费庆国^1,*,, 姜东^1,2, 陈素芳², 秦福溶²
1 东南大学空天机械动力学研究所, 南京 210096
2 南京林业大学机械电子工程学院, 南京210037

THERMAL-RELATED PARAMETER IDENTIFICATION OF BRAIDED COMPOSITES AT HIGH TEMPERATURE

FeiQingguo^1,*,, JiangDong^1,2, ChenSufang², QinFurong²
1 Institute of Aerospace Mechanical and Dynamics, Southeast University, Nanjing 210096, China
2 College of Mechanical and Electronic Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, China
中图分类号:V214.3
文献标识码:A

通讯作者:通讯作者:费庆国, 教授, 主要研究方向: 结构动力学. E-mail:qgFei@seu.edu.cn
收稿日期:2018-03-19
接受日期:2018-03-24
网络出版日期:2018-06-10
版权声明:2018《力学学报》编辑部《力学学报》编辑部 所有
基金资助:国家自然科学基金资助项目(11602112, 11572086).

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摘要
为了获取高温下编织复合材料的准确弹性参数与热膨胀系数,提出一种基于均匀化理论的热相关参数识别方法. 首先,在编织复合材料单胞有限元模型基础上,基于均匀化理论和热弹性理论,施加周期性位移边界条件和温度边界条件,预测编织复合材 料的热弹性相关参数. 然后,考虑到等效过程中编织复合材料应力分布不均匀等因素引起的误差,将复合材料精细模型的热模态数据作为补 充信息,识别编织复合材料热相关参数,对预测的材料参数进行校准. 本文在二维编织结构单胞模型基础上,开展等效预测和识别方法研 究,验证所提出方法的有效性和准确性. 对比等效和识别后热模态的误差,结果表明：本文提出的基于等效预测的参数识别方法,能够 准确识别高温下编织复合材料宏观热相关参数.

关键词：均匀化理论;编织复合材料;热弹性参数;参数识别
Abstract
To obtain accurate elastic parameters and coefficient of thermal expansion (CTE) of braided composites at high temperature, An approach for identifying thermal-related parameters based on homogenization theory is proposed. Firstly, on the basis of the finite element model of unit cell, the thermo-elastic parameters of the braided composites are predicted, basing on the theory of homogenization and thermos elasticity, and by applying the periodic displacement and temperature boundary conditions. Secondly, considering the errors in the equivalent process causing by the uneven distributed stress, the thermal modal frequencies of the refined model are taken as the supplementary information to further identify the thermo-elastic parameters, as a calibration of the predicted parameters. Based on the finite element unit cell model of two-dimensional braided structure, this paper carries out equivalent prediction and identification, to verify the validity and accuracy of the proposed method. after comparing the error of the thermal mode of equival model and identification model, it is shown that the proposed method based on equivalent prediction and parameter identification can accurately identify the macro-thermo-elasticity related parameters of braided composites at high temperature.

Keywords：homogenization theory;braided composites;thermo-elastic parameters;parameter identification

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费庆国, 姜东, 陈素芳, 秦福溶. 高温下编织复合材料热相关参数识别方法研究[J]. 力学学报, 2018, 50(3): 497-507 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-078
Fei Qingguo, Jiang Dong, Chen Sufang, Qin Furong. THERMAL-RELATED PARAMETER IDENTIFICATION OF BRAIDED COMPOSITES AT HIGH TEMPERATURE[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018, 50(3): 497-507 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-078

引言

编织复合材料具有比刚度大、比强度高、耐烧蚀等优异的力学和物理性能,在航空航天领域得到广泛应用^[1,2]. 随着飞行器马赫数提高,复合材料热防护结构的服役环境温度大幅提升,当马赫数达到7以上时,飞行器头锥、翼缘等部位的温度将超过1000°C^[3,4]. 在高温环境下,编织复合材料内部将产生不均匀热膨胀,导致结构产生复杂热应力,从而影响结构的力学性能^[5]. 因此,研究高温环境下编织复合材料力学性能至关重要.
编织复合材料力学性能预测已取得较大发展,主要方法有试验测试和数值模拟. 在试验测试方面,李开元 等^[6]采用热膨胀仪 分别测量了2维、2.5维、3维碳纤维增强复合材料从室温到1400℃温度范围内纵向和横向热膨胀系数,研究了它随温度的变 化行为和机理,系统分析了纤维编织结构对材料相关热物理性能产生影响的内在原因. Gao 等^[7]根据ASTM规范,采用热膨胀仪分别测量了2维机织与3维编织复合材料35℃ ~800℃范围内的热膨胀系数. Tezvergil 等^[8]针对纤维方向对热膨胀系数的影响开展试验研究,试验结果表明热膨胀系数也具有各向异性的特征. Pradere 等^[9]采用光测方法测量超高温环境下碳纤维的拉伸性能,反推热膨胀系数. Pan 等^[10]采用分离式霍普金斯压杆结合加热装置的系统测试3D编织复合材料的纵向压缩性能,得到了23℃ ~210℃范围内材料的力学性能与热物理性能. 试验是获取复合材料力学性能最直接和准确的方法,可作为对数值模拟结果的验证,但是不同方向的性能需要分别测试,面外弹性模量和剪切模量等参数需要设计较为繁琐的试验^[11,12],且结果易受到尺寸效应影响.
数值模拟建立在均匀化理论基础上^[13],当关注的是材料的宏观力学性能而不是材料的细观力学性能,可采用单胞模型或 代表性单元来预测材料宏观力学性能,纤维束走向、交织方式及截面形状与材料性能密切相关^[14,15]. 通过建立复合材料宏观性能同细观结构件的依赖关系,可用于预测随温度变化的宏观力学性能：如弹性参数、导热系数、热膨胀 系数等,与试验测试相比能够节省时间和经费^{[16,17,18,19]}. 刘书田和程耿东^[20]建立了基于均匀化理论的复合材料热膨胀系数预测方法,给出预测热膨胀系数的细观均匀化问题的形式 及其有限元求解过程. 朱合华和陈庆^[21]采用多层次均匀化思路对多相材料性能进行预测. 聂荣华 等^[22]根据二维编织C/SiC复合材料的细观结构及其制备工艺特点,提出了一种预测该材料面内热膨胀系数的单胞模型, 充分考虑了编织结构复合材料中的纤维束弯曲和CVI工艺制备陶瓷基复合材料产生的孔洞对热膨胀系数的影响. 卢子兴等^[23]在三维全五向编织复合材料细观结构模型的基础上,建立单胞参数化有限元模型,预测编织复合材料的热膨胀系数. 孙志刚等^[24]研究了纤维细观结构对复合材料热膨胀系数的影响. Xu和Zhang^[25]根据应变能等效建立模型,来预测复合材料的有效热膨胀系数. Lu 等^[26]提出一种三维有限元模型来研究纤维连接界面对编织复合材料热物理性能的影响,纱线考虑成单向纤维增强复合材料并采用代表性单元来计算其热物理性能. Karadeniz和Kumlutas^[27]采用有限元方法模拟单向纤维增强复合材料的细观结构,然后分析复合材料的横向与纵向热膨胀系数.
然而,数值方法需 进行严格的理想化假设以便于数值建模和等效计算,例如,纱线的截面形状往往被假设为椭圆形、菱形或者 矩形^[28],基体内的微孔洞也被忽略^[29],代表性单元尺寸、选取不同空间位置的单胞模型,均会影响计算结果的 准确性等^[30-21]. Bystrom ^[32]提出了两种不同的数值模型预测等效弹性参数,表明选取不同的单胞模型得到的结果存在差别;Wang等^[33]采用数 值方法考虑了材料在化学气相渗透过程中产生的微孔洞和微裂纹;Hallal 等^[19,34]提出一种改进的复合材料单胞模型,指出 采用均匀化方法得到的结果存在误差;Hu 等^[35]预测了3维编织复合材料的热膨胀系数,与试验数据的比较表明最大误差为11%;Pochiraju和Chou^[11]的研究 表明材料参数的数值预测结果存在10%~15%的误差. 由此可见,实际中难以模拟复合材料细观结构的完整信息,性能预测不可避免存在误差^[13].
综上所述,试验方法虽能得到较准确的结果,但测得的数据较为有限,复合材料的热膨胀系数不同的材料方向存在差别. 基于均匀化理论的方法往往需要基于一定的理想化假设,不可避免地存在误差. 考虑到材料宏观力学性能与结构动态特性密切相关,模态参数容易获取且精度较高,另一类有效方法是采用动态试验数据间接识 别复合材料的等效参数^[36]. 以模态参数作为特征量的等效弹性参数识别研究已较广泛^[37-39],目前的研究主要集中于常温环境下参数识别方面. Soares 等^[40]早在1993年就提出采用模态参数来识别复合材料板的材料性能,分别采用了解析法、半解析法和差分法进行灵敏度分析. 龙凯等^[41]采用解析法推导了热柔顺度对设计变量的灵敏度,基于一阶和二阶泰勒展开式得到各自的近似表达式,并基于二 次规划方法对模型进行优化. Matter等^[42-43]采用动态试验数据识别了材料的弹性参数. Rikards等^[44-45]通过建立动态特性与弹性参数之间的响应面模型来识别参数,全局响应面的构建需要大量试验设计 样本,而局部响应面仅能保证样本点附近的精度. 根据结构的动态特性来识别复合材料参数是典型的反问题,参数初始值的选取至关重要. Jiang 等^[39]以均匀化理论解作为初始值,高效准确地识别了夹芯复合材料的等效弹性参数. Sepahvand和Marburg^[46],Jiang 等^[47]采用多次试验的模态数据识别了正交各向异性复合材料的不确定性等效参数.
高温会改变材料的弹性性能,且温度梯度及边界条件会导致结构内部产生热应力,结构的动态特性受高温影响较为显著. 与常温下复合材料参数识别方法类似,本文将提出一种编织复合材料热相关参数预测方法,在深入研究热相关参数与高温环境 下结构动态特性之间关系基础上,采用热模态数据来识别复合材料的等效参数,为准确、高效地进行复合材料热结构动力学分 析提供支撑.

1 理论基础

1.1 刚度预测原理

复合材料刚度预测主要是通过确立的各组分材料与复合材料整体行为之间的关系,通过各组分材料的应用实现整体刚度的预测. 均匀化理论根据复合材料组分的相互作用解释了复合材料整体的力学行为,均匀化理论包括等应变和等体积分配假设.
等应变假设基础即假设复合材料所有组分和单元在受力过程中具有相同的应变
${\pmb \varepsilon } = {\pmb \varepsilon }^1 = {\pmb \varepsilon }^2 = \cdots = {\pmb \varepsilon }^m$ (1)
其中${\pmb\varepsilon }$为复合材料结构的整体应变, m代表复合材料第m个组分材料或第m个单元.
等体积分配假设是指各组分或单元的材料对结构整体的力学贡献与其体积比例成正比,即
$ {\pmb \sigma } = \sum_{m = 1}^n c^m{\pmb \sigma }^m$ (2)
$\sum_{m = 1}^n {c^m} = 1$ (3)
其中c表示各组分或单元材料的所占的体积分数,n表示组分或单元材料的总数目.
常温情况下,弹性阶段材料的应力-应变关系满足胡克定律
${\pmb \sigma } = {\pmb C} \varepsilon$ (4)
结合式(1)~式(3),复合材料整体应力-应变的关系可以表示为
$\bar{\pmb \sigma } = \sum_{m = 1}^n \left( {c^m {\pmb T} \cdot {\pmb C}^m \cdot {\pmb T}^{\rm T}} \right) \bar {\pmb\varepsilon } $(5)
其中 Cm表示第 m个组分或单元的刚度矩阵, T为坐标转换矩阵,将各单元的刚度矩阵由局部坐标转 换到全局坐标下. 由此可得复合材料的等效刚度矩阵为
$\bar{\pmb C }= \sum_{m = 1}^n \left( {c^m{\pmb T} \cdot {\pmb C }^m \cdot {\pmb T }^T} \right) (6)$
通过等效计算得到的等效刚度矩阵,求逆得到结构的柔度矩阵S,对于正交各向异性 材料而言,其柔度矩阵可表征为
${\pmb S} = \left[ \!\!\begin{array}{cccccc} {\dfrac{1}{E_1 }} & { - \dfrac{\nu _{21} }{E_2 }} & { - \dfrac{\nu _{31} }{E_3 }} & 0 & 0 & 0 \\ { - \dfrac{\nu _{12} }{E_1 }} & {\dfrac{1}{E_2 }} & { - \dfrac{\nu _{32} }{E_3 }} & 0 & 0 & 0 \\ { - \dfrac{\nu _{13} }{E_1 }} & { - \dfrac{\nu _{23} }{E_2 }} & {\dfrac{1}{E_3 }} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\dfrac{1}{G_{12} }} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\dfrac{1}{G_{23} }} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\dfrac{1}{G_{31} }} \end{array} \!\! \right] $(7)
其中 E1, E2, E3和 G12, G23, G31分别是各个方向上的弹性模量和剪切模量, v12, v23, v13为对应3个方向的主泊松比.
由等效柔度矩阵系数与材料工程常数之间的关系,可实现复合材料等效刚度的预测,并为后续热膨胀性能的预测提供依据.

1.2 热膨胀性能预测原理

热弹性力学的基本理论中,不考虑材料温度和变形的耦合关系,即假设温度和变形可以分别计算;材料始终处于弹性范围内. 温度改变时,材料的几何尺寸发生变化,此时由于温度改变而引起的热应变为
εT=αΔT(8)
ΔT=T-T0(9)
其中, α为材料的线膨胀系数矩阵, ΔT为材料的温升, T0和 T分别表示材料变形前和变形后的温度.
由式(4)和式(8),复合材料热弹性阶段的总应变为
ε=εe+εt=Sσe+αΔT(10)
其中, εe和 εt分别为复合材料弹性应力 σe和温度变化引起的应变.
当材料不受外界约束且温升恒定时,材料处于自由的热变形状态,内部应力为零,处于常应变状态; 当材料受边界约束或内部各部分间的相互制约不能实现自由热变形时会出现热应力. 考虑热载荷的复合材料热弹性阶段的本构方程为
σ=Cεe+βΔT(11)
式中, β是当应变为零时测量的热模量矩阵,由式 (10)和式(11)可以得到材料在温度变化下热膨胀系数和热模量的关系为
β=-Cα(12)
其中,热膨胀系数为标量,热模量是一个对称张量.
由式(12)可知,复合材料宏观热膨胀性能预测时,首先根据刚度预测原理得到等效刚度矩阵,再结合周期性温度边界条件完成热模量的预测,最终实现热膨胀系数的预测.

1.3 周期性边界条件

周期性边界条件是在细观分析中基于单胞模型常采用的分析方法,其施加的前提是保证各单胞模型的平行相对边界面上的单元节点一一对应,即单胞采用周期性网格划分.
在热环境下结构参数预测过程中,周期性位移边界条件和周期性温度边界条件能够有效提高计算效率和精度. 对于含周期性细观结构的连续材料,相邻边界处同时满足变形协调和应力连续的两个条件. 应变边界条件已被证实难以满足单胞边界应力连续的条件,故周期性边界条件采取应力边界条件保证边界的连续条件. Rikards等^[45]已经对具有相对平行面的单胞模型的周期性边界调节给出了具体的推导过程及证明.
根据周期性边界条件,单胞模型平行边界面上的位移差值可以表示为
u+-u-=ε(x+-x-)=εΔx(13)
其中,上标 +和 -分别表示两平行边界面沿坐标轴的正方向和负方向,$\bar {\pmb\varepsilon }$是单胞的平均应变, Δx为单胞平行边界面的距离. 从式(13)可以看出,当应变给定时,单胞模型平行面上的位移差保持不变. 因此,通过周期性边界条件的施加实现复合材料热弹性相关参数的预测.
由式(13)可知,对复合材料单胞模型施加确定性的约束,得到单胞在各方向下的平均应变. 并在相应工况下由式(2)计算单胞的平均应力,通过式(5)实现复合材料刚度的预测.
周期性边界条件在有限元分析中实现各方向下固定的位移约束的具体加载方式可以通过节点之间的约束方程进一步得到.
图1所示为复合材料结构周期性单胞示意图,单胞的尺寸为 Wx×Wy×Wz,坐标原点为A,在等效预测所需的应变载荷作用下,周期性边界条件在平行边界对面上的关系为
${\pmb u}^{x = W_x } - {\pmb u}^{x = 0} = \left\{ \begin{array}{c} W_x {\varepsilon }_{xx} \\ 0 \\ 0 \end{array} \right\} (14)$
${\pmb u}^{y = W_y } - {\pmb u}^{y = 0} = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ W_y { \varepsilon }_{yy} \\ 0 \end{array} \right\} (15)$
${\pmb u}^{z = W_z } - {\pmb u}^{z = 0} = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ W_z {\varepsilon }_{zz} \end{array} \right\} (16)$
式中上标表示各边界面所在的位置.
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图 1周期性单胞示意图
-->Fig. 1Diagram of periodic cell
-->

式(14)~式(16)给出了单胞模型在的各边界面上约束方程,但处于边界面交线和交点处的各棱边和角点按上述公式无法相互独立,故需要对各棱边和角点间的约束方程合并. 不满足上述平行对面边界关系的单胞模型,在各平行棱边之间的位移关系为
${\pmb u}^{CG} - {\pmb u}^{AE} = \left\{\!\! \begin{array}{c} {W_x { \varepsilon }_{xx} + W_y { \varepsilon }_{xy} }\\ {W_x { \varepsilon}_{yx} + W_y { \varepsilon }_{yy} }\\ {W_x { \varepsilon}_{zx} + W_y { \varepsilon }_{zy} }\end{array}\!\!\right\} (17)$
${\pmb u}^{HG} - {\pmb u}^{AB} = \left\{\!\!\begin{array}{c} {W_x { \varepsilon }_{xx} + W_z { \varepsilon }_{xz} }\\ {W_x { \varepsilon }_{yx} + W_z { \varepsilon }_{yz} }\\ {W_x { \varepsilon }_{zx} + W_z { \varepsilon }_{zz} }\end{array}\!\! \right\} (18)$
${\pmb u}^{FG} - {\pmb u}^{AD} = \left\{\!\!\begin{array}{c} {W_y { \varepsilon }_{xy} + W_z { \varepsilon}_{xz} }\\ {W_y { \varepsilon }_{yy} + W_z { \varepsilon}_{yz} }\\ {W_y { \varepsilon }_{zy} + W_z { \varepsilon}_{zz} }\end{array} \!\! \right\} (19)$
${\pmb u}^{HD} - {\pmb u}^{FB} = \left\{\!\! \begin{array}{c} {W_x { \varepsilon }_{xx} - W_y { \varepsilon }_{xy} }\\ {W_x { \varepsilon }_{yx} - W_y { \varepsilon }_{yy} }\\ {W_x { \varepsilon }_{zx} - W_y { \varepsilon }_{zy} } \end{array} \!\! \right\} (20)$
${\pmb u}^{DC} - {\pmb u}^{EF} = \left\{\!\!\begin{array}{c} {W_x { \varepsilon }_{xx} - W_z { \varepsilon }_{xz} }\\ {W_x { \varepsilon }_{yx} - W_z { \varepsilon }_{yz} }\\ {W_x { \varepsilon }_{zx} - W_z { \varepsilon }_{zz} } \end{array} \!\! \right\} (21)$
${\pmb u}^{BC} - {\pmb u}^{EH} = \left\{\!\!\begin{array}{c} {W_y { \varepsilon }_{xy} - W_z { \varepsilon }_{xz} }\\ {W_y { \varepsilon }_{yy} - W_z { \varepsilon }_{yz} }\\ {W_y { \varepsilon }_{zy} - W_z { \varepsilon }_{zz} }\end{array} \!\! \right\} (22)$
不满足平行对面和平行棱边边界关系的单胞,在各角点之间的位移关系为
$ {\pmb u}^G - {\pmb u}^A = \left\{\!\! \begin{array}{c} {W_x { \varepsilon }_{xx} + W_y { \varepsilon }_{xy} + W_z { \varepsilon }_{xz} } \\ {W_y { \varepsilon }_{yx} + W_y { \varepsilon }_{yy} + W_z { \varepsilon }_{yz} } \\ {W_x { \varepsilon }_{zx} + W_y { \varepsilon }_{zy} + W_z { \varepsilon }_{zz} } \end{array} \!\! \right\} (23)$
${\pmb u}^F - {\pmb u}^D = \left\{\!\! \begin{array}{c} { - W_x { \varepsilon }_{xx} + W_y \varepsilon _{xy} + W_z\varepsilon _{xz} } \\ { - W_x { \varepsilon }_{xy} + W_y { \varepsilon }_{yy} + W_z { \varepsilon }_{yz} } \\ { - W_x { \varepsilon }_{xz} + W_y { \varepsilon }_{zy} + W_z { \varepsilon }_{zz} } \end{array} \!\! \right\} (24)$
${\pmb u}^H - {\pmb u}^B = \left\{\!\!\begin{array}{c} {W_x { \varepsilon }_{xx} - W_y { \varepsilon }_{xy} +W_z { \varepsilon }_{xz} } \\ {W_x { \varepsilon }_{xy} - W_y { \varepsilon }_{yy} +W_z { \varepsilon }_{yz} } \\ {W_x { \varepsilon }_{xz} - W_y { \varepsilon }_{zy} +W_z { \varepsilon }_{zz} }\end{array}\!\! \right\} (25)$
${\pmb u}^G - {\pmb u}^A = \left\{ \!\!\begin{array}{c} {W_x { \varepsilon }_{xx} + W_y { \gamma }_{xy} + W_z { \gamma}_{zx} } \\ {W_y { \varepsilon }_{yy} + W_z { \gamma }_{yz} } \\ {W_z { \varepsilon }_{zz} } \\ \end{array} \!\! \right\} (26)$
根据 式(14) ~式(26)可得到周期性边界条件约束方程. 基于上述平行对面、棱边、角点的周期性边界条件约束方程,进 行以下刚度等效预测. 采用施加强制位移的方式进行6种单位应变载荷下静力分析,计算对应单位应变载荷下的平均应力. 当 ε1=1; ε2=ε3=γ4=γ5=γ6=0时,应力矩阵等于刚度矩阵的第一列 [c11c21c31c41c51c61]T;依次每施加一个单位正(切)应变所得的应力列阵等于刚度矩阵中相应的一列. 通过以上6种工况计算 得到结构的等效刚度矩阵. 表1为刚度等效预测时施加的6种基于周期性位移边界条件的应变载荷和对应的强制位移. 表2为 热模量等效预测施加的3种温度边界条件. 求解的热膨胀系数是在 T=T0时的值,如果材料组分(纤维、基体)的性能在温 度变化区间[ T0, T1]内不是常量,可将原区间细分为若干子区间,认为每个子区间内材料的性能参数为常数. 考虑 上述因素,因此在施加边界条件时,选取的温差值 a,b,c在整个温差 ΔT范围内,材料参数都保持不变,可以不必细分温度区间.
Table 1
表 1
表 1刚度等效预测施加的6种周期性位移边界条件
Table 1Six kinds of boundary conditions when stiffness equivalent predicting

Conditions	Strain loads	Forced displacement applied
Case 1	εx00000	uxx=Wx=Wx;uxx=0=uy=uz=0
Case 2	0εy0000	uyy=Wy=Wy;ux=uyy=0=uz=0
Case 3	00εz000	uzz=Wz=Wz;uy=uy=uzz=0=0
Case 4	000γxy00	uxy=Wy=Wy;uxy=0=uy=uz=0
Case 5	0000γyz0	uyz=Wz=Wz;ux=uyz=0=uz=0
Case 6	00000γzx	uzx=Wx=Wx;uy=uy=uzx=0=0

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Table 2
表 2
表 2热模量等效预测施加的3种温度边界条件
Table 2Three kinds of temperature boundary conditions when thermal modulus equivalent predicting

Conditions	Temperature load	Forced temperature applied
Case 1	$\left\{ {\Delta T_x } \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \right\}$	$(a \ \ 0 \ \ 0) ; \ T_{1}-T_{0} =a$
Case 2	$\left\{ 0 \ \ {\Delta T_y } \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \right\}$	$(0 \ \ b \ \ 0) ; \ T_{1}-T_{0} =b$
Case 3	$\left\{ 0 \ \ 0 \ \ {\Delta T_z } \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \right\}$	$(0 \ \ 0 \ \ c) ; \ T_{1}-T_{0} =c$

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2 热环境下结构热弹性参数识别流程

图2为热环境下结构热弹性参数识别流程图,首先通过对复合材料单胞模型施加周期性位移边界条件和温度边界条件, 进行结构刚度预测和热膨胀性能预测,并通过式(12)完成复合材料热环境下结构热弹性参数的等效预测. 考虑到等效预测过程中材料的编织复合材料应力分布不均匀等因素引起的等效预测误差,将等效预测的结果作为均匀化模 型的初始材料参数,与单胞模型平移、复制、变换得到的精细化模型的热模态分析结果进行对比,将热环境下参数识别转 化为优化问题.
在结构参数等效预测过程中,利用周期性位移边界条件对单胞模型结构施加单位应变,得到各边界条件下的单元应力,模 型单胞的体积,计算平均应力
$\bar{\pmb \sigma } = \dfrac{1}{V}\sum_{m = 1}^n {\left( {v^m{\pmb \sigma }^m } \right)} (27)$
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图 2热弹性参数识别流程
-->Fig. 2Flow chart of thermo-elastic parameter identification
-->

其中 v和 V分别表示单胞的单元体积和总体积.
通过温度边界条件施加单位温度差,热分析得到单胞模型的非均匀温度场和平均温度梯度,施加位移边界条件和非均匀温度场, 通过体积平均计算单胞模型的平均热应力,并由式(28)计算等效热模量
$\bar{\pmb \beta } = \dfrac{1}{\Delta \bar {T}} \bar {\pmb \sigma } $(28)
式中, β?表示等效热模量; ΔT?表示单位长度的温度梯度的平均值. 最后,由式(12)得到等效热膨胀系数.
利用等效后均匀化模型与编织结构精细化模型进行反演识别. 将精细模型和均匀化模型的热模态频率差值的二范数作为目标函数
F(p)=ω*-ω?2(29)
其中, ω*为精细化模型热模态分析频率, ω?均匀化模型的热模态分析频率.
利用差分法计算热模态响应对各结构参数的灵敏度矩阵,通过最小二乘法最小化目标函数,第 k次迭代的参数增量为
$\Delta {\pmb p}^k = ({\pmb S}^k {\pmb S}^k )^{ - 1}{\pmb S}^k ( {\pmb\omega}^\ast - \bar {\pmb\omega }^k ) $(30)
pk+1=pk+Δpk(31)
其中, S为差分法计算的灵敏度矩阵. 当运算结果不满足收敛准则时,更新材料参数,重新进行热模态分析, 当满足收敛准则时,迭代终止.
以等效预测的结果为优化识别算法的初值,即能 有效降低等效预测 的误差,又能减少反演分析中 局部收敛问题,提高结 构参数识别的精度和效率.

3 方法验证

3.1 单胞模型的选取

合理有效反映纤维束空间构型和交织特征的单胞模型是基于细观力学有限元方法分析材料性能的前提. 从二维二轴1 ×1编织复合材料结构中选取细观单胞模型,其中1 #x00D7;1表示两个方向编织纱束每隔一束交叉一次, 单胞参数见表3, 结构和模型如图3所示. 二维编织复合材料预制件成型过程中,编织纱束相互交叠和挤压,由于编织纱束张力的作用,纤维束截面形状将会发生改变. 为便于实体单胞模型的建立,本文对纤维束截面形状修正为如图4所示的六边形. 本文实体模型的建立采用如下假设：(1)编织纤维束截面形状为扁平状六边形,左右两边为等腰
Table 3
表 3
表 3纤维束的横截面几何尺寸及纤维体积分数
Table 3The geometrical size of cross section and fiber volume fraction of fiber bundles

Cross-sectional width L	The width of the triangle a	The width of the rectangle b	Section thickness t	Braid angle a	Fiber volume fraction w
0.8mm	7.5×10-2 mm	0.65mm	0.1mm	45°	63%

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图 3二维二轴1×1编织复合材料结构及单胞模型
-->Fig. 3Two-dimensional two-axis 1×1 braided composites structure and cell model
-->
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图 4编织纱束修正的横截面
-->Fig. 4Cross section of the modified braid beam
-->

三角形,中间为矩形. (2)两个方向的编织纱束的宽度、厚度相等,横截面的体积也相等. 编织纱束沿编织走向保持不变,即不考虑编织纱束截面的扭转变形. (3)单胞尺寸为2 mm× 2 mm× 0.23 mm.
对选取的单胞进行有限元建模分析,如图5(b)所示. 对于含周期性细观单胞结构的连续材料,单胞相邻边界处应满 足两个连续性条件,即变形连续和应力连续.
在二维编织复合材料单胞中,自然坐标与参考坐标之间主应力/应变存在一定的角度. 根据不同的编织方向,建立局部坐标 系如图6所示. 二维编织复合材料的材料性能,根据材料组分和局部坐标的不同共分为6种材料属性, 图6 (a)中每种颜色代表了
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图 5二维编织单胞几何模型及横截面修正后有限元模型
-->Fig. 5Two-dimensional woven cell geometric model and cross-section modified finite element model
-->

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图 6单胞材料属性
-->Fig. 6Material properties of unit cell
-->

纱线在局部坐标系下的一种材料属性. 由于基体是各向同性的材料,不需要建立基体的局部坐标系,考虑基体的单胞材料属性如图6(b)所示.
选择编织复合材料的单胞模型作为热弹性相关参数识别的研究对象进行分析. 编织复合材料纤维和基体组分的弹性参数 和热膨胀性能如表4所示,其中纤维为横观各向同性材料,其主方向与材料的 编织方向相同,基体为各向同性材料. 假设单胞结构的主方向与整体坐标系的主方向相同,在等效预测中通过坐标转换矩阵将纤维材料组分的刚度矩阵从局部坐标 转换到整体坐标系下. 基于周期性边界条件和温度边界条件,施加6种单位应变载荷和3种温度梯度载荷来预测编织复合材料宏观参数,即9个互相独立的 弹性参数和3个热膨胀系数. 其中,等效密度通过加权平均得到.

3.2 热弹性相关参数等效预报

通过6种单位应变载荷边界得到的得到等效刚度矩阵,将等效的刚度阵求逆得到等效柔度矩阵,根据式(7)得到等效模型的 正交各向异性材料参数,得到编织复合材料的等效弹性参数及热膨胀系数,如表5所示.
Table 4
表 4
表 4纤维和基体的热弹性参数
Table 4Thermo-elastic parameters of fiber and matrix


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Table 5
表 5
表 5弹性参数等效预报结果
Table 5Equivalent elastic parameters


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热结构分析得到热应力之后,结合式(12)、式(27)和式(28),代入等效刚度矩阵,预报的结构热膨胀系数如表6所示.

3.3 基于等效模型参数识别

二维编织复合材料单胞经平移、拉伸、复制变化得到精细结构模型,结构尺寸为20 mm × 2 mm × 0.23 mm. 以 上述等效预报结果作为材料参数初值建立相同尺寸的均匀化结构模型. 计算精细模型和均匀化模型的热模态,并将其作为参数识别的目标函数,对等效预测得到的热弹性参数进行识别. 表 7为识别前、后结构的热模态频率及相对应的误差,对比识别前、后等效模型的热模态频率和精细模型的误差可知,在目标函数 误差减小的同时结构热弹性参数逐步趋于真值. 识别后等效模型的模态振型如图7所示,识别后的热弹性参数如表8所示.
Table 6
表 6
表 6热膨胀系数等效预报结果
Table 6Equivalent coefficient of thermal expansion


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Table 7
表 7
表 7识别前、后结构的热模态频率及误差
Table 7The thermal mode frequency and corresponding error before and after identification


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图7识别后等效模型的前6阶振型
-->Fig. 7The first six orders mode shapes of equivalent model after identification
-->

Table 8
表 8
表 8识别后的热弹性参数
Table 8The thermal elastic parameters after identification


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4 结 论

本文以复合材料细观力学为基础,研究了热弹性参数预测方法,然后针对由均匀化理论理想化假设产生的等效预测误差, 提出一种基于热模态数据的编织复合材料热弹性相关参数识别方法. 本文在二维编织复合材料单胞模型基础上,施加周期性位移边界条件和温度边界条件,获得编织结构的宏观热弹性参数及热膨胀系数. 将精细模型的热模态参数作为参考,识别高温环境下编织复合材料宏观热弹性相关参数,为准确、高效的复合材料热结构 动态分析奠定基础.
The authors have declared that no competing interests exist.

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参考文献文献选项 原文顺序
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