近年来，无人机在环境监测、军用侦查、灾后搜寻及救援^[1-3]等应用场景下发挥着重要的作用。作为一个灵活机动的战术应用平台，无人机的路径跟踪控制引起了世界各国科研团队的关注^[4-6]，其中无人机对未知干扰和执行机构故障的鲁棒性、状态误差限制以及跟踪误差收敛性能在路径跟踪控制研究中具有重要意义。视线(Line-of-Sight)制导控制算法作为一种有效的制导算法，在路径跟踪领域有着广泛的应用^[7-10]。制导算法利用参考轨迹和无人机运动状态计算得到姿态指令，通过控制回路实现无人机对参考轨迹的跟踪。文献[11]证明了视线导引律的一致半全局指数稳定性; 文献[12]提出了自适应视线导引律，通过对侧滑角的自适应估计补偿提升系统性能，能够确保系统全局一致稳定; 文献[13]利用侧滑角观测器进行状态估计，确保系统误差在具有外部干扰的情况下有限时间收敛。
无人机利用视线制导控制算法进行路径跟踪的过程中，系统状态误差的收敛时间是一个比较重要的指标，直接影响路径跟踪的快速性。文献[11-13] 中的系统均为指数稳定或有限时间收敛稳定。系统有限时间稳定虽然与指数稳定相比能够确保收敛时间为有限值，但是该收敛时间依赖系统初始状态，在初始条件不确定的情况下会严重影响系统性能。文献[14]提出了固定时间收敛的概念，使系统收敛时间的上界不依赖于初始状态，具有更好的工程应用价值。本文针对无人机路径跟踪控制问题进行研究，提出固定时间收敛的视线制导控制算法，确保跟踪误差收敛时间不依赖系统初始状态。另外，为了确保跟踪控制过程中偏航角不发生剧烈变化，实现无人机的安全飞行，系统需要对角速度误差进行限制。特别是太阳能无人机的机翼通常为具有大弦比的柔性结构，较大的偏航角速度会引起机翼的抖动，并产生额外的滚转力矩威胁无人机的飞行安全^[15]。本文综合考虑上述问题，实现无人机跟踪误差在固定时间内收敛的同时，保证对角速度误差的有效限制。
系统不确定性、外部环境干扰、执行机构故障等因素会严重降低无人机路径跟踪的控制精度及稳定性，但是未知干扰值通过传感器很难进行精确测量。同时，如果对执行机构故障不及时进行处理会导致系统性能迅速恶化甚至任务失败。其中，由于大翼展柔性太阳能无人机存在气弹问题，很难对其构建精确动力学模型，这就使得系统不确定性对系统稳定性的影响显得格外突出^[16]。扰动观测器是一种广泛应用的对干扰及故障进行快速精确估计补偿的方法，并且取得了诸多研究成果^[17-20]。为了实现无人机固定时间路径跟踪制导控制，需要在固定时间内精确估计补偿干扰及执行结构故障，确保系统具有良好的路径跟踪控制性能。
综上所述，在综合考虑未知干扰及执行机构故障等因素影响的情况下，实现无人机路径跟踪误差的固定时间收敛，并同时保证对角速度误差的限制是本文的研究重点。研究工作的主要内容如下：首先，本文提出一种视线制导控制算法框架，对无人机进行制导控制一体化设计，确保整个闭环系统跟踪误差满足固定时间收敛，并且该收敛时间与系统初始状态量无关。其次，同时考虑外部干扰及执行机构故障等因素的影响，实现对未知干扰在固定时间内进行估计补偿，确保无人机具有良好的容错性和鲁棒性。同时，对偏航角速度误差进行限制，使系统状态平滑变化。最后，通过仿真算例证明，本文算法在具有更快的收敛速度和更高的控制精度的同时，具有良好的鲁棒性。
1 问题描述 无人机运动学模型为

(1)

式中: (x, y)为位置坐标；ψ为偏航角；v_x为机体坐标系下的前向速度；v_y为侧向速度；r为偏航角速度。
偏航角控制回路模型和执行机构故障模型如下：

(2)

(3)

(4)

式中: m_r为航向转动惯量；d_r为阻尼常数；τ_f为力矩控制量；τ_r为具有执行机构故障的控制量；τ_d为未建模参数不确定性和外部干扰；τ_fd为总干扰；本文假设干扰值及其微分项有界，该执行机构故障模型τ_af同时包括了乘性故障和加性故障。k_fd为加性故障；k_f为损失的舵效比，当该值为0时表示执行机构完好，当该值为1时则表示该执行机构完全损坏。本文假设干扰值及其微分项有界，同时无人机存在独立设计的高度、滚转角及速度稳定控制回路。
路径跟踪动态特性表示如下：

(5)

式中：e为侧向跟踪误差；ψ_e为偏航角与期望航迹角的偏差角度；χ为期望航迹角；κ为期望路径的曲率。
图 1表示了无人机路径跟踪控制过程中状态量之间的几何关系。图中：U为无人机合速度，u为前向速度。

图 1 无人机路径跟踪控制几何示意图 Fig. 1 Path following control geometry of an UAV

图选项

本文的控制目标为设计相应的容错制导控制算法，确保无人机存在执行机构故障及未知干扰的情况下，系统跟踪误差满足固定时间收敛，并且该收敛时间与系统初始状态量无关。
注1????本文采用偏航角控制子回路对侧向跟踪误差进行控制，该控制结构在以太阳能无人机为代表的大翼展飞行器中有着广泛的应用。同时，本文提出的控制结构和设计方法也可推广应用到利用滚转角控制子回路对侧向跟踪误差进行控制的情况。
2 固定时间收敛的视线制导控制算法 视线制导控制算法的构成如图 2所示, 主要包括路径跟踪制导回路和偏航角控制子回路，ψ_c为期望偏航角指令。路径跟踪制导回路计算得到期望偏航角指令信息，输入至偏航角控制子回路。偏航角控制子回路通过自然指数障碍李雅普诺夫函数对偏航角速度误差进行限制，同时利用固定时间扰动观测器，确保系统对外部干扰和执行机构故障具有良好适应性的同时，保证侧向跟踪误差及偏航角误差在固定时间内收敛。

图 2 视线制导控制算法框架 Fig. 2 Framework of path following guidance control algorithm

图选项

引理1^[14]????假设存在如下系统：

(6)

式中: α、γ₁、γ₂为系统参数; V为李雅谱诺夫函数; β为设计参数。其中，α>0, β>0，且γ₁>1, 0 < γ₂ < 1，则系统在固定时间内收敛且收敛时间的上界为T₁，T₁满足：

(7)

引理2????设p>1, q>1，(p－1)(q－1)=1，则?a, b≥0，必有

(8)

该不等式为Young不等式^[21]。
2.1 固定时间扰动观测器设计 无人机在飞行过程中受到外部环境干扰，气动参数不确定性，执行机构故障等因素影响会使得飞行性能急剧恶化。本文引入固定时间扰动观测器对外部干扰及执行机构故障等不确定性扰动进行在线估计补偿，确保扰动估计误差在固定时间内收敛，从而增强系统的鲁棒性。由式(2)、式(5)可得

(9)

(10)

式中: u_e0=v_xψ_e; ; f_e=v_xsin ψ_e－ v_xψ_e+v_ycos ψ_e; f_r=τ_fd; f_e和f_r为非线性扰动项。假设干扰项微分项值有界，即满足、，L₁和L₂均为正整数。
针对式(9)、式(10)所示系统设计固定时间扰动观测器，确保非线性扰动项f_e、f_r的估计误差在固定时间内收敛，固定时间扰动观测器设计如下：

(11)

(12)

对式(11)、式(12)进行整理，得出如下观测器状态估计误差：

(13)

(14)

式中：; q₁>0;l₁h^－1(l₁)>l₃－L₁，h(l₁)=1/l₁+[5.436/ (l₁l₃－l₁L₁)^1/3]; l₃>L₁; l₂>0;q₂>0;l₆>L₂; l₄h^－1(l₄)>l₆－L₂; l₅>0;h(l₄)=1/l₄+[5.436/ (l₄l₆－l₄L₂)^1/3]; l₁、l₂、l₃、l₄、l₅、l₆、q₁、q₂为需要设计的观测器参数，收敛时间由观测器参数决定。
根据文献[20]中Theorem 1得到的结论，δ₁、δ₂、δ₃、δ₄能够在固定时间T_L1、T_L2内收敛到0, 即干扰估计值能够分别在固定时间T_L1、T_L2内估计非线性干扰项f_e、f_r。

(15)

(16)

式中：
2.2 路径跟踪制导控制一体化设计 视线制导控制算法设计的目标是对路径跟踪制导回路进行一体化设计，使无人机的路径和偏航角跟踪误差在固定时间内收敛，同时偏航角速度误差满足给定的限制条件。对式(2)、式(5)进行整理后，可得

(17)

图 3为视线制导控制算法模块。滤波器输入为虚拟控制量α₁和α₂；ψ_c和、r_c和为期望偏航角和偏航角速度指令及其导数；ξ₁和ξ₂为误差补偿量。本文对路径跟踪制导回路和偏航角控制子回路进行一体化设计，利用固定时间扰动观测器实现对未知干扰及执行机构故障进行估计补偿。在路径跟踪制导回路中，制导指令生成器根据期望路径信息计算出制导回路虚拟控制量，通过指令滤波器获取期望偏航角指令及其导数，利用误差补偿器对指令滤波器引起的误差进行补偿。在偏航角控制子回路中，通过反步法将期望偏航角指令输入至姿态角回路控制器，经过指令滤波器和误差补偿器后，将期望偏航角速度指令输入至动力学控制器。动力学控制器输出考虑偏航角速度误差限制的控制量，最终实现对无人机的路径跟踪制导控制。通过视线制导控制算法设计能够确保整个路径跟踪制导控制系统在固定时间内收敛。

图 3 视线制导控制算法模块 Fig. 3 Block diagram of light-of-sight guidance control algorithm

图选项

路径跟踪制导回路虚拟控制量设计如下：

(18)

式中：η_f1、η_f2、ξ₁₁、k_ξ11为设计参数; ξ₁为误差补偿值; z₁=e－e_d为路径跟踪误差；e_d=0为期望路径跟踪误差；c₁₁>0，c₁₂>0，k_ξ11>0。
为了避免在反步法中对虚拟控制量的导数进行复杂计算，本文设计了指令滤波器，滤波器输入为虚拟控制量α₁和α₂，输出为期望偏航角和偏航角速度指令ψ_c、r_c及其导数，指令滤波器表达形式如下：

(19)

式中：(z_{c, 1}, z_{c, 2})=(ψ_c, r_c)；ζ和ω_n分别为阻尼比和频率，ζ=0.8、ω_n=45。指令滤波器的估计误差分别为Δα₁=ψ_c－α₁、Δα₂=r_c－α₂。
由于指令滤波器存在估计误差Δα₁、Δα₂，需要引入误差补偿器对该估计误差进行补偿以消除其对系统控制精度的负面影响。误差补偿器设计如下：

(20)

式中：ε_ξ1>0;k_ξ11>0;k_ξ12>0;k_Δ1>0;sig^η_f1ξ₁= |ξ₁|^η_f1sign ξ₁; sig^η_f2ξ₁=|ξ₁|^η_f2sign ξ₁; 0 < η_f1 < 1，η_f2>1;f₁= ，ξ₁≠0。
设计如下李雅普诺夫函数：

(21)

对式(21)求导，可得

(22)

式中：z₂=ψ_e－ψ_c；ε_e>0;为利用式(11)固定时间扰动观测器计算得到的非线性干扰估计值。
利用Young不等式，从式(22)推导可得

(23)

偏航角控制子回路虚拟控制量设计如下：

(24)

与路径跟踪制导回路设计过程相似，引入式(19)的指令滤波器和误差补偿器对滤波器估计误差Δα₂进行补偿，误差补偿器设计如下：

(25)

式中：k_ξ21>0，k_ξ22>0;ε_ξ2>0;k_Δ2>0;f₂=; sig^η_f1ξ₂ = |ξ₂|^η_f1sign ξ₂，sig^η_f2ξ₂ = |ξ₂|^η_f2sign ξ₂, ξ₂₁和ξ₂₂为设计参数。
设计如下李雅普诺夫函数：

(26)

利用Young不等式，选取z₃=r－r_c，对式(26)求导可得

(27)

构建如下自然指数障碍李雅普诺夫函数^[22]：

(28)

式中：c₂₁、c₂₂、k_Δ2为设计参数; k_r为设计的偏航角速度误差上界，即|z₃| < k_r。对系统状态误差没有限制条件的情况下，即k_r→∞，根据洛必达法则可得

(29)

由式(29)可见，在没有状态限制条件的情况下，自然指数障碍李雅普诺夫函数能够退化为二次型形式进行稳定性分析。
力矩控制量τ_f设计如下：

(30)

式中：c₃₁和c₃₂为设计参数。

(31)

式中: ε_r为设计参数。

(32)

利用式(30)和Young不等式，对式(28)设计的自然指数障碍李雅普诺夫函数求导可得

(33)

式中：，ε_r>0，为从式(12)固定时间扰动观测器得到的非线性干扰估计值。
定理1????利用式(11)、式(12)设计的扰动观测器，采用式(18)、式(24)、式(30)设计的控制规律，则系统(17)在固定时间内收敛。
证明????根据式(21)、式(26)、式(28)的李雅普诺夫函数，选取如下李雅普诺夫函数：

(34)

对式(34)求导，根据式(22)、式(27)、式(33) 可得

(35)

由于扰动项f_e和f_r均采用固定时间扰动观测器进行估计，即ε_e、ε_r均能够在固定时间内收敛到0。当t>max(T_L1, T_L2)时，从式(35)推导可得

(36)

式中：

根据引理1的结论，定理得证。????证毕
3 仿真分析 为了验证本文算法的有效性，利用文献[23]的无人机模型进行路径跟踪仿真试验，文献[13]提出的有限时间控制算法作为对比分析算法。本文参数取值如下：c₁₁=0.05, c₁₂=0.06, η_f1=0.9, η_f2=1.5, c₂₁=0.5, c₂₂=0.6, c₃₁=0.6, c₃₂=0.5, k_r=0.5, k_ξ11=0.01, k_ξ22=0.01, q₁=q₂=2, l₁=10, l₂=2, l₃=2, l₄=70, l₅=14, l₆=700, k_Δ1=k_Δ2=0.1, ε_ξ1=ε_ξ2=ε_r=0.01, ζ=0.8, ω_n=45。
无人机起始状态1：[x₀, y₀, e₀]=[－7.07, 7.07, 10]m，执行机构故障设定为： +2.5+2.5sin t，k_f= ，风干扰大小设定为3 m/s，方向为30°。仿真结果如图 4所示。

图 4 路径跟踪效果 Fig. 4 Path following performance

图选项

由图 4、图 5可见，本文算法收敛时间约为8 s，有限时间控制算法的收敛时间约为12 s。本文的绝对误差积分为14.287，小于有限时间控制算法的绝对误差积分为38.87。特别是在产生执行机构故障的时刻(40 s)前后，有限时间控制算法误差控制精度逐渐恶化，而本文算法依然具有良好的鲁棒性。本文算法相比文献[13]提出的有限时间控制算法能够在更短的时间内使路径跟踪误差收敛，从而更加快速精确地跟踪期望路径。通过图 6和图 7可以看出，由于引入障碍李雅普诺夫函数和扰动观测器，本文算法得到的偏航角误差和偏航角速度误差确保在设计的限制范围内，具有更快的收敛速度，更高的误差控制精度。从图 8的力矩控制输入量可以看出，控制输入量在整个过程中都具有良好的平滑性，均未产生大幅度抖动。从图 9、图 10可以看出，固定时间扰动观测器对参数不确定性及故障信息等干扰值具有良好的观测性能，能够实现对干扰值的快速准确估计。此外，在执行机构发生故障以后，观测器估计值能够快速跟随干扰的变化量。正是由于扰动观测器对于干扰值的精确快速估计，才能够确保整个系统具有良好的鲁棒性。

图 5 侧偏距离误差 Fig. 5 Cross-track errors

图选项

图 6 偏航角误差 Fig. 6 Yaw angle errors

图选项

图 7 偏航角速度误差 Fig. 7 Yaw angular velocity errors

图选项

图 8 力矩控制量 Fig. 8 moment control variable

图选项

图 9 干扰估计值 Fig. 9 Estimates of disturbance

图选项

图 10 不确定性估计值 Fig. 10 Estimates of uncertainties

图选项

为了验证系统初始状态对收敛时间的影响程度，本文选取无人机初始状态2：[x₀, y₀, e₀]=[－10.6, 10.6, 15]m进行仿真分析，仿真结果如图 11和图 12所示。

图 11 不同初值的路径跟踪效果 Fig. 11 Path following performance with different initial states

图选项

图 12 不同初值的侧向距离误差 Fig. 12 Cross-track errors with different initial states

图选项

从图 11、图 12可以看出，本文算法在初始状态2下的收敛时间约为8 s，与状态1得到的结果相近，受到初始状态变化的影响很小。有限时间控制算法的收敛时间约为14 s，与状态1中得到的结果12 s相比，收敛时间受到初始状态的影响比本文算法更大。可见本文算法相比有限时间控制算法，初始状态变化对收敛时间的影响更小，能够更加快速精确地跟踪期望路径。本文算法的绝对误差积分为25。有限时间控制算法的绝对误差积分为51.75，可见本文算法在新的初始状态下依然具有较高的控制精度。
为了进一步验证初始状态对收敛时间的影响，本文针对初始侧偏进行蒙特卡罗仿真，仿真100次，每一次初始侧偏在5~15 m上以均匀分布概率随机产生，对所有仿真的侧偏收敛情况进行统计，图 13为所有仿真的收敛时间，表 1列出了收敛时间的统计特性。

图 13 收敛时间统计结果 Fig. 13 Statistic results of convergence time

图选项

表 1 100次仿真统计结果 Table 1 Statistic results of 100 simulations

控制算法	收敛时间均值/s	收敛时间方差
固定时间控制算法	7.72	0.003
有限时间控制算法	12.32	1.394

表选项






从图 13及表 1可以看出，有限时间控制算法的收敛时间受初始侧偏的影响明显，而本文算法的收敛时间更短，并且几乎不受初始状态的影响。综上所述，本文算法具有更好的快速性和控制精度，系统的收敛时间更短，并且几乎不受初始状态影响，同时对于未知干扰值具有良好的鲁棒性。
4 结论 1) 本文提出了一种基于扰动观测器的固定时间收敛视线制导控制算法。通过引入反步法和固定时间控制理论，保证系统具有更快的收敛时间及更好的跟踪精度。同时结合自然指数障碍李雅普诺夫函数，确保系统状态误差保持在期望的误差限制范围以内。
2) 利用固定时间扰动观测器对时变的执行机构故障和未知环境干扰进行快速精确估计补偿，使控制算法具有较强的鲁棒性和抗干扰能力。

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