但是，EHA作为一种电液位置伺服系统，本身具有极强的非线性，如液压缸的摩擦、电机泵的摩擦以及泵本身存在的死区等。另外，EHA还存在参数的时变性和不确定性，如油液的弹性模量随着温度的变化、泵及油缸泄漏系数随着工况的变化等。这些都严重影响EHA的动态和伺服精度。于是，许多****针对上述问题尝试应用各种方法改善EHA的性能，如自适应控制[5-6](Adaptive Control，AC)、模糊控制(Fuzzy Control，FC)、反馈线性化控制[7-8](Feedback Linearization Control，FLC)、滑模控制[9-13](Sliding Mode Control，SMC)和级联控制(Cascade Control，CC)及其他控制方法[14-16]等，并且取得了相应的成果。其中级联控制是一种将复杂的高阶系统分割成多个低阶子系统，再分别对每个子系统加以控制的方法，该方法简单可靠，被广泛应用于电气、液压等复杂的系统控制中。SMC则是一种有效的鲁棒控制方法，对参数变化和外部的不确定性具有较强的鲁棒性而得以广泛应用。然而SMC也有值得优化的地方，如抖振问题、对系统状态的过度依赖等。针对这些问题，许多****提出了较好的解决方案。例如，Yang等[9]提出了新型的趋近律用以抑制抖振；Alemu和Fu[10]分别提出用扩张状态观测器和全阶观测器提供系统状态等。本文不重点讨论上述问题，而是要解决SMC在EHA控制中的另一个实际问题——快速性和超调量之间的矛盾。许多SMC方法经常采用光滑曲线代替阶跃信号[10-11]，而在直接采用阶跃输入时，抑或SMC存在超调，抑或为了降低超调量而牺牲系统的快速性[12-13]。如何解决两者之间的矛盾则成为了值得研究的新问题。
本文以EHA为对象，为解决SMC方法在EHA控制存在的快速性和超调之间的矛盾，提出了一种新型的准自适应变阻尼滑模控制(Damp Variable Sliding Mode Control, DV-SMC)方法。一方面，该算法具备SMC鲁棒性的同时，解决了快速性和超调之间的矛盾；另一方面，该算法给EHA控制中的滑模面参数整定提供了思路。
1 EHA系统建模 图 1为一个典型EHA的工作原理图。图中：xd表示位移x的目标值。驱动控制器接收指令信号，驱动电机正反转。变速电机带动柱塞泵完成吸油和排油，油缸则在液压油推动下完成伸缩动作，从而推动负载到达指定的位置。
 |
| 图 1 EHA原理图 Fig. 1 Schematic diagram of an EHA |
| 图选项 |
1.1 直流无刷电机模型 假设EHA采用Y型连接的直流无刷电机(BLDCM)，则该电机绕组的模型可以写为
 | (1) |
式中: 下标A、B和C分别代表电机三相；L*为该相电感；i*和R*分别为电流和电阻；e*为反电动势，可以近似视为电机转速ω的函数；UN为三相连接中点的电压。
通常，BLDCM采用两两导通方式，相电流相同。考虑到BLDCM三相对称，即每相电感、电阻、反电动势系数均相同，因此式(1)又可以表示为
 | (2) |
式中: U、L、i、R和E分别为电机母线电压、线电感、线电流、线电阻和线反电动势。
假设电机的扭矩系数为Kt，则电机转动的动态方程可以表示为
 | (3) |
式中: Ke为反电动势系数；Te为电机的电磁转矩；Jm为电机转动惯量；TL为电机等效外负载；Bm为电机黏性摩擦系数。
1.2 泵控液压缸模型 如果用Qi和Qo分别表示柱塞泵的入口和出口流量，则
 | (4) |
式中：Dp为柱塞泵的排量；Li和Lo分别为柱塞泵的内泄漏和外泄漏系数；pi、po和pa分别表示柱塞泵的入口压力、出口压力和增压油箱背压；Vin和Vout分别为出口和入口的等效容腔体积；βe为油液的弹性模量。
而对于油缸而言，其动态方程可以写作
 | (5) |
式中：pl和pr分别为油缸的左右两腔压力；A为活塞有效面积；x为活塞位移；Lc为油缸的内泄系数; t为时间。
由于阀块中流道很短，忽略阀块中油路造成的压力损失。由流量连续性定理，可得Ql=Qi，Qr=Qo，pl=pi，pr=po。根据流量连续性定理，联立式(4)和式(5)，则泵控液压缸模型可以表示为
 | (6) |
式中：V0为容腔有效体积；La为柱塞泵和油缸总的泄漏系数，和压差Δp成正比；Qa为未考虑到的流量损失；M为油缸和负载总的等效质量；Bc为油缸的黏性摩擦系数；Ks为弹性负载系数；Ff和FL分别为静摩擦和外负载。
通过联立式(3)和式(6)，选择系统状态变量 X =[x1?x2?x3?x4?x5]T=[x?
 | (7) |
式中：Ja为柱塞泵和电机总的转动惯量；Tf为摩擦扭矩；Qun表示未考虑到的流量损失。可以看出，整个EHA模型是一个通过调整控制量U，即母线电压为输入，使得活塞杆位移x1在存在不确定性(如摩擦Ff和外负载FL)情况下，也能够跟踪目标轨迹。
2 新型滑模控制器设计 通过观察式(7)，如果假设作为x4新的虚拟控制量，则对于式(7)的前3个方程而言, 就构成了一个新的三阶系统(液压子系统)。这个新的三阶系统存在着非匹配扰动。SML对非匹配扰动不具备鲁棒性，因此需要重新定义三阶系统的状态变量，记作
 | (8) |
式中：Z =[z1?z2?z3]T=
2.1 常规滑模控制器 滑模变结构控制适合用于非线性系统的控制。其对于参数的不确定具有较强的鲁棒性，但其缺点在于系统在滑模面附近的切换动作引起的振动，对于振动的削弱已有较多方法。本文采用常数趋近律的方法设计滑模控制器。
定义误差及其导数为
 | (9) |
选择滑模面：
 | (10) |
式中：c1和c2>0，且满足Hurwtiz条件。
采用常数趋近律的方法，进而有
 | (11) |
式中：ε为鲁棒项增益。
设计虚拟控制量的目标值u*为
 | (12) |
可以证明，当构造Lypunov函数：
 | (13) |
联立式(12)和式(13)可以得到满足条件：
 | (14) |
即滑模面满足存在性和可达性，这也是SMC能够镇定EHA系统的理论基础(证明过程可以参见文献[17-18])，在此不再赘述。值得一提的是，为了避免滑模抖振的发生，在仿真和实际应用中采用符号函数sign(*)必然会引起最终输出量的抖振，因此用连续的饱和函数sat(*)代替符号函数：
 | (15) |
2.2 变阻尼滑模控制器设计 当滑模面到达0时，趋近过程完成，该过程所需要的时间即趋近时间可以通过求解式(14)得到，其结果为trx= |σ(0)|/ ε。分析式(10)可以得出，当系统状态到达σ=0即趋近过程完成时，由于c1和c2>0且满足Hurwtiz条件，误差e最终将趋近于0。然而c1和c2的值域是二维平面上的一个区间而并非定值。因此, 考虑c1和c2取值如何影响系统的动态性能。
令式(10)右边为0可以推出x与xd之间的传递函数：
 | (16) |
假如系统跟踪一个阶跃信号，由于在0时刻xd不可导，即理论上
基于这个思想，在阶跃响应中不妨设
 | (17) |
式(17)是一个标准的二阶振荡环节的传递函数。假设其无阻尼固有频率为ωn、阻尼比为ξ，则有c2=ωn2，c1=2ξωn。可以看出，c1和c2的取值直接影响着滑模滑动过程的瞬态性能——超调量和调整时间。
系统响应不仅与ωn有关，同时受到ξ影响。ξ越小，系统响应越快，但会产生明显的超调和振荡；ξ增大，会抑制过冲和振荡的产生，但调节时间会明显变长。这也就导致了快速性和平稳性之间的矛盾。而最佳阻尼比0.707只是一定程度上的最优解。
如果能够实时改变系统的阻尼系数，在滑动阶段初期采用较小的ξ保证快速性，在末段采用较大的ξ以抑制超调振荡的产生，则会比固定阻尼比有更好的动态响应。
对式(10)中的滑模面进行优化设计：
 | (18) |
式中：ξmin和ξmax分别为最小阻尼参数和最大阻尼参数；为便于调节实际阻尼变化的快慢引入敏感因子δ。
通过联立式(17)和式(18)可以得到
 | (19) |
分析式(19)可知，当趋近过程结束、滑动过程开始时，e≥0。此时有ξmax(1+δe2)－1≈0，即滑动过程开始阶段实际阻尼比ξreal≈ξmin，表现为欠阻尼状态而响应速度快。随着系统状态逐渐趋向于滑模面平衡点，e逐渐减小而趋向于0，此时系统的实际阻尼比趋向于ξreal=ξmin+ξmax(1+δe2)－1≈ξmin+ξmax。该过程中系统阻尼逐渐增大，最终趋近于ξmin+ξmax。通过上述分析可以看出，状态矢量在滑模面的滑动过程中，实际阻尼比在(ξmin, ξmin+ξmax)之间自适应调节，最终能够达到比固定阻尼比更好的效果。敏感因子δ则影响实际阻尼比趋近最大最小值的速度，当δ越大时，ξreal越容易趋近ξmin，反之则更容易趋向于(ξmin+ξmax)，如图 2所示。
 |
| 图 2 阻尼比的影响随敏感因子变化示意图 Fig. 2 Schematic diagram of damping ratio influence changing with sensitivity factor |
| 图选项 |
此时的控制律式(12)修正为
 | (20) |
2.3 双环PID控制器设计 分析式(7)的最后2个微分方程，是其输入为电压，输出为电机主轴转速的二阶系统(电机子系统)。因此，不妨采用电机控制中常用的转速-电流双环PID控制方法：
 | (21) |
式中：ucd和uVd分别为电流和母线电压的目标控制量；Kp*、Ki*和Kd*分别为比例系数、积分系数和微分系数；e*表示该环误差；下标s和c分别表示参数所在环为速度环(Speed)和电流环(Current)。进一步而言，式(7)中第4个和第5个方程的等效控制量分别为x5和U，即分别对应式(21)中的ucd和uVd，具体的关系在图 3中加以说明。
 |
| 图 3 级联控制算法原理框图 Fig. 3 Schematic diagram of proposed cascade control algorithm |
| 图选项 |
根据EHA模型式(7)、新型变阻尼滑模控制律式(20)和双环PID控制律式(21)，其原理框图如图 3所示，即最外环为DV-SMC，内环为双环PID。
3 仿真分析 EHA仿真参数如表 1所示。
表 1 EHA模型参数 Table 1 Parameters of EHA model
| 参数 | 数值 |
| 活塞有效面积A/m2 | 1.134×10-3 |
| 有效行程/m | 0.1 |
| 油缸内泄系数Lc/(m3·(s·Pa-1)-1) | 2.5×10-11 |
| 油液弹性模量βe/(N·m-2) | 6.86×108 |
| 容腔有效体积V0/m3 | 4×10-4 |
| 油缸黏性摩擦系数Bc/(N·(m·s-1)-1) | 1 000 |
| 油缸及负载质量M/kg | 243 |
| 柱塞泵排量Dp/(m3·rad-1) | 3.98×10-7 |
| 电机黏性摩擦系数Bm/(N·m·(rad·s-1)-1) | 6×10-4 |
| 线电阻R/Ω | 0.2 |
| 线电感L/mH | 1.33 |
| 柱塞泵和电机转动惯量Ja/(kg·m2) | 4×10-4 |
| 电机扭矩系数Kt/(N·m·A-1) | 0.351 |
| 反电动势系数Ke/(V·(rad·s-1)-1) | 0.234 |
| 弹性负载系数Ks/(N·m-1) | 8×108 |
| 母线电压/VDC | 270 |
表选项
3.1 仿真结果对比分析 图 4为输入参考值(黑色实线)时，三环PID(蓝色虚线)、普通SMC复合双环PID(红色点划线，以SMC表示)和DV-SMC复合双环PID(绿色实线，以DV-SMC表示)的仿真结果(mm)。当系统输入分别为50 mm、15 mm和5 mm的阶跃信号时，通过纵向对比图 4(a)~(c)中同种颜色的线可以得出，固定的PID参数不能够适应不同幅值的阶跃信号，而SMC和DV-SMC对于不同的输入信号均能保持较好的跟踪效果。
 |
| 图 4 EHA不同幅值阶跃信号的响应 Fig. 4 Response of EHA step signals with different amplitudes |
| 图选项 |
通过横向对比同一图中的SMC和DV-SMC的仿真结果可得，就调节时间而言，SMC和DV-SMC结果相当。而DV-SMC对超调量的抑制效果则优于SMC(阻尼比设置为最优阻尼比0.707)，SMC的超调量分别为12%、6.7%和6.7%，而DV-SMC三个阶跃响应均无超调。值得注意的是，SMC等效阻尼比已经是最佳阻尼比，但其超调量大于5%是因为该阻尼比对应的是滑模的滑动阶段，初始趋近滑模面的过程产生的冲击也会使得最终结果产生超调。相反，由于DV-SMC的阻尼比可变，滑动阶段误差接近0时，阻尼比自适应调节为过阻尼，对超调产生明显的抑制效果。
由于控制量输出结果在不同幅值阶跃下趋势近似相同，故以15 mm阶跃响应为代表，对比3种控制方式的控制量结果，如图 5所示。相较于文献[9]，可以看出由于使用了饱和函数，最终稳态输出的控制量抖振效果被有效抑制并未出现稳态情况下的方波，且位置输出精度未受到影响。另外，可以看出起始阶段3种方法的输出均达到饱和峰值。中间阶段由于滑模面阻尼随误差减小而增大，相比于普通SMC，DV-SMC的输出随陡降而后趋于平缓，因此没有造成位置上的超调。稳态阶段由于误差趋近于0，输出主要由鲁棒项产生，因此SMC和DV-SMC在稳态的输出没有明显的差异。
 |
| 图 5 15 mm阶跃EHA控制量输入仿真结果 Fig. 5 Simulation results of EHA control input with 15 mm step signal |
| 图选项 |
图 6为所设计的滑模面示意图。可以看出，变阻尼滑模面与传统线性滑模面不同，为一个随着误差e变化的曲面，其曲率取决于敏感因子δ和阻尼比上下限ξmax和ξmin。
 |
| 图 6 变阻尼滑模面 Fig. 6 Damping-variable sliding mode surface |
| 图选项 |
3.2 阻尼参数取值 由2.2节的分析可知，ξreal在最大值和最小值之间变化。本节通过仿真方式讨论并验证ξmax和ξmin的取值。
为了使偏差e尽量快速趋近于0，在起始阶段阻尼比越小越好，不妨假设期望的ξmin=0。由式(19)可得
 | (22) |
可以看出，实际阻尼比由敏感因子和偏差最大值决定，为便于分析，不妨取敏感因子δ=1。假设系统状态到达滑模面时有e=e(0)，且e(0)必定小于EHA的有效行程。因此，系统状态在滑模面上滑动过程中，ξreal会大于0且随着e减小迅速增加。
ξmax的取值则决定了阶跃响应的后半段，即系统状态趋近于平衡点时的动态和最终对超调的抑制效果。图 7展示了当ξmax分别取0.5、0.65、0.8、0.9和1时的阶跃响应结果。可以看出，随着阻尼比的逐渐增大，后半段的超调量逐渐减小，调节时间也相应缩短：从ξmax=0.5时的超过0.8 s减小到ξmax=1时的约0.3 s；超调量从约20%减小到完全没有超调。由图 5的仿真结果可得，根据具体的应用场合，ξmax取[0.8, 1]较为合适，当对调节时间要求较低，希望系统平稳且有少量超调时，ξmax可取0.8；而当希望系统响应迅速且完全没有超调量时，ξmax应当取1。
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| 图 7 ξmax不同取值的阶跃响应 Fig. 7 Step response with different values of ξmax |
| 图选项 |
4 结论 本文以EHA为研究对象，在SMC的基础上，设计了一种新型的准自适应变阻尼滑模控制算法，并采用仿真验证了该新型控制算法的有效性，得出了如下结果：
1) 建立了EHA滑模控制中滑模面参数和标准二阶振荡环节中固有频率ωn、阻尼比ξ之间的联系，解释了EHA控制中滑模面参数的实际物理含义，给滑模控制参数整定提供了思路。
2) 通过仿真验证对比了所设计的变阻尼滑模面与传统的固定阻尼比滑模面的跟踪效果，证明了变阻尼滑模面在快速性和抑制超调、振荡方面的效果。
3) 通过仿真给出了在EHA位置环控制中，变阻尼滑模面阻尼比的最优取值范围。
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