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基于介观力学信息的颗粒材料损伤--愈合与塑性宏观表征

本站小编 Free考研考试/2022-01-01

王增会, 李锡夔
大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连 116024

MESO-MECHANICALLY INFORMED MACROSCOPIC CHARACTERIZATION OF DAMAGE-HEALING-PLASTICITY FOR GRANULAR MATERIALS

WangZenghui, LiXikui
The State Key Laboratory of Structure Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China
中图分类号:O345
文献标识码:A

收稿日期:2017-11-5
接受日期:2017-11-5
网络出版日期:2018-04-17
版权声明:2018《力学学报》编辑部《力学学报》编辑部所有
基金资助:

国家自然科学基金资助项目(11372066).

作者简介:
-->作者简介：李锡夔，教授，主要研究方向：计算力学，颗粒材料多尺度力学. E-mail: xikuili@dlut.edu.cn

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摘要
本文在二阶计算均匀化框架下提出了颗粒材料损伤--愈合与塑性的多尺度表征方法. 颗粒材料结构在宏观尺度模型化为梯度Cosserat连续体,在其有限元网格的每个积分点处定义具有离散颗粒介观结构的表征元. 建立了表征元离散颗粒系统的非线性增量本构关系. 表征元周边介质作用于表征元边界颗粒的增量力与增量力偶矩以表征元边界颗粒的增量线位移与增量转动角位移、当前变形状态下表征元离散介观结构弹性刚度、以及凝聚到表征元边界颗粒的增量耗散摩擦力表示. 基于平均场理论与Hill定理,导出了基于介观力学信息的梯度Cosserat连续体增量非线性本构关系. 在等温热动力学框架下定义了表征颗粒材料各向异性损伤--愈合和塑性的损伤、愈合张量因子与综合损伤、愈合效应的净损伤张量因子和塑性应变. 此外,定义了损伤和塑性耗散能密度与愈合能密度,以定量比较材料损伤、愈合、塑性对材料失效的效应. 应变局部化数值例题结果显示了所建议的颗粒材料损伤--愈合--塑性表征方法的有效性.

关键词：颗粒材料;梯度加强Cosserat连续体;离散颗粒集合体;二阶计算均匀化;各向损伤--愈合与塑性表征;热动力学
Abstract
The multiscale characterization of coupled damage-healing and plasticity for granular materials is presented in the frame of second-order computation homogenization. The structure composed of granular materials is modeled as Cosserat continuum at the macroscale. The representation volume element (RVE) possessing the meso-structure of discrete particle assembly is assigned at each of the integration points of the finite element mesh generated in the macroscopic continuum. The incremental non-linear constitutive relation for the discrete particle assembly of RVE is established. The incremental forces and couple moments applied to the peripheral particles on the boundary of the RVE from the medium outside the RVE are expressed in terms of the incremental translational and rotational displacements of peripheral particles of the RVE, the elastic stiffness of the current deformed meso-structural RVE, and the incremental dissipative frictional forces condensed to the peripheral particles of the RVE. Based on the average field theory and the Hill’s lemma, meso-mechanically informed macroscopic incremental nonlinear constitutive relation is derived for the gradient-enhanced Cosserat continuum. The tensorial damage, healing factors, and the tensorial net damage factor combining the effects of both the damage and the healing and the plastic strain to characterize anisotropic damage-healing and plasticity of granular materials are defined in the isothermal thermodynamic framework. In addition, densities of damage and plastic dissipative energies, the density of healing energy are defined so that the damage, the healing and the plastic effects on the failure of granular material are quantitatively comparable. The results of the example problem of strain localization demonstrate validity of the proposed method for characterizing the damage-healing-plasticity occurring in granular materials.

Keywords：granular materials;gradient-enhanced Cosserate continuum;discrete granular aggregate;second-order computation homogenization;characterization of anisotropic damage-healing and plasticity;thermodynamics

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王增会, 李锡夔. 基于介观力学信息的颗粒材料损伤--愈合与塑性宏观表征[J]. 力学学报, 2018, 50(2): 284-296 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-362
Wang Zenghui, Li Xikui. MESO-MECHANICALLY INFORMED MACROSCOPIC CHARACTERIZATION OF DAMAGE-HEALING-PLASTICITY FOR GRANULAR MATERIALS[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018, 50(2): 284-296 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-362

引言

颗粒材料广泛的存在于自然界与实际工程应用中,如土体,土石混合体,地质体以及混凝土结构中. 在介观尺度,颗粒材料由大量不同形状、尺度的离散固体颗粒及空隙组成,为高度非均质、非连续介质. 颗粒材料非线性、耗散等力学行为与其离散介观结构随力学响应的演变过程有着直接的联系. 联接宏--介观力学行为模拟的多尺度计算分析方法,被用以研究颗粒材料的复杂力学行为.
在介观尺度上颗粒材料的每个离散颗粒具有独立的旋转自由度与平动自由度,在接触点处能同时传递力和力偶. 因而在多尺度分析中,它在宏观尺度上模型化为Cosserat连续体,而不是Cauchy连续体^{[1,2,3,4,5,6,7]}. 非均质材料的介--宏观计算均匀化模拟基于Hill定理,据此可以给定表征元(representation volume element, RVE)的静力学或运动学容许边界条件,使得Hill-Mendal宏--介观能量等价条件得到满足^[8,9].
经典Cosserat连续体的Hill定理表明^[4,9],宏观Cosserat连续体仅能下传与施加均一性宏观应变场于表征元边界. 作用于表征元均一宏观应变场的合理性基于尺度分离概念,考虑到表征元尺寸并非远小于宏观连续体有限元分析的特征尺寸,特别是在高宏观应变梯度(如应变局部化)区域尺度分离条件不再成立. 为施加非均一宏观应变场于表征元边界,要求在宏观尺度采用梯度增强Cosserat连续体模型 ^[10],并发展了相应的二阶计算均匀化方法 ^[11]和在宏--介观尺度的混合元--离散元嵌套算法 ^[12].
然而,基于离散颗粒系统--连续体模型的颗粒材料计算多尺度方法的表征元介观尺度分析并不直接提供和上传表征相应积分点处损伤、塑性等的内状态变量至宏观连续体,而这正是从事颗粒材料结构工程破坏分析的工程技术人员所关心和需要的数值模拟结果. 本文主要工作是在颗粒材料计算均匀化多尺度分析框架下,建议一个基于介观力学的宏观连续体中材料损伤--塑性表征方法.
塑性的基本特征是连续体变形的不可恢复性以及在塑性变形过程中所做的塑性功的不可逆性. 经典连续损伤力学中材料损伤定义为以弹性模量张量表示的弹性刚度降低^[13,14,15].
材料塑性与损伤描述了不可逆的能量耗散过程. 在连续介质力学唯象方法中,塑性与损伤理论研究基于热动力学框架与引入以唯象形式定义的内变量以定量描述材料内部微结构演变和所伴随的不可逆能量耗散^{[16,17,18,19,20]}.
损伤力学的近期研究表明,包括颗粒材料在内的许多工程材料在一定条件下具备愈合与部分恢复它们的刚度的潜能^{[21,22,23,24,25]}. 需要拓展经典连续损伤力学理论,以计及具有非耗散本质的愈合过程 ^[26]. 大部分模拟愈合过程的本构模型基于唯象理论 ^{[26,27,28,29,30,31,32,33]}. Ju等^[31,32]首先对岩土材料提出了一个新的弹塑性--损伤--愈合唯象耦合模型.
需要指出的是,在损伤--塑性耦合分析的宏观唯象理论框架内,损伤现象一般假定为各向同性 ^[34]. 然而,对于包括颗粒材料在内的具有非均质和复杂介观结构的材料,材料的损伤与愈合在本质上为各向异性. 各向异性来源于颗粒材料局部初始介观结构的各向异性以及由于颗粒材料力学响应导致的局部介观结构演变的各向异性^{[35,36,37,38]}.
本文从颗粒材料介观尺度的离散颗粒集合体力学响应分析出发,在二阶计算均匀化框架内对具有离散颗粒介观结构的表征元建立了等价连续体的增量非线性本构方程;把连续体本构关系中所定义的塑性--损伤--愈合行为以离散颗粒集合体中颗粒间相对耗散摩擦滑移、直接相邻颗粒间接触取向的改变、接触的丧失与再生等介观力学信息表示.
进一步,在颗粒材料热动力学框架 ^[38]内定义了基于表征元介观力学信息的塑性应变以及各向异性损伤、愈合因子张量和综合了各向异性损伤、愈合效应的净损伤因子张量. 进一步,以塑性、损伤耗散能与非耗散的愈合能等具有标量特征的内状态量表征并定量比较材料的塑性--损伤--愈合效应. 应变局部化数值算例表明了基于介观力学信息的宏观梯度Cosserat连续体中塑性--损伤--愈合表征方法的有效性.

1 凝聚于表征元边界的离散颗粒集合体非线性增量本构方程

一对典型接触颗粒,在时间段

[t_{i - 1}, t_{i}]

,颗粒

m

的位移增量为

Δ u_{m} = {[u_{x}^{m} u_{y}^{m} ω^{m}]}^{T}

,颗粒

n

的位移增量为

Δ u_{n} = {[u_{x}^{n} u_{y}^{n} ω^{n}]}^{T}

,如图1所示.

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图1典型的接触颗粒对 $m$ 和 $n$
-->Fig. 1A typical contact between particle $m$ and particle $n$
-->

颗粒

n

为参考颗粒,按照右手螺旋法则定义与其接触颗粒

m

在接触点

c

处的局部坐标

n - t

. 颗粒

n

和颗粒

m

之间的相对接触位移增量为

Δ u_{l}^{nm} = T^{nm} Δ u^{nm}

(1)
其中

Δ u^{nm} = {[Δ u_{n} Δ u_{m}]}^{T}, T^{nm} = [T^{n} T^{m}]

T^{n} = [\begin{array}{l} \cos α & - \sin α & 0 \\ \sin α & \cos α & r_{n} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

(2)

T^{m} = [\begin{array}{l} - \cos α & - \sin α & 0 \\ \sin α & - \cos α & r_{m} \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]

(3)
考虑颗粒接触间相对切向滑动和滚动以及相对转动对接触力的影响,颗粒

m

作用于颗粒

n

的接触力增量在局部坐标下可表示为

Δ f_{l}^{nm} = K_{l} T^{nm} Δ u^{nm} - Δ f_{l}^{nm, p}

(4)
其中

Δ f_{l}^{nm} = {[Δ f_{n}^{nm} Δ f_{t}^{nm} Δ m^{nm}]}^{T}

为接触力矢量增量,

Δ f_{n}^{nm}

Δ f_{t}^{nm}

Δ m^{nm}

分别为接触点处,法向、切向力增量与转动力矩增量;

K_{l}

为颗粒间接触点刚度阵;塑性力增量为

Δ f_{l}^{nm, p} = {[0 Δ f_{t}^{nm, p} Δ m^{nm, p}]}^{T}

,其中

\begin{array}{l} Δ f_{t}^{nm, p} = - k_{s}^{nm} Δ u_{s}^{nm, p} - k_{r}^{nm} Δ u_{r}^{nm, p} 2 mm] \end{array}

Δ m^{nm, p} = k_{θ}^{nm} Δ θ_{r}^{nm, p} + (k_{s}^{nm} Δ u_{s}^{nm, p} + k_{r}^{nm} Δ u_{r}^{nm, p}) r_{n}

Δ f_{t}^{nm, p}

和

Δ m^{nm, p}

分别为切向塑性接触力增量与塑性转动力矩增量,

Δ u_{s}^{nm, p}

为切向相对滑动位移增量

Δ u_{s}^{c}

的耗散部分,

Δ u_{r}^{nm, p}

为切向相对滚动位移增量

Δ u_{r}^{c}

的耗散部分,

Δ θ_{r}^{nm, p}

为接触颗粒

n, m

间的相对转动位移增量

Δ θ_{r}^{c}

的耗散部分,

k_{s}^{nm}

k_{r}^{nm}

k_{θ}^{nm}

分别为接触颗粒间切向滑动摩擦力、切向滚动摩擦力、转动力矩刚度系数. 把式(4)转换到全局坐标,可以写成

\begin{array}{l} Δ f^{nm} = T_{g} (K_{l} T^{nm} Δ u^{nm} - Δ f_{l}^{nm, p}) = K^{nm} Δ u^{nm} - Δ f^{nm, p} \end{array}

(5)
其中

T_{g}

为局部到全局坐标转换矩阵,

K^{nm} = T_{g} K_{l} T^{nm}

为参考全局坐标系的刚度阵,

Δ f^{nm, p} = T_{g} Δ f_{l}^{nm, p}

为全局坐标系下塑性力增量.
颗粒

n

的所有直接相邻接触颗粒作用于颗粒

n

的接触力求和表示为

\begin{array}{l} Δ f^{n} = \sum_{m=1}^{} ? (K^{nm} Δ u^{nm} - Δ f^{nm, p}) = \sum_{m=1}^{} ? K^{nm} Δ u^{nm} - \sum_{m=1}^{} ? Δ f^{nm, p} \end{array}

(6)
其中

N_{m}

为颗粒

n

的直接相邻颗粒数目. 整个表征元内离散颗粒集合体的内力与外力增量关系可以写成

\begin{array}{l} [\begin{array}{l} K_{II} & K_{IB} \\ K_{BI} & K_{BB} \end{array}] \{\begin{array}{l} \begin{matrix} Δ u_{I} \\ Δ u_{B} \end{matrix} \end{array}\} - \{\begin{array}{l} \begin{matrix} Δ F_{I}^{p} \\ Δ F_{B}^{p} \end{matrix} \end{array}\} = \{\begin{array}{l} \begin{matrix} Δ F_{I}^{ext} \\ Δ F_{B}^{ext} \end{matrix} \end{array}\} \end{array}

(7)
其中

K_{II}

K_{IB}

K_{BI}

K_{BB}

是按照表征元内部颗粒与边界颗粒划分的表征元刚度阵的分块子矩阵,

Δ u_{I}

Δ u_{B}

为内部颗粒和边界颗粒位移及转角增量,

Δ F_{I}^{p}

和

Δ F_{B}^{p}

为内部颗粒与边界颗粒的塑性力分量增量,

Δ F_{I}^{ext}

和

Δ F_{B}^{ext}

为作用于内部颗粒与边界颗粒形心处的外力增量. 在收敛状态下

Δ F_{I}^{ext}

可以忽略,

Δ F_{B}^{ext}

通过表征元的边界接触点作用在边界颗粒上面,因此式(7)改写为

Δ u_{I} = K_{II}^{- 1} (Δ F_{I}^{p} - K_{IB} Δ u_{B})

（8）

K_{B} Δ u_{B} - (Δ F_{B}^{p} - K_{BI} K_{II}^{- 1} Δ F_{I}^{p}) = Δ F_{B}^{ext}

（9）
其中

K_{B} = K_{BB} - K_{BI} K_{II}^{- 1} K_{IB}

,令

Δ F_{B}^{*} = Δ F_{B}^{p} - K_{BI} K_{II}^{- 1} Δ F_{I}^{p}

,式(9)可以写成

K_{B} Δ u_{B} - Δ F_{B}^{*} = Δ F_{B}^{ext}

(10)
其中

Δ F_{B}^{ext}

可拆分成边界颗粒形心上的外力

Δ f_{B}^{ext}

与外力矩

Δ m_{Bc}^{ext}

两部分,

Δ u_{B}

对应拆分成

Δ u_{B}

与

Δ ω_{B}

两部分,

Δ F_{B}^{*}

则拆分成

Δ F_{u}^{p}

与

Δ F_{ω}^{* p}

两部分, 式(10)可以写成

[\begin{array}{l} K_{uu}^{b} & K_{u ω}^{b} \\ K_{ω u}^{b *} & K_{ωω}^{b *} \end{array}] \{\begin{array}{l} \begin{matrix} Δ u_{B} \\ Δ ω_{B} \end{matrix} \end{array}\} - \{\begin{array}{l} \begin{matrix} Δ F_{u}^{p} \\ Δ F^{* p} \end{matrix} \end{array}\} = \{\begin{array}{l} Δ f_{B}^{ext} \\ Δ m_{Bc}^{ext} \end{array}\}

(11)
边界颗粒形心处力矩

Δ m_{Bc}^{ext}

与边界接触点处的外力

Δ f_{B}^{ext}

与力矩

Δ m_{B}^{ext}

的关系可以写成

Δ m_{Bc}^{ext} = Δ m_{B}^{ext} + R_{n}^{T} Δ f_{B}^{ext}

(12)
其中

R_{n}^{T}

是下面矩阵的转置

R_{n} = [\begin{array}{l} R_{1}^{c} & 0 & 0 \\ 0 & ? & 0 \\ 0 & 0 & R_{p}^{c} \end{array}]

(13)
其中对于第

i

个边界颗粒

R_{i}^{c} (i = 1,2, ?, p)

定义为

R_{i}^{c} = [\begin{array}{l} 0 & {(r_{3}^{c})}_{i} & - {(r_{2}^{c})}_{i} \\ - {(r_{3}^{c})}_{i} & 0 & {(r_{1}^{c})}_{i} \\ {(r_{2}^{c})}_{i} & - {(r_{1}^{c})}_{i} & 0 \end{array}]

(14)
式中

r_{i}^{c} = x_{i}^{c} - x_{i}

x_{i}

和

x_{i}^{c}

分别是第

i

个边界颗粒形心和此颗粒与边界接触点的位置向量. 把式(12)代入式(11)得到

[\begin{array}{l} K_{uu}^{b} & K_{u}^{b} \\ K_{u}^{b} & K_{ωω}^{b} \end{array}] \{\begin{matrix} \begin{array}{l} Δ u_{B} \end{array} \\ Δ ω_{B} \end{matrix}\} - \{\begin{matrix} \begin{array}{l} Δ F_{u}^{p} \end{array} \\ Δ F^{p} \end{matrix}\} = \{\begin{array}{l} Δ f_{B}^{ext} \\ Δ m_{B}^{ext} \end{array}\}

(15)
式中

K_{u}^{b} = K_{u}^{b *} - R_{n}^{T} K_{uu}^{b}

K_{}^{b} = K_{}^{b *} - R_{n}^{T} K_{u}^{b}

Δ F^{p} = Δ F^{* p} - R_{n}^{T} Δ F_{u}^{p}

,注意边界颗粒形心位移增量

Δ u_{B}

与边界颗粒和表征元边界接触点位移增量

Δ u_{B}^{c}

之间关系

Δ u_{B} = Δ u_{B}^{c} - R_{n} Δ ω_{B}

, 式(15) 改写成

Δ f_{B}^{ext} = K_{uu}^{b} Δ u_{B}^{c} + K_{u}^{bc} Δ \overset{?}{ω}_{B} - Δ F_{u}^{p}

（16）

Δ m_{B}^{ext} = K_{u}^{b} Δ u_{B}^{c} + K_{ωω}^{bc} Δ \overset{?}{ω}_{B} - Δ F^{p}

（17）
式中

K_{u}^{bc} = K_{u}^{b} - K_{uu}^{b} R_{n}

K_{}^{bc} = K_{}^{b} - K_{u}^{b} R_{n}

Δ f_{B}^{ext}

与

Δ m_{B}^{ext}

中的第

i

个子向量为通过表征元边界接触点作用于表征元第

i

个周边颗粒的外力与外力矩,且可表示为

\begin{array}{l} Δ f_{i}^{ext} = \sum_{j=1}^{} ? [{(K_{uu}^{b})}_{ij} {(Δ u_{B}^{c})}_{j} + {(K_{u}^{bc})}_{ij} {(Δ \overset{?}{ω}_{B})}_{j}] - (Δ F_{u}^{p})_{i} = \\ \sum_{j=}^{1} ? [(K_{uu}^{b})_{ij} (Δ u_{j}^{c} + (K_{u}^{bc})_{ij} Δ \overset{?}{ω}_{j}] - (Δ F_{u}^{p})_{i} \end{array}

(18)
其中,

f, K, u, \overset{?}{ω}

均为矩阵.

Δ m_{i}^{ext} = \sum_{j=1}^{} ? [{(K_{u}^{b})}_{ij} {(Δ u_{B}^{c})}_{j} + {(K_{ωω}^{bc})}_{ij} {(Δ ω_{B})}_{j}] - (Δ F^{p})_{i} =

\sum_{j=1}^{} ? [(K_{wu}^{b})_{ij} (Δ u_{j}^{c} + (K_{ωω}^{bc})_{ij} Δ \overset{?}{ω}_{j}] - (Δ F^{p})_{i}

（19）
其中

N_{c}

为边界颗粒总数,

{(K_{uu}^{b})}_{ij}

{(K_{u}^{bc})}_{ij}

{(K_{u}^{b})}_{ij}

与

{(K_{ωω}^{bc})}_{ij}

分别是

K_{uu}^{b}

K_{u}^{bc}

K_{u}^{b}

与

K_{ωω}^{bc}

的子矩阵.

2 基于介观力学信息的宏观梯度Cosserat连续体非线性增量本构关系

颗粒材料梯度增强Cosserat连续体中局部样条点(即有限元网格积分点)处的应力等于与该点相关联的表征元的平均应力. 它们可通过如下表征元的边界积分,边界积分可进一步离散到表征元中所有边界颗粒与表征元边界接触点处的力学与几何量,表示为

\overset{?}{σ} = 1 V \int_{S} ? x ? t dS = 1 V \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? f_{i}^{ext}

(20)

\overset{?}{T} = - e : σ = - 1 V e : \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? f_{i}^{ext}

(21)

\overset{?}{Σ} = 12 V \int_{S} ? x ? x ? t dS = 12 V \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? x_{i}^{c} ? f_{i}^{ext}

(22)

\overset{?}{μ}^{0} = 1 V \int_{S} ? x ? m dS + 12 V \int_{S} ? x ? x ? t dS : e = 1 V \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? x_{i}^{c} ? f_{i}^{ext} : e

(23)
其中

\overset{?}{σ}

为Cauchy应力,

\overset{?}{T}

为内扭矩,

\overset{?}{Σ}

为应力矩的对称部分,

\overset{?}{μ}^{0}

为偶应力;

V

S

为每个积分点处表征元体积与边界,

x

t

m

分别为表征元边界上任何一点的位置向量、面力与面力偶向量,

e

为三阶置换张量.
根据Hill定理、满足Hill-Mandel能量条件而应施加于表征元边界离散颗粒处的边界条件为 ^[11]

{(Δ u_{B}^{c})}_{i} = x_{i}^{c} ? Δ \overset{?}{Γ} + 12 (x_{i}^{c} ? x_{i}^{c}) : Δ \overset{?}{E} (24)

{(Δ \overset{?}{ω}_{B})}_{i} = Δ \overset{}{ω} + x_{i}^{c} ? Δ \overset{?}{κ} (25)

其中

\overset{?}{Γ}

\overset{?}{E}

\overset{?}{ω}

\overset{?}{κ}

为与表征元相关联的积分点处

\overset{?}{σ}

\overset{?}{Σ}

\overset{?}{T}

\overset{?}{μ}^{0}

功共轭的宏观梯度Cosserat连续体应变度量.
利用式(18)和式(19)以及式(24)和式(25),式(20)

~

式(23)的增量形式可写成

\begin{array}{l} Δ \overset{?}{σ} = D_{σ}^{Γ} : Δ \overset{?}{Γ} + D_{σ}^{\overset{?}{E}} ? Δ \overset{}{E} + D_{σ}^{ω} ? Δ \overset{?}{ω} + D_{σ}^{κ} : Δ \overset{}{κ} - Δ \overset{?}{σ}^{p} \\ Δ Σ = D_{\overset{?}{Σ}}^{Γ} : Δ \overset{?}{Γ} + D_{\overset{?}{Σ}}^{\overset{?}{E}} ? Δ \overset{?}{E} + D_{\overset{?}{Σ}}^{ω} ? Δ \overset{?}{ω} + D_{\overset{?}{Σ}}^{κ} : Δ κ - Δ Σ^{p} \\ Δ \overset{?}{T} = D_{T}^{Γ} : Δ \overset{?}{Γ} + D_{T}^{\overset{?}{E}} ? Δ \overset{?}{E} + D_{σ}^{T} ? Δ \overset{?}{ω} + D_{T}^{κ} : Δ κ - Δ T^{p} \\ Δ \overset{?}{μ}^{0} = D_{μ}^{Γ} : Δ \overset{?}{Γ} + D_{μ}^{\overset{?}{E}} ? Δ \overset{?}{E} + D_{μ}^{ω} ? Δ \overset{?}{ω} + D_{μ}^{κ} : Δ κ - Δ μ^{0, p} \end{array}\}

(26)
令

\begin{array}{l} Δ \overset{?}{Ξ} = [Δ \overset{?}{σ} Δ \overset{?}{Σ} Δ \overset{?}{T} Δ \overset{?}{μ}^{0}]^{T} \\ Δ \overset{?}{Λ} = [Δ \overset{?}{Γ} Δ \overset{?}{E} Δ \overset{?}{ω} Δ \overset{?}{κ}]^{T} \end{array}

式(26)可以写成

Δ \overset{?}{Ξ} = D_{t}^{e} (Δ \overset{?}{Λ} - Δ \overset{?}{Λ}^{p}) = D_{t}^{e} Δ \overset{?}{Λ} - Δ \overset{?}{Ξ}^{p}

(27)

D_{t}^{e} = [\begin{array}{l} D_{σ}^{Γ} & D_{σ}^{\overset{?}{E}} & D_{σ}^{ω} & D_{σ}^{κ} \\ D_{\overset{?}{Σ}}^{Γ} & D_{\overset{?}{Σ}}^{\overset{?}{E}} & D_{\overset{?}{Σ}}^{ω} & D_{\overset{?}{Σ}}^{κ} \\ D_{T}^{Γ} & D_{T}^{\overset{?}{E}} & D_{T}^{ω} & D_{T}^{κ} \\ D_{μ}^{Γ} & D_{μ}^{\overset{?}{E}} & D_{μ}^{ω} & D_{μ}^{κ} \end{array}]

(28)
其中

D_{t}^{e}

为当前时刻包含16个弹性子矩阵 ^[11]的弹性模量张量,

Δ \overset{?}{Λ}^{p}

为塑性应变增量,

Δ \overset{Ξ}{}^{p}

为对应的塑性应力增量,其计算形式如下所示

\begin{array}{l} Δ \overset{?}{Ξ}^{p} = \{\begin{array}{l} Δ \overset{?}{σ}^{p} \\ Δ \overset{?}{Σ}^{p} \\ Δ \overset{?}{T}^{p} \\ Δ \overset{?}{μ}^{0, p} \end{array}\} = \{\begin{array}{l} \frac{1}{V} \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? (Δ F_{u}^{p})_{i} \\ \begin{matrix} \frac{1}{2 V} \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? x_{i}^{c} ? (Δ F_{u}^{p})_{i} \\ - \frac{1}{V} e : \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? (Δ F_{u}^{p})_{i} \end{matrix} \\ \frac{1}{V} \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? (Δ F_{ω}^{p})_{i} + \\ \frac{1}{2 V} \sum_{i=1}^{} ? x_{i}^{c} ? x_{i}^{c} ? (Δ F_{u}^{p})_{i} : e \end{array}\} \end{array}

(29)
式(27)为根据平均场理论与多尺度力学理论中Hill定理所导出的基于表征元介观结构与力学信息的联系宏观梯度Cosserat连续体局部材料点应力、应变、模量张量及塑性应变等物理量的非线性增量本构方程. 它是下节中基于表征元介观信息的宏观连续体塑性及净损伤表征的出发点.

3 基于介观结构的损伤--愈合因子张量与损伤--愈合--塑性过程的热动力学耗散能

文献[35,38]推导了基于颗粒材料离散介观信息的等价经典Cosserat连续体Voronoi胞元的非线性弹性本构关系,在热动力学框架下定义了损伤--愈合因子张量,给出了损伤--愈合和塑性的耗散能量密度的表达形式. 在此基础上,本文在颗粒材料二阶计算均匀化框架下,上节导出了梯度增强Cosserat连续体非线性弹性本构关系.
在连续损伤力学框架内,损伤--愈合因子张量

d

可表示为

d = d (D_{t}^{e}, D_{0}^{e}) = I - D_{0}^{e} ? {(D_{t}^{e})}^{- 1}

(30)
其中

I

为单位矩阵,

D_{0}^{e}

是初始状态下的弹性模量张量,

D_{t}^{e}

为

t_{i}

时刻的弹性模量张量,它们可由式(28)确定. 经典时间段

[t_{i - 1}, t_{i}]

内损伤--愈合因子张量增量为

\begin{array}{l} Δ d = - Δ D_{t}^{e} ? {(D_{0}^{e})}^{- 1} = - [{(D_{t}^{e})}_{i} - {(D_{t}^{e})}_{i - 1}] ? {(D_{0}^{e})}^{- 1} \end{array}

(31)
热力学框架下,与损伤--愈合因子张量增量

Δ d

共轭的热力学广义力为^[35]

\begin{array}{l} Ξ_{d} = \frac{1}{2} Σ_{i} {[{(D_{t}^{e})}^{- T} ? D_{0} ? {(D_{t}^{e})}^{- 1}]}_{ij} ? δ_{jb} δ_{ak} Σ_{k} e_{a} ? e_{b} \end{array}

(32)
弹性损伤--愈合能密度增量为

\overset{?}{Φ}_{d} = Ξ_{d} : Δ d

(33)
由于颗粒材料一般为各向异性材料,其损伤--愈合效应也一般为各向异性,甚至在一个方向损伤,而在另一个方向可能呈现材料愈合. 区分梯度增强Cosserat连续体中局部材料点处的损伤或愈合行为的准则为

\overset{?}{Φ}_{d} = 0

,即定义

\overset{?}{Φ}_{d} > 0

表示材料损伤,

\overset{?}{Φ}_{d} < 0

表示材料愈合.
根据式(27),宏观塑性应变增量可以表示为

Δ Λ^{p} = (D_{i}^{e})^{- 1} ? Δ Ξ^{p}

(34) 塑性耗散能密度增量可表示为

\overset{?}{Φ}_{p} = \overset{}{Ξ} ? Δ \overset{?}{Λ}^{p} \geq 0

(35)

4 数值算例

平板压缩算例,如图2(a)所示. 忽略重力效应,因为满足对称性条件,数值模拟仅对1/4平板进行,如图2(b)所示,其中

L = 30

m,被划分成

20 \times 20

有限元网格. 方板与刚性板之间假设为理性粘结,使得方板上边界节点水平和垂直方向自由度分别施加于有限元分析的边界条件如图1(b)所示.

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图2方板压缩问题
-->Fig. 2Compression problem of a square panel
-->

有限元网格中,每一个积分点处配置一个初始构形相同的表征元. 3种具有相同规则介观结构,但具有不同尺寸的表征元, 分别命名为RVE40, RVE60, RVE84,如图3所示,被用于考察表征元尺寸对宏观塑性--损伤--愈合效应表征的影响. 每一个表征元尺寸是

l \times l

,含

n_{r}

个颗粒,每个颗粒半径为0.02 m. 颗粒材料性质数据参见文献[39].
文献[12]详细讨论了二阶计算均匀化方法下所构造混合有限元的收敛性以及不需要宏观唯象本构与破坏模型,可以模拟颗粒材料失效与捕捉应变局部化现象.

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图3相同介观结构但不同尺寸的表征元
-->Fig. 3Three samples of RVE with different RVE sizes but the same regular configuration
-->

本文以每一个积分点处累积的塑性及损伤耗散能密度及愈合能密度作为内状态变量表征宏观塑性、损伤与愈合,并定量比较它们对颗粒材料破坏的效应.
图4~图7所示分别为采用表征元RVE40, RVE60, RVE84的方板应变局部化问题模拟加载结束时位移载荷曲线与耗散能密度分布云图. 颗粒材料等价梯度增强Cosserat连续体宏观损伤--愈合现象的介观机理为表征元内颗粒接触丧失与再生和直接相邻颗粒间接触取向的改变,以及相伴随的表征元体积增大或减小,这些因素的综合将导致连续体局部材料点处弹性刚度的降低(损伤)或增大 (愈合),塑性耗散的介观机理为表征元内颗粒在接触点处的耗散性相对滑移、滚动. 颗粒材料等价梯度增强Cosserat连续体软化结束时即加载结束时,方板损伤--愈合以及塑性耦合过程的热力学耗散主要集中在应变局部化带. 对比图5(c)、图5(d)至图7(c)、图7(d),可以看到,表征元对应的等价梯度增强Cosserat连续体材料点处,表征颗粒间耗散性滑移、滚动的塑性演化首先发生,表征颗粒间接触丧失的等价梯度增强Cosserat连续体局部点的体积膨胀与净损伤演化随后发生.

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图4位移载荷曲线
-->Fig. 4Curves of load-displacement
-->

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图5RVE40加载结束耗散能与愈合能密度分布(N/m)
-->Fig. 5Contours of density of dissipative and healing energy distribution in the square panel at the end of the load history obtained by RVE40 (N/m)
-->

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图6RVE60加载结束耗散能与愈合能密度分布(N/m)
-->Fig. 6Contours of density of dissipative and healing energy distribution in the square panel at the end of the load history obtained by RVE60 (N/m)
-->

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图7RVE84加载结束耗散能与愈合能密度分布(N/m)
-->Fig. 7Contours of density of dissipative and healing energy distribution in the square panel at the end of the load history obtained by RVE84 (N/m)
-->

图8所示为采用RVE40, RVE60, RVE84等3种具有相同介观结构而不同尺寸表征元样本的方板全域随加载过程的塑性总耗散能、净损伤总耗散能与塑性--净损伤总耗散能的演变曲线. 可以看到,当采用RVE40样本时,导致结构失效的总净损伤耗散能远小于总塑性耗散能;当采用RVE60样本时,总净损伤耗散能尚小于总塑性耗散能,但已较接近;而在采用RVE84样本的情况下,总净损伤耗散能与总塑性耗散能基本持平. 从这一方面看,表征元的大小对表征结果是有影响的.
另一方面,图9所示为分别采用RVE40, RVE60和RVE84三种样本情况下方板的塑性--净损伤总耗散能随加载过程的演变曲线比较. 从图9可以看出,3条曲线比较接近,特别是在软化后直至加载结束这一后软化阶段的总耗散能曲线重合很好. 从这一方面看,表征结果并不病态地依赖于表征元尺寸. 图4显示,分别采用RVE40, RVE60和RVE84三种样本情况下方板的外力耗散功十分接近,表明本文多尺度表征工作所基于的协同(concurrent)二阶计算均匀化过程的颗粒材料结构多尺度模拟^[11,12]结果的可靠性,也即多尺度模拟结果不应病态地依赖于表征元的(窗口)尺寸. 图9所给出的多尺度表征结果与图4显示的多尺度模拟结果比较,验证了本文工作在数值误差意义上近似满足了结构的外力耗散功模拟结果应等于结构的内耗散能表征结果这一基本要求,表明了本文提出的基于一致二阶计算均匀化过程的颗粒材料塑性--损伤--愈合多尺度表征方法的有效性.

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图8由所有积分点处耗散能密度累计的方板塑性、净损伤和总耗散能随加载过程的演化
-->Fig. 8Evolutions of accumulated net damage, plasticity and total dissipative energies added up from those associated to all integration points of the square panel with increasing prescribed vertical displacement
-->

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图9由所有积分点处耗散能密度累计的方板总耗散能随加载过程的演化
-->Fig. 9Evolution of accumulated total dissipative energies added up from those associated to all integration points of the square panel with increasing prescribed vertical displacement
-->

5 结论

颗粒材料在宏观和介观尺度分别模型化为梯度增强Cosserat连续体和离散颗粒集合体. 本文基于颗粒材料力学行为的协同二阶计算均匀化模拟,对具有离散颗粒介观结构的表征元建立了等价梯度增强Cosserat连续体的增量非线性本构关系.
在颗粒材料热动力学理论框架下,定义了基于介观结构与介观力学响应的塑性应变以及各向异性损伤、愈合因子张量和综合了各向异性损伤、愈合效应的净损伤因子张量,提出了以净损伤和塑性耗散能(标量)表示的多尺度表征方法. 应变局部化的数值例题结果显示了所提出表征方法的有效性.
The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

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基于介观力学信息的颗粒材料损伤--愈合与塑性宏观表征

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MESO-MECHANICALLY INFORMED MACROSCOPIC CHARACTERIZATION OF DAMAGE-HEALING-PLASTICITY FOR GRANULAR MATERIALS

引言

1 凝聚于表征元边界的离散颗粒集合体非线性增量本构方程

2 基于介观力学信息的宏观梯度Cosserat连续体非线性增量本构关系

3 基于介观结构的损伤--愈合因子张量与损伤--愈合--塑性过程的热动力学耗散能

4 数值算例

5 结论

参考文献原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

相关话题/材料 塑性 力学 结构 计算

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3 基于介观结构的损伤--愈合因子张量与损伤--愈合--塑性过程的热动力学耗散能

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5 结论

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