但是DS证据理论在实际应用过程中也存在的一些不足之处，即传统融合规则无法解决的证据冲突问题[7]。文献[8]通过平均化冲突系数进行证据体权重分配和改进的融合规则进行融合计算，与传统DS方法进行了一组数据融合比较，取得了优于传统方法的结果。文献[9]引入pignistic变换，定义新的证据冲突衡量标准，引用信息熵确定权重系数，并提出新的证据组合规则，实验证明方法在处理冲突证据的有效性。文献[10]通过计算证据体的1-范数距离评估证据体的相似程度，根据相似程度进行证据体的权重分配，再结合改正的组合规则在4种常见悖论中，3种取得了优于其他经典改进方法的结果。很多研究人员在改进DS证据理论时也把目标放在了组合规则的修正上[11-14]，针对融合规则的修正在解决冲突问题上固然有一定的效果，但在实际的应用中，更多需要关注的是如何评价证据体的权重，尤其是冲突问题出现时，如何进行权重的计算和分配才是解决冲突问题的关键。
针对以上问题，本文首先具体分析传统DS证据理论无法解决的4种悖论问题，利用皮尔逊相关系数计算证据体之间的相关关系，并由此定义证据体整体重要程度的权重系数。然后，基于得到的证据权重系数对原始证据的基本概率分布(Basic Probability Assignment，BPA)函数进行修正。最后，对修正后的BPA函数进行零因子修正并按照DS证据理论组合规则进行所有证据体融合计算。多组仿真算例实验对比表明，改进DS证据理论算法在处理证据冲突的问题上收敛速度快且具有明显的有效性。
1 传统DS证据理论及其存在的缺陷 1.1 DS证据理论 对DS证据理论的基本概念作简单介绍。
1) 识别框架
在证据理论中, 证据的推理建立在一个非空有限集合的样本空间上，这个样本空间被称为识别框架(frame of discriminate)，若Θ={A1，A2，…，An}为可能发生事件的所有集合，Ai即为识别框架Θ的一个子集。Θ中的子集两两互相排斥，包含识别框架的全部识别对象，常用2Θ表示。
2) 基本概率分布
对于2Θ中的任何命题A，定义映射m：2Θ→[0, 1]为BPA函数，m满足以下条件：
 | (1) |
式中：?表示空集，即不可能发生的命题；m(A)反映了证据对于命题A的支持程度。
3) 组合规则
作为证据理论的核心内容，DS证据理论融合的基本策略就是将多个证据体的概率函数进行正交运算，一般用⊕表示组合运算，即
 | (2) |
对于2个证据体Ai和Bj的DS组合规则定义为
 | (3) |
 | (4) |
同理，DS组合规则在多证据体的情况下进行如下计算：
 | (5) |
 | (6) |
式中：1/(1-k)为归一化因子；n为发生事件的个数；k为冲突系数，反映了证据体Xi和Yi之间冲突程度的大小，冲突系数值越大，证据体之间的冲突越大，范围为[0, 1]。另外，DS组合规则满足数学中的结合律和交换律，即多证据组合运算的结果与计算顺序无关。
1.2 传统DS证据理论存在的缺陷 1.1节中，DS证据理论中有一个反映证据体之间冲突大小的系数k，对于冲突值较小的证据体，DS组合规则可以达到较好的融合结果，但是对于冲突较大或者完全对立的命题，传统DS证据理论就无法正确得到融合结果。
例如对于识别框架Θ={A，B}，有2个证据体。证据体1：m1(A)=0, m2(B)=1;证据体2：m1(A)=1, m2(B)=0。
计算则得到k=1，2个证据体完全冲突，组合公式(3)则得到分母为0，公式失效，无法实现组合计算的目的。另外，对于高冲突的证据体，DS证据理论的融合结果也常常违背常理，目前，4种常见研究的冲突证据的BPA如表 1所示[11]。
表 1 四种常见冲突证据的BPA [11] Table 1 BPA of four common conflict evidences [11]
| 冲突类型 | 证据体 | 命题 | ||||
| A | B | C | D | E | ||
| 完全冲突 | m1 | 1 | 0 | 0 | ||
| m2 | 0 | 1 | 0 | |||
| m3 | 0.8 | 0.1 | 0.1 | |||
| m4 | 0.8 | 0.1 | 0.1 | |||
| 0置信冲突 | m1 | 0.5 | 0.2 | 0.3 | ||
| m2 | 0.5 | 0.2 | 0.3 | |||
| m3 | 0 | 0.9 | 0.1 | |||
| m4 | 0.5 | 0.2 | 0.3 | |||
| 1置信冲突 | m1 | 0.9 | 0.1 | 0 | ||
| m2 | 0 | 0.1 | 0.9 | |||
| m3 | 0.1 | 0.15 | 0.75 | |||
| m4 | 0.1 | 0.15 | 0.75 | |||
| 高冲突 | m1 | 0.7 | 0.1 | 0.1 | 0 | 0.1 |
| m2 | 0 | 0.5 | 0.2 | 0.1 | 0.2 | |
| m3 | 0.6 | 0.1 | 0.15 | 0 | 0.15 | |
| m4 | 0.55 | 0.1 | 0.1 | 0.15 | 0.1 | |
| m5 | 0.6 | 0.1 | 0.2 | 0 | 0.1 | |
表选项
以上4种证据冲突情况下DS证据理论融合结果如表 2所示。
表 2 DS证据理论冲突证据融合结果 Table 2 DS evidence theory fusion results of conflict evidences
| 冲突类型 | k | 融合后命题BPA | DS | 常理 | ||||
| A | B | C | D | E | ||||
| 完全冲突 | 1 | 无效 | A | |||||
| 0置信冲突 | 0.99 | 0 | 0.727 | 0.273 | B | A | ||
| 1置信冲突 | 0.9998 | 0 | 1 | 0 | B | C | ||
| 高冲突 | 0.9999 | 0 | 0.3571 | 0.4286 | 0 | 0.2143 | C | A |
表选项
完全冲突：上述实例已经说明k=1时，DS组合公式分母为0，融合方法因失效而无法完成融合。
0置信冲突：冲突系数k计算可以得到为0.99，虽然m1、m2和m4都支持A命题，但由于m3=0完全否定了A命题，所以在这种情况下，DS组合规则下计算得到的A命题的基本概率将始终是0，也将导致融合失败。
1置信冲突：冲突系数k经计算可以得到为0.9998，对于A、B和C的DS融合BPA如表 2所示，常理认为原始BPA中融合后应指向命题C，而由于所有证据在B命题存在概率置信，而其他命题存在0概率的情况，所以导致DS组合规则完全置信于B并否定其他命题。
高冲突：计算得到k=0.9999，由于多证据体之间的高冲突问题，导致虽然存在多证据体支持命题A的情况下，传统DS组合计算规则仍没有置信与常理相同的命题。
由于某些命题BPA的特殊性，冲突命题的存在，导致传统DS融合的失败，很多****在改进DS组合规则上提出自己的组合规则改进方法，取得了一定的效果。但是，很多忽略了原始命题中的BPA存在的意义，所以，本文从原始证据体的BPA进行分析和改进，再利用DS组合规则进行融合，保证了改进后DS证据理论的完整性。
2 基于皮尔逊相关系数的改进DS证据理论 本文提出一种基于皮尔逊相关性系数改进DS证据理论的算法。考虑到实际完备的识别框架中，各证据体存在着相关关系，所以，不同证据体对于命题的评估差异必然引起证据体在识别框架中的权重比例。因此，通过皮尔逊相关性系数计算和分配各个证据体的整体权重比例是本文算法的研究重点。
具体算法流程如图 1所示。
 |
| 图 1 改进DS证据理论算法流程图 Fig. 1 Improved DS evidence theory algorithm flowchart |
| 图选项 |
① 根据皮尔逊相关性系数计算证据体之间的相关性，如证据体m1与证据体m2的相关性系数s12计算式为
 | (7) |
式中：cov表示协方差；E表示数学期望；μmi和σmi计算式分别为
 | (8) |
 | (9) |
多证据体的情况下，相互计算两两证据体之间的相关性系数，并构成证据体相关性矩阵sij。
 | (10) |
② 由于皮尔逊相关性系数的范围为[-1, 1]，负值表示负相关，负值越小是说明负相关程度越高，为了控制非正相关的证据体在识别框架中的权值比重和可信度计算，以及考虑克服组合规则中的0置信问题和尽量减少对于整体识别框架的基本概率影响，这里将相关性结果小于等于0的赋值为0.001。定义证据体mi的可信度为cred(mi)，cred(mi)∈[0, 1]且
 | (11) |
③ 使用得到的证据体可信度对原始BPA进行修正，定义修正后的BPA为mi*(X)。
 | (12) |
④ 得到新的BPA矩阵，同样为了避免传统DS组合规则计算中的0置信问题，这里再一次对BPA中为0的值进行修正，修正方法为从每个证据体的命题最高值取0.001替换命题为0的项，若存在最高概率值相同的多项命题，则平均取值，若存在多个0命题项，则同样从最高命题中取0.001。得到mi#(X)，以上取值规则满足且保证每个证据体
⑤ 按照式(5)和式(6)的DS组合规则对修正后的mi#(X)进行计算，得到最后的命题支持度值。
3 实验仿真分析 本节将从传统DS证据理论的4个常见证据冲突问题的解决、证据体数量对于结果的影响和使用皮尔逊相关性系数进行权重计算的改进3个方面对本文提出的改进DS证据理论算法进行分析比较，阐明本文算法的多方面特性。
3.1 4种常见证据冲突分析 4种常见证据冲突的类型在1.2节已经详细介绍，本节实验使用表 1的数值，对比对象为较为经典的改进DS证据理论的4种算法，分别为文献[12]、文献[13]、文献[14]和文献[15]。组合计算对比结果如表 3所示。
表 3 四种常见冲突类型融合结果 Table 3 Fusion results of four common conflict types
| 冲突类型 | 算法 | 命题 | Θ | ||||
| A | B | C | D | E | |||
| 完全冲突 | 文献[12] | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
| 文献[13] | 0.0917 | 0.0423 | 0.0071 | 0.8589 | |||
| 文献[14] | 0.8204 | 0.1748 | 0.0048 | 0 | |||
| 文献[15] | 0.8166 | 0.1164 | 0.0670 | 0 | |||
| 本文算法 | 0.99994 | 0.00001 | 0.00005 | 0 | |||
| 0置信冲突 | 文献[12] | 0 | 0.7273 | 0.2727 | 0 | ||
| 文献[13] | 0.0525 | 0.0597 | 0.0377 | 0.8501 | |||
| 文献[14] | 0.4091 | 0.4091 | 0.1818 | 0 | |||
| 文献[15] | 0.4318 | 0.2955 | 0.2727 | 0 | |||
| 本文算法 | 0.97815 | 0.01589 | 0.00596 | 0 | |||
| 1置信冲突 | 文献[12] | 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| 文献[13] | 0.0388 | 0.0179 | 0.0846 | 0.8587 | |||
| 文献[14] | 0.1676 | 0.0346 | 0.7978 | 0 | |||
| 文献[15] | 0.1388 | 0.1318 | 0.7294 | 0 | |||
| 本文算法 | 0.00001 | 0.00011 | 0.99988 | 0 | |||
| 高冲突 | 文献[12] | 0 | 0.3571 | 0.4286 | 0 | 0.2143 | 0 |
| 文献[13] | 0.0443 | 0.0163 | 0.0163 | 0.0045 | 0.0118 | 0.9094 | |
| 文献[14] | 0.7637 | 0.1031 | 0.0716 | 0.0080 | 0.0538 | 0 | |
| 文献[15] | 0.5324 | 0.1521 | 0.1462 | 0.0451 | 0.1241 | 0 | |
| 本文算法 | 0.99884 | 0.00053 | 0.00032 | 0 | 0.00031 | 0 | |
| 注：表中加粗数字表示最优结果。 | |||||||
表选项
1.2节表 2按照常理4种证据冲突的命题应为AACA，本文算法的融合结果按照最大BPA指认对应命题，结果与常理一致，对于4种冲突皆有效。文献[12]和文献[13]通过将冲突转移到识别框架Θ的方式避免证据的冲突，但同时也增加了是识别框架Θ的不确定性，且这2种算法在4种冲突类型的融合问题解决上并未得到合理的结果。对比文献[14]、文献[15]和本文算法可以看到，文献[14]在0置信冲突中对于命题A和命题B的结果一样，无法判断。其他冲突类型，这3种算法在识别效果上都得到了合理的结果。融合后BPA值越大的命题，融合结果对于该命题的指认程度越高，也就是置信度最高。对比表 3算法得到的BPA可以可看出，本文算法对于合理命题的指认BPA皆是最高的，证明本文算法在解决4种冲突上的表现优于其他算法。
3.2 多证据融合比较 证据体的数量是影响融合理论的重要因素之一，对于不同数量证据体的合理有效融合计算是评价方法好坏的一个重要角度。本节选择文献[15]的数据与传统DS、文献[12]、文献[13]、文献[14]和文献[15]进行对比分析(见表 4)。数据如下：m1 =[0.5, 0.2, 0.3], m2 =[0, 0.9, 0.1], m3 =[0.55, 0.1, 0.35], m4 =[0.55, 0.1, 0.35], m5 =[0.55, 0.1, 0.35]。以上4个证据体，将组成4组进行实验，分别为m1、m2，m1、m2、m3，m1、m2、m3、m4和m1、m2、m3、m4、m5，下面称为第1组~第4组。由于m2对于B命题的大概率指认，所以仅m1和m2组合，常理也应是信任B命题，但在增加证据的过程中发现证据体2犯错的可能性极大，所以按照常理4组证据体融合对应的命题应该为BAAA，下面对所列文献进行对比分析。
表 4 不同数量证据体的融合结果 Table 4 Fusion results of different quantitative evidence body
| 算法 | m1, m2 | m1, m2, m3 | m1, m2, m3, m4 | m1, m2, m3, m4, m5 |
| 传统DS | m(A)=0 | m(A)=0 | m(A)=0 | m(A)=0 |
| m(B)=0.8571 | m(B)=0.6316 | m(B)=0.3288 | m(B)=0.1228 | |
| m(C)=0.1429 | m(C)=0.3684 | m(C)=0.6712 | m(C)=0.8772 | |
| 文献[12] | m(A)=0 | m(A)=0 | m(A)=0 | m(A)=0 |
| m(B)=0.18 | m(B)=0.018 | m(B)=0.0018 | m(B)=0.00018 | |
| m(C)=0.03 | m(C)=0.0105 | m(C)=1.00368 | m(C)=0.00129 | |
| m(Θ)=0.79 | m(Θ)=0.9715 | m(Θ)=0.99452 | m(Θ)=0.99853 | |
| 文献[13] | m(A)=0.090 | m(A)=0.160 | m(A)=0.194 | m(A)=0.211 |
| m(B)=0.377 | m(B)=0.201 | m(B)=0.160 | m(B)=0.138 | |
| m(C)=0.102 | m(C)=0.125 | m(C)=0.137 | m(C)=0.144 | |
| m(Θ)=0.431 | m(Θ)=0.486 | m(Θ)=0.509 | m(Θ)=0.507 | |
| 文献[14] | m(A)=0.1543 | m(A)=0.3500 | m(A)=0.6027 | m(A)=0.7958 |
| m(B)=0.7469 | m(B)=0.5224 | m(B)=0.2627 | m(B)=0.0932 | |
| m(C)=0.0988 | m(C)=0.1276 | m(C)=0.1346 | m(C)=0.1110 | |
| 文献[15] | m(A)=0.1543 | m(A)=0.5816 | m(A)=0.8060 | m(A)=0.8909 |
| m(B)=0.7469 | m(B)=0.2439 | m(B)=0.0482 | m(B)=0.0086 | |
| m(C)=0.0988 | m(C)=0.1745 | m(C)=0.1458 | m(C)=0.1005 | |
| 本文算法 | m(A)=0.0047 | m(A)=0.6368 | m(A)=0.9887 | m(A)=0.9978 |
| m(B)=0.8531 | m(B)=0.2294 | m(B)=0.0037 | m(B)=0.0003 | |
| m(C)=0.1422 | m(C)=0.1338 | m(C)=0.0076 | m(C)=0.0019 |
表选项
由于证据体2对于A的指正BPA为0，所以由于传统DS的“一票否决”(0置信)问题，导致无论增加多少证据体，融合结果对于命题A的基本概率一直为0，导致融合失败。文献[12]和文献[13]将冲突转移至识别框架Θ的方式在多证据融合的结果上仍然没有发挥作用，无论证据体的多少，这2种算法都将绝大部分基本概率分配给识别框架，并未识别到合理的命题。文献[14]在第1组的组合计算结果较为合理，但在第2组增加m3的情况下，仍然没能是识别出证据体2的错误，m2对B命题的大概率指认继续作用，导致文献[14]算法的不合理融合，直到继续增加对于命题A大概率指认的m4和m5出现，文献[14]的算法才开始纠正融合基本概率对于命题A的指认。文献[15]与本文算法都得到了与常理一致的结果，但是本文算法在对于合理命题的融合基本概率上都优于文献[15]，为了比较本文算法在合理命题基本概率的融合结果，如图 2所示。
 |
| 图 2 不同数量证据体下合理命题的融合BPA比较 Fig. 2 Comparison of fusion BPA of reasonable propositions under different quantitative evidence body |
| 图选项 |
显然，如图 2所示，在4组数据的结果与其他算法相比，对于合理命题的基本概率的融合结果都达到了较高的值，为所比较文献中结果最佳。
3.3 皮尔逊相关性系数改进DS证据理论比较 调研发现，文献[16]也曾将皮尔逊相关性系数应用到DS证据理论中对于证据体权重的改正，与本文不同的是，文献[16]未使用原始DS组合计算方法，继承文献[17]的合成公式进行融合计算，把证据冲突按各个命题的平均支持程度加权进行分配。本文则应用皮尔逊相关性计算证据体之间的相关程度，进行不同证据体的在整体识别框架中的重要程度进行权重分配，另外，采用完整的原始DS组合规则进行融合计算，保证改进DS后，算法上的完整性。下面，将对文献[16]的实验数据进行本文算法的实验对比分析。
表 5为正常证据体情况下的数据分布，各个证据体都对于命题A有着最高的支持度，且不存在“一票否决”现象，表 6是冲突证据1的数据分布，冲突证据体为m2对于命题A的完全否定，表 7是冲突证据2的数据分布，冲突证据也是m2对于A命题的完全否定。
表 5 数据正常情况下证据模型的焦元分布 Table 5 Focal element distribution of evidence model under normal data
| 证据体 | A | B | C |
| m1 | 0.90 | 0 | 0.10 |
| m2 | 0.88 | 0.01 | 0.11 |
| m3 | 0.50 | 0.20 | 0.30 |
| m4 | 0.98 | 0.01 | 0.01 |
| m5 | 0.90 | 0.05 | 0.05 |
表选项
表 6 冲突证据数据1 Table 6 Conflict evidence data 1
| 证据体 | A | B | C |
| m1 | 0.98 | 0.01 | 0.01 |
| m2 | 0 | 0.01 | 0.99 |
| m3 | 0.50 | 0.20 | 0.30 |
| m4 | 0.98 | 0.01 | 0.01 |
| m5 | 0.90 | 0.05 | 0.05 |
表选项
表 7 冲突证据数据2 Table 7 Conflict evidence data 2
| 证据体 | A | B | C |
| m1 | 0.98 | 0.01 | 0.01 |
| m2 | 0 | 0.01 | 0.99 |
| m3 | 0.90 | 0 | 0.10 |
| m4 | 0.90 | 0.01 | 0.01 |
表选项
对于表 5、表 6和表 7的数据，文献[16]与本文的融合计算结果如表 8~表 10所示。
表 8 数据正常情况下证据合成结果 Table 8 Evidence fusion results under normal data
| 算法 | m1, m2 | m1, m2, m3 | m1, m2, m3, m4 | m1, m2, m3, m4, m5 |
| 文献[16] | m(A)=0.96733 | m(A)=0.8523845 | m(A)=0.8853891 | m(A)=0.889182 |
| m(B)=0.000985 | m(B)=0.04143542 | m(B)=0.03264323 | m(B)=0.03395038 | |
| m(C)=0.031685 | m(C)=0.1043324 | m(C)=0.0777387 | m(C)=0.07212327 | |
| m(Θ)=0 | m(Θ)=0.00184768 | m(Θ)=0.0042289 | m(Θ)=0.0017443 | |
| 本文算法 | m(A)=0.98628 | m(A)=0.99172 | m(A)=0.99991 | m(A)=0.999995 |
| m(B)=0.00002 | m(B)=0.00002 | m(B)=0 | m(B)=0 | |
| m(C)=0.01370 | m(C)=0.00826 | m(C)=0.00008 | m(C)=0.000005 |
表选项
表 9 冲突证据数据1合成结果 Table 9 Fusion results of conflict evidence data 1
| 算法 | m1, m2 | m1, m2, m3 | m1, m2, m3, m4 | m1, m2, m3, m4, m5 |
| 文献[16] | m(A)=0.40545 | m(A)=0.5978023 | m(A)=0.758134 | m(A)=0.8019236 |
| m(B)=0.004505 | m(B)=0.0571966 | m(B)=0.02902133 | m(B)=0.02697639 | |
| m(C)=0.590045 | m(C)=0.1756906 | m(C)=0.05264324 | m(C)=0.03020729 | |
| m(Θ)=0 | m(Θ)=0.16931 | m(Θ)=0.16020142 | m(Θ)=0.1408926 | |
| 本文算法 | m(A)=0.01785 | m(A)=0.95279 | m(A)=0.99986 | m(A)=0.999996 |
| m(B)=0.00019 | m(B)=0.00001 | m(B)=0 | m(B)=0 | |
| m(C)=0.98195 | m(C)=0.04720 | m(C)=0.00014 | m(C)=0.000004 |
表选项
表 10 冲突证据数据2合成结果 Table 10 Fusion results of conflict evidence data 2
| 算法 | m1, m2 | m1, m2, m3 | m1, m2, m3, m4 |
| 文献[16] | m(A)=0.4851 | m(A)=0.9337065 | m(A)=0.9683049 |
| m(B)=0.01 | m(B)=0.0005023976 | m(B)=0.000206358 | |
| m(C)=0.5049 | m(C)=0.0145743 | m(C)=0.002402914 | |
| m(Θ)=0 | m(Θ)=0.0512168 | m(Θ)=0.02908585 | |
| 本文算法 | m(A)=0.16388 | m(A)=0.99895 | m(A)=0.99997 |
| m(B)=0.00836 | m(B)=0 | m(B)=0 | |
| m(C)=0.82776 | m(C)=0.00105 | m(C)=0.00003 |
表选项
从表 8可以看出，对于正常数据，文献[16]在2个证据体的情况下对于命题A的融合基本概率最高，随着证据体的增加，融合结果对于命题A的概率虽然仍是所有命题中最高，但在增加的证据体也是对A进行指认的情况下，融合概率并未增加，明显新增证据体并未发挥其作用，存在一定的不合理性。本文算法的结果不仅合理指认命题A，在命题A的融合基本概率上也高于文献[16]，另外在增加证据体的过程中，对于命题A的支持度也不断增加，更具合理性。
由表 9和表 10的两组冲突数据融合结果可以看出，文献[16]将一部分冲突转移至识别框架Θ，增加计算不确定性的同时也减少了融合方法对于合理命题指认。与本文算法的结果相比，两组冲突证据数据情况下，基本概率的融合计算，本文都高于文献[16]，且随着证据体数量的增加，本文合理命题的基本概率计算上收敛速度更快，精度更高。
4 结论 本文从证据体权重和BPA中零因子的修正角度对DS证据理论存在的证据冲突问题进行改进，得到一种新的改进DS证据理论算法。实验对比主要结论如下：
1) 对非相干证据体占据整体权重的限制，能够提高融合方法对于合理命题的信任程度。
2) 融合过程零因子的修正，可以在改善证据冲突的问题。
3) 结合皮尔逊的相关性限制，维持传统DS的组合规则进行计算，与改进融合规则的其他算法相比，在不同多个证据体数量上融合都表现更高的合理命题信任度。
4) 与引入皮尔逊改进的算法相比，本文算法在增加证据体的情况下收敛性更好，收敛速度更快。
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