对于传输线的电磁辐射研究，大多采用电磁场求解器，如CST MWS和Ansys HFSS仿真软件，利用行波理论建立传输线的全波模型，求解用于给定电流电磁场辐射的三维麦克斯韦方程组的数值解，得到传输线电磁辐射[3-5]。这种基于全波算法的仿真软件计算结果准确，然而仿真时间过长，计算效率低。因此，可以采用另一种传输线电磁辐射的计算方法——偶极子近似法[6-8]。偶极子近似法是将传输线分段近似为偶极子，计算单个偶极子辐射场后进行叠加得到总的辐射场，其主要优点是计算速度快。
工程应用中，系统中的线缆由于工作环境和工作状态的影响，其位置、线间距离等参数具有一定的随机性，会对线缆的电磁辐射带来较大的影响。而对于这种不确定性问题的统计分析，大多采用的是蒙特卡罗(MC)方法[9]，还有诸如配置法[10]、克里金法[11]等统计学方法。但是这些方法需要用大量随机参数样本收集统计的定量信息，导致耗费大量的计算时间，不适合应用在实际工程中。近年来，人们提出一种混沌多项式展开(PC)的解决方案，该方法基于多项式混沌理论，用一系列随机变量的正交多项式描述随机问题的解。目前，混沌多项式展开法已用于诸多领域不确定性问题的统计分析[12-14]。
本文针对含随机参数线缆电磁辐射问题，提出一种综合运用混沌多项式展开与赫兹偶极子近似法的统计分析方法。首先，假定线缆中的随机参数为高斯分布的随机变量，运用Hermite正交多项式对含随机分布参数的多导体传输线进行混沌多项式展开，再利用边界条件求解沿线电流即传输线每段的激励电流源。然后，结合偶极子近似法计算每段电流的辐射场，叠加得到线缆总的辐射场。计算机仿真结果与蒙特卡罗计算结果进行对比，验证本文方法的准确性和有效性。最后，运用本文方法计算系统内线缆的辐射场，与国军标[15]的标准对比，以评估线缆电磁辐射，检验系统性能。
1 传输线电磁辐射统计分析 为分析方便起见，以图 1所示的无损耗三导体传输线结构为例，研究传输线的电磁辐射问题，该结构代表了传输线距地高度h1、h2和线间距离d不确定的典型随机问题。参数的随机性如下:
 | (1) |
 |
| 图 1 三导体传输线系统 Fig. 1 Three-conductor transmission line system |
| 图选项 |
式中:h1和h2分别为2根传输线距地高度的均值; d为2根传输线间距离的均值; σ1、σ2和σ3分别为3个位置参数的标准差; ξ1、ξ2和ξ3分别为3个随机变量，均符合正态随机分布。
1.1 传输线方程 无损耗三导体传输线电报方程[16]如下:
 | (2) |
式中:V=[V1(z, ω), V1(z, ω)]T和I=[I1(z, ω), I1(z, ω)]T分别为沿2根传输线的电压和电流，z为传输线沿线位置，ω为角频率; C和L分别为传输线分布单位电容和单位电感参数矩阵。
由于传输线距地高度和线间距离的不确定性，导致单位参数矩阵C、L具有随机性，则式(2)变为具有随机变量的微分方程。
1.2 混沌多项式展开法求解传输线电流 混沌多项式展开法主要基于多项式混沌理论，运用正交多项式的性质对变量进行展开，能够较准确地描述任意分布形式随机变量的随机性，是一种非常有效的不确定性问题的分析方法。三导体传输线距地高度和线间距离3个参数如式(1)所示，利用正交多项式对随机电容、电感矩阵进行混沌多项式展开。正态随机变量对应的最佳多项展开式为Hermite正交多项式，表 1汇总了Hermite正交多项式的一些性质，表 2汇总了Hermite正交多项式的展开阶数和多项式。
表 1 Hermite正交多项式性质 Table 1 Properties of Hermite orthogonal polynomials
| 性质 | 描述 |
| 函数 | 函数Y，自变量ξ=[ξ1 ξ2 … ξn]T |
| 展开 |  |
| 正交基 | Hermite正交多项式{?i(ξ)} |
| 内积 |  |
| 权重函数 |  |
| 正交性 |  |
| 展开系数 |  |
| 平均 | Y0 |
表选项
表 2 三个随机变量的Hermite正交多项式 Table 2 Hermite orthogonal polynomials of three random variables
| 序号i | 阶数p | 多项式?i | 〈?i2〉 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | ξ1 | 1 |
| 2 | 1 | ξ2 | 1 |
| 3 | 1 | ξ3 | 1 |
| 4 | 2 | ξ1ξ2 | 1 |
| 5 | 2 | ξ1ξ3 | 1 |
| 6 | 2 | ξ2ξ3 | 1 |
| 7 | 2 | ξ12-1 | 2 |
| 8 | 2 | ξ22-1 | 2 |
| 9 | 2 | ξ32-1 | 2 |
表选项
利用Hermite正交多项式对单位电容、电感矩阵进行混沌多项式展开，结果如下:
 | (3) |
式中:ξ=[ξ1, ξ2, ξ3]T为三导体传输线不确定性参数中的3个标准正态分布随机变量; Ci和Li分别为电容和电感正交多项式?i所对应的系数，其解可以由表 1中的多项式性质求解。
展开式的项数m可由随机量的个数n和展开式的阶数p来决定，如式(4)所示。本文以阶数p=1为例(若需求更高精度的结果，可增大阶数p，但其计算时间将随阶数的增加而增加)，随机量个数n=3，此式展开式项数m=4。
 | (4) |
为了求解传输线方程，对电压、电流同样利用混沌多项式展开为
 | (5) |
式中:Vi和Ii分别为电压和电流正交多项式?i所对应的系数。
将式(3)和式(5)代入到式(2)所示的多导体传输线方程中可得(为书写简便，忽略(z, ω)和(ξ))
 | (6) |
将式(6)做内积运算，简化整理可得
 | (7) |
式中:
与式(2)相比，式(7)的电压电流方程个数为原来的4倍。虽然求解方程个数比原来增加了，但与蒙特卡罗的计算量相比仍大为减少。方程解用向量表示为
 | (8) |
1.3 边界条件 求解式(7)需要合适的边界条件。当激励源和源端、终端阻抗确定时，可运用经典的戴维南或诺顿方程进行求解。
 | (9) |
式中:激励源Vs=[Vs1, Vs2]T; 源端阻抗Zs=diag([Zs1, Zs2]); 负载端阻抗Zl=diag([Zl1, Zl2])。
根据式(7)的多导体传输线混沌多项式展开方程，式(9)的各项如下:
 | (10) |
1.4 偶极子近似法求解辐射场 偶极子近似法是基于偶极子天线理论的一种近似解法，是将传输线划分为n小段，每一段的物理长度远小于激励信号的波长，都可以看作一个偶极子天线，如图 2所示，其中点o位于直角坐标系原点。将1.3节求得的传输线分布电流I(z, ω)作为偶极子天线上的电流，计算得到该偶极子的辐射场，将所有偶极子的辐射场叠加在一起，得到传输线电流的辐射场。
 |
| 图 2 偶极子天线模型 Fig. 2 Dipole antenna model |
| 图选项 |
位于传输线上的电偶极子产生的辐射在直角坐标系下3个分量为
 | (11) |
式中:
电磁兼容标准[15]中，接收天线距测试配置边界前沿1 m，传输线距地高度的随机变化量不足距离r的百分之一，因此式(11)只考虑I(z, ω)的随机性，其他参数的随机性影响可忽略不计。
传输线辐射场由每个偶极子辐射场叠加得到
 | (12) |
式中:
系数矩阵。
传输线辐射场的混沌多项式展开如下:
 | (13) |
三导体传输线系统辐射模型如图 3所示(I1、I2及Idi等为传输线沿线电流)，将传输线两端连接设备等效为2段垂直的单极子天线。其辐射场由4部分组成:传输线本身的辐射、传输线镜像的辐射、单极子天线的辐射和单极子天线镜像的辐射。每部分的辐射场如上述方法计算。
 |
| 图 3 三导体传输线系统辐射模型 Fig. 3 Radiation model of three-conductor transmission line system |
| 图选项 |
4部分叠加起来的辐射场之和即为传输线系统的辐射场:
 | (14) |
式中:E1和E2分别为2根传输线的辐射场; E′1和E′2分别为2根传输线镜像的辐射场; Ed1、Ed2、Ed3与Ed4分别为传输线两端单极子天线及其镜像辐射场。
综合运用混沌多项式展开和偶极子近似法，得到传输线总辐射
 | (15) |
计算求得的辐射平均值Es=Es0, 标准差
2 仿真结果 本文采用MATLAB软件，以图 1所示的三导体传输线系统为例，分别采用蒙特卡罗方法和本文方法计算传输线的电磁辐射。
图 1中2根传输线为理想无损耗状态, 平均高度h1=50 mm, h2=50 mm, 标准差σ1=4 mm; σ2=4 mm，传输线间平均距离d=10 mm, 标准差σ3=1 mm, 传输线半径r1=r2=1 mm, 长度L=1 m，端接阻抗均为50 Ω, 2根传输线激励源为1 V, 按照标准的电磁兼容方法在30 MHz~1 GHz频段内统计分析三导体传输线的辐射电场。
图 4表示由本文方法和20×20×20次(每个随机变量取20次)蒙特卡罗方法2种方法求得的三导体传输线系统中一根传输线近端、远端在频域上的电流均值和标准差。可以看出，2种方法求得的结果具有很好的一致性。
 |
| 图 4 传输线电流均值和标准差 Fig. 4 Transmission line current mean and standard deviation |
| 图选项 |
利用得到的传输线电流计算在距离传输线系统1 m处同一观测点上的电磁辐射频域统计特征，如图 5所示。图 5(a)表示了传输线总辐射场的均值与标准差，实线代表了20×20×20次的蒙特卡罗方法，星号线代表了本文方法; 图 5(b)表示了传输线总辐射场的变化范围，实线代表了20×20×20次蒙特卡罗方法得到的总辐射场，红色2条虚线表示了本文方法的最大值和最小值。由图 5可以看出，总辐射场在低频的几个频点存在误差，但整体趋势基本保持一致，2种方法计算结果吻合较好。
 |
| 图 5 传输线总辐射场 Fig. 5 Total radiation field of transmission line |
| 图选项 |
利用式(15)计算传输线在频率为100 MHz与1 GHz下的辐射场概率密度函数，并将其与20×20×20次的蒙特卡罗方法统计结果对比，如图 6所示。可以看出，2种方法的概率密度曲线整体趋势基本保持一致。
 |
| 图 6 传输线辐射场概率密度对比 Fig. 6 Probability density comparison of transmission line radiation field |
| 图选项 |
通过以上讨论可知，本文方法与蒙特卡罗方法得到的结果除了在低频段产生了细微的误差，两者整体趋势基本保持一致。
本文以阶数p=1的混沌多项式展开研究随机线缆的电磁辐射。理论上，增加展开阶数可以提高计算精度，但考虑混沌多项式法本身有“维数灾难”的缺点，若进一步增加展开阶数，矩阵的维数会由四维变为十维，使计算量大大增加，且根据仿真结果可知一阶的混沌多项式展开结果与经典的蒙特卡罗法对比，符合度很好。权衡计算精度与计算量2个方面，一阶的混沌多项式展开已经足够。
本文仿真所用电脑配置为i7-8550U@1.80 GHz，内存为8 GB，2种方法计算时间如表 3所示。可知，本文方法计算效率比蒙特卡罗方法得到大幅度提高，验证了本文方法的优越性。
表 3 传输线辐射场计算效率对比 Table 3 Comparison of calculation efficiency of radiation field of transmission line
| 方法 | 计算时间/s | 频点数 |
| 一阶多项式混沌-偶极子近似 | 27.42 | 100 |
| 蒙特卡罗-偶极子近似 | 9 340.26 | 100 |
表选项
3 应用 在实际的工程中，线缆往往包含着各种随机参数，这给早期设计阶段评估线缆电磁辐射和检验系统性能指标带来了巨大的挑战。本节应用本文方法统计分析了在以电磁兼容国军标[15]辐射发射(RE102)为标准下的某传输线系统电磁辐射，有效解决了线缆电磁辐射不确定性问题，对于系统的电磁兼容设计有一定的参考价值。
电磁兼容标准中RE102适用于在10 kHz~18 GHz范围内所有互连电缆的电场辐射发射，以激励源12 V，长度0.4 m，距地高度0.045 m，线间距0.005 m三导体传输线系统的设计方案为例，评估线缆电磁辐射指标。传输线系统电磁辐射(只考虑传输线本身，不考虑两端设备辐射)和辐射发射国军标标准，如图 7所示。可以看出，设计阶段的线缆电磁辐射符合电磁兼容标准。
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| 图 7 线缆辐射场与国军标限值对比 Fig. 7 Comparison diagram of cable radiation field and military limit value |
| 图选项 |
然而在实际的测量中，长度、高度及线间距等参数往往会出现上下浮动，本文中线缆距地高度变化范围为(0.045±0.003)m，线间距变化范围为(0.005±0.001)m。这种随机性会使线缆电磁辐射超过国军标限值，如图 8(a)所示。运用本文方法统计线缆电磁辐射，分析参数随机性带来的影响，图 8(b)为350 MHz下线缆辐射场的累积分布函数。可以看出，350 MHz下的线缆辐射场会在51~57 dBμV/m的范围内波动，对比国军标350 MHz下54.88 dBμV的限值(图中红色虚线)，会有约36.1%的概率超出限值。
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| 图 8 实际的线缆辐射场 Fig. 8 Actual cable radiation field |
| 图选项 |
因此，早期设计阶段考虑线缆的辐射发射指标时，在保证系统功能不变的前提下，可以微调线缆参数，预留一定的安全裕度，保证线缆的电磁辐射在国军标限值之内，本文采取下调距地高度0.005 m的措施，结果如图 9所示。
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| 图 9 调整高度后的线缆辐射场 Fig. 9 Cable radiation field after height adjustment |
| 图选项 |
早期设计阶段面对线缆电磁辐射不确定性问题，采用本文方法，可以快速地统计分析线缆电磁辐射，这对于系统的电磁兼容设计具有一定的指导意义。
4 结束语 本文提出一种综合运用混沌多项式展开和偶极子近似的统计方法，计算含随机参数的多导体传输线电磁辐射问题。与经典的蒙特卡罗方法结果对比，符合较好，验证了本文方法的准确性，且计算效率对比蒙特卡罗方法得到很大提高。本文方法可应用到评估辐射发射和辐射敏感度指标当中，快速统计分析线缆的电磁辐射，这对于早期的系统电磁兼容设计阶段，保证系统信号完整性与抗干扰，有着一定的参考价值。
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