随着电子信息技术的发展，电子战将始终贯彻战争的全过程。在强电磁干扰下或者无线电静默突防情况下，有源探测易受电子干扰或者反辐射导弹的攻击。这时，在测角精度、抗干扰等方面具有优良性能的远程无源探测系统——机载红外搜索跟踪(IRST)系统可以进行定位，用来弥补有源探测的缺陷^[1-2]。
红外传感器作为一种无源定位系统，只能测得目标的角度信息，目前，机载IRST系统被动定位一般分为单机和多(双)机平台的被动定位。文献[3]对机载IRST系统单站定位问题进行研究，分析了单站被动测距的几种典型算法。文献[4]介绍了一种基于红外成像、序列图像处理和三维运动分析技术的对机动目标的红外单站被动定位新算法。但是对于高机动目标，单机平台必须做适当的机动，满足可观测条件才能实现对目标的定位跟踪。多机定位算法主要利用交叉定位^[5-6]的方法进行定位，该方法算法简单但是定位精度不高。除此之外，压缩感知技术^[7]、时差技术^[8-10]也广泛应用，不过这些技术算法复杂，解算时间长。现代战机主要利用空间位置技术进行红外定位，定位精度往往达不到作战要求，如何提高定位的精度是研究的重点。本文主要针对双机协同交叉定位精度差的问题进行研究。
近年来，随着机器学习的发展，岭回归算法得到广泛应用，可以很好地解决多元线性回归分析^[11-12]。岭回归算法是把正则化的正则损失最小化规则用到有平方损失的线性回归中，它通过损失无偏性来换取较高的数值稳定性，可以很好地解决矩阵中的奇异问题。本文主要针对IRST协同定位系统在仅使用角度观测量定位导致精度差的问题，在获得两组测量子集的基础上，利用岭回归算法^[13]进行优化处理，再利用改进的加权最小二乘法建立融合定位算法模型，提高定位精度。
1 双机协同定位数学模型及误差分析 在IRST协同定位系统中，首先需要对双机协同定位建立数学模型，常规红外无源协同探测模式是指在空间分布的两部无源红外探测器，分别测得目标的方位角θ_IR和俯仰角ε_IR，根据2组数据的相互组合得到4组测量子集单元，不同的测量子集其定位精度均有差异。为了提高目标的测量精度，根据数据选优原则，一般选取测量精度高的3个参数作为运算单元。在实际运用中，由于被动传感器只有方位和俯仰的量测信息，不能直接将量测转换到地心坐标系下。如果仅仅在直角坐标系下进行求解，由于各个机载传感器量测数据一般在载机传感器平台坐标系下产生所示，需要进行坐标变化，求解过程复杂，最后结果表达式冗杂。本文在二维坐标的基础上^[14]，结合三维坐标中直角坐标^[15-16]的运算，建立了球坐标与直角坐标相结合的方法，用来解算定位方程的数学模型，如图 1所示。该模型表达形式简单，简化了计算误差的公式。双机运动模型的参数设置以及坐标系建立如图 1所示。

图 1 运动模型关系 Fig. 1 Motion model relationship

图选项

假定A机实际位置处于(x_t, y_t, z_t)，在定位求解中，为了简化运算，通常建立新的直角坐标系，以A机为坐标原点(0, 0, 0)。B机在坐标系的坐标为(x₂, 0, 0)，目标在新直角坐标为[x, y, z]^T，它在A机红外探测下的量测为(θ₁, ε₁)，量测精度分别为(σ_θ1, σ_ε1)；在B机红外探测下的量测为(θ₂, ε₂)，其量测精度分别为(σ_θ2, σ_ε2)。A机和B机位置测量精度为σ_s，ρ₁和ρ₂为目标飞机距离A机和B机的距离。假设两架飞机的数据率传输速率和容量足够大，信息传输时没有时间延长。在上述坐标系以及相对位置下，其定位方程为

(1)

在求解过程中不需要使用4个测量数据，只需选取4个精度较高的测量数据即可。假设(σ_θ1, σ_ε1, σ_θ2)测量精度较高，则选择的测量子单元为(θ₁, ε₁, θ₂)，对式(1)中(θ₁, ε₁, θ₂)参数进行微分，得到定位误差方程为

(2)

其中：

为了方便计算，将式(2)写成矩阵形式：

(3)

对式(3)用最小二乘法求伪逆，可得目标位置误差矢量d X为

(4)

假设各测量误差是零均值、彼此不相关的高斯白噪声，式(4)表明，在坐标系中目标位置误差矢量dX与测量误差矢量dV、预警机位置测量误差矢量dX_s呈线性关系，因此，dX也是零均值高斯分布的随机变量，其定位误差协方差矩阵P_{d X}为

(5)

式中：。经数学推导有
利用式(5)可以分析出定位误差与目标相对于载机平台的几何关系。在三维平面内描述定位误差在平面上的分布，可采用定位精度的几何稀释(Geometrical Dilution of Precision，GDOP)表示：
同理，可得其他3组的定位误差，在此，只给出(θ₁, ε₁, ε₂)的定位误差方程：

其中：

通过式(5)可知，当进行求解时，需要对矩阵进行求逆，矩阵求逆容易造成数据的偏差，尤其在两机相距很近时，即x₂变得很小。如果x₂数量级为米级，对于以千米为数量级的坐标轴，可以忽略不计，此时式(2)变为

此时矩阵C变为奇异矩阵，此时方程的求解就会出现问题，最终导致了求解出的定位误差较高。
2 双机协同定位优化算法改进 传统的双机红外定位算法能够满足一般情况下的定位需求，随着战争模式的改变，飞机编队中飞机之间的距离越来越小，有时为了欺骗敌方雷达，两机之间经常相距几米的距离，此时双机红外定位方法解算出的定位精度过高，定位误差远远不能满足战场的需要。为了解决此问题，引入领参数变量，提升矩阵C的稳定性。同时，由于一组测量数据精度有限，为了更好地提升测量精度，选择两组子集，采用简化加权最小二乘法得到融合后的目标位置估计值及误差协方差矩阵，以进一步提高系统的定位精度和可靠性。
2.1 基于岭回归算法的定位方程优化 岭回归算法是将二范数正则化融入到最小二乘模型，是一种专门用于对共线性数据进行分析的有偏估计方法，它是一种最小二乘估计的改进，是一种多元线性回归模型，下面利用岭回归算法对定位方程进行优化。
根据第1节得出定位方程的矩阵形式为

其中：C为M×Z维矩阵，当采用最小二乘法估计时，是使误差的平方和为最小，其表达式为

式中：e为误差矢量。
当系数矩阵C列满秩时，最小二乘估计为

(6)

由于战场环境的需要，矩阵C^TC可能接近奇异，即矩阵的特征值接近于0，|C^TC|≈0，这种现象被称为多重共线性。此时传统的最小二乘算法缺乏稳定性和可靠性。针对复共线关系问题，杨楠^[17]提出的岭回归算法。岭回归在最小二乘的基础上加入了一个收缩惩罚项(正则化的2范数)，即在病态的(C^TC)对角线上增加了正则项λ(λ>0)，也称为岭参数。通过将C^TC+ λI替代原来的C^TC，这样可以通过确定λ的值就可以使得对应的特征根远离0，从而显著改善矩阵复共线性时最小二乘估计的均方误差，I为单位矩阵。估计公式为

(7)

式中:为岭回归算法中最小二乘估计值。岭参数λ的计算公式^[13]为

(8)

式中：n、p为修正系数。
采用岭回归算法，可推导出定位误差协方差矩阵P_dX为

(9)

式中：。λ为测量子集的岭参数，它的取值可由式(8)求得。当测量子集为(θ₁, ε₁, θ₂)时：

当测量子集为(θ₁, ε₁, ε₂)时，其误差矩阵变为

2.2 基于最小二乘的融合定位算法 由于一组测量子集的精度有限，并且测量的不确定性较大，为了提高测量精度以及尽可能减少不确定性，将两组目标位置数据采用加权最小二乘估计算法进行线性组合，该算法利用了观测数据的统计特性，因此定位精度相对较高。
设第j组测量子集对应的目标位置及其误差分别为X_j和d X_j(j=1, 2)，则2个测量子集对应的目标位置矢量与误差之间的关系为

式中：I₁、I₂为单位矩阵；V=[dX₁^T, dX₂^T]^T，V ~N(0, D)；D 为6×6阶的对称实矩阵，具体表示为

采用加权而成的进行线性组合时需要求出加权系数矩阵，一般加权系数矩阵取D的逆矩阵，但是，该算法要涉及求各组测量子集定位误差之间的互协方差矩阵，以及高阶矩阵求逆等复杂运算。因此，为降低运算量，且便于工程实用，在此将加权系数矩阵作适当选取，取为准对角阵，即有：

式中：。融合目标位置估计值及其误差协方差矩阵分别为^[18]

式中：D_ij(i≠j)的计算公式为

其中：B₁和B₂的计算公式可参见式(9)，Θ_ij= ，如果选取(θ₁, ε₁, θ₂)和(θ₁, ε₁, ε₂)两个测量子集进行融合定位，经推导有

根据上述过程，设计基于岭回归的IRST协同定位算法框图，如图 2所示。

图 2 基于岭回归的IRST协同定位优化算法框图 Fig. 2 Block diagram of optimization algorithm of IRST cooperative location based on ridge regression

图选项

3 仿真与分析 假设载机的巡航高度约在9 km左右，目标高度为14 km，IRST探测的最大作用距离为100 km。三维目标空间定位的仿真基本参数设置见表 1。
表 1 机载IRST协同定位仿真基本参数设置 Table 1 Basic parameter setup of airborne IRST cooperative location simulation

参数	数值
A机IRST方位测角精度/mrad	0.9
A机IRST俯仰测角精度/mrad	0.9
B机IRST方位测角精度/mrad	1.0
B机IRST俯仰测角精度/mrad	1.0
载机位置测量精度/m	25
目标出现范围(x与y方向)/km	±20
??注：目标位置z坐标固定为5 km。

表选项






3.1 常规协同定位模式的定位精度几何分布 利用式(5)建立的定位精度分布模型和指标参数值，得到该模式的GDOP曲线(数值表示定位误差，单位km)，如图 3所示。其曲线是一族以两个载机平台为中心的纺锤形，从图形中看出，目标离载机平台越远，定位精度越差。当目标的位置坐标为(-3, 10) km，即敌我双方相距10.86 km时，双机相距0.50 km时，定位精度为0.907 4 km。双机相距0.25 km，其定位精度为1.826 km。从数据的对比中可以看出，双机相距的距离越近，其定位精度越差。主要由于第2节提到双机距离太近时导致了矩阵的奇异性。

图 3 常规IRST协同定位分布图 Fig. 3 Conventional IRST cooperative location map

图选项

3.2 基于岭回归算法的定位精度几何分布 利用测量子集(θ₁, ε₁, θ₂)和(θ₁, ε₁, ε₂)建立的定位精度分布模型，分别如图 4和图 5所示。其中，图 4(a)和图 5(a)为测量子集仅仅使用最小二乘法(λ₁=0时)进行数据融合的定位精度，图 4(b)和图 5(b)为测量子集使用基于岭回归算法定位精度，岭参数λ利用式(8)求得其值。

图 4 双机相距0.50 km定位精度图 Fig. 4 Positioning accuracy map of two machines separated by 0.50 km

图选项

图 5 双机相距0.25 km定位精度图 Fig. 5 Positioning accuracy map of two machines separated by 0.25 km

图选项

由图 4和图 5可以看出，只是利用最小二乘法进行优化时，定位GDOP图由纺锤型变成椭圆形，定位精度从内而外依次增加。定位对于x轴周围的定位精度有了明显的提升，并且定位盲区减少，范围变大，能够覆盖目标的活动区域。当利用基于岭回归算法时，定位GDOP图为高密集的纺锤形，不同的是基于岭回归算法的GDOP分布规律是存在一个分界线。以图 4(b)为例，距载机约10 km内的区域，定位精度随距离的增加而变差，但在10~20 km之间定位精度随距离的增加而增高，对于远距离的目标有更高的定位精度。
为了更好对比3种算法的定位精度，随机选取两组相同y轴坐标的数值，本文分别选取y=20 km和y=5 km的数值，对3种算法进行对比，结果如图 6所示。

图 6 三种算法定位精度对比 Fig. 6 Comparison of positioning accuracy by three algorithms

图选项

由图 6中可以看出，仅仅利用最小二乘法时虽然比常规算法能提升定位精度10%以上，但是定位精度图基本走势一样，精度的提高主要是由于多个测量量的融合。利用基于岭回归算法的优化定位算法求解时，精度远远高于其他两个算法。尤其对于远距离的定位精度提升明显，定位误差控制在400 m以内。并且在双机相距较近时也能保持高的定位精度，在x=20 km处，常规算法和最小二乘法定位误差至少为9 km，这样的误差完全不能满足飞机打击目标的需求，利用基于岭回归算法的优化定位算法后，定位误差降到150 m。在离原点比较近的区域，3种算法的定位精度大致一样。基于岭回归算法的优化定位算法有效地改善了双机定位精度，满足了战场攻击目标的需求。
4 结论 本文利用岭回归算法对双机协同定位进行优化。仿真分析表明：双机相距的距离越近，其定位精度越差，无法满足定位需求。基于岭回归的优化算法能够有效地改善这样的问题，在双机距离较近时能够保持高地定位精度，并且该算法能显著改善整个探测区域内的定位精度，尤其对于远距离目标的定位精度提升明显。但是，随着战争形势的改变，作战方式由单纯的战场格斗向大规模集群作战进行演变，本文主要针对双机红外定位，无法满足大规模集群作战的要求，对于多机协同定位有待进一步研究。

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