群系统编队控制在很多领域都有着广泛的应用，比如监视和侦察^[1-3]、目标搜索和定位^[4-7]、中继通信^[8]以及空间探索和资源探测^[9-10]等。传统的编队控制方法主要包括：领导者-跟随者^[11-12]、行为方法^[13]以及虚拟结构^[14]。但从应用情况来看，这3种方法依然存在着鲁棒性差、行为建模复杂和通信量大等方面的不足。随着多智能体一致性理论的发展，越来越多的****开始研究基于一致性算法的分布式编队控制方法^[15-16]。文献[15]指出，上述3种传统方法均可看作是一致性算法的特例。
基于一致性协议，文献[17-18]讨论了轮式小车的编队控制问题。文献[19]提出了大规模一阶群系统有限时间编队框架。基于一致性线性化反馈方法，文献[20]研究了无领导者方式的多无人机编队控制问题。进一步，文献[21]研究了多无人机时变编队控制的分析和设计问题，并给出了编队形成的充要条件。文献[15, 17-21]的研究对象主要是低阶群系统，比如一阶^[17-19]、二阶^{[15, 20-21]}。假定网络通信拓扑为无向图，文献[22]分析了一类由多个二阶系统串联组成的高阶群系统编队控制问题。对于有向通信拓扑结构，由于其Laplacian矩阵的特征值可能存在复数，判断编队形成具有一定难度。文献[23]利用状态/输出反馈，研究了有向通信拓扑条件下的编队形成问题。
上述文献均假设理想网络通信条件，但在实际的应用中，受到周围环境或其他因素的影响，可能出现通信时延、拓扑不确定以及外部扰动等情况。文献[24]通过引入自身时延，给出了二阶群系统实现时不变/时变编队的充分条件。文献[25]讨论了同时存在位置时延和速度时延条件下的一致性策略和编队控制稳定性。文献[26]采用频域方法，借助Nyquist稳定性判据给出了编队稳定的时延相关/非相关条件。文献[24-26]均假定固定通信时延。对于时变时延，文献[27]研究了某型垂直起降无人机的编队控制方法。同时考虑时变时延和有向拓扑，文献[28]设计了二阶群系统编队控制协议，同时讨论了时变时延对编队形成的影响。文献[29]给出了含有时变时延高阶群系统实现编队的充要条件和编队控制器的设计方法。文献[30-31]采用Lyapunov稳定性理论分析了通信时延的边界条件。文献[32-33]研究了群系统模型存在范数有界不确定性情况下的编队控制问题。利用鲁棒控制理论，得到了群系统编队控制稳定性条件。针对时延、拓扑不确定和外部扰动条件下的高阶群系统编队控制问题，目前的研究成果很少。文献[34-35]只讨论了控制器增益已知情况下的群系统鲁棒一致性问题。
本文主要讨论一类同时存在时变时延、拓扑不确定和外部扰动等复杂通信条件下的群系统编队控制问题。与已有文献相比，主要贡献有：
1) 高阶线性群系统模型。文献[17-21]所讨论的群系统大都针对一阶或二阶积分器，而高阶模型不具有一阶、二阶模型的特殊结构，因此文献[17-21]方法不适于高阶线性群系统。本文方法具有更广泛的应用范围。
2) 同时考虑时变时延、拓扑不确定及外部扰动等3种通信条件。目前针对复杂通信条件的编队控制问题研究较少，仅有文献[34-35]讨论了3种通信条件同时存在的群系统一致性可行性问题，且没有给出控制器增益的求解方法。
3) 低保守性。文献在分析编队所允许的最大时延上界时采用了Lyapunov稳定性方法，所得结果是充分条件，具有一定的保守性。不同于文献[30-31]方法，本文将自由权矩阵引入分析过程中，使所得结果具有较低的保守性。
本文首先简要介绍了图论知识和相关引理；并建立了一类复杂通信条件下高阶线性群系统编队问题的数学描述，同时设计了基于一致性算法的编队控制协议。然后给出了群系统实现编队的充要条件, 利用Lyapunov-Krasovskii泛函分析方法得到群系统编队所允许的最大时延上界和控制器增益求解方法。最后利用数值仿真实验，对所提出方法的有效性进行验证。
1 图论知识及相关引理 本文矩阵表示是正定(负定)的；在矩阵中，符号*表示对称项；符号?表示Kronecker乘积。对于任意的实数矩阵X，复数向量x和任意的c∈ C，定义变换Λ_X=diag{X, X}，，以及Φ_c= ，其中I为合适维数的单位阵。若矩阵B是列满秩矩阵，则存在一个非奇异矩阵，满足且。
1.1 图论知识 图G=(V, ε_G, W)由节点集合V、边集合ε_G和邻接矩阵W这3个要素组成。其中，V={ξ₁, ξ₂, …, ξ_N}，ε_G={(ξ_i, ξ_j):ξ_i, ξ_j∈V}，W=[w_ij]∈ R ^N×N。节点ξ_i到节点ξ_j的一条边用e_ij=(ξ_i, ξ_j)表示。如果对任意的e_ij∈ε_G都存在e_ji∈ε_G，则图G称为无向图。反之，则称为有向图。邻接矩阵中的非负元素w_ij表示边e_ji的连接权重。w_ij>0表示节点ξ_i可以接收到来自节点ξ_j的信息，即e_ji∈ε_G。对于任意的i∈{1, 2, …, N}，有w_ii=0。定义节点ξ_i的邻居节点集合为N_i={ξ_j∈V:(ξ_j, ξ_i)∈ε_G}。若定义节点ξ_i的入度为deg_in(ξ_i)= ，则图G的入度矩阵为D_G=diag{deg_in(ξ₁), deg_in(ξ₂), …, deg_in(ξ_N)}。通常，用L=D_G－W表示图G的Laplacian矩阵。
1.2 相关引理 引理1^[36]??图G的Laplacian矩阵L至少有一个0特征值，且向量1是0特征值所对应的右特征向量，即L1=0。如果图G是一个有向图，且含有一个有向生成树(至少存在一个节点到其他所有节点都有一条有向路径)，则0是L的单特征值，其余的非零特征值均具有正实部。
引理2^[37]??如果矩阵Y∈ R ^N×N的各行和均为零，则存在矩阵Z∈ R ^N×(N－1)和矩阵E∈ R ^(N－1)×N使得Y=ZE，E的定义为

如果0是矩阵Y的单特征值，那么矩阵Z是列满秩的。
引理3^[38]??对给定的对称矩阵S=S^T ，其中S₁₁∈ R ^r×r。以下3个条件是等价的：S < 0；S₁₁ < 0，S₂₂－S₁₂^TS₁₁^－1S₁₂ < 0；S₂₂ < 0，S₁₁－S₁₂S₂₂^－1S₁₂^T < 0。
引理4^[39]??存在对称矩阵X，使得和同时成立的充要条件是。
引理5^[40]??给定具有适当维数的矩阵Q=Q^T、H和E，则Q+HF(t)E+E^TF^T(t)H^T < 0，对所有满足F^T(t)F(t)≤I都成立的充要条件是存在一正数ε>0使得Q+ε^－1HH^T+εE^TE < 0成立。
引理6^[41]??对矩阵X∈ R ^m×n和矩阵Y∈ R ^n×m(n≥m)，二者乘积满足如下性质：①若λ是矩阵XY的特征值，则λ也是矩阵YX的特征值。②若λ≠0是矩阵YX的特征值，则λ也是矩阵XY的特征值。③若λ₁, λ₂, …, λ_m是矩阵XY的特征值，则矩阵YX的n个特征值为λ₁, λ₂, …, λ_m, 0, …, 0。
2 问题描述 2.1 高阶线性群系统模型 考虑如下由N个主体组成的群系统：

(1)

式中：i=1, 2, …, N；A为系统矩阵；B为输入矩阵；x_i(t)∈ R ^l表示第i个主体的状态；u_i(t)∈ R ^m为控制输入；ω_i(t)∈ R ^k为外部扰动。假设B是列满秩矩阵，D为适合维数的常数矩阵；群系统中各主体之间的通信用有向图G来表示，且图G具有一个生成树。
2.2 编队控制协议 基于一致性最近邻原则，考虑如下群系统编队控制协议：

(2)

式中：(t－d_t)，待定矩阵K₁、K₂为控制器增益；h_i(t)∈ R ^l为给定编队函数，v_i(t)∈ R ^m为编队辅助函数；表示主体i的邻居节点集合；d_t和Δw_ij(t)分别表示时变时延和拓扑不确定性。
注1??定义x₀ⁱ(t)和h₀ⁱ(t)为区间上的连续函数。当t∈[－d_t, 0]时，假定初值为x_i(t)=x₀ⁱ(t)和h_i(t)=h₀ⁱ(t)。
定义1??编队形成：对于群系统(1)，如果存在一个编队控制输入u_i(t)，i=1, 2, …, N和一个向量函数c(t)∈ R ^l使得

(3)

则称群系统(1)能够形成时变编队h(t)。向量h(t)=[h₁^T(t), h₂^T(t), …, h_N^T(t)]^T∈ R ^l×N表示期望的时变状态编队。其中，h_i^T(t)是分段连续可微的。c(t)表示编队中心的运动模态。
3 主要结果 3.1 编队形成的充要条件 针对高阶线性群系统的编队形成问题，本文主要考虑如下3种通信约束。
假设1??时变时延d_t满足：

(4)

式中：和μ为常数，且0 < μ < 1。
假设2??拓扑不确定性。若用邻接矩阵的变化量ΔW=[Δw_ij]∈ R ^N×N来描述通信拓扑不确定性，则有

式中：。进而，拓扑不确定性的Laplacian矩阵描述为ΔL=ΔD_G－ΔW。为讨论方便，本文假设

(5)

为保证w_ij+Δw_ij≥0，则取值在(－1, 1)之间。
假设3??外部扰动。考虑短时有界的外部扰动ω(t)，且满足：

(6)

为给出高阶线性群系统实现编队的条件，将式(2)代入式(1)，可得到群系统的闭环描述形式为

(7)

当t∈[－d_t, 0]时，x(t)=x₀(t)、h(t)=h₀(t)。z(t)=[z₁^T(t), z₂^T(t), …, z_N^T(t)]^T∈ R ^l×N为观测向量，z_i(t)=x_i(t)－h_i(t), i=1, 2, …, N。状态向量、辅助函数向量以及其初值向量定义为


当外部扰动ω(t)=0时，群系统(1)满足式(3)即可形成指定编队；当ω(t)≠0时，在给定H_∞扰动抑制水平γ的条件下，若满足z(t) ₂ < γ ω(t) ₂，则编队控制协议对群系统(1)实现了H_∞编队控制。
定理1 ??考虑一类复杂通信约束条件(4)~(6)，对于任意给定的有界初始条件，采用编队控制协议(2)的高阶线性群系统(7)实现编队的充要条件是：
条件1??对于矩阵 ,有

(8)

条件2??对于矩阵 和编队辅助函数v(t)，有

(9)

条件3???i=1, 2, …, N－1，如下N－1个闭环系统具有给定的H_∞扰动抑制水平γ，即，其中：，矩阵满足为矩阵L的Jordan标准型)，，矩阵E的定义由引理2给出。

(10)

式中：为Laplacian矩阵的非零特征值。
证明??定义ζ(t)=[ζ₁^T(t), ζ₂^T(t), …, ζ_N^T(t)]^T，其中：ζ_i(t)=x_i(t)－h_i(t)。则式(7)可改写为

(11)

根据定义1中的描述，若式(11)中的各ζ_i(t)能够达到一致，则群系统(7)可以形成编队。
定义编队一致性误差为，其中，，有

(12)

式中：矩阵E的定义由引理2给出。
由引理1、引理2可知，存在列满秩矩阵Z∈ R ^N×(N－1)及ΔZ∈ R ^N×(N－1)，使得L=ZE，ΔL=ΔZE，对式(12)求导得到

(13)

式中：Z=LE^T(EE^T)^－1，ΔZ=ΔLE^T(EE^T)^－1。
如果变量(t)=0，则可以得到ζ₁(t)=ζ₂(t)=…=ζ_N(t)，即如果，群系统(7)能够形成编队。通过变量代换，将群系统的编队控制问题，转化成了具有外部扰动时延系统的H_∞控制问题。
必要性??由式(13)可知，为了保证在任意有界的初始状态下均有，需要有

(14)

且闭环系统

(15)

具有给定的H_∞性能指标γ，即编队控制协议(2)对群系统(7)实现了编队形成H_∞控制。这里,其中,。
很显然，对式(14)两端同时乘以 ，可得到定理1中的条件1和条件2，因此条件1和条件2是必要的。
根据EZ和EΔZ的性质可知，存在非奇异矩阵，使得，其中J和ΔJ分别为矩阵EZ和EΔZ的Jordan标准型。令，则式(15)可以改写为

(16)

式中：和的定义详见定理1。由连续时间信号l₂范数的定义可知，若，则有。由上述的推导可知，等价于。
考虑J和ΔJ的结构，闭环系统(16)等价于定理1的条件3中的N－1个闭环子系统，其中λ_i(i=1, 2, …, N－1)表示矩阵EZ的特征值，由引理1和引理6可知，矩阵EZ的特征值与矩阵L的非零特征值相同，因此λ_i(i=1, 2, …, N－1)也是矩阵L的N－1个非零特征值。由上述推导可知条件3也是必要的。
充分性?因为矩阵B是列满秩矩阵，由引言可知，存在一个非奇异矩阵，满足且。
如果条件1和条件2成立，则有

(17)

对式(17)左乘可得式(14)。
如果条件3成立，由上述分析可以得到式(16)也成立。对式(16)左乘可得式(15)，即如果条件3成立，则式(15)具有给定的H_∞性能指标γ。因此，条件1~条件3同时成立意味着，即群系统可以形成时变编队。??证毕
定理1给出了群系统实现编队h(t)需要的3个条件。其中，条件1可以通过设计满足式(8)的h(t)实现；条件2可通过选取合适的辅助函数v_i(t)，i=1, 2, …, N－1使其成立；条件3则需要设计编队控制协议(2)，主要增益系数K₁和K₂。K₁决定了编队参考函数c(t)的运动模态，可以参照文献[29]的方法设计。3.2节将重点讨论K₂的设计方法。
3.2 K₂的设计 定理2??考虑复杂条件(4)、(5)和(6)，若存在适当维数的实矩阵以及常数a和b(b≠0)，ε>0，使得下式成立：

(18)

式中：，则闭环时延系统(10)具有给定的H_∞性能指标γ，且控制器增益为。
证明??由于群系统采用有向通信拓扑，其Laplacian矩阵特征值存在实部和虚部。因此，式(10)所描述的系统等价于

(19)

式中：状态向量；矩阵系数A_1K=Φ_λiΛ_BΛ_K2。令观测向量，根据定理1证明中的讨论，有等价于。
利用牛顿-莱布尼茨公式，有

(20)

对于合适维自由权矩阵M₁和M₂，有

(21)

定义任意合适维数自由权矩阵X_pq(p=1, 2;p≤q≤2)，有下式成立：

(22)

式中：。
构造Lyapunov-Krasovskii泛函：

(23)

式中：；s和θ为Lyapunov-Krasovskii泛函中的积分变量。
对求导可得

(24)

接下来将分别讨论和 两种情况。
1)
根据式(21)、式(22)和式(24)，有

(25)

式中：



如果

(26)

成立，则。令初始值V(0)=0，有，或简写为。
由引理3可以得到

(27)

式中：。
若式(26)对严格不等号成立，则

(28)

由引理4可知，式(27)与式(28)同时成立，当且仅当

式中：。由于中含有不确定参数，对其做进一步的分解：

(29)

式中：

其中：。
因为，所以由引理5可知，存在一个正数ε>0使得下式成立：

(30)

根据引理3，式(30)等价于

(31)

通过上述整理可知，如果不等式(31)成立，则不等式(26)成立，即闭环系统(10)在非零的扰动条件下，具有给定的H_∞性能指标γ。
2)
由于时，可以得到

(32)

式中：。
如果

(33)

成立，则闭环系统(10)在条件下是渐近稳定的。利用与3.2节类似的推导过程，可以得到式(33)成立的等价条件为式(34)成立：

(34)

式中：的定义与式(31)相同。显然，式(34)可以由式(31)得到。也就是说，如果式(31)成立，则闭环系统(10)在的条件下是渐近稳定的，加之前文已经对非零条件下进行了证明，综上，闭环系统(21)具有给定的H_∞性能指标γ。
由于式(31)中含有非线性项，因此，为了得到控制器增益，需对其做进一步的处理。定义矩阵

然后，令M₁=aP，M₂=bQ(b≠0)。此时Υ是可逆的，且

定义矩阵

利用矩阵Ω对式(31)的矩阵进行合同变换，左乘Ω^T，右乘Ω，并令Q-1以及，可以得到

(35)

式中：定义见式(18)。如果线性矩阵不等式(LMI)式(18)成立，则由引理3有成立，进而。从而，若存在适当维数的实矩阵以及V，具有时变时延、通信拓扑不确定和外部扰动的闭环系统(21)具有给定的H_∞性能指标γ，且控制器增益为。??证毕
注2??由文献[42]可知，对于定理2只需要考虑 4个矩阵即可，其中1, 2, 3, 4)定义为

其中: i=1, 2, …, N－1。
基于上述的讨论，可以利用如下的算法对编队控制协议(2)进行设计，使群系统(1)在时变时延、通信拓扑不确定和外部扰动条件下，满足给定的H_∞性能指标。
算法1??对于群系统(1)和编队控制协议(2)，控制器增益K₁和K₂，以及辅助函数v_i(t)(i=1, 2, …, N)的设计可以参照如下步骤：
步骤1??判断定理1的条件1中式(8)是否成立，若成立，则通过条件2的式(9)求解出编队辅助函数v_i(t)。
步骤2??选取适当的控制器增益K₁，令A+BK₁的特征值在复平面上的指定位置，完成对编队中心运动模态c(t)的配置。
步骤3??根据定理2，可以求出a、b和时延上界d_t，进而得到控制器增益K₂。同时，利用参数a和b，还可以得到不同时延下对应的控制器增益K₂。
4 数值仿真 假设1个群系统由8个主体组成，各个主体之间的通信拓扑G如图 1所示。

图 1 通信拓扑G Fig. 1 Communication topology G

图选项

每个主体由式(1)描述，其中:



定义时变参考编队h(t)为

形成编队之后，8个主体会分布在一个椭圆形的圆周上，组成一个八边形并围绕椭圆的圆心旋转。
利用算法1中的步骤1，可以求解出编队辅助函数为

选取K₁=[5.75, －8.5, －8]将A+BK₁的极点配置在-2、－1+i和－1－i。这时，编队参考c(t)是静止的。设定γ=1.4，利用算法步骤3，得到时变时延上界为d_t=1.7 s。选取时变时延为d_t=1.2+0.5sin t s，此时，得到的控制器增益为K₂=[－0.016 4, 0.014 1, 0.008 4]。
各主体的初始状态分别为：x_i1(0)=4(δ－0.5)，x_i2(0)=3(δ－0.5)，x_i3(0)=2(δ－0.5)(i=1, 2, …, 8)，其中δ为(0, 1)之间的随机数。通信拓扑的不确定性为ΔL=0.9sin tL，外部扰动ω_i(t)取[－2, 2]之间的随机数。仿真时间为50 s，假设通信拓扑的不确定性始终存在，并在25~27 s加入外部扰动。图 2(a)~(f)给出了8个主体的状态和c(t)的状态在不同时刻的截图，以及8个主体的编队构型。从图中可以看出，本文设计的编队控制协议可以使群系统在具有时变时延、通信拓扑不确定和外部扰动的条件下形成时变编队。在出现外部扰动时，8个主体的队形受到了一定的影响，但扰动消失之后仍能重新形成指定的时变编队并保持稳定。图 3(a)~(c)分别给出了各主体的3个状态与编队相应状态差值的曲线，各主体3个状态与参考编队相应状态分量的差值曲线逐渐减小并趋于一致，在外部扰动出现之后，各主体的误差一致性受到了一定的影响，但各主体能迅速地调整各自状态并恢复指定的编队。从仿真结果可以看出，本文的控制方法具有抗扰动的性能，可以有效地抑制时变时延、通信拓扑不确定及外部扰动对群系统编队形成产生的影响，能保证群系统形成时变编队并保持队形稳定。

图 2 8个主体的状态和c(t)的状态在不同时刻的截图 Fig. 2 Snapshot of states of eight agents and c(t) at different moments

图选项

图 3 主体与编队的状态差值曲线 Fig. 3 State curves of differences between agents and formation

图选项

图 4给出了8个主体在25~27 s受到外部扰动时，性能指标的曲线。从图 4中可以看出，8个主体性能指标γ_i的变化范围均在给定的性能指标γ=1.4之内，说明利用本文方法设计的编队控制器在抑制外部扰动的同时，可以满足预先设定的性能指标。

图 4 8个主体的性能指标曲线 Fig. 4 Performance index curves of eight agents

图选项

5 结论 本文讨论存在时变时延、通信拓扑不确定和外部扰动的高阶线性群系统编队控制问题，具体结论如下：
1) 给出了群系统在给定的H_∞性能指标下，实现编队H_∞控制的充要条件。
2) 采用变量代换，将群系统的编队控制问题，转化为具有外部扰动时延系统的H_∞控制问题。通过构造公共Lyapunov-Krasovskii泛函，讨论了具有外部扰动时延系统的H_∞控制问题，得到了保守性较小的LMI判据，利用数值计算方法，可得到群系统允许的时延上界。

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