摘要:根据分形的自相似性理论提出一种分形稀疏孔径阵列结构. 该阵列是以Golay-3为分形结构单元, 按自相似方式扩展构成的一种多层分形阵列结构. 采用无量纲约化参数对其结构进行表征, 给出光瞳函数和调制传递函数解析表达式. 通过数值计算分形结构在不同填充因子和不同外层旋转角下的调制传递函数、实际截止频率和中频特性, 比较分析了当孔径数分别为N = 3, N = 9, N = 18阵列的MTF及特性参数. 结果表明, 当填充因子为$ 0.0952 < F \leqslant 0.2246$时, 其变化对MTF曲线影响较小. 外层旋转具有周期性, 转角的变化对实际截止频率没有大的影响. 当约化孔径参数$ {d_0} = 1$, 填充因子为22.46%时, N = 18阵列的中频特性更加平稳, 实际截止频率也更高. 利用分形自相似性可以在相对保持中频特性的前提下有效地扩展系统孔径. 由于采用约化孔径参数, 数值计算结果具有标度不变性.
关键词: 分形结构/
稀疏孔径阵列/
光瞳函数/
调制传递函数

English Abstract

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空间遥感对于高分辨率图像的要求不断提高. 对于单孔径(主镜)望远镜而言, 越高的空间分辨率需要越大的孔径^[1-3]. 光学系统的角分辨率δ正比于工作波长λ与入瞳口径D之比^[4], 增大光学系统的孔径是提高空间分辨率的传统方法. 但是光学系统的重量、体积和制造检测的难度, 也会随着口径的急剧增大而无法承受^[4,5]. 于是综合孔径成像技术应运而生^[6]. 综合孔径成像又称稀疏孔径成像, 它通过多个子孔径光学系统的合理排布, 以达到增加系统孔径、提高成像质量的目的. 由于子镜系统的体积和重量相对较小, 综合系统的制造和检测难度也相应降低^[7,8]. 因为稀疏孔径成像有较大的中频损失, 所以子镜阵列结构的优化设计和中频补偿是综合孔径成像系统的关键技术之一^[9-11].
1971年, Golay^[12]最先提出一种稀疏孔径结构, Golay结构因有较高紧密性和较小冗余度而被广泛应用. 1988年, Cornwell^[13]对二维圆周阵列进行优化, 给出3—12个子孔径在圆周上最优的无冗余布局. 目前, 国际上在阵列结构优化和中频补偿方面已有广泛的研究^[14,15]. 国内对稀疏孔径成像也有较多的研究. 苏州大学曾提出了一种复合三子镜稀疏孔径结构^[16]. 北京工业大学提出一种建立在典型光学稀疏孔径阵型基础上的复合孔径阵列结构^[3,17]. 北京航天航空大学在均匀圆周阵列的基础上提出一种多圆周阵列的稀疏孔径结构^[18,19]. 此外, 北京航天航空大学^[20,21]、南京理工大学^[22]、中国科学院西安精密研究所^[10]和本课题组^[23]都陆续对稀疏孔径系统进行了优化和仿真成像分析^[24].
分形是具有自相似性、无标度性和自仿射性的一类结构^[25]. 典型的分形如康托集、柯赫曲线和皮亚诺曲线. 分形结构通常在不同尺度上有着某种自相似的性质, 也就是局部形态和整体形态的相似. 根据分形结构的自相似和多尺度特点, 本文提出一种基于分形结构的稀疏孔径阵列, 用于综合孔径成像系统, 并分析此阵列结构的性能指标.

本节给出一种基于Golay-3为单元的分形结构阵列的设计分案. Golay-3是一种最小的非冗余稀疏孔径结构, 其子孔径圆心位于正三角形顶点, 正三角形边长D是该结构的特征长度. 特征长度的层层递增可以构成自相似结构, 达到扩展阵列口径的目的. 设阵列结构的层数为n, ${D_1},{D_{{\rm 2}}},{D_3}, \cdots,$${D_n} $分别为各层的特征长度, 其中${D_1}$称为分形单元基线. 从第二层开始, 各层正三角形中心均位于同一点. 在各层三角形顶点处均放置一个分形单元依次层层嵌套, 向外拓展. 分形阵列结构层数n与子孔径总数N递推关系为

${N_1} = 3,{N_2} = {N_1} + 6,{N_{n+1}} = {N_n} + 9 \;\left( {n \geqslant 2} \right).$

在图1中, ${R_1},{R_2},{R_3}, \cdots,{R_n}$分别为各层外接圆半径, 子孔径直径为${D_0}$, 各层外接圆半径与特征长度的关系由(2)式给出.
图 1 分形阵列结构
Figure1. Fractal array configuration.

$\begin{split}& {R_1} = \frac{{{D_1}}}{{\sqrt 3 }} + \frac{{{D_0}}}{2},{R_2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( {{D_2} + {D_1}} \right)+\frac{1}{2}{D_0}, \\& {R_{n + 1}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{D_n} + \frac{{\sqrt 3 + 1}}{3}{D_1} + \frac{1}{2}{D_0} \;\left( {n \geqslant 2} \right) .\end{split}$

考虑各层方位的相对变化情况, 第n层相对于X轴的旋转角称为n层旋转角${\theta _n}$. 本文考虑$n = 3,{\theta _1} = 0,{\theta _2} = 0,{\theta _3} = \theta $的情况, 通过改变${D_1},{D_2},{D_3}$的大小及第三层旋转角${\theta _3} = \theta $, 分析其结构和性能特征. 为了保证旋转时各层子孔径不重叠, 对特征长度做如下约束:

$\begin{split}& {D_3} = \sqrt 3 {D_0} + 2{D_1} + {D_2}, \\ & {D_2} \geqslant {D_0} + \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{D_1}. \end{split} $

此时, 孔径的光瞳结构如图1所示, 光瞳函数可以表示为

$\begin{aligned}& P\left( {x,y} \right) = {{\rm circ}}\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{{{R_0}}}} \right) * \left[ {\sum\limits_{i,j}^{3,2} {\delta \left( {x - {r_{ij}}\cos {\theta _{ij}},y - {r_{ij}}\sin {\theta _{ij}}} \right) + } \sum\limits_{m,n}^{3,2} {\delta \left( {x - {r_{mn}}\cos {\theta _{mn}},y - {r_{mn}}\sin {\theta _{_{mn}}}} \right)} } \right],\\& n = 2, ~\left\{ \begin{aligned}& {r_{i0}} = {R_2} - {R_{{\rm 1}}}, \\& {r_{ij}} = {\left[ {{{\left( {\frac{{{D_1}}}{2}} \right)}^2} + \left( {\frac{{\sqrt 3 {{\left( {2{D_2} - {D_1}} \right)}^2}}}{6}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}},\end{aligned} \right. ~~\left\{ \begin{aligned}& {\theta _{01}} = {\tan ^{ - 1}}\theta \left( {\frac{{3{D_1}}}{{\left( {2{D_2} - {D_1}} \right)\sqrt 3 }}} \right),\\& {\theta _{i0}} = \frac{{2{{\text{π}}}}}{3}\left( {i - 1} \right)\:\left( {i = 1,2,3} \right),\\& {\theta _{ij}} = {\theta _{i0}} + {\left( { - 1} \right)^j}{\theta _{01}} \;\left( {j = 1,2} \right),\end{aligned} \right.\\& n = 3,~\left\{ \begin{aligned}& {r_{m0}} = {R_3} - {R_{{\rm 1}}},\\& {r_{mn}} = {\left[ {{{\left( {\frac{{{D_1}}}{2}} \right)}^2} + \left( {\left( {{R_3} - {R_1}} \right) - \frac{{\sqrt 3 {D_1}}}{6}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}},\end{aligned} \right.~ \left\{ \begin{aligned}& {\theta _{02}} = {\tan ^{ - 1}}\theta \left( {\frac{{{D_1}/2}}{{\left( {{R_2} - {R_1}} \right) - {D_1}\sqrt 3 /6}}} \right),\\& {\theta _{m0}} = \frac{{{\text{π}}}}{3}\left( {2m - 1} \right)\:~\left( {m = 1,2,3} \right),\\& {\theta _{mn}} = {\theta _{m0}} + {\left( { - 1} \right)^n}{\theta _{02}} ~\;\left( {n = 1,2} \right),\end{aligned} \right.\end{aligned}$

其中circ()为圆函数, *表示卷积.
为了使得计算结果具有普适性, 现以${D_1}$为单位将特征长度无量纲化, 得到以下约化参数

$\begin{split}& {d_{{\rm 0}}} = {{{D_0}} / {{D_1}}},{d_2} = {{{D_2}} / {{D_1}}},{d_{{\rm 3}}} = {{{D_3}} / {{D_1},}}\\& {r_{{\rm 1}}} = {{{R_1}} / {{D_1}}}, {r_2} = {{{R_2}} / {{D_1}}}, {r_{{\rm 3}}} = {{{R_3}} / {{D_1},}}\end{split}$

$n = 3$时, 独立的特征长度有4个$\left( {{D_0} - {D_3}} \right)$, 约化后的特征长度有3个$\left( {{d_0},{d_2},{d_3}} \right)$. 在(3)式的约束下, 独立的特征长度仅剩下一个${d_0}$, 且取值范围为$0 < {d_0} \leqslant 1$.
该分形结构阵列的几何特征包括填充因子和包围圆半径. 填充因子F定义为稀疏孔径通光面积(子孔径通光面积之和)与包围孔径面积的比值. 下式是$n = 3$时的填充因子表达式

$F\left( {{d_0}} \right) = \frac{{N\left( {{{{d_0}} / 2}} \right)}}{{{r_3}^2}} = \frac{{9N{d_0}^2}}{{{{\left( {4 + 6\sqrt 3 +\left( {{{ 9 + 2}}\sqrt 3 } \right){d_0}} \right)}^{{\rm 2}}}}}.$

由此可知, 填充因子的改变仅由子孔径直径${d_0}$决定. 当${d_0} = 1$时, 填充因子达到最大值

${F_{\max }} = \frac{{9N}}{{{{\left( {{{\rm 13}} + {{\rm 8}}\sqrt 3 } \right)}^{{\rm 2}}}}} = 22.46\% .$

图2(a)是子孔径直径${d_0}$与填充因子F的关系图. 由图可见, 随着${d_0}$的增大, 填充因子F单调增大.
图 2 结构特征　(a)子孔径直径与填充因子曲线图; (b)结构层数与包围圆半径关系
Figure2. Configurationcharacteristics: (a) Sub-aperture diameter and fill factor curve; (b) the relationship of the number of fractal configuration and the radius of aperture.

在(2)式约束条件下分形阵列结构的包围圆半径${R_n}$与${d_0}$的关系为

${R_n} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{N_n}{d_0}^2}}{{F\left( {{d_0}} \right)}}}. $

图2(b)是包围圆半径与层数n的关系. 如果取消(2)式的限制, 系统口径将随着层数的增加而迅速增加.

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3.1.调制传递函数

设稀疏孔径系统每一个子孔径均为无遮拦圆形光瞳, 则任意结构的调制传递函数(modulation transfer function, MTF)为^[4]

$\begin{split}{\rm MTF} =\; & {{\rm MTF} _d}+\frac{{{\rm 1}}}{N}{{\rm MTF} _d}*\sum\limits_{j = 1}^{N - 1}\sum\limits_{k = j + 1}^N \\ & \times{\delta \left( {{f_x} \pm \frac{{{x_j} - {x_k}}}{{\lambda f}},{f_y} \pm \frac{{{y_j} - {y_k}}}{{\lambda f}}} \right)} ,\end{split}$

式中${{\rm MTF} _d}$为与子孔径相同大小的单孔径非衍射受限系统的MTF, 表达式为

$\begin{aligned}\!\!{\rm{MT}}{{\rm{F}}_d} \!=\! &\left\{\!\begin{aligned}& {\dfrac{2}{{\text{π}}}\bigg\{ {\arccos \dfrac{\rho }{{{\rho _{dc}}}} \!-\! \dfrac{\rho }{{{\rho _{dc}}}}{{\bigg[{1 \!-\! {{\Big( {\dfrac{\rho }{{{\rho _{dc}}}}} \Big)}^2}} \bigg]}^{1/2}}} \bigg\}}, \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad {0 \leqslant \rho \leqslant {\rho _{dc}}},\\& {0,} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad {\rho > {\rho _{dc}}},\end{aligned}\right.\\& {\rho _{dc}} = \dfrac{d}{\lambda f};~~ \rho = \sqrt {{f_x}^2 + {f_y}^2} \end{aligned}$

式中$\left( {{x_j} - {x_k},{y_j} - {y_k}} \right)$表示子孔径的相对位置. 显然, 稀疏孔径的MTF由子调制传递函数分布在二维频率域内的不同位置决定, 子孔径中心点阵的二维相关点阵决定二维频率点的位置. 故可以调节子孔径的相对位置, 使之达到实际使用时对传递函数的要求. 填充因子F取22.46%时, 分形结构对应的MTF如图3. 从图中可知, 与全孔径系统相比, 分形阵列结构的MTF的旁瓣增多, 中高频区域有很大的衰减. 其MTF总体上呈六角边形分布, 在60°的整数倍方向取到最大截止频率.
图 3 分形阵列MTF(F = 22.46%)　(a)三维MTF; (b) MTF俯视图
Figure3. MTF of fractal array (F = 22.46%): (a) There-dimensional MTF; (b) top-view MTF.

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3.2.子孔径直径变化对MTF的影响

采用无量纲方法将孔径参数约化后, 子孔径直径${d_0}$的变化通过填充因子$F\left( {{d_0}} \right)$表现出来. 一般的稀疏孔径结构多采用较大的填充因子, 以实现没有零点和提高中频特性. 图4给出分形结构随填充因子变化的MTF曲线, 图4(a)为沿${f_x}$的归一化截止空间频率, 图4(b)为沿${f_y}$的归一化截止空间频率. 当${d_0} = 0.5$时, MTF低频部分有很大起伏, 且在0.52附近出现零点. 当${d_0} > 0.5$时, MTF曲线平缓且连续, 有较好的中频特性, 是分形结构特点的反映. 虽然分形结构填充因子的改变会导致MTF曲线发生变化, 但在$0.5 < {d_0} \leqslant 1$范围内, 子孔径尺寸对MTF曲线影响较小, 波形平坦没有大的波动, 这一结论对于分形结构的设计具有重要的参考价值.
图 4 分形结构随填充因子变化MTF曲线　(a)沿f_x归一化频率方向; (b)沿f_y归一化频率方向
Figure4. MTF curves of fractal array with different fill factor: (a) Normalized frequency along f_x - axis; (b) normalized frequency along f_y - axis.

实际截止频率${\rho _{{\rm R}}}$为MTF第一次出现零值时所对应的空间频率. 在阵列设计时, 应尽可能地最大化${\rho _{{\rm R}}}$, 使其接近包围圆所确定的截止频率^[4].
中频特性${{\rm MTF} _{{{\rm mid}}}}_{{{\rm freq}}}$定义为子孔径截止频率和包围圆孔径截止频率范围内MTF的平均值, 表征综合孔径系统在中高频区域内的响应能力. 高分辨成像系统要求具有很好的MTF中高频特性. 计算公式如下^[11]:

$\begin{split} {{\rm MT}}{{{\rm F}}_{{{\rm mid}}}}_{{{\rm freq}}}\; & \cong \frac{{\displaystyle\int_0^{2{{\text{π}}}} {\displaystyle\int_{{\rho _d}}^{{\rho _{DC}}} {{\rm MTF} \left( {\rho,\theta } \right)} } \rho {{\rm d}}\rho {{\rm d}}\theta }}{{\displaystyle\int_0^{2{{\text{π}}}} {\displaystyle\int_{{\rho _d}}^{{\rho _{DC}}} {\rho {{\rm d}}\rho {{\rm d}}\theta } } }} \\ &= \frac{{\displaystyle\int_0^{2{{\text{π}}}} {\displaystyle\int_{{\rho _d}}^{{\rho _{DC}}} {{\rm MTF} \left( {\rho,\theta } \right)} } \rho {{\rm d}}\rho {{\rm d}}\theta }}{{2{{\text{π}}}\left( {{\rho _{DC}}^2 - {\rho _d}^2} \right)}}.\end{split}$

由表1可见, 当填充因子为0.0952时其实际截止频率较低, MTF起伏较大, 中频特性较差. 随着填充因子的增大, 系统实际截止频率增大, 且在一定数值范围内波动, 体现了分形阵列结构的自相似特征. 填充因子的降低并没有明显改变MTF曲线波动和实际截止频率, 在实际应用中, 可以选取较小的填充因子来降低制造难度.

${d_0}$	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
填充因子	0.0952	0.1219	0.1485	0.1747	0.2001	0.2246
实际截止频率	0.4518	0.6284	0.6350	0.6382	0.6382	0.6382
中频特性	0.0560	0.0632	0.0507	0.0726	0.0683	0.0632

表1分形阵列在不同填充因子下的特性指标
Table1.Characteristics of fractal array with different fill factors.

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3.3.外层旋转角对MTF的影响

当${\theta _1} = 0,{\theta _2} = 0$时, 第三层旋转角${\theta _3} = \theta $称为外层旋转. 外层旋转角度的变化会对MTF出现周期性影响, 变化周期为 ${{{\text{π}}} / 3}$. 取${d_0} = 1$的情况. 图5为分形孔径阵列外环分别旋转0°, 15°, 30°和45°时, 旋转前后MTF沿${f_x}$和${f_y}$方向的截面图. 稀疏孔径系统的MTF随空间频率的增大在中低频部分下降比较快, 在中高频比较平坦, 但有适当起伏; 在${f_x}$和${f_y}$方向, 分形结构MTF在截止频率内无零点, 且比较平缓. 外层旋转会导致系统的MTF沿不同方向的分布产生变化.
图 5 分形阵列随外环旋转角度变化MTF曲线　(a)沿f_x归一化频率方向; (b)沿f_y归一化频率方向
Figure5. MTF curves of fractal array with different outer layer rotational angles: (a) Normalized frequency along f_x - axis; (b) normalized frequency along f_y - axis.

图6给出实际截止频率随外层旋转角的变化曲线. 此时子孔径直径${d_0} = 1$, 填充因子为22.46%. 可以看出, 随着外环旋转, 系统实际截止频率虽有下降趋势, 但总体没有太大变化, 影响甚小. 总之, 外层旋转对MTF和实际截止频率的影响不是很大.
图 6 实际截止频率随外层旋转角的变化曲线
Figure6. The curve of the practical frequency with outer layer rotational angles.

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3.4.自相似结构效应

为了进一步分析自相似结构效应, 对N = 3, N = 9, N = 18时的阵列进行比较, N = 3, N = 9时阵列结构如图7所示. 采用填充因子F = 0.2246的情况, 三种阵列的MTF曲线如图8所示. 在归一化频率f_x方向, N = 3时分形阵列结构在归一化频率为0.28处出现零值, N = 9时分形阵列结构在0.31处出现一个低谷. 在整个频率范围内有较大波动, 随频率呈起伏式下降. N = 18时结构MTF曲线平缓且截止频率高, 在MTF截止频率范围内没有零点. 在归一化频率f_y方向, N = 3, N = 9时结构的MTF曲线差别不大, 出现较多的频率缺失. N = 18时结构的MTF有些起伏但在中高频趋于平稳, 在0.64处趋于零值.
图 7 N = 3, N = 9阵列结构
Figure7. N = 3, N = 9 array configuration.

图 8 3种阵列的MTF曲线(F = 22.46%)　(a)沿f_x归一化频率方向; (b)沿f_y归一化频率方向
Figure8. MTF curves of three kinds of array configuration (F = 22.46%): (a) Normalized frequency along f_x - axis; (b) normalized frequency along f_y - axis.

由实际截止频率定义和(11)式计算分析可得3种阵列的特性指数, 如表2所示. N = 3, N = 9时阵列结构实际截止空间频率很低. 综合分析三种阵列结构的特性指数, 在F不变的条件下, 随着分形阵列结构孔径数的增加, 实际截止频率和中频特性数值都显著增加. 在相同的填充因子情况下, 增加子孔径数可以改善中高频平稳性, 提高系统的实际截止频率.

阵列结构	N = 3	N = 9	N = 18
实际截止频率	0.2778	0.2778	0.6382
中频特性	0.1515	0.0571	0.0632

表23种阵列的特性指数
Table2.Characteristics of three kinds of array configuration.

本文利用分形自相似性, 研究了一种以Golay-3结构为单元的分形综合孔径阵列. 给出子孔径直径${d_0}$与MTF曲线的关系, 计算了实际截止频率和中频特性. 在$0.5 < {d_0} \leqslant 1$范围内改变填充因子($0.0952 < F \leqslant 0.2246$), MTF曲线呈现出相对一致的变化, 平稳且没有零点. 实际计算表明, 外层旋转对MTF和实际截止频率影响不是很大. 利用分形的自相似性理论可有效扩大系统口径, 保持中频的平稳度, 改善成像质量.