一种含流动性风险的保证金模型

删除或更新信息，请邮件至freekaoyan#163.com(#换成@)

本站小编 Free考研考试/2021-12-25

陈松松¹, 程希骏¹, 马利军²
1. 中国科学技术大学统计与金融系, 合肥 230026;
2. 深圳大学管理学院, 广东深圳 518060
2017年2月22日收稿; 2017年6月19日收修改稿
基金项目: 国家自然科学基金（71671176）资助
通信作者: 程希骏, E-mail:xjc@ustc.edu.cn

摘要: 针对现有模型无法有效解决期货组合的市场价格风险和流动性风险之间关系的刻画问题，对两种风险分开建模，首先考虑不同期货间同类风险的相关性，再考虑流动性风险和市场价格风险间的交互作用，进而给出一个含流动性风险的保证金模型设定。
关键词: 保证金LMSV-t模型pair-copulaVaR流动性风险
A margin model with liquidity risk
CHEN Songsong¹, CHENG Xijun¹, MA Lijun²
1. Department of Statistics and Finance, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China;
2. College of Management, Shenzhen University, Shenzhen 518060, Guangdong, China

Abstract: Existing models can not be used to effectively describe the relationship between the market price risk and liquidity risk of futures portfolio. To solve this problem, this work models the two risks separately. Firstly, we consider the correlation of risks of the same kind among different futures. Secondly, we study the interaction between the market price risk and liquidity risk. Then, we provide a margin model including the liquidity risk.
Keywords: marginLMSV-tpair-copulaVaRliquidity risk
现行的确定保证金模型的思想是用期货市场风险代替保证金水平，而引起期货价格波动的各种金融风险因子有时会毫无关系, 有时会相互化解，有时又会相互叠加。其中最重要的两个风险因子是市场价格风险和流动性风险，如何度量这两种风险的交互作用是中国期货市场面临的主要问题之一。针对这种集成风险的度量，张金清和李徐^[1]采用连接函数构建流动性风险和市场风险的联合分布，刻画两种风险之间的相依性；杨怀东等^[2]则把流动性风险作为影响价格收益率的一个因素, 将其纳入到GARCH模型中。虽然上述模型均能较好地刻画出单品种期货的集成风险，但它们并不能刻画出期货组合的集成风险，因为期货组合的风险并不意味着各个期货风险的简单相加。大部分情况下，各风险不同品种之间相关性是高于单品种各风险之间相关性的，本文旨在刻画期货组合的集成风险，进而给出一个含流动性风险的保证金模型。
1 模型建立1.1 流动性风险的设置在现行的研究期货市场流动性指标这一方面, 杨艳军^[3]从期货合约和品种的流动性出发, 提出一种综合度量流动性的指数LI：

$\left\{ \begin{gathered} {\text{L}}{{\text{I}}_t} = {{\text{e}}^{-\left| {{\theta _t}{\sigma _t}\sqrt {T{O_t}} } \right|}}, \hfill \\ {\theta _t} = \frac{{\left( {{P_t}-{P_{t-1}}} \right)/{P_{t - 1}}}}{{\left( {{V_t} - {V_{t - 1}}} \right)/{V_{t - 1}}}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(1)

式中：θ_t表示t时期期货交易量的价格弹性, 等于价格变化率与交易量变化率的比值；P_t是t期期货价格；V_t是t期交易量；σ_t表示t期期货价格的波动性; TO_t是t期期货合约换手率的倒数。易知上述指标没有量纲，便于不同期货品种之间进行比较，而且取值范围为[0, 1]，指标值越大，说明流动性越好，流动性风险越小。当LI等于1时，即出现某一天期货价格不变或者交易量非常大的情况，表明期货流动性非常好，基本不存在流动性风险。
经过长时间和多品种的大量研究，我们发现LI大都分布在区间[0.9, 1]内，而且在97.5%置信水平下估计出来的市场价格风险与实际风险最大偏差一般不会超过1%。前者与期货波动比较平缓的自身性质不谋而和，另外，因为期货很难会出现像股票那样大跌大涨的情形，所以指标设置比较合理。本文希望引入流动性风险修正市场价格风险，因此将流动性风险产生的损失率设定在[0, 0.01]内，表示成

${L_{i, t}} = \left( {1-{\text{L}}{{\text{I}}_{i, t}}} \right) \times 1\% .$

(2)

可以看出1-LI_{i, t}其实是无流动性风险时的流动性指数与当天流动性指数的差值。差值为0时，说明当天没有流动性风险；反之，L_{i, t}越大，流动性风险也越大，最大可以造成1%的损失率。
1.2 边缘分布模型LMSV-t的构建一般来说，LMSV-t模型^[4]可以表述成

$\left\{ \begin{gathered} {y_t} = \exp \left( {{h_t}/2} \right){\varepsilon _t}, {\varepsilon _t} \sim t\left( \omega \right); \hfill \\ \varphi \left( B \right){\left( {1-B} \right)^d}{h_t} = \theta \left( B \right){\eta _t}, {\eta _t} \sim iidN\left( {0, {\tau ^2}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(3)

而(1-B)^d是分数差分算子，可展开成

$\begin{gathered} {\left( {1-B} \right)^d} = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\left( {-1} \right)}^i}\left( \begin{gathered} d \hfill \\ i \hfill \\ \end{gathered} \right){B^i}} \hfill \\ = 1-dB + \frac{{d\left( {d - 1} \right)}}{2}{B^2} - \frac{{d\left( {d - 1} \right)\left( {d - 2} \right)}}{6}{B^3} + \cdots, \hfill \\ \end{gathered} $

(4)

式(3)中：h_t=lnσ_t², σ_t是波动率；B是滞后因子，φ(B)是自回归项，θ(B)是滑动平均项。可以看出LMSV-t模型是将SV-t模型与ARFIMA模型结合在一起的，分数阶差分能够刻画出时间序列{y_t}的长期记忆性，随着相间时间的增长，对y_t的影响缓慢趋于0。
本文打算对其进行简化，把ARFIMA模型精简成差分模型

${\left( {1-B} \right)^d}{h_t} = {\eta _t}.$

(5)

结合式(3)、式(4)可得四阶展开模型:

$\left\{ \begin{gathered} {y_t} = \exp \left( {{h_t}/2} \right){\varepsilon _t}, {\varepsilon _t} \sim t\left( \omega \right); \hfill \\ {h_t} = d{h_{t-1}}-d\left( {\frac{{d-1}}{2}} \right){h_{t - 2}} + d\left( {d - 1} \right)\left( {\frac{{d - 2}}{6}} \right){h_{t - 3}} - \hfill \\ \;\;\;\;\;\;d\left( {d - 1} \right)\left( {d - 2} \right)\left( {\frac{{d - 3}}{{24}}} \right){h_{t - 4}} + {\eta _t}, \hfill \\ {\eta _t} \sim iidN\left( {0, {\tau ^2}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(6)

其中t>4。
1.3 含流动性风险的保证金模型设计期货交易保证金水平的设定原理是覆盖日常交易风险, 而市场价格风险和流动性风险对日常交易风险的影响最大、最常见。杨怀东等^[2]将流动性风险合理纳入到GARCH模型中，得到流动性风险和市场价格风险相依下单一期货的保证金模型一：

$\left\{ \begin{gathered} {\text{VaR}} = {P_{t-1}}{Z_\alpha }\sigma, \hfill \\ {R_t} = C + \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{R_{t-i}}} + \sum\limits_{j = 0}^m {{\eta _j}{\varepsilon _{t-j}}} + \sum\limits_{k = 0}^w {{\gamma _k}{L_{t - k}}}, \hfill \\ {\varepsilon _t} = {\sigma _t}{z_t}, \hfill \\ \sigma _t^2 = \omega + \sum\limits_{i = 1}^q {{\alpha _i}{\varepsilon _{t - i}}} + \sum\limits_{j = 1}^p {{\beta _j}\sigma _{t - j}^2} \left( {\omega > 0, {\alpha _i}, {\beta _j} \geqslant 0} \right). \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(7)

事实上，我们更需要的是一个针对期货组合的保证金模型，而且实证发现，不同期货的同类风险之间的尾部相关性要远高于单品种的两种风险之间的相关性。因此，若只考虑单品种风险间的相依性，忽视不同期货间的相关性，则会使模型不能准确地反映真实风险的走势；若考虑后者，忽视前者又会高估风险，因此如何衡量二者的关系至关重要。
关于不同期货的同类风险之间非线性的刻画，张勔等^[4]详述在相依结构下的投资组合市场价格风险的算法；另一方面，梁朝晖^[5]研究发现：中国股票市场上，投资者面临的流动性风险具有不对称性，当市场价格大幅下跌时, 市场价格风险增加，流动性相应大幅降低，投资者面临流动性风险, 无法控制损失的进一步加大; 当市场价格大幅上涨时，市场价格风险减少，流动性没有明显变差。为避免单只期货的特殊性，我们考虑整个期货组合的市场价格风险，认为：只有当整体市场价格风险大幅增加时，流动性才会大幅降低，使投资者面临流动性风险，进而得到一种含流动性风险的保证金模型：

$\begin{gathered} {M_{t + 1}} = \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {\text{Va}}{{\text{R}}_{t + 1}}\left( R \right) + {\text{Va}}{{\text{R}}_{t + 1}}\left( L \right), \frac{{{\text{Va}}{{\text{R}}_{t + 1}}\left( R \right)-{\text{Va}}{{\text{R}}_t}\left( R \right)}}{{{\text{Va}}{{\text{R}}_t}\left( R \right)}} \geqslant 0.01, \hfill \\ {\text{Va}}{{\text{R}}_{t + 1}}\left( R \right), 其他. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

(8)

可以看出，只有当市场价格风险大幅上涨时(一般认为上涨幅度超过1%)，投资者会面临流动性风险，保证金水平为市场价格风险和流动性风险的和。我们认为这种先考虑不同期货同类风险之间的关系，再考虑整个期货组合的风险间的非线性关系的方法，可以很好地解决期货组合的市场价格风险和流动性风险之间的刻画问题。
1.4 含流动性风险的保证金模型计算由上节内容可以看出，计算保证金需要估计出VaR_t+1(R)和VaR_t+1(L)。张勔等^[4]则详述在LMSV-t和pair-copula模型下的投资组合风险的算法，即基于LMSV-t模型对收益率序列的边缘分布建模，结合pair-copula构建收益率的联合分布函数，并由蒙特卡洛模拟生成残差序列，进一步计算出投资组合的VaR。不过，本文做了以下优化：
1) 对于收益率序列{R_{i, t}}和流动性损失率序列{L_{i, t}}(i=1, …, 6)联合分布函数的构建，利用R-vine刻画不同期货同类风险之间的相关性。采用最大生成树MST-PRIM算法^[6]选择最优的藤结构，确保R-vine结构上每一层序列树的Kendall-τ绝对值之和最大化。同时，为了模型的精确性与广泛性，本文采用的最优二元copula函数为Gaussian copula、Student t copula (t-copula)、Clayton copula、Gumbel copula以及Frank copula，分别捕捉不同期货同类风险之间的对称性、非对称以及负相关性等信息。
2) 调整计算VaR值的顺序。先计算出该期货组合的2种风险在t+1期1-α置信度下造成的总损失：

$\left\{ \begin{gathered} {S_{t + 1}}\left( R \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {-1} \right)}^{{\text{lsp}}}}{\omega _i}{P_{i, t}}{S_{i, t + 1}}\left( R \right)}, \hfill \\ {S_{t + 1}}\left( L \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\omega _i}{P_{i, t}}{S_{i, t + 1}}\left( L \right)} . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(9)

式中：${\text{lsp}} = \left\{ \begin{gathered} 0, 多头方 \hfill \\ 1, 空头方 \hfill \\ \end{gathered} \right.$，ω_i表示第i种期货的手数，P_{i, t}为t期第i种期货的收盘价，S_{i, t+1}(R)和S_{i, t+1}(L)分别表示预测出的t+1期第i种期货的价格和流动性产生的损失率，然后模拟20 000次，最终得到VaR_t+1(R)和VaR_t+1(L)。这样设定是因为我们想得到的是期货组合的总风险这个最终变量，而不是期货组合的损失率这个中间变量，期货价格作为一个影响整体损失的一个重要因素，每一种期货价格都不一样，甚至相差很大，原计算过程中先模拟出中间变量，再考虑期货价格对保证金水平的影响程度，会造成对最终变量的低估或高估，进而影响保证金模型覆盖风险的效果。
2 实证检验为避免期货合约的期限链接时的价格变化，从同花顺数据库中选取具有代表性的期货主连合约作为样本，期货组合为做多2手沪金、做空5手沪铝、做空3手沪铜银、做空1手棉花、做多4手菜油以及做空2手豆一。为使得检验更具说服力，这里选取2015年4月20日至2017年1月11日这一时间段(共426个交易日)的数据，同时令所有数据向前复权。另外，具体检验时，采用滚动预测法，即用前364天的数据预测第365天保证金数量，如此预测出2016年10月19日到2017年1月11日60个交易日的保证金数量。
2.1 LMSV-t模型的检验记第i支期货t期收盘价为P_i，t，则相应的收益率定义为${R_{i, t}} = \frac{{{P_{i, t}}-{P_{i, t-1}}}}{{{P_{i, t-1}}}}$。计算样本中各个收益率序列的统计特性和相应的KS检验，见表 1。可以发现各项偏度明显不等于0，且峰度系数都大于3，说明各资产收益率序列具有厚尾的特性，且由KS统计量均小于0.000 1，可以看出收益率拒绝服从正态分布的假设，故不能用正态分布来拟合。
Table 1

表 1 收益率的统计特性Table 1 Statistical characteristics of the yield

样本	均值	标准差	偏度	峰度	P值
沪金主力	0.000 392	0.009 8	0.615	5.86	< 2.2e-16
沪铝主力	-0.000 019	0.001 0	0.120	4.74	< 2.2e-16
沪银主力	0.000 443	0.013 8	0.272	6.83	< 2.2e-16
棉花主力	0.000 501	0.014 3	0.238	6.52	< 2.2e-16
菜粕主力	0.000 194	0.016 6	0.115	3.89	< 2.2e-16
豆一主力	-0.000 169	0.011 4	0.482	5.09	< 2.2e-16

表 1 收益率的统计特性Table 1 Statistical characteristics of the yield

我们用新模型拟合每组资产收益的边缘分布u_i，参数估计采用MCMC常用的软件WinBUGS程序包来实现；依照Kim和Sherphard^[7]的建议，各个参数可设置为:

$\left\{ \begin{gathered} \varphi = 2{\varphi ^*}-1 \hfill \\ {\varphi ^*} \sim beta\left( {20, 1.5} \right) \hfill \\ {\tau ^2} \sim gamma\left( {2.5, 0.025} \right) \hfill \\ d \sim dnorm\left( {0, 25} \right) \hfill \\ \omega \sim chisqr\left( 8 \right)I\left( {4, 40} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(10)

首先对收益率数据进行初步中心化处理，然后分别在WinBUGS中模拟退火10 000次，待参数值平稳后，再模拟10 000次，得到各资产边缘分布的参数，同时还可以得到对数平方波动的估计值${\hat h_t}$，进而得到残差序列的估计${\hat \varepsilon _t} = {\hat y_t}\exp \left( {-0.5{{\hat h}_t}} \right)$，然后对标准化的残差序列进行K-S检验，具体结果见表 2。新模型在95%置信度下残差项的K-S检验的P值显著大于0.05，自由度ω明显大于3，证明新模型拟合之后的残差服从t分布假设，这表明了模型的可靠性。
Table 2

表 2 LMSV-t参数估计和K-S检验结果Table 2 Parameter estimation and K-S test results using LMSV-t model

参数	d	h₃₆₄	τ	ω	P值
沪金主力	0.996	-10.560	0.559	15.494	0.501
沪铝主力	0.995	-8.586	0.555	17.767	0.647
沪银主力	0.987	-9.485	0.720	12.166	0.240
棉花主力	0.990	-9.401	0.661	17.444	0.594
菜粕主力	0.999	-10.219	0.468	17.795	0.803
豆一主力	0.994	-8.781	0.571	15.358	0.997

表 2 LMSV-t参数估计和K-S检验结果Table 2 Parameter estimation and K-S test results using LMSV-t model

以沪金主力的收益率序列和棉花主力的流动性指数序列为例，用新LMSV-t模型建模，得到各个参数d、ω、τ和h₃₆₄的自相关函数图，具体结果见图 1和图 2。发现两种指数的各个参数的自相关函数都快速趋于0，说明模型收敛。而且经过检验发现，对于其他指数，该模型仍适应，可认为新模型适合对两种指数建模。
Fig. 1

	Download: JPG larger image
图 1 市场价格指数的自相关函数 Fig. 1 Autocorrelation function of market price index 图 1 市场价格指数的自相关函数 Fig. 1 Autocorrelation function of market price index -->

Fig. 2

	Download: JPG larger image
图 2 流动性指数的自相关函数 Fig. 2 Autocorrelation function of liquidity index 图 2 流动性指数的自相关函数 Fig. 2 Autocorrelation function of liquidity index -->

按照前文6种主力合约的顺序求出各个收益率序列和流动性指数序列之间的秩相关系数，见表 3。可以发现的确如前文所述：不同类型合约的同类风险间存在较强的相关性，相对来说，单一期货间两种风险的相关性就很弱，因此若只考虑单期货的两种风险之间的关系，而忽视两两品种间的关系就显得本末倒置。
Table 3

表 3 风险间的相关系数Table 3 Correlation between the risks

	R₁	R₂	R₃	R₄	R₅	R₆	LI₁	LI₂	LI₃	LI₄	LI₅	LI₆
R₁	1.00	0.06	0.58	0.04	0.02	-0.02	0.01	-0.03	0.03	0.00	-0.04	-0.03
R₂	0.06	1.00	0.15	0.12	0.19	0.16	0.00	-0.02	-0.05	0.05	-0.02	0.02
R₃	0.58	0.15	1.00	0.11	0.12	0.08	0.02	-0.02	0.05	0.01	-0.01	0.00
R₄	0.04	0.12	0.11	1.00	0.24	0.20	0.03	0.04	0.04	0.05	0.01	-0.01
R₅	0.02	0.19	0.12	0.24	1.00	0.39	0.02	0.00	-0.02	0.02	0.02	0.01
R₆	-0.02	0.16	0.08	0.20	0.39	1.00	0.03	0.03	-0.03	-0.01	0.00	0.01
LI₁	0.01	0.00	0.02	0.03	0.02	0.03	1.00	0.15	0.39	0.15	0.16	0.13
LI₂	-0.03	-0.02	-0.02	0.04	0.00	0.03	0.15	1.00	0.16	0.09	0.12	0.09
LI₃	0.03	-0.05	0.05	0.04	-0.02	-0.03	0.39	0.16	1.00	0.15	0.14	0.11
LI₄	0.00	0.05	0.01	0.05	0.02	-0.01	0.15	0.09	0.15	1.00	0.09	0.14
LI₅	-0.04	-0.02	-0.01	0.01	0.02	0.00	0.16	0.12	0.14	0.09	1.00	0.23
LI₆	-0.03	0.02	0.00	-0.01	0.01	0.01	0.13	0.09	0.11	0.14	0.23	1.00

表 3 风险间的相关系数Table 3 Correlation between the risks

2.2 含流动性风险的保证金模型检验先对上面得到的残差项进行概率积分变换，转换成服从(0，1)均匀分布的序列，以便进行R藤估计，整个计算过程可通过R软件中VineCopula等程序包实现。然后，运用蒙特卡洛模拟的方法生成20 000组服从(0，1)均匀分布的各指数收益率和流动性指数，在97.5%的置信水平下，按照前文的步骤，预测出2016年10月19日到2017年11月1日为期60天的保证金数量M_t+1，并与模型一、单一市场价格模型^[8]、期货组合的实际绝对损失做比较，具体结果见图 3。
Fig. 3

	Download: JPG larger image
图 3 几种保证金水平的比较 Fig. 3 Comparison among several margin levels 图 3 几种保证金水平的比较 Fig. 3 Comparison among several margin levels -->

对比模型一和新模型，可以发现两个问题：其一，模型一能覆盖住期货组合的真实风险，但相对高估了真实风险；其二，模型一对风险上升的趋势预测比较准确，但整体趋势和幅度变化的预测远不如新模型。问题一是因为就单品种而言，模型一不仅考虑市场价格风险，也考虑流动性风险，所以能较好地覆盖住真实风险，但是对于期货组合来说，两两期货间的相关性更加需要重视，模型一则忽视了这个问题，造成对风险的高估。问题二是因为模型一无论什么时候都考虑流动性风险，而实证证明：只有当市场价格大幅下跌时, 市场价格风险增加，流动性相应大幅降低，投资者才会面临流动性风险, 无法控制损失的进一步加大^[5]。
其次，对比新模型和单一市场价格模型^[8]，可以发现在多处市场价格风险大幅上涨时，单一市场价格模型并不能覆盖住真实风险，这正是因为其忽视了此时流动风险的影响。而新模型在充分考虑不同期货同类风险间的相依性的同时，化繁为简，以整个期货组合为整体，统一考虑它们市场价格风险和流动性风险的相关性，即在市场价格风险不大幅增加的情况下不考虑流动性风险的影响，这样就避免了有些期货品种市场价格风险和流动性风险的时变的非线性关系很难刻画的问题，可以看出新模型预测的保证金走势与实际风险走势大体一致，完美反映实际风险的波动程度，较好地解决了期货组合两种风险的刻画问题。
3 结论与建议本文认为单期货间的市场价格风险和流动性风险之间的相关性十分重要，但是两两期货间的同类风险之间的相关性更不能忽视，因此新模型先用R-vine结构下的pair-copula构建两两期货间的同类风险之间的尾部相依性，再以期货组合的两种风险为整体，统一衡量二者之间的非线性关系，最终实证结果表明，新模型在风险度量上更准确, 不会像原模型高估风险，而且走势预测更能反映实际走势。因此，本文提出的刻画期货组合的集成风险的方法是相对合理且比较优秀的。
然而必须要指出的是，针对期货组合集成风险的刻画，我们通过pair-copula同时考虑风险之间和品种之间的复杂关系，但效果不佳，有待进一步完善，限于篇幅并未指出；同时，进一步的研究方向可以先判断长记忆特征时间序列的类型，再建立恰当的模型进行研究，而且可以将结构突变和长记忆模型结合起来进行波动率的预测。这些问题都将是我们以后的研究方向。
参考文献

[1]	张金清, 李徐. 流动性风险与市场风险的集成度量方法研究[J]. 系统工程学报, 2009, 24(2): 164-172.
[2]	杨怀东, 徐芳, 罗孝玲. 流动性风险和市场风险相依性下期货动态风险研究[J]. 华东经济管理, 2010, 24(12): 79-82.
[3]	杨艳军. 期货市场流动性研究[D]. 长沙: 中南大学, 2006. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10533-2006173399.htm
[4]	张勔, 程希骏, 方正, 等. 基于pair copula-LMSV-t模型的投资组合风险研究[J]. 中国科学技术大学学报, 2015, 45(12): 1024-1029.
[5]	梁朝晖. 上海股票市场流动性风险与市场风险的极值相关分析[J]. 中国地质大学学报(社会科学版), 2004, 4(4): 49-52. DOI:10.3969/j.issn.1671-0169.2004.04.010
[6]	Diímann J, Brechmann E C, Czado C, et al. Selecting and estimating regular vine copulae and application to financial returns[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2013, 59(1): 52-69.
[7]	Kim S, Shephard N, Chib S. Stochastic volatility:likelihood inference and comparison with ARCH models[J]. Review of Economic Studies, 2010, 65(3): 361-393.
[8]	李宁, 程希骏. 一种新的期货组合动态保证金设定模型与实证研究[J]. 中国科学技术大学学报, 2012, 42(3): 197-202. DOI:10.3969/j.issn.0253-2778.2012.03.005