股票市场行情预测一直是投资者迫切关注的话题，然而股票数据具有高噪声、动态、非线性和非参数等特点^[1]，准确地预测股票价格仍是一项具有挑战性的工作。随着人工智能技术的发展，深度学习以其在机器翻译^[2]、语音情感识别^[3]、图像识别^[4]等方面的优异表现受到广泛关注。与传统统计模型相比，深度神经网络(DNN)可以通过分层特征表示来分析深层和复杂的非线性关系，适合处理股票数据分析这种多因素影响、不稳定、复杂的非线性问题。
循环神经网络(Recurrent Neural Network，RNN)将时序的概念引入到网络结构设计中，使其在时序数据分析中表现出更强的适应性。Hochreiter和Schmidhuber通过对RNN网络单元结构进行改进提出了长短期记忆(Long Short-Term Memory，LSTM)模型^[5]，通过设计控制门结构弥补了RNN的梯度消失和梯度爆炸、长期记忆能力不足等问题，使得RNN能够真正有效地利用长距离的时序信息^[6]。目前，LSTM神经网络已经成功应用于语音识别^[7-8]、文本处理^[8]等方面，基于LSTM神经网络在这些方面的优异表现，应用其对金融时间序列进行研究受到广泛关注。2015年，Chen等^[9]使用LSTM模型预测了中国股票市场的股票价格；2016年，Jia^[10]验证了LSTM模型预测股票价格趋势的有效性；2017年，Nelson等^[11]基于股票历史数据和技术指标使用LSTM模型预测了未来股票市场趋势，并与其他机器学习方法进行比较，该实验表明LSTM预测模型具有更高的预测精度；2018年，Fischer和Krauss^[12]应用LSTM模型对标准普尔500指数波动情况进行预测，与随机森林(RAF)、DNN和逻辑回归分类器(LOG)相比LSTM模型具有较好的预测效果。
与其他神经网络模型类似，LSTM神经网络模型中部分参数需要人为设置，如时间窗口大小、批处理数量、隐藏层单元数目等。这些参数直接控制网络模型拓扑结构，不同参数训练出模型的预测性能差异巨大，因此选择合适的模型参数就显得尤为重要。目前，对于网络模型超参数的选择往往依赖研究者的经验和多次实验结果，耗费大量的人力和计算资源。因此，本文提出一种基于自适应粒子群优化(PSO)的LSTM股票价格预测模型(PSO-LSTM)，利用自适应学习策略的PSO算法对股票数据特征与LSTM神经网络拓扑结构进行匹配，获得更高的预测性能。在此基础上，本文选取沪市浦发银行、深市五粮液、港股恒隆集团股票数据，构建PSO-LSTM模型对第2日股票收盘价进行预测。
1 相关工作 1.1 LSTM神经网络 LSTM是一种特殊的循环神经网络。它通过精心设计“门”结构，避免了传统循环神经网络产生的梯度消失与梯度爆炸问题，能有效地学习到长期依赖关系。因此，在处理时间序列的预测和分类问题中，具有记忆功能的LSTM模型表现出较强的优势。
如图 1所示，LSTM是由多个同构单元格组成，该结构能够通过更新内部状态来长时间存储信息，A表示3个单元具有相同的单元结构。每个单元格由4个主要元素构成：输入门、遗忘门、输出门和单元状态。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

图 1 LSTM单元结构 Fig. 1 LSTM unit structure

图选项

式中：x为LSTM单元的输入向量；h为单元格输出向量；f、i、o分别表示遗忘门、输入门和输出门；C表示单元状态；下标t表示时刻; σ、tanh分别为sigmoid、tanh激活函数；W和b分别表示权重和偏差矩阵。
LSTM的关键是单元状态C，它在t时刻保持单元状态的记忆，通过遗忘门f_t和输入门i_t进行调节。遗忘门的作用是让细胞记住或忘记它之前的状态C_t－1，输入门的作用是允许或阻止传入信号更新单元状态。输出门的作用是控制单元状态C输出和传输到下一个单元格。LSTM单元的内部结构是由多个感知器构成的，反向传播算法通常是最常见的训练方法。
1.2 传统粒子群算法 粒子群算法的思想源于对鸟类社会行为的研究。鸟群捕食最简单有效的方法是搜索距离食物最近的鸟的所在区域，通过个体间的协助和信息共享实现群体进化。算法将群体中的个体看作多维搜索空间中的一个粒子，每个粒子代表问题的一个可能解，其特征信息用位置、速度和适应度值3种指标描述，适应度值由适应度函数计算得到，适应度值的大小代表粒子的优劣。粒子以一定的速度“飞行”，根据自身及其他粒子的移动经验，即自身和群体最优适应度值，改变移动的方向和距离。不断迭代寻找较优区域，从而完成在全局搜索空间中的寻优过程。
传统粒子群算法描述为：假设在一个D维搜索空间，m个粒子构成的一个种群X={x₁, x₂, …, x_m}，其中x_i=[x_i1, x_i2, …, x_iD]，设t时刻x_i的特征信息为
位置：X_i^t=[x_i1^t, x_i2^t, …, x_iD^t]^T
速度：V_i^t=[v_i1^t, v_i2^t, …, v_iD^t]^T
个体最优位置：p_i^t=[p_i1^t, p_i2^t, …, p_iD^t]^T
全局最优位置：p_g^t=[p_g1^t, p_g2^t, …, p_gD^t]^T
则该粒子在t+1时刻的速度和位置信息更新：

(7)

式中：w为惯性权重，控制粒子在全局探测和局部开采间的有效平衡；c₁和c₂为学习因子，分别调整飞向自身和全局最好位置方向的步长；r₁和r₂为均匀分布在[0, 1]之间的随机数。为避免粒子搜索，一般将其速度和位置分别限制在[－V_max, V_max]和[－X_max, X_max]之内。
2 自适应PSO的LSTM神经网络预测模型 2.1 自适应学习策略的PSO算法 本文借助聚类思想，根据粒子自身的分布情况，将整个种群自适应地划分成若干子群^[13]。对于每个子群，采用不同的学习策略分布对不同类型的粒子进行更新，提高种群多样性。
采用一种具有较高聚类性能的快速搜索聚类方法实现子群的划分^[14]。该方法能自动发现数据集样本的类簇中心，同时能够实现任意形状数据集样本的高效聚类。其基本原理是：类簇中心具备2个基本特征，被局部密度较低的点包围，且与局部密度较高的点距离较大。
在一个D维搜索空间中，由h个粒子构成的一个种群S={x_i}_i=1^h，其中x_i=[x_i1, x_i2, …, x_iD]，对于第i个粒子的第d维给出2个变量，粒子的局部密度ρ_id与到更高局部密度粒子间距离δ_id，其定义为

(8)

式中：d_ij为x_id和x_jd之间欧氏距离；d_c为截断距离。

(9)

对于局部密度ρ_id最大的样本，其δ_id=max_j(d_ij)。
由式(9)可知，若x_id的密度是最大局部密度，则δ_id远大于其最邻近粒子的δ距离。因此，子群的中心往往是δ异常大的粒子，这些粒子的密度ρ也相对较高，即选择ρ和δ都较大的粒子作为聚类中心。对于其他粒子的x_jd，将其归入密度比x_jd大且距离x_jd最近的样本所在的子群。
基于子群划分的结果，将每个子群中的粒子分为普通粒子和局部最优粒子两类。对于普通粒子，其主要在子群中最优粒子的引导下拓展局部搜索能力，更新公式为

(10)

式中：ω为惯性权重；c₁、c₂为学习因子；rand_1d、rand_2d为区间[0, 1]上的均匀分布随机数；pbest_id为第i个粒子第d维的最优位置信息；cgbest_cd为第c个子群中的最优位置信息。
对于局部最优粒子，其主要通过综合各子群的信息进行更新，以加强子群间的信息交互，更新公式为

(11)

局部最优粒子一方面指导普通粒子的学习，另一方面作为子群间信息交互的媒介。在子群中，局部最优粒子引导着整个子群的搜索方向，若采用式(10)的学习策略，一旦局部最优粒子偏离最优解的搜索方向，会导致整个子群陷入局部最优。因此，局部最优粒子需要突破子群的控制，从其他子群中获得信息。考虑到局部最优粒子是子群中最有可能找到最优解的粒子，式(11)利用各个子群中局部最优粒子的平均信息来指导粒子的更新。通过这种子群间信息的共享，促进子群间寻优信息的传递，进一步提高种群的多样性，避免陷入局部最优。
2.2 PSO-LSTM模型 股票数据作为一种金融时间序列，其受到多方面因素的影响，具有复杂的不稳定性、非线性与周期不确定性。为了准确地预测股票价格，本文以在时间序列分析中表现优异的LSTM模型为基础，构建针对股票数据的预测模型。LSTM模型中某些超参数的取值控制着模型网络结构，为了使模型网络结构与股票数据特征相匹配，本文将自适应PSO算法与LSTM模型相融合，构建了PSO-LSTM预测模型。
PSO算法相较于其他生物智能演化算法的最大优势在于算法设计简单、收敛速度快，但易陷入局部最优。自适应PSO算法能够根据种群自身的分布，通过自适应的子群划分和粒子更新来避免局部最优，提高参数寻优的准确性。自适应PSO算法的自适应特性使得LSTM模型能够根据股票数据的特征，快速、准确地确定最优超参数，实现LSTM模型网络结构与股票数据特征的有效结合。
模型首先将时间窗口大小、批处理大小、隐藏层单元数目作为自适应PSO算法的优化对象，根据超参数取值范围随机初始化各粒子位置信息。通过式(8)、式(9)计算得到粒子的局部密度ρ_id及其到更高局部密度粒子的距离δ_id，实现自适应种群划分。
其次，根据粒子位置对应的超参数取值建立LSTM模型，利用训练数据对模型进行训练。将验证数据代入训练好的模型进行预测，以模型在验证数据集上的平均绝对百分比误差作为粒子适应度值。
适应度函数f定义为

(12)

式中：K为验证数据集的数量；为第i个验证数据的预测值；y_i为第i个验证数据的真实值。
根据各子群中粒子适应度值的取值情况，将粒子划分为普通粒子、子群局部最优粒子与全局最优粒子。通过式(10)、式(11)分别对不同类别粒子位置信息进行更新。判断是否达到终止条件，达到终止条件即得到优化目标的最优值；否则，重新根据粒子位置信息进行种群划分，计算各粒子适应度值，更新各粒子位置信息，直到满足终止条件。
最后，以超参数最优值构建LSTM模型，通过股票数据进行训练和预测。PSO-LSTM模型架构如图 2所示。

图 2 PSO-LSTM模型架构 Fig. 2 PSO-LSTM model architecture

图选项

2.3 算法流程 PSO-LSTM模型算法流程如下：
步骤1??将实验数据分为训练数据、验证数据和测试数据。
步骤2??将LSTM模型中时间窗口大小、批处理大小、神经网络隐藏层单元数目作为优化对象，初始化自适应PSO算法。
步骤3 ??根据式(8)、式(9)划分子群。
步骤4??根据式(12)计算每个粒子的适应度值。以各粒子对应参数构建LSTM模型，通过训练数据进行训练，验证数据进行预测，将预测结果的平均绝对百分比误差作为各粒子的适应度值。
步骤5 ??根据粒子适应度值与种群划分结果，确定全局最优粒子位置pbest和局部最优粒子位置gbest。
步骤6??根据PSO算法的式(10)、式(11)分别对普通粒子和局部最优粒子位置进行更新。
步骤7??判断终止条件。若满足终止条件，返回最优超参数取值；否则，返回步骤3。
步骤8??利用最优超参数构建LSTM模型。
步骤9 ??模型通过训练数据和验证数据进行训练，测试集进行预测，得到预测结果。
3 实验与结果 实验选取沪市A股(600000浦发银行)、深市A股(000858五粮液)、港股(00010恒隆集团)为例进行研究，预测股票第2日收盘价格。股票历史数据包含开盘价、收盘价、最高价、最低价、涨幅、振幅、成交量、成交额、换手率以及成交次数10个属性。其中可能包含停盘停等操作所造成的数据空缺，对于空缺数据进行删除操作，并按时间对数据进行排序。建立PSO-LSTM模型并与自回归移动平均模型(ARIMA)^[15]、支持向量机(SVM)^[16]、多层感知机(MLP)^[17]、RNN^[18]和LSTM^[19]模型进行对比实验。
3.1 模型评价标准 本文选取均方根误差(RMSE)、平均绝对百分比误差(MAPE)、平均绝对误差(MAE)、均方误差(MSE)和决定系数R²作为评价指标对模型预测效果进行定量评价。其中RMSE、MAPE、MAE、MSE数值越小，模型预测结果与真实值偏差越小，结果越准确；决定系数R²越接近1，代表拟合优度越大，模型预测效果越好。具体公式定义为

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：N为实验预测次数；为模型预测值；y_n为真实值；为真实值的平均值。
3.2 模型参数设置 PSO-LSTM模型结构由输入层、两层LSTM层、输出层组成，损失函数使用均方误差，模型训练过程采用Adam算法进行优化，网络模型的搭建在Keras框架下实现。该模型将时间窗口大小、批处理大小、训练次数和隐藏层单元个数设置为LSTM模型超参数。为了减少人为因素对模型的影响，实验根据股票数据具体情况，对超参数的取值范围设置如下：指定时间窗口大小取值范围[1，20]，批处理大小取值范围[1，60]，隐藏层单元个数取值范围[10，30]。同时设置粒子群粒子个数为30，最大迭代次数为500，速度惯性权重ω为0.8，加速系数和为2。
PSO-LSTM训练次数由模型误差损失情况直接确定，模型迭代到800次时误差损失函数达到收敛状态。因此PSO-LSTM模型的训练次数为800。
3.3 实验分析
3.3.1 沪市股票预测 浦发银行2016-01-04—2018-12-21日K数据共计708条，其中70%作为训练数据、20%作为验证数、10%作为测试数据。自适应PSO模型的最优超参数为:时间窗口大小为10，批处理大小为58，第1层隐藏层单元个数为12，第2层隐藏层单元个数为22。实验结果如图 3所示：绿色实线表示测试数据的股票收盘价真实值，红色实线表示不同预测模型的股票收盘价预测值。预测结果显示ARIMA模型预测值曲线在趋势上非常符合股价真实值，然而在每个时间点处的预测值与真实值之间总保持一定误差，具有明显的滞后性。这是由于ARIMA模型采用了分步预测方法，每个时间点的预测值均为历史时刻的真实值预测产生。因此ARIMA模型预测曲线总是落后于股价真实值曲线说明ARIMA模型的预测效果并不好，其预测精度可由模型评价指标进行比较；从其他模型预测结果来看，本文提出的PSO-LSTM模型的预测曲线更接近股价真实值曲线，特别是在股价波动剧烈处的预测效果优于其他模型。

图 3 上海浦发银行各模型预测结果比较 Fig. 3 Comparison of prediction results of various models for Shanghai Pudong Development Bank

图选项

为进一步验证该模型的预测性能，表 1给出各预测模型的评价指标计算结果。PSO-LSTM模型预测误差在RMSE、MAPE、MAE、MSE评价标准下都低于其他预测模型；在决定系数R²评价标准中，该模型计算结果比其他预测模型更接近1，表明PSO-LSTM模型的预测性能优于其他模型。特别地，PSO-LSTM模型MAPE指标比ARIMA模型低71%，比RNN模型低31%，模型预测精度显著提高；PSO-LSTM模型的各项指标优于LSTM模型，但两者差距并不明显，主要原因是这两种预测模型具有相同的单元结构；而PSO-LSTM模型最突出的优势在于构建过程中不需要人工调参，而且预测结果比普通LSTM模型更优。
表 1 上海浦发银行各模型评价指标比较 Table 1 Comparison of various models' evaluation indicators for Shanghai Pudong Development Bank

模型	RMSE	MAPE/%	MAE	MSE	R2
ARIMA	0.1609	3.6176	0.3809	0.0259	0.9833
SVM	0.1847	1.4149	0.1482	0.0341	0.9666
MLP	0.1924	1.4665	0.1551	0.0374	0.9832
RNN	0.2082	1.5145	0.1598	0.0433	1.3423
LSTM	0.1799	1.3792	0.1451	0.0323	1.1518
PSO-LSTM	0.1420	1.0369	0.1068	0.0202	1.0120

表选项






为了进一步研究该模型与传统LSTM模型的有效性与稳定性，实验将浦发银行2018-12-24—2019-03-12日的日K数据平均分成5组，分别利用LSTM模型和PSO-LSTM模型进行预测，预测结果如图 4所示。图中：绿色曲线表示股价真实值，蓝色曲线表示LSTM模型预测值，红色曲线表示PSO-LSTM模型预测值。从图中可以看出，对于第2组、第3组和第5组数据，PSO-LSTM模型的预测值曲线比LSTM模型更逼近股价真实值曲线。对于第1组和第4组数据，PSO-LSTM模型与LSTM模型的预测结果非常接近。

图 4 LSTM与PSO-LSTM预测结果比较 Fig. 4 Comparison of prediction results between LSTM and PSO-LSTM

图选项

表 2给出两种预测模型的RMSE指标比较结果。除了在第1组数据中LSTM模型的RMSE指标具有微弱优势，PSO-LSTM模型在其他4组数据预测的RMSE指标都优于LSTM模型。特别地，在第5组数据测试中PSO-LSTM模型的预测精度比LSTM模型高了25%。实验结果表明，本文提出的PSO-LSTM模型对于不同时段的浦发银行股票价格均有较好的预测能力，在模型预测精度与模型预测稳定性方面比LSTM模型更具优势。
表 2 LSTM与PSO-LSTM评价指标比较 Table 2 Comparison of evaluation indicators between LSTM and PSO-LSTM

模型	RMSE
	第1组	第2组	第3组	第4组	第5组
LSTM	0.1072	0.1061	0.1442	0.1629	1.1534
PSO-LSTM	0.1174	0.0913	0.1361	0.1240	0.1149

表选项







3.3.2 深市股票预测 五粮液2016-01-04—2018-12-21的日K数据共计726条，其中70%作为训练数据、20%作为验证数、10%作为测试数据。自适应PSO模型的最优超参数为:时间窗口大小为12，批处理大小为60，第1层隐藏层单元个数为16，第2层隐藏层单元个数为32。实验结果如图 5所示。

图 5 五粮液各模型预测结果比较 Fig. 5 Comparison of prediction results of various models for Wuliangye

图选项

如图 5所示，ARIMA模型在股票价格持续上涨或下跌时刻的预测效果较好，预测值接近股价真实值。但是在股价变化剧烈的时刻，ARIMA模型预测结果具有一定的延后性；SVM模型在股价波动剧烈时刻的预测效果较差，预测曲线与真实值之间具有明显的误差；LSTM模型的预测效果优于MLP模型与RNN模型；对于五粮液股票价格的预测，PSO-LSTM模型的预测效果最好，其预测值曲线能较好地逼近股价真实值。表 3给出不同预测模型评价指标的比较结果，PSO-LSTM模型除评价指标均优于其他预测模型。
表 3 五粮液各模型评价指标比较 Table 3 Comparison of various models' evaluation indicators for Wuliangye

模型	RMSE	MAPE/%	MAE	MSE	R2
ARIMA	1.7814	11.1753	6.2734	3.2851	1.0178
SVM	1.6896	2.4872	1.3764	2.8548	0.7726
MLP	1.8892	2.6822	1.3879	3.4882	1.0605
RNN	1.6549	2.3478	1.3247	2.7203	1.0344
LSTM	1.6013	2.1247	1.1918	2.5734	1.0571
PSO-LSTM	1.3427	1.7808	1.0342	1.8028	1.0124

表选项







3.3.3 港股股票预测 恒隆集团2016-01-04—2018-12-21的日K数据共计733条，其中70%作为训练数据、20%作为验证数、10%作为测试数据。自适应PSO模型的最优超参数为:时间窗口大小为10，批处理大小为48，第1层隐藏层单元个数为18，第2层隐藏层单元个数为24。实验结果如图 6所示。ARIMA模型在股票价格涨跌拐点处的预测结果较差，对于股票上涨或下跌趋势的预测有一定的滞后；SVM模型对于恒隆集团股票数据的预测表现最差，在某些时间点的预测结果与真实值之间具有明显的差异。相较于其他模型，PSO-LSTM模型的预测效果仍表现较好。

图 6 恒隆集团各模型预测结果比较 Fig. 6 Comparison of prediction results of various models for Hang Lung Group

图选项

表 4给出不同预测模型评价指标的比较结果，PSO-LSTM模型的各项评价指标均优于其他预测模型，其中R²指标非常接近1，这说明PSO-LSTM模型对于恒隆集团股票数据的拟合最优度最佳。综合沪市、深市、港股股票的预测结果表明，PSO-LSTM模型对于股票数据的预测具有较高的预测精度与稳定性。
表 4 恒隆集团各模型评价指标比较 Table 4 Comparison of various models' evaluation indicators for Hang Lung Group

模型	RMSE	MAPE/%	MAE	MSE	R2
ARIMA	0.3582	4.3628	0.8921	0.1282	1.2391
SVM	0.5216	2.1204	0.4247	0.2721	0.5797
MLP	0.3439	1.2296	0.2529	0.1183	0.9695
RNN	0.3844	1.5902	0.3242	0.1478	0.9568
LSTM	0.3649	1.4834	0.3026	0.1332	0.9567
PSO-LSTM	0.2845	1.0472	0.2366	0.0812	1.0041

表选项






4 结论 针对复杂的股票价格预测问题，本文提出了PSO-LSTM模型，通过自适应学习策略的PSO算法对LSTM网络结构进行优化，减少人为因素影响，以提高模型捕获股票数据特征的能力。本文随机选取了沪市(浦发银行)、深市(五粮液)、港股(恒隆集团)股票数据进行实验。实验表明相较于统计模型与其他时间序列机器学习模型，PSO-LSTM模型具有更高的预测精度，并且对于不用类型的股票数据具有一定的普遍适用性。该模型在金融时间序列研究中将具有广阔的应用前景。

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