目前，较成熟的无失效数据经典统计学分析方法包括配分布曲线法[1]、修正似然函数法[2]、等效失效数法[3]等。但这些方法只在样本数量较大时，才能得到较好的估计。
Bayesian[4-18]分析方法是近年来无失效数据可靠性分析的主流方法，其突出优点是在样本数量不大时能得到较好的估计[4]。Bayesian分析方法主要包括多层Bayesian方法[6]、E-Bayesian方法[7-10]和综合E-Bayesian方法[11-16]。多层Bayesian方法往往意味着复杂的积分运算，因而在实际应用中具有局限性。E-Bayesian方法是利用Bayesian估计在超参数空间内取数学期望，从而降低了计算复杂程度，并且当样本逐渐增大时，与多层Bayesian方法渐进等价[7]。多层Bayesian方法和E-Bayesian方法都是直接根据无失效数据对设备进行可靠性评定，在实际应用中，可能会产生“冒进”[12-13, 15-16]。为应对这一问题，综合E-Bayesian方法提出人为引入失效数据，对E-Bayesian估计结果进行多重加权处理。目前，对综合E-Bayesian方法的研究是针对无替换寿命试验出现无失效的情形，且在引入失效数据后，以经验选取递减失效权重函数[12-15]，忽略了失效数据与设备性能相对量决定试验效应这一本质。
本文基于Bayesian思想和经典统计理论，提出了一种改进综合E-Bayesian方法用于有替换Ⅰ型截尾试验无失效情形下，航空电子设备可靠性参数的研究。
1 单峰共轭先验和超先验 航空电子设备寿命通常服从指数分布[8]，其失效概率密度函数为
 | (1) |
式中：λ为设备失效率；θ为设备平均寿命。
若对该类设备进行有替换Ⅰ型截尾试验，则样品失效数服从参数为ntλ的Poisson分布(n、t分别为试验样品数、截尾时间)[17]，此时，由文献[18]可知，失效率λ的共轭先验为伽马分布，则平均寿命θ的共轭先验为逆伽马分布，其密度函数为
 | (2) |
式中：θ＞0；a和b为超参数，且a＞0，b＞0，
在对无失效数据的研究中，一般构造Bayesian先验为一个单调函数[8-16]，但单调先验往往不符合设备实际情况。若多组试验均未发生失效，说明该型设备平均寿命相对较大，但仍是一个有限的量，因此，推断平均寿命θ的先验密度函数存在一个较大的极值点σ，当θ＜σ时，θ的先验密度函数为增函数，当θ＞σ时，θ的先验密度函数为减函数。对π(θ|a, b)进行一阶求导得
 |
令
由式(2)计算平均寿命θ的数学期望E(θ|a, b)为
 | (3) |
为取得较大的σ，a值应较小，b值应较大。但b值过大，或a值过小会影响Bayesian估计的稳健性[18]。参数b应大于θ0，θ0为设备平均寿命的一个先验值[19](由设备研制信息和经验下限寿命决定)。使E(θ|a, b)以b为上界，取a的超先验为区间[2, c]上的均匀分布U(2, c)。
2 平均寿命的经典E-Bayesian估计 若对设备进行k次有替换Ⅰ型截尾试验，获得无失效数据(ni, ti)，i=1, 2, …, k，则θ的似然函数为
 | (4) |
式中：ni和ti分别为第i次试验的样品数和截尾时间。
根据Bayesian理论，由式(2)和式(4)求得θ的后验分布为
 | (5) |
在平方损失函数下，θ的Bayesian估计为后验均值[18]：
 | (6) |
当a的先验分布为U(2, c)时，θ的经典E-Bayesian估计(未引入失效数据)为
 | (7) |
3 改进综合E-Bayesian方法 3.1 引入失效数据后平均寿命的E-Bayesian估计模型 现假设进行第k+1次有替换Ⅰ型截尾试验，试验样品数和截尾时间分别为nk+1和tk+1，试验期间共出现了r次失效，则r服从参数为nk+1·tk+1/θ的Poisson分布：
 | (8) |
式中：r∈[0, +∞)，且r为整数。
考虑全部k+1次试验，则θ的似然函数为
 | (9) |
根据式(2)和式(9)，可得引入失效信息后θ的后验分布为
 | (10) |
则在平方损失函数下，θ的Bayesian估计为
 | (11) |
若a的先验分布为U(2, c)，则引入失效数据后，θ的E-Bayesian估计为
 | (12) |
从式(9)和式(12)中可以看出，真正起作用的失效数据是样本容量nk+1tk+1和失效数r。
3.2 失效数据引入方法和失效权重模型 在Bayesian理论中，θ被视为一个服从某一分布的自由变量，通过风险最小原则进行决策获得点估计。当θ被看作一个自由变量时，对于给定样本(nk+1, tk+1)，将难以推断试验效能。本文利用经典统计思想，在确定失效数据时，将θ视作一个未知常数(从Bayesian理论上来讲，就是一个待定决策)，并定义g=nk+1tk+1/θ为失效因子，则nk+1tk+1=gθ，g可以被视为样本容量nk+1tk+1的一个量度。
由于θ实际上是一个待估量，使用加权模型替代θ计算nk+1tk+1，这一过程相当于Bayesian估计的迭代过程。nk+1tk+1的初始计算模型可以表示为
 | (13) |
式中：β为自适应系数。
在β的约束下，先验值和经典E-Bayesian评估结果组成的加权模型，将有助于改善对可靠性参数的评估性能。
此外，在Bayesian方法中，先验分布超参数对可靠性评定具有不可忽视的影响。根据本文第1节分析可知，b值过大或c值过小会使Bayesian估计的稳健性变差，当仅利用无失效数据进行可靠性评定时，可能会造成“冒进”现象。因此，希望β(
 | (14) |
由第1节分析可知，b/θ0＞1，c＞2，考虑到Bayesian估计的稳健性，有意限定1＜b/θ0≤10，同时考虑到
 | (15) |
式中：2＜c≤b/θ0≤10。
由式(12)和式(15)可得
 | (16) |
根据式(8)，失效数r的离散概率分布函数可以表示为
 | (17) |
由Poisson分布性质可知，失效数r的期望和方差为E(r)=D(r)=g，同时r=g*(g*为不大于g的最大整数)是P(r)的一个极大值点。由于r是区间[0, +∞)上的未知整数，本文在g值附近，考虑r的1-α(0＜α≤0.1)置信水平的置信区间Φ1-α=[rL, rU]作为r的近似取值空间，rL＜g＜rU，rL和rU皆为不小于0的整数：
1) 当g=g*且P(0≤r≤2g*)≥1-α时，g*=(rL+rU)/2。
2) 当g≠g*且P(0≤r≤2g*+1)≥1-α时，g*=(rL+rU-1)/2。
3) 当g=g*且P(0≤r≤2g*)＜1-α，或g≠g*且P(0≤r≤2g*+1)＜1-α时，rL=0。
由于失效数r的可能值具有非唯一性，在区间Φ1-α上，使用相对概率法构造失效权重ω(r|g)对式(16)进行加权。ω(r|g)数学模型表示为
 | (18) |
式中：r∈Φ1-α，且r为整数。
3.3 失效因子取值模型 由3.2节可知，失效因子g可以视作nk+1tk+1的一个量度，相应地，区间Φ1-α和权重函数ω(r|g)可以看作是第k+1试验g的模糊效应。由式(17)可知，E(r)=D(r)=g，当给定置信水平1-α(0＜α≤0.1)时，随着g的减小，r的近似取值空间Φ1-α将收缩并最终收敛于r=0，这将使g失去作为失效数据源的意义。用gL表示g的这一临界值(当g≤gL时，g失去其本质意义)，则P(r=0|g=gL)=1-α，可得gL=-ln(1-α)。
g的取值应考虑置信水平的主观选择，另一方面又受gL约束(应远大于gL，但考虑无失效情形，仍应保守取值)，又因为gL由置信水平1-α决定，因此以gL为中间量，确定g的取值模型。本文采用引入常系数的方法，令
 | (19) |
式中：0＜α≤0.1。可以看出，g的取值模型是置信水平1-α的减函数，这意味着当选取了较高的置信水平时，g值会较小，并试图压缩r的取值空间，从而有利于工程应用。
3.4 平均寿命的改进综合E-Bayesian估计模型 根据第2节及3.1节~3.3节的分析，建立有替换Ⅰ型截尾试验无失效情形下，航空电子设备平均寿命的改进综合E-Bayesian估计模型为
 | (20) |
式中：2＜c≤b/θ0≤10，1-α为区间Φ1-α的置信水平，0＜α≤0.1。
4 应用与比较 4.1 方法应用 以C919飞机102架机试飞测试设备供电系统中的变压整流器(TRU)为对象，进行本文方法的应用研究。该型变压整流器样机和原理图分别如图 1和图 2所示。
 |
| 图 1 变压整流器样机 Fig. 1 Prototype of TRU |
| 图选项 |
 |
| 图 2 变压整流器原理图 Fig. 2 Schematic diagram of TRU |
| 图选项 |
该型变压整流器的多组有替换Ⅰ型截尾试验数据见表 1，试验中无故障发生。
表 1 变压整流器无失效试验数据 Table 1 Zero-failure test data of TRU
| i | ti/h | ni |
| 1 | 58 | 1 |
| 2 | 134 | 1 |
| 3 | 204 | 2 |
| 4 | 262 | 1 |
| 5 | 324 | 2 |
| 6 | 368 | 2 |
表选项
在置信水平1-α=0.9的条件下，求得g=-10ln0.9，Φ0.9=[0, 3]。
变压整流器研制保证等级为C级，失效率数量级为10-5，取θ0=105 h，由于2＜c≤b/θ0≤10，在不同的b、c取值条件下，由式(20)计算变压整流器平均寿命估计值
表 2 变压整流器平均寿命的改进综合E-Bayesian估计
| 105h | ||||||
| b/θ0 | c=3 | c=3.5 | c=4 | c=4.5 | c=5 | Δ |
| 6.0 | 3.662 9 | 3.327 0 | 3.061 1 | 2.841 9 | 2.656 0 | 1.006 9 |
| 6.5 | 3.892 4 | 3.537 2 | 3.257 2 | 3.027 0 | 2.832 2 | 1.060 2 |
| 7.0 | 4.121 0 | 3.745 9 | 3.451 2 | 3.209 5 | 3.005 6 | 1.115 4 |
| 7.5 | 4.349 4 | 3.953 7 | 3.643 6 | 3.390 1 | 3.176 6 | 1.172 8 |
| 8.0 | 4.577 7 | 4.160 9 | 3.835 1 | 3.569 4 | 3.346 0 | 1.231 7 |
| Δ | 0.914 8 | 0.833 9 | 0.774 0 | 0.727 5 | 0.690 0 | |
表选项
根据GJB/Z 299C—2006[20]，该型变压整流器工作在最大限制温度(70℃)条件时，最大临界应力和额定应力下的平均寿命预计分别为1.035 2×105 h和4.651 1×105 h，可以认为表 2中的估计结果是可接受的。此外，观察表 2可以发现，极差与b、c的取值有关(b值的大小以b/θ0进行衡量)，b值越大，极差越大，而c值越大时，极差越小，这与本文第1节中对超参数的分析一致。
4.2 与经典E-Bayesian估计的比较 由于传统综合E-Bayesian方法不适用有替换寿命试验出现无失效的情形，故将经典E-Bayesian方法与本文提出的改进综合E-Bayesian方法进行应用比较。在相同的参数取值条件下，由式(7)可算得变压整流器平均寿命的E-Bayesian估计值
表 3 变压整流器平均寿命的E-Bayesian估计
| 105h | ||||||
| b/θ0 | c=3 | c=3.5 | c=4 | c=4.5 | c=5 | Δ |
| 6.5 | 4.521 0 | 3.984 3 | 3.582 8 | 3.268 4 | 3.014 0 | 1.507 0 |
| 7.0 | 4.867 6 | 4.289 7 | 3.857 5 | 3.519 0 | 3.245 1 | 1.622 5 |
| 7.5 | 5.214 2 | 4.595 2 | 4.132 1 | 3.769 5 | 3.476 1 | 1.738 1 |
| 8.0 | 5.560 7 | 4.900 6 | 4.406 8 | 4.020 1 | 3. 707 2 | 1.853 5 |
| Δ | 1.386 2 | 1.221 7 | 1.098 6 | 1.002 2 | 0.924 2 | |
表选项
 |
| 图 3 变压整流器平均寿命估计 Fig. 3 Estimation for mean life of TRU |
| 图选项 |
从图 3中可以看出，在参数取值范围内，当b值(以b/θ0进行衡量)较小、c值较大时，2种估计结果比较接近，都在接受的范围内。但经典E-Bayesian方法对b值和c值的变化更加敏感，当b值较大、c值较小时，
为了更直观地比较2种估计方法的稳健性，绘制了如图 4所示的变压整流器平均寿命估计值极差曲线。图中：Δ
 |
| 图 4 变压整流器平均寿命估计值极差曲线 Fig. 4 Range curves of estimation values for mean life of TRU |
| 图选项 |
5 结论 1) 本文针对有替换Ⅰ型截尾试验，研究了一种改进综合E-Bayesian方法用于航空电子设备无失效数据下，可靠性参数的综合估计，通过实际应用和比较分析，表明了该方法是正确有效的。由于现有综合E-Bayesian方法仅适用于无替换寿命试验出现无失效的情形，本文方法可视作为对现有综合E-Bayesian方法的补充和改进。
2) 在引入失效数据时，以可靠性参数先验值和经典E-Bayesian估计作为输入，并利用自适应系数进行关系约束，提高了参数估计准确性。在自适应系数的约束下，可靠性参数先验值和经典E-Bayesian估计可以实现一定程度互补，以避免单个量的选择失误对估计结果造成较大影响。改进综合E-Bayesian方法估计的准确性主要受上述2个量以及先验分布超参数的影响，但由于可靠性参数先验值往往更可控，因此必须重视对产品研制信息和经验数据的获取和分析，这些信息和数据也有助于对超参数取值的合理性进行判断。
3) 改进综合E-Bayesian方法表现出较强的超参数选择稳健性，其中一部分得益于自适应系数的随动调节作用，这意味着在超参数的选择上，可以一定程度地包容人为主观失误，因而有助于改善可靠性评定中可能出现的“冒进”问题。
4) 在有替换试验的情况下，为获得可用的失效数取值空间，本文方法根据分布数字特征，采用置信区间近似，牺牲了小部分准确性，但由于上述其他因素的作用，使得最终结果仍是可接受的；此外，本文使用相对概率法构造失效权重模型，这与大样本条件下对试验效应的期望一致。
5) 本文提出的改进综合E-Bayesian方法是Bayesian方法与经典统计理论的结合，不仅可以用于航空电子设备，也可用于其他寿命服从指数分布的设备在有替换Ⅰ型截尾试验无失效情形下的可靠性分析和研究工作。
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