA0306501), the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11434011, 11522436, 11774425), and the Research Funds of Renmin University of China (Grant Nos. 16XNLQ03, 18XNLQ15)
Received Date:19 August 2019
Accepted Date:26 November 2019
Available Online:17 December 2019
Published Online:05 January 2020
Abstract:Artificial synthetic gauge field and spin-orbit coupling has been extensively studied following their experimental realization in ultracold atomic systems. Thanks for the versatile controllability, such systems not only provide possibilities to simulate and study important models in multidisciplinary fields of physics, but also work as an excellent platform to engineer novel states of matter and quantum phenomena. This paper reviews some recent progresses on the study of ultracold atomic systems with spin-orbit coupling, focusing on the effects induced by dissipation, novel interaction forms, large symmetry of spins, and long-range interactions. The investigation in these aspects is closely related to the characteristics of ultracold atomic systems, hence can bring new inspirations and perspectives on the understanding of spin-orbit coupling. In this review, we firstly investigate the appearance of a topological superradiant state in a quasi-one-dimensional Fermi gas with cavity-assisted Raman process. A cavity-assisted spin-orbit coupling and a bulk gap opening at half filling will be induced by the superradiant light generated in the transversely driven cavity mode. The topological superradiant state and the corresponding topological phase transition in the system can be driven by this mechanism. Then, symmetry-protected topological states of interacting fermions will be introduced in a quasi-one-dimensional cold gas of alkaline-earth-like atoms. Raman-assisted spin-orbit couplings in the clock states, together with the spin-exchange interactions in the clock-state manifolds will give rise to symmetry-protected topological states for interacting fermions, by taking advantage of the separation of orbital and nuclear-spin degrees of freedom in these alkaline-earth-like atoms. Furthermore, we show that an exotic topological defect, double-quantum spin vortices, which are characterized by doubly quantized circulating spin currents and unmagnetized filled cores, can exist in the ground states of SU(3) spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensates. It is found that the combined effects of SU(3) spin-orbit coupling and spin-exchange interaction determine the ground-state phase diagram. Finally, we demonstrate that spin-orbit coupling and soft-core long-range interaction can induce an exotic supersolid phase of Bose gas, with the emergence of spontaneous circulating particle current. This implies that a finite angular momentum can be generated with neither external rotation nor synthetic magnetic field, and the direction of the angular momentum can be altered by adjusting the strength of spin-orbit coupling or interatomic interaction. Keywords:spin-orbit coupling/ superradiance/ topological state/ supersolid/ large spin systems
其中$ \tilde{\varDelta}_ {\rm A} = \varDelta_ {\rm A}- \xi_ {\rm A}\displaystyle\sum\nolimits_{j, \sigma}\displaystyle\int {\rm d}x|\varphi_{j\sigma}|^2\cos^2(k_0 x)n_ {\rm F}(\epsilon_j) $, 光腔失谐$ \varDelta_ {\rm A} = \omega_ {\rm A}\!-\! \omega_ {\rm c} $, $ f \!= \!\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum\nolimits_{j, j'}|M_{jj'}|^2[n_ {\rm F}(\epsilon_{j'})- $$n_ {\rm F}(\epsilon_j)]/(\epsilon_j-\epsilon_{j'}) $, $ \kappa $为光腔衰变率. 这里$ M_{jj'} =\displaystyle \sum\nolimits_{\sigma\neq\sigma'}\displaystyle\int {\rm d}x \varphi^{\ast}_{j\sigma}\cos(k_0 x)\varphi_{j'\sigma'} $, 费米-狄拉克分布为$ n_ {\rm F}(x) = 1/( {\rm e}^{(x-\mu)/k_ {\rm B}T}+1) $, $ \mu $为化学势, $ T $为温度, $ k_ {\rm B} $是玻尔兹曼常数. 此外, $ \{ \varphi_{j\uparrow}, \varphi_{j\downarrow} \}^ {\rm T} $为哈密顿量$ p_x^2/2 m+V_0\cos^2 k_0 x+m_z\sigma_z $在能量为$ \epsilon_j $时的本征态, $ \sigma_z $为泡利矩阵. 在SR相变前, 光场强度$ \alpha = 0 $, 且原子处于背景晶格势$ V_0\cos^2(k_0 x) $中. 在SR相变后, 腔模A出现大量光子的宏观占据, 从而改变背景晶格势, 并且在哈密顿量(17)式中诱导产生一个随时空变化的SOC. 这个SOC的变化周期为背景晶格势的两倍. 当腔模A强度较弱时, 可以忽略不同能带的带间耦合, 并利用单带紧束缚极限下的规范变换$ \{ \hat{\psi}_{\uparrow}\rightarrow\hat{\psi}_{\uparrow}, \hat{\psi}_{\downarrow}\rightarrow - {\rm i} {\rm e}^{ {\rm i}k_0 x}\hat{\psi}_{\downarrow} \} $, 将哈密顿量(17)式映射为一个手性拓扑绝缘体的哈密顿量. 在能带为半满状态且塞曼场低于一个临界值时, 这个哈密顿量的基态是拓扑非平庸的[77]. 当$ \eta_ {\rm A} $增大时, 带间耦合作用变得不可忽略, 同时单带紧束缚近似不再适用. 尽管如此, 我们发现即使在深SR区域, 拓扑性质依然存在. 首先在开边界条件且$ m_z = 0 $的有限尺寸晶格中对角化等效哈密顿量(17)式, 同时对腔场进行自洽求解. 计算得到的腔场强度和能谱分别如图3(a)和图3(c)所示. 从图中可以明显看出, 只要泵浦强度超过一个临界值, 一对如图3(d)所示的拥有局域波函数的零模将会在超辐射诱导的体能隙中出现. 与此同时, 超辐射相变所对应的序参量会由0变为有限值, 如图3(b)所示. 因此, 在这个系统中伴随腔模的SR相变, 原子体系也展现出拓扑性质, 我们定义为拓扑超辐射(TSR)相. 图 3 开边界条件下准一维晶格中TSR态的一些特征 (a) 腔场强度$ |\alpha| $随有效泵浦$ \eta_ {\rm A} $的变化; (b) 序参量$ \theta(x) $在TSR相变前(点线表示, $ \eta_ {\rm A} = 1 E_{\rm r} $)和相变后(实线和点划线表示, $ \eta_ {\rm A} = 3 E_{\rm r} $)在中心六个格点中的变化情况. 临界点位于$ \eta^ {\rm c}_ {\rm A}\sim 2.05 E_{\rm r} $处. 在TSR相中, 由于自发对称性破缺, 腔场$ \alpha $可以取正值或负值, 对应序参量由实线或点划线表示; (c) 当系统穿过相边界进入TSR态后, 系统会由于超辐射相变打开一个体能隙, 同时出现一对零能的边缘态 (d) 当$ \eta_ {\rm A} = 3 E_{\rm r} $时, 图(c)中的边缘态所对应的实空间波函数. 本图中考虑一个拥有80个格点的半满晶格体系, 体系参数选取为: $ k_ {\rm B}T = E_{\rm r}/200 $, $ m_z = 0 $, $ V_0 = 5 E_{\rm r} $, $ \kappa = 100 E_{\rm r} $, $ \varDelta_ {\rm A} = -10 E_{\rm r} $, $ \xi_ {\rm A} = 5 E_{\rm r} $. 对于$ ^6 {\rm {Li}} $原子, 通过选取$ \kappa\approx7.4 $MHz, $ g_ {\rm A}\approx 27.1 $MHz, $ |\varDelta|\approx 0.74 $MHz, $ \varDelta\approx2 $GHz和$ T\approx17.7 $nK可以满足上述参数条件[76] Figure3. TSR state in a quasi-one-dimensional lattice with open boundary conditions: (a) The cavity field $ |\alpha| $ varies with $ \eta_ {\rm A} $ across the TSR transition; (b) $ \theta(x) $ on the central six sites. The dotted curve corresponds to the $ \theta(x) $ before the TSR phase transition, where $ \eta_ {\rm A} = 1 E_{\rm r} $. The solid and dash-dotted curves to the $ \theta(x) $ after the TSR phase transition, where $ \eta_ {\rm A} = 3 E_{\rm r} $. The transition point is around $ \eta^ {\rm c}_ {\rm A}\approx 2.05 E_{\rm r} $. Because of the spontaneous symmetry breaking, the cavity field of the TSR phase acquires a positive (negative) real part, corresponding to solid (dash-dotted) curve; (c) when the system crosses the phase boundary, a pair of edge states emerge in the superradiance-induced bulk gap. (d) the wave functions of the edge states in (c) with $ \eta_ {\rm A} = 3 E_{\rm r} $. In our calculation, we consider a half-filled lattice of 80 sites, with the parameters $ k_ {\rm B}T = E_{\rm r}/200 $, $ m_z = 0 $, $ V_0 = 5 E_{\rm r} $, $ \kappa = 100 E_{\rm r} $, $ \varDelta_ {\rm A} = -10 E_{\rm r }$, and $ \xi_ {\rm A} = 5 E_{\rm r} $. For $ ^6 {\rm {Li}} $ atoms, these parameters can be satisfied by choosing $ \kappa\approx7.4 $ MHz, $ g_ {\rm A}\approx 27.1 $ MHz, $ |\varDelta|\approx0.74 $ MHz, $ \varDelta\approx2 $ GHz, and $ T\approx17.7 $ nK[76]
23.3.系统稳态相图 -->
3.3.系统稳态相图
通过描绘体系在$ \eta_{\rm A}-m_z $平面的稳态相图, 可以研究体系中TSR相的稳定性. SR相边界可以通过方程(18)计算得到, 而拓扑相边界由体系的拓扑数决定. 通过定义从第一布里渊区到自旋空间的映射, 可以用动量空间中的自旋结构$ \langle {\sigma} \rangle_k = \langle {\sigma}_y \rangle_k{e}_y+\langle {\sigma}_z \rangle_k{e}_z $来定义体系的拓扑数, 其中$ {\sigma}_y $和$ {\sigma}_z $为泡利矩阵. 上式中的期望值由动量空间中最低能带的布洛赫态计算得到. 通过上面提到的映射, 每一个布洛赫态会对应一个位于y-z平面内的自旋, 其单位向量为闭环$ S^1 $的基本组成部分. 因此, 这个体系的环绕数可以通过计算闭环$ S^1 $被覆盖的次数得到. 图4描绘了系统的稳态相图. 当$ m_z < m_{\rm c} $时, 费米气体在超辐射相变前处于一个没有能隙的金属(metallic, M)态. SR相变将会在有限动量处打开一个能隙. 这是由于腔模A的光场周期是背景晶格势周期的两倍, 所以拉曼过程可以等效为一个光腔诱导的SOC, 可以将不同超精细能级和跨越半布里渊区有不同动量的费米子耦合在一起. 更重要的是, 我们发现腔模A中SR光的产生和体能隙的打开都伴随着费米气体中拓扑性质的改变. 因此系统此时处于一个新奇的TSR相, 对边缘态和环绕数计算都可以确认此时的拓扑属性. 图 4 有限温度$ k_{\rm B}T = E_{\rm r}/200 $时系统的稳态相图. 图中实线为TSR相边界, 点线为TSR态和普通SR态间的拓扑相边界. 在$ m_{\rm c}\approx 0.132 E_{\rm r} $处的细虚线为金属态(M)和绝缘态(I)间的边界. 点划线为普通SR相与绝缘相的边界. 不同的相边界汇聚于$ \eta_{\rm A}\approx 2.614 E_{\rm r} $, $ m_{\rm c}\approx0.132 E_{\rm r} $处(如图中四相点所示). 图中其他参数与图(2)一致. 内嵌图展示了与大图中箭头对应的相变前后体能隙的变化. 图中实线为相变前的能带, 虚线为相变后的能带, 点线为相边界上的情况[76] Figure4. The phase diagram of steady-state with $\small k_{\rm B}T $$ = E_{\rm r}/200 $. The solid curve corresponds to the TSR phase boundary, and the topological phase boundary between the TSR and the trivial SR states corresponds to dotted curve. The thin dashed curve at $ m_{\rm c}\approx0.132 E_{\rm r} $ is the boundary between the M and the I states, and the dash-dotted curve is the conventional SR phase boundary. At the tetracritical point (dot) with $ \eta_{\rm A}\approx2.614 E_{\rm r} $ and $ m_{\rm c}\approx0.132 E_{\rm r} $, the various boundaries merge. Other parameters are the same as those used in Fig. 2. Inset: change of bulk gap before (solid), after (dashed), and right (dotted) at the phase boundaries labeled by arrows[76]
鉴别一维非平庸拓扑相的通常做法是检测基态纠缠谱中的简并度. 纠缠谱可以定义为$ \xi_i = -\ln(\rho_i) $[138-144], 其中$ \rho_i $是约化密度矩阵$ { {\hat{\rho}}}_{\rm L} = {\rm{Tr}}_{\rm R}|\psi\rangle\langle\psi| $的本征值, $ |\psi\rangle $为体系基态, 脚标L和R与一维链的左半部分和右半部分相对应. 由于纠缠谱$ \xi_i $与边缘激发态能谱相似, 所以只要$ \xi_i $的本征值是简并的, 就意味着系统会出现拓扑非平庸性质[144]. 我们首先介绍固定参数$ U $, $ \varGamma^{\alpha}_z $和$ t_{\rm{so}} $条件下, 不断增大自旋交换相互作用$ V_{\rm{ex}} $的情况. 图6(a)描绘了约化密度矩阵四个最小本征值的纠缠谱随$ V_{\rm{ex}}/t_{\rm s} $的变化情况. 从图中可以看出尽管在$ V_{\rm{ex}} = 0 $时纠缠谱中本征态是四重简并的, 但当$ V_{\rm{ex}} $较弱时部分简并消失. 由于纠缠谱的简并性通常等于对称群中不可约投影表示的维度, 所以简并度破缺可以理解为此投影表示被约化为了不同的不可约表示. 对于排斥相互作用($ V_{\rm{ex}} > 0 $), 当相互作用强度超过临界点$ V_{\rm{ex}}^{\rm c}/t_{\rm s}\approx1.69 $时纠缠谱将不再简并. 由于在临界点两侧不存在局域对称性破缺序, 所以穿过临界点就标志着发生从有相互作用SPT相到平庸相的拓扑相变. 对于吸引相互用区域($ V_{\rm{ex}} < 0 $), 即使在$ |V_{\rm{ex}}| $很大时, 非平庸SPT相依然存在. 图 6 (a) 本征值最小的四个纠缠谱$ \xi_i(i = 1, 2, 3, 4) $随自旋交换相互作用的变化; (b) 开边界条件下, 在格点数$ N = 60 $的光晶格链中, 二阶Rényi熵$ S_2 $和von Neumann熵$ S_{\rm{vN}} $随$ V_{\rm{ex}}/t_s $的变化情况; (c) 周期边界条件下, 在格点数$ N = 12 $的光晶格链中, 体能隙$ E_{\rm {gap}} $的变化情况. 内嵌图为体能隙在临界点处随$ 1/N $的变化情况. 图中线性拟合的红色实线给出大$ N $极限下$ E_{\rm {gap}}/t_{\rm s}\approx-0.02\pm0.05 $; (d) 临界点$ V_{\rm{ex}}/t_s = 1.694 $处, 长度为$ j $且格点数$ N = 120 $的子链中von Neumann熵随$ \sin({\text{π}} l/N) $的变化. 通过线性拟合$ S_{\rm{vN}} = (C/6)\ln[\sin({\text{π}} l/N)]+1.87 $, 可以得到中心荷(central charge)$ C = 1.018 $. 图中所有计算均在半满状态下进行, 且固定参数$ \varGamma^{g/e}_z = 0 $, $ U = 0 $, $ t_{\rm{so}}/t_{\rm s} = 0.4 $[128] Figure6. (a) The entanglement spectrum $ \xi_i(i = 1, 2, 3, 4) $; (b) in a chain with $ N = 60 $ lattice sites and under open boundary conditions, the second-order Rényi entropy $ S_2 $ and the von Neumann entropy $ S_{\rm{vN}} $ vary with $ V_{\rm{ex}}/t_{\rm s} $; (c) in a chain with $ N = 12 $ lattice sites and under the periodic boundary condition, the bulk energy gap $ E_{\rm {gap}} $ varies with $ V_{\rm{ex}}/t_{\rm s} $. Inset: The bulk gap as a function of $ 1/N $ at the critical point, and the red solid line is a linear fit with $ E_{\rm {gap}}/t_{\rm s}\approx-0.02\pm0.05 $ in the large-N limit. (d) in a chain with $ N = 120 $ lattice sites and at the critical point $ V_{\rm{ex}}/t_s = 1.694 $, the von Neumann entropy of a subchain of length $ l $ varied with $ \sin({\text{π}} l/N) $. The solid line is the linear fit with $ S_{\rm{vN}} = (C/6)\ln[\sin({\text{π}} l/N)]+1.87 $ and $ C = 1.018 $. The central charge is 6 times the slope of the linear fit. All calculations are performed at half filling and with the fixed parameters $ \varGamma^{g/2}_z = 0 $, $ U = 0 $, and $ t_{\rm{so}}/t_{\rm s} = 0.4 $[128]
通过对熵和体能隙的计算, 可以进一步确定由相互作用驱动的拓扑相变发生的位置. 如图6(b)所示, 二阶Rényi熵$ S_2 = -\log{\rm{Tr}}({ {\hat{\rho}}}^2_{\rm L}) $[145-149]和von Neumann熵$ S_{\rm{vN}} = -{\rm{Tr}}_{\rm L}[{ {\hat{\rho}}}_{\rm L}\log\hat{\rho}_{\rm L}] $在临界点处都会出现突变. 图6(c)描绘了在周期边界条件下格点数$ N = 12 $的晶格中半满状态下体能隙的变化情况. 当系统穿过临界点时, 体能隙会在热力学极限下闭合(如内嵌图所示)然后再次打开, 这是一个典型的连续拓扑相变过程. von Neumann熵在临界点处的突变指示了连续相变的发生, 而由此产生的中心荷可以反映相变的种类. 图6(d)描绘了长度为$ l $的子链的von Neumann熵随$ \ln[\sin({\text{π}} l /N)] $的变化. 从图中曲线的斜率可以计算出中心荷$ C $[150,151]约为$ C\approx1.018 $, 与Luttinger液体中的$ C $值接近(Luttinger液体中$ C = 1 $). 此外, 自旋关联$ \langle \hat{S}_{i\alpha x}\hat{S}_{j\alpha x} \rangle $($ \hat{S}_{i\alpha x} $为$ i $格点处并处于$ \alpha $轨道的原子沿$ x $轴方向的自旋算符)在临界点处将呈现出系数约为$ 1.38 $的指数衰减. 此外, 原子在两个轨道间的在位密度差也会在临界点附近出现相似的指数衰减行为, 其衰减系数约为$ 2.1 $, 可以被看作在轨道自由度中的自旋关联. 这些结果表明, 体系在临界点处为Luttinger液体. 图7展示了由纠缠谱和熵的数值结果给出的体系相图. 通过计算相应的局域量, 可以进一步确定相图中的拓扑平庸态, 例如轨道或自旋梯级单态(orbital or spin rung-singlet, ORS or SRS)、电荷密度波(charge-density wave, CDW)态和轨道密度波(orbital-density wave, ODW)态. 正如前文讨论过的, 当$ U = 0 $时, 体系的多体基态将经历从拓扑(topological, T)非平庸态到平庸态的转变. 在图7中, 选择的SOC强度为$ t_{\rm{so}}/t_{\rm s} = 0.4 $. 如果从T态开始减小$ t_{\rm{so}} $值, 在临界值$ t_{\rm{so}}^{\rm c} $处将发生拓扑相变, 体系在$ t_{\rm{so}} < t_{\rm{so}}^{\rm c} $时转变为拓扑平庸的. 此发现进一步强调了SOC在稳定拓扑相方面起到的重要作用. 另外, 我们也发现在有限塞曼场$ \varGamma^{\alpha}_z $中可以得到类似的相图. 图 7 格点数$ N = 60 $且处于半满状态下的体系相图, 其中$ \varGamma^{\alpha}_z = 0 $[128] Figure7. The phase diagram of a lattice with $ N = 60 $ sites at half filling with $ \varGamma^{\alpha}_z = 0 $[128]
其中$ \bar{n} = |\alpha_1 |^2+|\alpha_2 |^2+|\alpha_3 |^2 $为平均粒子数密度. 通过最小化与$ |\alpha_i|^2 $有关的相互作用能量, 可以发现自旋相互作用会显著影响体系的相图. 当$ c_2 > 0 $时, 通过最小化能量可得$ |\alpha_1 |^2 = $$|\alpha_2 |^2 = |\alpha_3 |^2 = \bar{n}/3 $, 这意味着系统基态是一个由三个单粒子最小值等权叠加的三角晶格相. 另一方面, 当$ c_2 < 0 $时, 系统更倾向于成为一个满足参数$ |\alpha_1 |^2 \!=\! \bar{n}, |\alpha_2 |^2 \!=\! |\alpha_3 |^2 \!=\! 0 $或$ |\alpha_2 |^2\!=\! \bar{n}, |\alpha_1 |^2 \!=\! |\alpha_3 |^2 \!=\! 0 $或$ |\alpha_3 |^2 = \bar{n}, |\alpha_1 |^2 = |\alpha_2 |^2 = 0 $的态, 这意味着基态占据在动量空间的某一个最小值处, 形成一个三重简并的磁化相. 在SOC比较强的情况下, 体系的化学势主要由SOC决定, 上面介绍的变分波函数(23)式—(25)式可以比较好地描述体系的性质. 而对于SOC强度较弱, 相互作用相对较强的情况, 则必须依赖于数值模拟来得到体系的多体基态. 在这种情况下, 我们发现在$ c_2\gg\kappa^2 $条件下将会出现在动量空间中有两个最小值布局的条纹相. 通过虚时演化方法最小化与哈密顿量(22)式对应的能量泛函, 可以数值得到体系的多体基态. 研究表明, 数值计算的结果与上文讨论的变分结果在弱相互作用区间$ c_2 \lesssim\kappa^2 $内基本一致. 图9描绘了有SU(3)自旋轨道耦合的旋量BEC中两种可能存在的基态. 当$ c_2 > 0 $时, 如图9(a)-图9(d)所示, 体系中三种成分互不相融, 并且排列成一个相互交错, 且有空间平移对称性自发破缺的三角晶格. 如图9(d)所示, 此晶格为拓扑非平庸且在其中镶嵌有涡旋和反涡旋. 因此, 晶格相可以在有SU(3)自旋轨道耦合的均匀BEC中稳定存在. 与之形成鲜明对比的是, 在 SU(2)的系统中一般需要外加一个强简谐束缚势阱[160]. 关于涡旋的性质将在下文讨论. 另一方面, 如图9(e)和图9(f)所示, 当$ c_2 < 0 $时, 体系三种成分混合在一起, 同时体系将形成一个具有空间平移对称性, 但时间反演对称性破缺的磁化相. 由于存在自发对称性破缺, 磁化相将占据在单粒子谱三个简并基态中的一个. 因此磁化相是三重简并的, 而在SU(2)情况中为二重简并[164]. 图 9 有SU(3)自旋轨道耦合的BEC中的两种不同相 (a)?(d) 存在反铁磁自旋相互作用时($ c_2 > 0 $)的拓扑非平庸晶格相. 图(a)中的高度和颜色分别代表$ \varPsi_1 $的密度和相位. 在图(b)中, 一个单胞中呈现出涡旋(白色圆圈)和反涡旋(黑色圆圈)的位置. 图(c)和图(d)分别展示了晶格相的动量分布和相分离结构的示意图; (e), (f) 存在铁磁自旋相互作用时($ c_2 < 0 $)的三重简并磁化相. 图(e)和图(f)分别展示了$ \varPsi_1 $在实空间和动量空间的分布[162] Figure9. Two distinct phases of SU(3) spin-orbit-coupled BECS: (a)?(d) The topologically nontrivial lattice phase with antiferromagnetic spin interaction ($ c_2 > 0 $). (a) The heights and colors correspond to the density and phase of $ \varPsi_1 $ respectively, (b) the positions of vortices (white circles) and antivortices (black circles) in the phase within one unit cell, (c) the corresponding momentum distributions, (d) the structural schematic drawing of the phase separation; (e), (f) the threefold-degenerate magnetized phase for ferromagnetic spin interaction ($ c_2 < 0 $). (e) the density and phase distributions of $ \varPsi_1 $, (f) the corresponding momentum distributions[162]
然而, 对于参数为$ c_2\gg\kappa^2 $的强反铁磁自旋相互作用, 系统可能会出现动量空间中三个最小值中的两处被占据的条纹相. 通过将动量空间中两点或三点最小值处被占据的态作为试探波函数, 同时结合虚时演化, 可以找到相对应的最优基态能量. 图10(a)描绘了原子间相互作用强度为不同值时晶格相和条纹相的能量对比情况. 从图中可以明显发现当原子间相互作用强度超过一个临界值时, 条纹相的能量将低于晶格相中能量. 如图10(d)所示, 由于垂直于条纹方向存在有限值动量, 空间平移和时间反演对称性都会发生破缺(如图10(b)和图10(c)所示). 这一点也显著区别于SU(2)自旋轨道耦合诱导产生的条纹相[152]. 图 10 (a) 晶格相和条纹相的能量对比; (b)?(d) 参数$ c_2 = 20\kappa^2 $和$ c_0 = 10 c_2 $时, 条纹相基态的密度、相位和动量的分布[162] Figure10. (a) Energy comparison between the lattice and stripe phases. The solid (lattice state) and dashed (stripe state) lines correspond to the energy difference $ \Delta E $ between the numerical simulation and the variational calculation; (b)?(d) the ground-state density, phase and momentum distributions of the stripe phase with the parameters $ c_2 = 20\kappa^2 $ and $ c_0 = 10 c_2 $[162]
其中, 当核心部分为自旋向上(自旋向下)时, 方向$ { {\hat{e}}}_{+\varphi} $($ { {\hat{e}}}_{-\varphi} $)为逆时针方向(顺时针方向). 可以发现, 粒子流中正则部分和规范部分通常会有相反的环绕方向, 以此来保证能量最小化. 特别是对于强SOC的情况, 规范部分将扮演很重要的角色. 同时如图14(a)和图14(b)中的数值计算结果所示, 粒子环绕方向和涡旋中心自旋取向满足左手定则. 对于Dresselhaus类型的SOC, 利用类似的分析可以得到粒子流表达式: 图 14 由Rashba类型SOC((a), (b))和Dresselhaus类型SOC((c), (d))诱导产生的粒子流$ {{j}} $和自旋的径向磁化$ {{S}}_z $. 其中颜色从蓝到红代表$ {{S}}_z $从小到大, 黑色箭头代表环流方向$ {{j}} $. 本图中参数与图12相同[200] Figure14. Particle currents $ {{j}} $ and longitudinal magnetizations $ {{S}}_z $ of the spin induced by Rashba spin-orbit coupling ( (a), (b)) and Dresselhaus spin-orbit coupling ((c), (d) ). $ {{S}}_z $ and $ {{j}} $ are represented by the color map and black arrows, respectively. The colors ranging from blue to red represent the values from the minimum to the maximum. The parameters used here are same as those in Fig. 12[200]
图 1 (a) 一维自旋轨道耦合的实验实现方案； (b) 利用tripod方案实现二维人造规范 势的方案；(c) 利用Raman晶格实现二维人造自旋轨道耦合的实验方案
图 2 (a)准一维费米气体与双模光腔耦合的示意图. 在腔轴向(沿
图 3 开边界条件下准一维晶格中TSR态的一些特征 (a) 腔场强度
图 4 有限温度
图 5 (a) 处在拉曼光中的准一维超冷原子气体; (b) 通过拉曼过程耦合的原子能级示意图. 图中绿色曲线指示了不同轨道态之间的自旋交换相互作用. 通过利用与自旋相关的激光频移, 可以将图中的四个核自旋态与其他核自旋态分离开来进行操控[128]
图 6 (a) 本征值最小的四个纠缠谱
图 7 格点数
图 8 旋量BEC中产生SU(3)自旋轨道耦合的原理图 (a) 激光作用. 三束有不同频率和偏振的激光, 以
图 9 有SU(3)自旋轨道耦合的BEC中的两种不同相 (a)?(d) 存在反铁磁自旋相互作用时(
图 10 (a) 晶格相和条纹相的能量对比; (b)?(d) 参数
图 11 有SU(3)自旋轨道耦合的反铁磁旋量BEC中的涡旋结构. 图中描绘了三个自旋分量中的涡旋排列. 三种类型的涡旋包括: 一个不同自旋分量的环绕数组合为
图 12 有SU(3)自旋轨道耦合的反铁磁自旋BEC中的自旋双涡旋 (a)横向磁化的空间分布, 其中颜色表示磁化方向; (b), (c)分别描绘了纵向磁化和总磁化幅度
图 13 由Rashba类型SOC和软核长程相互作用诱导产生的手性超固体. 图中的亮度和颜色分别表示密度和相位分布. 软核长程相互作用在图(a)和图(b)中为
图 14 由Rashba类型SOC((a), (b))和Dresselhaus类型SOC((c), (d))诱导产生的粒子流
图 15 (a) 通过改变软核长程相互作用强度
