李笑, 李明^*,
大连理工大学工程力学系, 工业装备结构分析国家重点实验室,大连 116024

A REVIEW OF ORIGAMI AND ITS CREASE DESIGN

LiXiao, LiMing^*,
State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Department of Engineering Mechanics,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China
中图分类号:O342
文献标识码:A

通讯作者:通讯作者:李明,副教授,主要研究方向：优化设计、纳米力学、柔性电子. E-mail:mingli@dlut.edu.cn
收稿日期:2018-01-30
接受日期:2018-03-21
网络出版日期:2018-06-10
版权声明:2018《力学学报》编辑部《力学学报》编辑部 所有
基金资助:国家自然科学基金资助项目(11672056).

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摘要
折纸是指不经剪裁和粘接,将二维平面纸张折叠成三维立体的方法,具有设计简单、成形迅速、适用范围广等优点,在可展开式结构、结构组装与自成型等领域有着广阔的应用前景. 本文首先简述了多种典型的新式折纸应用,如屈曲诱导的微尺度三维结构、可折叠太阳能电池板、DNA螺旋组装结构等;根据折纸的曲线折痕数量、相对运动、刚性折叠面、使用纸张数量界定折纸的分类;然后 折痕设计是实现折纸结构的核心问题,着重阐述了折纸的折痕设计方面,包括梳理折痕设计的基本条件,给出若干典型折痕设计如三浦折痕设计、水弹折痕设计、吉村式折痕设计和对角线型折痕设计,介绍典型折痕设计的显著特点及几何条件,将目前折纸折痕设计的创新方法归纳为对经典折痕设计适当改进、形成折痕设计数据库、利用拓扑优化方法、借助成型的汇编算法等;最后,基于当前折纸的研究进展对未来的研究方向进行了展望,其中涉及到可重构折纸结构、四维折纸、多材料折纸和多尺度折纸等.

关键词：折纸;折痕;几何条件;折叠公理;折痕设计方法;拓扑优化
Abstract
Origami is to fold a two dimensional paper into the three dimensional structure without cutting and adhesion. With the merits of simple design, rapid forming and wide range of applications, origami has the promising applications in the fields of deployable structures, structural assembly and self-forming. Firstly, this paper reviews several typical origami applications, such as buckling-induced microscale three dimensional structures, foldable solar panels and DNA spiral assembled structures; Then, we define the classifications of origami according to different criteria, such as the number of curved creases, relative motion, the assumption of rigid folding surface, the number of used papers. Since the crease design problem is the key issue of origami, we focus on the origami crease design, including summarizing the basic principles of the crease design, addressing several typical crease design samples such as Miura, waterbomb, Yoshimura and diagonal crease designs. Furthermore, we introduce the distinctive features and geometrical relations of the typical crease design. For the recent innovative crease design methods, the improvement of the classic crease design, establishment of the crease design database, use of topology optimization method and the recent crease design algorithms are briefly discussed. Finally, we prospect the future research orientations of origami based on current research progress of origami, including the transformable structures, four-dimension origami, multi-material origami and multi-scale origami.

Keywords：origami;crease;geometric relations;folding axioms;crease design method;topology optimization

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李笑, 李明. 折纸及其折痕设计研究综述[J]. 力学学报, 2018, 50(3): 467-476 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-031
Li Xiao, Li Ming. A REVIEW OF ORIGAMI AND ITS CREASE DESIGN[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018, 50(3): 467-476 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-031

引言

折纸(origami)是一种古老的艺术形式,可以实现不经剪裁和粘接,将二维平面纸张折叠成三维立体模型. 折纸的命名源自日语词根“ori”是折叠,“kami”是纸张^[1]. 折纸艺术迄今已有数百年的历史,在早期被认为仅具有艺术性而非实用价值,以纸鹤模型为代表的传统折纸艺术极大地满足了人 们的艺术审美需求^[2]. 20世纪以后,吉泽章(Akira Yoshizawa)等运用一系列由点、破折号和箭头构成的符号代码,创造了可供人们交流的折纸语言,通过大量的折纸数学原理建立起折纸 艺术与折纸科学二者之间的联系,如平面几何、三角函数、立体几何、微积分和微分几何、线性代数、图论、群理论、复杂性和可计 算性理论、计算几何等,促进了折纸艺术与数学原理相结合,并不断发展为现代折纸科学.
现代折纸科学研究的几何对象一般包括3个层面,即连杆(linkage)、纸片(paper)和多面体(polyhedra)^[3]. 在连杆的层面上, 将连杆视作无交叉的刚性杆,只可以在铰链处折叠;在纸片的层面上,将纸张视作无拉伸、无切割、无渗透的材料;在多面体 的层面则关注如何通过一次切割实现从多面体到平面图形的折叠与展开问题.
对以上3个层面的折纸研究均需基于折痕. 折痕(crease)是现代折纸科学中最基本的概念,指通过折叠在纸面上产生 线段,多条折痕 线的交点即为折痕的顶点. 折痕图是指纸面上多条折痕的组合图,如图1所示,是折纸结构的设计图^[4]. 在空间笛卡尔坐标系的 xoy平面上固定一纸平面,将纸的两侧边向 z轴负方向折,折痕居上形成凸起,即为山线折痕(mountain crease), 图1 中用点划线表示;将纸的两侧向 z轴正方向折,折痕居下形成凹陷,即为谷线折痕(valley crease), 图1中用实线表示. 因此,根据折痕的类型,可将折痕的折叠方向分为山折和谷折. 另外,平褶(pleat fold)和开褶(crimp fold)是两种不同的形成接连交替折痕的方式,开褶中存在反折叠(reverse fold)^[5].
随着科技水平的不断发展,计算机科学、数论和计算几何学的进步促进了新的折痕分析与设计技术,并在过去的五十年里实现了 绝大多数的行业应用^[5]. 折纸结构与现代科学技术的结合涉及航空航天、柔性电子、医药、机器人等多个领域,如卫星太阳能电池板、可折叠电池、折 纸柔性电子器件、微纳米机电系统、DNA组装结构等. 多种多样的折纸产品和新兴工程应用科技已使折纸的实用价值远远超过其审美价值.
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图1折痕图^[4]
-->Fig. 1Crease pattern^[4]
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尽管国内外在折纸方面已有较多综述 文献,但文献一般 侧重于对折纸应用产品功能的介绍,而在折痕设计方面的介绍并不全面,如对于 典型折痕设计一般仅有提及,但没有剖析其涉及的几何条件,更没有归纳出折痕设计的创新 方法. 本文首先简述 多种不同的新型折纸应用;然后参照已有综述文章中的诸多概念,按照不同规则对折纸进行分类;接着重点介绍 折纸的折痕设计,如阐述了折痕设计遵循的基本条件,介绍了几种典型折痕设计的显著特点及其中涉及的数学原理、几何条件等, 并总结了目前关于折痕设计的多种创新型可行方法;最后对未来的折纸研究做出了展望.

1 折纸应用

折纸可以实现不经剪裁和粘接,将二维平面折叠成三维模型. 基于这一特点,对三维折纸结构的成形原理及应用的研究日益受到国内外相 关领域研究课题组的重视,并涉及多个重要领域.
美国西北大学Rogers等^[6]详细阐述了折纸型结构在微机电系统(MEMS)和纳机电系统(NEMS)中的应用,并着重强调了折纸型结构在器件制备领域上的优势. 清华大学Liu等^[7]系统地建立了屈曲诱导的三维螺旋形超材料结构设计与优化方法,并建立了螺旋形折纸结构后屈曲特性分析的理论和实验研究方法. Yan等^[8]总结了屈曲诱导的三维结构自组装方法的力学设计原理,并与传统折纸艺术相结合,建立了屈曲诱导的微尺度三维结构组装方法. 该方法将结构屈曲变形与现代化半导体产业中较成熟的平面制备工艺相结合,通过基底的预拉伸作用,使多种二维薄片图形屈曲为 目标三维构型,具有成型快、制备可控、材料适用范围广等优点. Zhang等^[9]提出了折纸型三维结构的设计与优化方法,并展示了由该方法制备生成的可调控光栅结构,可实现对光透射率的连续 性调控,为电子器件制备领域提供了三维微器件制备新方法. Jiang等^[10]利用折纸型结构的可折叠性,设计制备了具有良好延展性的折纸型锂离子电池. Miyashita等^[11]使用两层金属化聚酯薄膜(metalized polyester film, MPF)和一层热敏感收缩膜进行交替铺层形成了一种夹芯结构,并根据折痕图样式进行激光切割MPF层形成折痕路径,夹芯结 构在水上漂浮,通过全局加热至50 #x00B0;C以上,使热敏感收缩膜发生伸缩并带动MPF沿着切割折痕发生自折叠,形成一种可伸 缩式MPF电阻器,制造工艺简单廉价,具有良好的电导率,并能实现所需的电路拓扑.
NASA开发了一种可折叠的太阳能电池板原型装置,提出了一种圆形折痕设计,能以更小的储存空间提供更大的有效展开面积, 其展开不需要宇航员协助,发射时可缠绕在卫星上^[12]. 该电池板折叠时直径约为2.7 m,完全展开时直径可达25 m,具有较大的折叠比. Nelson等^[13]将折纸结构在DNA螺旋上加以运用,制备出由DNA螺旋组装而成的纳米尺度四面体结构,可应用在生物传感器和药物传 输等领域. Randall等^[14]详细介绍了折纸型结构在生物医学领域包括在多尺度多边形生物容器、细胞生长支架、 新型手术器械等领域的应用. Knribayashi 等^[15]借鉴传统折纸中魔球的折叠方式,以富镍型钛镍形状记忆合金箔为原材料,采用负光化学蚀刻(negative photochemical etching)技术,制出新型可自折叠手术支架. 不同于传统支架需要钢丝网与气囊薄膜配合使用,折纸支架用单个温敏型形状记忆合金箔可实现预定位置处支架撑开,以打开被堵塞的血管. Cybulski等^[16]发明了纸折显微镜(foldscope),其全套显微镜组件可排列在一张纸上,组装后可实现标准显微镜的功能,同时,还可制作有特定功用的纸折显微镜,如加入诊断疟疾的荧光滤片可将显微镜专用于检测疟疾. 相比传统显微镜笨重、昂贵、难以维护的特点,运用卷制造技术(roll-to-roll manufacturing)生产纸折显微镜的价格仅50美分,且具有易折易携、防水抗摔等功能.

2 折纸分类

不同的分类规则有不同折纸分类,本文仅 按以下4种分类规则对折纸进行分类.

2.1 按曲线折痕数量分

根据曲线折痕数量的多少,可将折纸分为平折折纸(flat-folding)和湿法折纸(wet-folding). 平折折纸运用严格的几何学 原理进行折叠,折痕多为直线, 曲线极少,且因折痕不具有线宽,在折叠后不形成任何折痕曲面,因而折叠后具有单一且极 高的折叠锐度,仅需极少曲线塑形,整体结构棱线分明,如图2(a)所示, Komatsu^[17]有许多平折折纸作品. 湿法折纸是由吉泽章(Akira Yoshizawa)提出的^[18],指利用水的浸润作用,将较厚的纸软化增韧,湿折出立体模型,干燥后形成线条圆润的折纸结构. 相比于平折折纸折痕图中的不计线宽的折痕,湿法折纸折痕图中的折痕线具有一定宽度,该线宽使折叠后形成折痕曲面. 湿法折纸中的折叠方式为软折叠(soft folding),是一种用于设计和探索薄板成型的新型折叠方式^[19]. 软折叠时需给定二维平面纸上的折痕(曲)线的位置、线宽以及软折叠的折叠锐度,进而产生具有可控锐度的复杂折叠形状. 相比于平折折纸,湿法折纸结构使用较少的直线折痕,包含大量的折痕曲面,具有高阶的几何连续性和不同的折叠锐度,因而不具 有棱线特征,整体较为圆润饱满,如图2(b)所示, Quy${\hat{\rm e}}$’t^[20]的湿法折纸作品更具立体感.
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图2平折折纸和湿法折纸
-->Fig. 2Flat-folding and wet-folding
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2.2 按是否具有相对运动分

根据成型结构的各部分是否具有相对运动,可将折纸分为静态折纸(static origami)和动态折纸(action origami). 静态折纸结构 成型后其各部分之间始终保持相对静止,只有一种形态,不具有可展开性,在承受较小外部载荷下即会发生失效,如图3(a)所示; 动态折纸结构成型后其各部分之间可产生相对运动,结构一般具有多种机械运动形式,可以实现展开和折叠等多种形态^[21], 如图3(b)所示,这种特性使结构具有一定的功能性,并广泛应用在新型折纸中. 运动折纸(kinematic origami)是动态折纸中一类可以应用已有运动学机理来解释并实现其结构各部分间相对运动的折纸模型^[5]. 大部分运动折纸结构可运用球形机理(spherical mechanism)实现,球形机理与板应急机理(lamina emergent mechanism)有一定的共性^[22]. Bowen等^[23]研究了300多种已有的运动折纸模型,依据不同的球形机理,可将运动折纸进一步细分.
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图3静态折纸和动态折纸^[24]
-->Fig. 3Static origami and dynamic origami^[24]
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2.3 按是否假设刚性折叠面分

根据是否做刚性折叠面假定,可将折纸分为刚性折纸(rigid origami)和非刚性折纸. 如图4(a)所示,刚性折纸适用于有厚度的折叠材料^[25],其假定在折叠过程中折叠面始终 为刚性平面,折痕作为无摩擦铰链,即在折叠面内应变为零,因此,仅由相邻折叠面的夹角即可决定折纸构型^[26]. 如图4(b)和图4(c)所示,非刚性折纸不具有这一假定,认为折纸可以在面内产生扭转、弯曲等变形,此时折叠面不具备刚性, 可发生变形并产生应变.
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图4折纸的3种变形形式^[27]
-->Fig. 4Three deformation forms of origami^[27]
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2.4 按使用纸张数量分

根据使用的纸张数量,折纸可以分为单一折纸和模块化折纸(modular origami). 单一折纸是指无切割无粘接,仅用一张完整的纸折出目标物体. 模块化折纸是指,当单一折纸无法满足复杂模型的要求时,可先折出具有不同功能的折纸模块,再组装成折纸作品. 如图5所示,分别是Robert Lang的单一折纸^[28]和Matthew Shlian的模块化折纸^[29].
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图5单一折纸与模块化折纸^[28,29]
-->Fig. 5Single origami and modular origami^[28,29]
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3 折痕设计

如何进行合理的折痕设计是实现特定折纸结构的核心问题,这一方面要求折痕图应满足基本的数学几何条件并可借鉴典型折痕设计几何原理以获得新的设计思路;另一方面,较大的设计空间和折纸几何学与工程应用之间的复杂联系,严重限制了基于直觉和经验试错法的一般折痕设计方法. 目前的折痕设计方法不能局限于对典型折痕设计的微调和小幅改进,而需要进行新的折痕设计方法的探究. 同时,多样的创新型折痕设计可以极大地丰富折纸结构,产生更多应用范围广的新型折纸产品.

3.1 折痕设计遵循的基本条件

任意一张平折折纸(flat-folding)的折痕设计图必须遵循一定的基本条件：如Huzita-Hatori (Huzita-Justin)公理、双可着色性条件、Maekawa条件、Kawasaki条件、Jacques-Justin条件等^[30]. Huzita-Hatori (Huzita-Justin)公理是折纸的基本理论^[2], 主要内容为：
(1) 已知 P1和 P2两点,可以折出一条过 P1, P2的折痕;
(2) 已知 P1和 P2两点,可以沿一条折痕把点 P1折到点 P2上去,使两点重合;
(3) 已知过点 P1的直线 l1,可以沿一条过 P1点的折痕,把直线 l1折到自身上;
(4) 已知 l1和 l2两条直线,可以沿一条折痕把线 l1折到线 l2上去,使两线重合;
(5) 已知 P1, P2两点和直线 l1,可沿一条过 P2点的折痕,把 P1点折叠到线 l1上;
(6) 已知 P1, P2两点和 l1, l2两线,可沿一条折痕把 P1, P2分别折到 l1, l2两线上;
(7) 已知点 P和两线 l1, l2,可沿一条垂直于线 l2的折痕,把 P点折叠到线 l1上.
双着色性(2-Colorable)条件^[31]是指,折痕设计图的任意相邻区块着色不同时,仅能用两种颜色对其着色;Maekawa条件^[2]是指,折痕图中任意顶点处交汇的各条折痕的折叠方向中,谷折折痕和山折折痕的数量差值恒为二,且由于折痕图中仅有山线折痕与谷线折痕两类折痕,则折痕图中的折痕数量总是偶数;Kawasaki条件^[32]是指,绕任意折叠顶点对折痕夹角依次编号,则奇数编号的折痕夹角之和恒等于偶数编号的折痕夹角之和,且和为180 #x00B0;;Jacques Justin条件^[33]是指,折纸结构褶层间不能互相渗透.

3.2 典型折痕设计

3.2.1 三浦折痕设计
三浦折叠是由三浦公亮发明的折叠法,该方法是沿着对角线拉开三浦折纸模型实现展开,再逆向推入实现折叠. 这种折痕设计的显著特点是可有效减小体积,增大能量密度,节省空间且避免折叠和展开的过程中造成能量损耗.
三浦折纸的折痕设计如图6所示,假定三浦折纸结构的单胞,定义其边长为 a和 b,以及 a和 b两边所夹锐角 γ、折叠平面与 xoy平面所夹二面角 θ. 可以推知以下尺寸
$R = r + 2s \cdot \sin \beta + 0.5s \cdot \cos \beta (1)$
$S = b \cdot \dfrac{\cos \theta \tan \gamma }{\sqrt {1 + \cos ^2\theta \tan ^2\gamma } } (2)$
$L = a \cdot \sqrt {1 - \sin ^2\theta \sin ^2\gamma } (3)$
$V = b \cdot \dfrac{1}{\sqrt {1 + \cos ^2\theta \tan ^2\gamma } } (4)$
$\tan \xi = \cos \theta \tan \gamma (5)$
$\sin \psi = \sin \theta \sin \gamma (6)$
$\cos \gamma = \cos \xi \cos \psi (7)$
$\sin \varphi = \sin \xi / \sin \gamma (8)$
其中, φ是折叠面与 yoz平面所夹二面角; ξ是折痕线与 y轴夹角; ψ是折痕线与 y轴夹角.
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图6三浦折痕设计几何图^[27]
-->Fig. 6Geometry of Miura-ori crease pattern^[27]
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将三浦折纸结构看作刚性折纸,其仅具有单一自由度,折叠面为零应变面^[34]. 此时,考虑其面内泊松比,Jiang等修正了泊松比的表达式,改变了以往普遍认为三浦折纸“面内变形总为负泊松比”的结论^[27],得出“三浦折纸在承受拉伸时,面内变形泊松比并不总为负值,也同时存在正值”的结论^[35].
3.2.2 水弹折痕设计
水弹折痕模型又称魔球型,其折痕设计的显著特点是可以使折痕密铺结构从长圆柱变形为扁平圆盘,具有3种变形形态. 为研究该模型的几何条件,水弹模型几何图如图7所示^[36], yoz平面几何关系如下
Lspring=s?sinα+2s?cosβ-0.5l?sinβ(9)
R=r+2s?sinβ+0.5s?cosβ(10)
xoz平面几何关系如下
${R}' = s \cdot \dfrac{\sin \left( {\theta - {\pi }/{8}} \right)}{\sin {\pi }/{8}} (11)$
LSMA=2s?sinθ(12)
R-R'=s?cosα(13)
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图7水弹折痕设计几何图^[36]
-->Fig. 7Geometry of waterbomb crease pattern^[36]
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$ r + 2s \cdot \sin \beta + 0.5s \cdot \cos \beta - s \cdot \dfrac{\sin \left( {\theta - {\pi }/{8}} \right)}{\sin {\pi }/{8}} = s \cdot \cos \alpha $ (14)
3.2.3 吉村式折痕设计
图8所示为吉村式折痕样式,其显著特点是折痕图中的谷线垂直于该圆柱体的轴向,常用于吸能结构的设计,其失效方式是通过轴向压缩实现模型收缩^[37].
考虑吉村式折痕设计的几何条件^[38],已知等边梯形的两个平行边长分别为 a1和 a2,梯形高度 H,底角 γ和 θ是谷线折痕连接的相邻两层平面的二面角, φ是顶点处相交的两个斜线折痕之间的夹角,圆柱体的直径和高度分别用 D和 L表示,设圆柱体纵向共有 N层,水平方向一层上等边梯形数为 M.
则有以下关系
$L_{\rm e} = L / N (15)$
$\tan \gamma \cos \dfrac{\theta }{2} = \tan \dfrac{\pi }{M} (16)$
$\sin \dfrac{\pi }{M}\cot \dfrac{\theta }{2} = \cot \dfrac{\varphi }{2} (17)$
$H = \dfrac{L_{\rm e} }{2\cos \left[ {\left( {\pi - \theta } \right) / 2}\right]} (18)$
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图 8吉村式折痕设计几何图^[38]
-->Fig. 8Geometry of Yoshimura crease pattern^[38]
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3.2.4 对角线型折痕设计
对角型折痕常见于柱体折叠,其折痕设计的显著特点是常用于吸能结构的设计,与吉村式不同的是,采用对角线型折痕样式的圆柱体,其失效方式是通过扭转实现模型收缩^[39].
如图9所示,可以看出对角线型折痕样式有以下关系
$\sin \gamma = \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{L}{a} (19)$
$\dfrac{a}{\sin \beta } = \dfrac{2\pi R}{n\sin \alpha } (20)$
$\sin \gamma = \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{nL\sin \alpha}{2\pi R\sin \beta } (21)$
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图9对角线型折痕设计几何图^[39]
-->Fig. 9Geometry of diagonal crease pattern^[39]
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3.3 折痕设计的创新型方法

3.3.1 对经典折痕设计适当改进
尽管目前对于折痕设计的方法不再局限于对经典折痕设计的适当改进,但改进经典折痕设计作为一种创新型折痕设计方法仍然是实现许多新型折纸应用产品的重要方法.
如图10(a)所示的传统包装袋折痕设计图设计的包装袋,一般采用纸或薄塑料等柔性材料制成,不能使包装袋完全刚性折平,且包装箱的上下均需开口以保证平面储放. 为解决该问题, Wu和You^[40]在原折痕设计图的基础上进行折痕设计改进,在传统折痕设计图中添加了新的折痕线,这些新的折痕使包装袋顶部的四角形成4个相同的区块,每个区块都包含一个角,如图10(b)所示. 这种仅在上部开口的包装袋,实现了适用多种材料的完全刚性折平,并可实现纸袋的自动化包装过程及批量生产.
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图10折痕设计对比图^[40]
-->Fig. 10Crease design comparison^[40]
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3.3.2 形成折痕设计数据库
Yan等^[41]阐述了结合多稳态屈曲力学方法的设计概念,利用折纸的思路和力学屈曲失稳原理制备了大量复杂的三维细微观结构, 形成折痕设计数据库, 建立起折痕设计与折纸结构之间的对应关系,并同时原创性地提出了实现可重构型三维细微观结构的 新方法^[42]. 该方法基于非线性屈曲力学原理,通过释放预拉伸的弹性组装平台产生的压缩力将平台上的二维薄膜图案屈曲形成目标三维结构,并利用结构的多稳态屈曲,改变平台释放的路径,实现三维结构在不同构型之间的可逆切换,从而利用弹性组装平台的变形路径对三维细微观结构的几何拓扑进行可逆调控.
另外,针对两类典型结构(带折痕条带结构和无折痕条带结构),通过数值模拟的能量分析和细微观实验的概率分析,挖掘了双稳态结构可重构的力学机理,进而建立了一套系统的迭代式可重构结构设计流程,并通过二十多组不同结构构型的实验对这一重构策略的可行性进行了验证,不断丰富发展为针对不同特性可重构折纸结构的折痕设计数据库.
3.3.3 利用拓扑优化方法
用于折纸建模的计算框架显著扩展了可通过拓扑优化或几何优化等来预测折纸结构的折痕设计. 拓扑优化最初由Bendsøe和Kikuchi^[43]于1988年提出,作为寻找结构问题中最优拓扑的设计方法,已扩展应用到许多领域^[44]. 王博等^[45]提出了多样性设计求解方法(multiple designs approach,MDA),可在优化过程中获得若干个多样性设计,减少在设计初期由于信息不完整所带来的风险. 陈文炯等^[46]建立了植入式导热路径的拓扑优化设计方法,考虑高导热材料的植入对于热源分布的影响,实现自发热体冷却的内置导热路径最优设计. 赵丹阳等^[47]采用一种将Kriging代理模型和有限元方法相结合的优化方法来优化血管支架结构使其综合 性能得到改善.
拓扑优化的基本概念是通过优化设计域内定义的指标函数描述的组成材料分布来找到最佳拓扑. 许多结构拓扑优化的早期工作是通过最小化柔顺性或应变能来增大结构的刚度,另一个涉及力学分析的经充分研究的拓扑优化问题是柔性机构的设计问题. 受到柔性机构拓扑优化设计的启发,Fuchi等^[48]提出了一种综合力学分析和拓扑优化两种手段,在参考折痕图中分配折线的折痕设计方法. 该优化设计问题的设计变量由折叠刚度系数来描述,目标是找到一种折痕设计图,使得结构在给定的输入力下实现折叠和所需的变形. 将可折叠结构模拟为拼接桁架结构,并在折痕处或二面角上附加约束,对折叠刚度的连续调整产生局部折线刚性的转换,再通过优化方法来增加或去除折痕,以更新折痕设计,从而实现折纸结构的设计. 同时,可以在折痕设计中对折痕数量予以限制,并作为约束条件,以增加拓扑优化设计复杂性,突出了拓扑优化方法的增值性. 除了实现对折纸结构形状的优化之外,对折纸结构功能的优化是一种很有前景的折纸结构设计方法,并激发了基于功能优化的折纸结构的折痕设计工具的进一步发展.
3.3.4 借助成型的汇编算法
20世纪90年代,受John Montroll “ 蚱蜢(grasshopper)”模型的启发,Fumiaki Kawahata等发现折纸与排布圆形理论(circle-packing)的联系^[49]. 排布圆形理论认为折痕图中模型部件所占的区域是圆形的一部分,其大体思想是在纸平面上排布不同直径的圆形,并要求各圆形相互无重叠,各圆心在纸片的内部或边界,获得形成折纸模型各部件的圆形纸域,连接圆形的圆心位置得到折痕图,根据折痕图折出各个部件. 如经典纸鹤模型,提取了方形纸片两对角区域进行折叠,实现头和脚两部件,提取纸的另外两个对角区域实现两个翅膀部件. 因此,折出折纸各部件首先要得到正确的圆形排布方式,从而获得折纸作品相应的折痕图.
树形算法(tree method) ^[50]是一种旨在找到用最小方纸折出折纸基型的方法. Robert J. Lang对树形算法进行系统的编修,并基于树形算法编写TreeMaker软件,其中嵌入约束优化算法(constrained optimization algorithm). 如图11所示,计算机可利用该算法根据目标模型的树形图,在方纸上找到最优圆形排布方式,得到最优圆形排布图后,再连接相邻圆形的圆心作为折痕线得到初步折痕图,通过添入新的折痕将初步折痕图中已有的多边形细分,得到最终的折痕图,根据最终的折痕图折出目标模型. 树形算法等成型汇编算法是一种算法式折痕设计方法,替代了经典折纸一般多采用试错来进行折痕设计的方法,具有更广泛的应用.
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图11树形算法的大体流程^[49]
-->Fig. 11Process of tree method^[49]
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4 展 望

4.1 可重构折纸结构

超材料(metamaterial)等智能材料具有常规材料无法实现的特性和功能,在受到外部刺激产生响应时,改变其组装结构能改变其整体功能. 可重构结构是一种具有多种结构形式的结构,在生医器件、微机电系统、机器人和超材料等众多领域具有广泛应用,对科学研究和技术进步起到了关键的推动作用. 可重构结构与超材料的结合得到的可重构超材料结构既可以满足变形需要,又具有适应环境变化的多种功能. 许多类折纸结构是较好的可重构结构,具有多自由度,如二十面体拉伸结构几乎是刚性的,而立方体拉伸结构能实现4种重构形态,可用于设计可重构三维结构^[34]. 将可折叠的可重构超材料结构应用于可重构结构设计的研究是折纸发展的新领域.

4.2 四维折纸

自组装(self-assembly) ^[51]是一种只通过材料自身作用,把各个无序零部件组成一个有序结构的过程. Tibbits等^[52]提出4D打印(4D printing),即考虑时间因素,在水、声、光、电、热、振动等激励下,结构可随时间变化完成自我折叠或收缩变形. 4D打印旨在将微纳米级可程序化、能自我调节的材料与宏观生产环境结合起来,使可编程化材料(programmable materials)实现自组装. 四维折纸可以通过自组装原理和4D打印技术实现^[53]. 将自组装原理和4D打印技术应用到折纸,已经实现了将平铺的展开多面体平面自动变形为三维立体模型的四维折纸. 对于复杂折纸模型,尤其是工序复杂且耗时的大型折纸模型,四维折纸能够实现无外力驱动下从二维平面自动折叠为三维立体结构,因此,四维折纸是一个值得研究的领域.

4.3 多材料折纸

目前研究的主要方向中存在着高分子或半导体薄膜材料的折纸结构,同时还有对于器件快速成型具有重要意义的金属薄膜折纸结构. 刚性折纸的非折痕区域是刚性的,而目前对于金属薄膜折纸结构的研究应在非折痕区保留一定的塑性,这种塑性性质可加剧塑性应变累积,进而发生折叠形成三维结构. 因此,当前折纸的材料并不一定是狭义范围的纸,多材料折纸结构作为折纸的衍生结构具有一定的研究前景.

4.4 多尺度折纸

在微观纳米级上,已实现通过编程使物理和生物材料(如硅基物质silicon-based matter)改变形状及属性,并出现了可以设计三维物体(如纳米机器人或药物传输系统等)的软件(如Cadnano). Meng等^[54]基于微纳观尺度单层石墨烯易于自折叠的特性,研究了单层石墨烯结构的自折叠行为,并将其自折叠成一种边缘呈球拍状的双层石墨烯,这种双层结构可显著影响石墨烯的电、磁特性. 因此, 对微纳米尺度折纸结构的研究也同样具有重要的意义.
The authors have declared that no competing interests exist.

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参考文献文献选项 原文顺序
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