式中:x和y为飞机质心的坐标;θ为航向角(左转为正);φ1和φ2为两后轮的自转角；σ为前起落架的侧向变形引起的前轮轮心相对机身的侧向位移.
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| 图 1 飞机滑跑平面运动主视图Fig. 1 Main view of aircraft taxiing planar motion |
| 图选项 |
在图 1中,h为飞机质心到跑道面的高度,r为轮子的半径,L2表示主起落架两轮轮心到机身几何对称面的距离.在图 2中,L1为前起落架轮心到主起落架轮轴轴线的平面投影距离,xi,yi(i=1,2,3)为各轮轮心的坐标.
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| 图 2 飞机滑跑平面运动俯视图Fig. 2 Top view of aircraft taxiing planar motion |
| 图选项 |
1.3 非完整约束方程飞机在跑道上滑跑时受到的约束为非完整约束.当前轮无侧滑时,系统的约束方程为
其具体表达式为
式中:ξ为飞机静止在跑道上时后起落架承重百分比;约束方程f1和f2分别为主起落架左右两轮在跑道上纯滚动；f3为主起落架的轮子沿轮轴方向的速度为零(即无侧滑)；f4为前轮无侧滑做纯滚动.当前轮发生侧滑时,f4约束关系被破坏,系统的约束方程由前3个给出.1.4 飞机前轮的非光滑约束条件当前轮在跑道上纯滚动(无侧滑)时,即满足约束方程f4=0,该约束方程成立的条件是跑道作用在轮子上的摩擦力小于最大静摩擦力.若侧向最大摩擦力不是足够大,会使飞机在滑跑过程中跑偏.判断飞机前轮是否侧滑的约束条件用力的形式给出.设前轮与地面的侧向滑动的静、动摩擦系数分别是μ0和μ1.由库仑摩擦定律可知摩擦力与法向支撑力间应满足:
式中:Ff和FN分别为前轮的侧向摩擦力和法向支撑力;vr和
r分别为前轮与跑道接触点的侧向滑移速度和加速度;sgn()为符号函数;Sgn()为集值函数，其定义式为
2 动力学方程及数值计算方法2.1 系统的动力学方程具有定常非完整约束多体系统的动力学方程可由Routh方程给出[11]：
式中:L=T－V为Lagrange函数，T和V分别为系统动能和势能;λ为Lagrange乘子列向量;Q为主动力的广义力列向量；
为约束方程关于广义速度的Jacobi矩阵的转置,系统的动能和势能可以写成广义速度和广义坐标的二次齐函数:
式中:M为系统的广义质量矩阵;K为广义刚度矩阵.由式(6)可得
式中:
为广义质量矩阵对时间的导数;Tq和Vq分别为系统的动能函数和势能函数对广义坐标列向量q求导.为避免数值仿真时出现约束方程的漂移,利用约束稳定化方法有
式中:α为违约修正系数,其值大于零.将Φ对时间求导可得
式中:Φq为Φ关于广义坐标的Jacobi矩阵.将式(11)代入式(10)得到
再将式(9)代入式(12),可得
令
由此可得
式中:A和b为计算λ的系数矩阵.再将式(16)代入式(9),可得
应用常微分方程的数值计算方法求解式(17),由此可得到系统的
和q,再将其代入式(16),可得到λ.2.2 气动力计算飞机在着陆滑行时受到空气动力,襟翼偏转到最大位置以提供较大的阻力和升力.此时飞机的升力和阻力由系数形式给出,着陆状态升力系数CL=1.5,阻力系数CD=0.2[12].若将空气动力向飞机质心简化,等效于一个力和一个力偶,沿飞机随体坐标系分解得到式(18)~式(21)，式中的系数可通过试验和工程估算获得[13].
式中:CX和mZ分别为侧力系数和横侧力矩系数;ρ为空气密度;vy和vx分别为来流速度沿飞机正向和侧向的分量;S为飞机等效投影面积;l为机翼展长.2.3 支撑力计算为判断前轮是否发生侧滑,需要计算跑道对轮子的支撑力.由式(17)可计算出
,进而得到惯性力,再用动静法,可以求出跑道对轮子的支撑力[14]为
具体表达式为
式中:FIx和FIy分别为机身惯性力沿x轴、y轴方向分量;FNi为地面支撑力；FIxi和FIyi分别为轮子惯性力沿x轴、y轴方向分量;MIxi和MIyi分别为轮子惯性力矩沿x轴、y轴方向分量;i=1,2,3.2.4 摩擦力计算由式(16)可计算出Lagrange乘子λ(即跑道作用在轮子上的约束力).其中,对应于约束方程f1和f2的Lagrange乘子λ1和λ2分别表示主起落架两个轮子平行于滚动方向的摩擦力.对应于约束方程f3的λ3表示主起落架两后轮侧向摩擦力的合力.前起落架的轮子不发生侧滑时,λ4表示前轮的侧向静摩擦力.若发生侧滑后,约束方程f4被破坏,该约束方程是否被破坏(即前轮是否发生侧滑),由式(4)判断.3 数值仿真算例本算例分别考虑刹车力矩不对称和侧向风力对飞机滑跑动力学行为的影响.设飞机质量m0=20 000 kg,轮子质量m1=100 kg,后轮承受飞机机体总重的百分比ξ=90%.飞机对过质心绕z轴的转动惯量J0=16×105 kg/m2[15],L1=6 m,L2=2.2 m,h=2 m,r=0.5 m,前起落架横向变形的弹性系数k=2×105 N/m,其阻尼系数c=104 N·s/m.飞机3个轮子均接地后的初始速度为55 m/s,航向为跑道正方向.轮子与跑道间的静、动摩擦系数分别为μ0和μ1.3.1 无侧风时刹车力矩不对称对飞机滑跑的影响设主起落架两后轮的刹车力矩有一侧失灵.其中,左后轮刹车力矩Mf1=0 N·m,右后轮刹车力矩Mf2=rμ0×1.1×104 N·m,在这种极端刹车力矩不对称的情况下分析飞机滑跑的动力学行为.图 3~图 5分别给出了刹车力矩不对称时前轮侧向的滑移速度的时间历程图、飞机质心的运动轨迹图和飞机航向角θ的时间历程图.
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| 图 3 刹车力矩不对称时前轮侧向滑移速度变化Fig. 3 Lateral slip speed change of front wheel when braking torque is asymmetric |
| 图选项 |
由图 4和图 5可知,当刹车力矩不对称时,飞机会出现跑偏现象.由图 3可知,当摩擦系数较大时,飞机的跑偏量较小,且前轮与地面之间无侧向滑动;当摩擦系数较小时,跑偏量较大且前轮会出现侧滑现象.当摩擦系数较大时,刹车力矩也较大,导致前轮的地面支撑力较大,因此在摩擦系数较大时前轮会发生无侧滑现象的发生且飞机的滑跑距离也较短.
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| 图 4 刹车力矩不对称时飞机质心运动轨迹Fig. 4 Motion trajectory of aircraft mass center when braking torque is asymmetric |
| 图选项 |
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| 图 5 刹车力矩不对称时航向角时间历程Fig. 5 Time history of heading angle when braking torque is asymmetric |
| 图选项 |
由图 3还可以看出,前轮侧滑现象发生在滑跑的初期.这是由于刚开始滑跑时,飞机的速度较大,受到的阻力和升力均较大,导致前轮的支撑力较小,随着飞机滑跑速度的降低,空气阻力和升力逐步减小,导致前轮的法向支撑力逐步增大,因此在滑跑的后期,前轮的侧滑现象消失.3.2 刹车力矩对称时侧向风力对飞机滑跑的影响设风向与y轴成120°时,风速为20 m/s.刹车力矩为Mf1=Mf2=rμ0×1.1×104 N·m.图 6~图 8分别给出了刹车力矩对称时前轮侧向的滑移速度的时间历程图、飞机质心的运动轨迹图和飞机航向角的时间历程图.
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| 图 6 刹车力矩对称时前轮侧向滑移速度变化Fig. 6 Lateral slip speed change of the front wheel when braking torque is symmetric |
| 图选项 |
由图 6~图 8可知,当摩擦系数较大时,飞机的跑偏量较小,且前轮与地面之间无侧向滑动;当摩擦系数较小时,跑偏量较大且前轮有跑偏现象的发生,随着飞机速度逐步降低,气动升力也逐步减小,前轮的支撑力逐步增大,其侧滑最终消失.
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| 图 7 刹车力矩对称时飞机质心运动轨迹Fig. 7 Motion trajectory of the aircraft mass center when braking torque is symmetric |
| 图选项 |
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| 图 8 刹车力矩对称时航向角时间历程Fig. 8 Time history of the heading angle when braking torque is symmetric |
| 图选项 |
图 9给出了在上述侧风和摩擦系数的情况下,刹车力矩Mf与跑偏量x的关系.从图中可以看出,刹车力矩越小,跑偏量越大;反之,刹车力矩越大,跑偏量越小.其原因是当刹车力矩较小时,前轮的支撑力也较小,易发生侧滑,且滑跑距离较长,因此导致跑偏量较大;当刹车力矩较大时,前轮的支撑力也较大,不易发生侧滑,且滑跑距离较短,因此跑偏量较小.由图 9可知,应根据摩擦系数的大小、跑道的宽度与长度、侧风的大小等因素来确定刹车力矩的取值范围.
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| 图 9 刹车力矩对称时刹车力矩与跑偏量的关系Fig. 9 Relationship between Mf and x when braking torque is symmetric |
| 图选项 |
3.3 对约束方程漂移的修正效果用Φ2表示系统约束方程列向量Φ的二范数.在刹车力矩对称时侧向风力干扰的算例中,取u0=0.7和u1=0.5的情况,图 10给出了||Φ||2的时间历程图.由图可知,约束稳定化方法有效地抑制了约束漂移.
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| 图 10 刹车力矩对称时||Φ||2时间历程Fig. 10 Time history of ||Φ||2 when braking torque is symmetric |
| 图选项 |
4 结 论1) 给出了在不对称刹车力矩和侧风载荷作用下飞机在跑道上滑跑的数值仿真.仿真结果表明,不对称刹车力矩和侧风载荷都能引起飞机滑跑跑偏,跑偏量与不对称刹车力矩和侧风载荷的大小正相关.当飞机与地面间的摩擦系数较小时,还会引起飞机前轮的侧滑,侧滑导致飞机滑跑出现较大的跑偏量,并且前轮侧滑现象发生在滑跑的初期.2) 采用约束稳定化方法,有效地避免了数值仿真时出现约束方程的漂移,保证了数值仿真结果的正确性.数值仿真算例验证了本文给出方法的有效性.
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