过渡状态下材料断裂韧性的计算方法

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本站小编 Free考研考试/2021-12-25

通常情况下材料断裂韧性被看作常数,为平面应变状态下的断裂韧性值.实际上,断裂韧性的值是随着试样厚度的变化而变化的,即断裂韧性是一个与应力状态有关的量,并不是仅与材料性质有关的常数.在一些航空技术先进国家,已经通过大量的试验给出了许多常用材料的KC-B曲线,即断裂韧性-厚度曲线,而中国基本没有建立航空结构材料的KC-B曲线.要解决这一问题,一是通过像先进国家那样通过大量的试验来确定KC-B曲线,但将耗费巨额资金；二是由三维断裂理论入手,分析断裂的本质,进而提出不依赖于厚度的断裂韧性计算方法,得出材料的KC-B曲线.国内外有不少****已对材料断裂韧性进行了研究,并取得了显著的成果.文献^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]}采用数值仿真或理论计算方法对平面应力或平面应变状态下材料的断裂韧性进行了分析,但没有涉及到过渡状态下材料断裂韧性的计算方法.文献^[14]引入了厚度修正经验函数,但所得过渡状态下的断裂韧性是经验修正的结果,模型的通用性受到限制.杨继运等^{[15, 16, 17, 18]}建立了材料断裂韧性与试样厚度之间的计算模型,但在计算材料断裂韧性时,首先需要试验数据来确定模型中的参数值.可见,国内外对过渡状态下材料断裂韧性的计算方法研究较少,而过渡状态下材料的断裂韧性值不可能通过试验来一一确定,所以迫切需要一种能计算过渡状态下材料断裂韧性的方法.本文在已有研究成果的基础上提出一种过渡状态下材料断裂韧性的计算方法.对三维裂纹尖端的三轴应力约束参数进行分析,通过断裂能量准则对断裂韧性与材料拉伸性能之间的关系进行研究,得到过渡状态下材料断裂韧性的计算方法,同时结合试验值对这一方法进行了验证. 1 三维裂纹尖端的三轴应力约束参数传统的疲劳断裂理论往往是基于单轴试样的试验数据或应力强度参数进行分析的,此时应力状态的影响就以约束的概念来体现,而三轴应力约束是造成三维疲劳裂纹尖端场与二维裂纹尖端场不同的根本原因.穿透厚度裂纹坐标系如图 1所示,令O点为三维裂纹前缘曲线上的任意一点,x,y和z分别为O点处曲线的主法向、副法向和切向分量,xOy为O点处裂纹前缘曲线的法平面,r和θ为该平面内的极坐标.

图 1 穿透厚度裂纹坐标系 Fig. 1 Coordinate system of through-wall crack

图选项

对于典型的穿透直裂纹,可将O点固定于试件中心面上,定义三轴应力约束参数T_z为

式中,σ_z、σ_r和σ_θ分别为极坐标下沿z方向、r方向和θ方向的应力.在弹性范围内,当T_z=0时,结构处于平面应力状态；当T_z=ν(ν为泊松比)时,结构处于平面应变状态；当0z<ν时,结构处于过渡状态.对于三轴应力约束参数T_z,目前还没有理论上的解析表达显式.文献^[19]根据有限元数值仿真结果提出了穿透型裂纹的T_z拟合表达式：

式中,r-p为θ=0°时裂纹尖端穿透厚度的平均塑性区尺寸；h为厚度B的一半；n为材料的Ramberg-Osgood硬化指数.2 材料断裂韧性的本质描述三维裂纹体断裂的能量准则为

式中，G为能量释放率；R为裂纹扩展阻力；a为裂纹长度.上述能量准则也是发生断裂的充要条件.根据光滑试样的拉伸性能参数可以给出材料的断裂结果(裂纹失稳扩展的结果),因此,可用材料的拉伸性能参数(包括最终断裂时的参数)来分析裂纹的失稳扩展. 2.1 基本关系式带裂纹结构开裂的条件^[20]为

式中，

为裂纹尖端过程区消耗的塑性功率；

为裂纹尖端过程区以外的塑性区消耗的塑性功率；2γ为表面能.对于Ⅰ型裂纹体,能量释放率与应力强度因子的关系^[21]为

式中，K_I为应力强度因子；E为弹性模量.则有

在裂纹尖端附近,过程区中为非连续介质,有着长大并联合的孔洞,这与光滑试样拉伸时颈缩开始后的变形情况在本质上是相同的.过程区以外塑性区的变形情况与光滑试样拉伸时从屈服延伸率δ_s到均匀延伸率δ_b段的均匀塑性变形情况在本质上是相同的.裂纹尖端前方弹性区的变形情况与光滑试样拉伸时弹性段的变形情况在本质上也是相同的.因此,可参考文献^[14]中的方法,将裂纹尖端场等效为单向应力和应变场：

式中：W_F为单向拉伸应力-应变曲线下应力值σ大于抗拉强度σb的面积,代表颈缩后材料不可恢复的真实塑性应变能密度；h_F为裂纹尖端过程区的当量尺寸；W_U为单向拉伸应力-应变曲线下屈服应力σ_s至σ_b之间的面积,代表连续、均匀塑性变形部分的应变能密度；h_U为连续塑性区的当量尺寸.研究对象为处于某一应力状态下带裂纹的单位厚度板中的情况.典型的应力-应变曲线如图 2所示,图 3为裂纹尖端区域示意图.

图 2 典型的应力 Fig. 2 Typical stress-strain curve

图选项

图 3 裂纹尖端区域示意图 Fig. 3 Illustration of crack tip regions

图选项

根据已有研究^[14],裂纹扩展单位面积所需表面能可近似表示为

式中，a₀为原子直径.所以,式(6)可表示为

式(10)即为含I型裂纹结构处于某三向应力状态下的开裂条件.当h_F和h_U取为结构断裂时的值时,式(10)也是结构的断裂条件,K_I就变为平面应力状态下的材料断裂韧性K_C1.2.2 W_Fh_F的表征2.2.1 平面应力状态下W_Fh_F的表征h_F为裂纹尖端过程区的有效当量尺寸,其最小值可认为等于与裂纹面成45°方向的滑移带有效尺寸.由于已有研究者测定在室温及高应力作用下滑移带沿裂纹面方向的宽度ω约为10μm^[14],所以有

对于有较大颈缩应变的金属材料,于平面应力状态下断裂时,h_F可表示为^[14]

根据已有文献,W_F可表示为^[20]

式中，σ_K为断裂应力；ε_b为屈服应变；ε_f为真实断裂应变.2.2.2 三向应力状态下W_Fh_F的表征对于一般的三向应力状态,可认为结构断裂时裂纹尖端过程区的当量尺寸h′_{F为平面应力状态时的k倍,则有
对于k可作如下分析.当裂纹尖端应力应变场以弹性解表征时,其对应的等效单向应力达σ_b,对应点距离裂纹尖端的距离r_b为模拟过程区尺寸.设平面应力状态下结构断裂时r_b为r_b1,非平面应力状态下结构断裂时r_b为r_b2,根据相似性原理,可取r_b2/r_b1为k.在三向应力状态下,任何主应力分量超过材料的真实断裂应力σ_f时,材料将发生局部开裂,从而进入非连续的过程区.设各向同性材料有一立方单元体受主应力系数σ₁,σ₂和σ₃作用.可定义应力状态参数：
由广义虎克定律可得出弹性应变为
由弹塑性理论可得八面体剪应力为
当α₂=α₃=0时,单向应力状态下八面体剪应力为
从而可得
式(19)反映了三向应力状态下主应力σ₁与σ及应力状态参数σ₁,σ₂和σ₃之间的关系.实际上,裂纹前缘由结构表面到中心部位的三轴应力约束参数T_z由小变大,对于Ⅰ型裂纹,在裂纹面上的裂纹尖端前缘某点(θ=0°)处,有
式中，σ_x和σ_y分别为沿x方向和y方向的应力.根据式(15)和式(20)可得：
当等效单向应力为σ_b时,根据式(19)可得：
式中，σ_1b为三向应力状态主应力.当用Ramberg-Osgood模型^[22]表征单向应力-应变关系时,σ_1b对应的应变为
式中,K为强化系数.同时,裂纹尖端某点(θ=0°)在y方向上的应变(弹性解)为
令ε_y=ε_1b,可得：
当结构于平面应力状态下发生断裂时,式(25)中T_z=0,K_I=K_C,r_b=r_b1,所以有
当结构于三向应力状态下发生断裂时,设K_I=K_C1,r_b=r_b2,则有
由式(26)和式(27)可得：
根据式(22)和式(28)即可确定k.如果定义T_z0为
则当T_z≥T_z0时,由式(20)和式(26)可得：
当结构为平面应变状态时,式(28)和式(30)中的K_C1=K_IC,K_IC为平面应变状态下的材料断裂韧性,T_z=ν；当结构为平面应力状态时,则T_z=0,K_C1=K_C,k=1.在求得k后,由式(14)即可确定三向应力状态下结构断裂时裂纹尖端过程区的当量尺寸h′_{F.表示颈缩后材料的真实应变能密度W_F可按式(13)计算.2.3 W_Uh_U的表征由式(8)可知,W_Uh_U可直接从U}U/a的推导求得.采用裂纹尖端应力应变场的弹性解表达式进行推导,并在裂纹尖端相应的半径尺寸上用试验结果加以修正,从而得出U}U/a的表达式.同时,采用八面体剪应力与应力状态无关的特性来联系单行应力状态(单向拉伸应力)与三向应力状态(裂纹尖端场).将I型裂纹尖端场表示成极坐标系下的形式^[20]：

其中

式中，τ_rθ为r与θ面的剪应力.由弹塑性理论可知,八面体剪应力为

式中，τ_rz为r与z面的剪应力；τ_θz为z与θ面的剪应力.将式(31)代入式(32),可得

式中

令ψ(θ)=[fe(θ)]¹²,则式(33)可表示为

对于单向应力状态(单向拉伸载荷作用),有

式中，σ_T为单向拉伸真实应力.令式(34)和式(35)相等,可得裂纹尖端应力场与单向拉伸应力之间的关系表达式：

在裂纹尖端取单位厚度板,图 4为裂纹尖端塑性区示意图.σ_Tm为在塑性区中σ_T取极大值的线,假设σ_Tm线上有任意一点P及其前方一点P′,当裂纹扩展长度为da时,σ_Tm线将移到σ′_Tm位置.假设P′在σ′_Tm线上,这时P点将进入卸载区,其卸载按弹性规律进行.σ′_Tm线右方各点与裂纹未扩展时σ_Tm线右方各点应力应变场的分布相同.因此,在裂纹扩展长度延长至da的过程中,仅用σ_Tm线与σ′_{Tm线之间的材料参数计算塑性功率即可,弹性卸载可略去不计.
图 4 裂纹尖端塑性区示意图 Fig. 4 Plastic zone around crack tip
图选项

对于金属材料,其应力-塑性应变曲线可由Ramberg-Osgood模型表示为
式中，ε_Tp为σ_T对应的塑性应变；ε_pb为σ_b对应的塑性应变.Ramberg-Osgood硬化指数n为
式中，ε_ps为屈服应力σ_s对应的塑性应变,通常可取为0.2%.当塑性应变较大时,式(37)可近似表示为
式中，ε_T为σ_T对应的应变.塑性应变能密度可近似表示为
所以,图 4中裂纹扩展长度为da时,σ_Tm线与σ′_Tm线之间材料的塑性应变能为
式中,A为σ_Tm线与σ′_Tm线所围成的塑性区面积.由于裂纹尖端扩展长度为da时,σ_Tm线与σ′_Tm线是沿着θ=0°线上下对称的,所以当裂纹扩展长度为da时,有
式中,dU_p为塑性应变能.式(42)可进一步表示为
式中，r_u为对应高应力区的边界.因为有^[14]
利用式(44)对式(43)进行积分,可得：
这里r_u采用试验数据进行修正.对于中心穿透裂纹的无限大板^[14],有
式中，ε_Tf为单向拉伸应力-应变曲线上σ_K对应的应变.对于中心穿透裂纹的有限宽板,2r_u可表示为
式中，ε_s为屈服应变；W为板的宽度.所以,对于无限宽板,有
对于有限宽度板,有
根据式(34)和式(36),可得：
当r→0时,T_z=T_z(z),与θ无关,可认为T_z/θ为零,因此式(51)可写为
令=0,可得：
可以证明当式(53)成立时,必然有<0,故σ_T取极大值.求解式(53)即可得到σ_T取极大值时对应的角度.令
+4T_z－1)，则式(53)可变形为
由式(54)可直接求得θ.可见,θ与T_z密切相关.根据式(54)可求得两个根(θ₁和θ₂),且θ₂=π－θ₁.由于在实际情况中θ随T_z的增大而增大,因此取θ随T_z的增大而增大的那一个作为σ_T取极大值的临界角.σ_Tm的临界角θ′与T_z的值如表 1所示.表 1 σ_Tm的临界角θ′与T_z的值 Table 1 σ}Tm critical angle θ′ and values of T_z

T_z	θ′/(°)
0	76.335
0.1	83.998
0.2	89.135
0.3	92.558
0.4	94.547
0.5	95.202

表选项

对于含穿透裂纹的无限宽度板,将上述各式代入式(10)可得：

对于含穿透裂纹的有限宽度板,式(55)相应地可表示为

同时,可有

式中,aC为平面应力状态下的裂纹长度.可用式(56)来计算材料的断裂韧性.由于k是K_C和K_C1(K_IC)的函数,θ又是T_z的函数,而K_C1又依赖于k和θ才能求解.可见,只有采用迭代算法才能求解式(56).3 过渡状态下材料断裂韧性计算模型及试验验证过渡状态是指介于平面应力和平面应变之间的状态,也就是0<T_z<ν的状态.大量试验结果表明,随着试样厚度由大变小(对应着由平面应变过渡到平面应力状态),断裂韧性由K_IC增大过渡到K_C.试样的厚度效应主要反映在平面应力及平面应变状态材料自身性能的比值上,也就是反映在板件裂纹尖端前缘材料的平均三轴应力约束参数上.板件表层区域总是处于平面应力状态,其T_z=0.而中心区域处于由T_z控制的状态,当板足够厚时,T_z=ν.在厚板中,表层区域所占比例很小,当其影响可以忽略不计时,板件的材料特性就与厚度有关了,板件处于平面应变状态.在薄板中则有着相反的情况.3.1 经验模型对于过渡状态下材料断裂韧性的变化规律,人们试图以K_C1作为材料常数,利用经验公式或某些理论推算过渡状态下的K_C1值.文献^[23]提及了一个经验公式：

式中，A_k和B_k为材料常数,由试验确定；B0为K_C1对应的厚度.试验表明该经验公式能较好地拟合KC1-B曲线.文献^[20]给出了用材料拉伸性能参数估算A_k和B_k的方法.从而使得式(59)仅由K_IC即可求得KC1-B曲线.A_k和B_k的估算方法^[20]为

计算结果表明,利用式(59)~式(61)能由K_IC较好地预测KC1-B曲线.3.2 理论计算模型第2节中推导了在三维状态下材料断裂破坏的临界条件关系式,只要能够找出材料断裂时裂纹尖端前缘的三轴应力约束参数,即可计算出该状态下材料的断裂韧性值.对于过渡状态情况,可仿照平面应变状态下的方法进行计算,认为断裂的厚度效应是一种三维的平均效应,并且主要由裂纹尖端塑性区内的平均三维约束T_zp来决定.对于穿透I型裂纹体：

对于穿透裂纹有限板,文献^[24]给出了r-_{p的计算公式：
式(63)只在小范围屈服条件下适用,可以计算有限厚度试样在不同位置的裂纹尖端塑性区尺寸.联合式(2)和式(63),对式(62)采用迭代算法计算T_zp}.迭代过程如下：对于给定厚度的试样,在平面应力状态下,T_z=0；在平面应变状态下,T_z=ν.根据线性关系估算出给定厚度的T_z值,根据式(63)计算裂纹尖端塑性区尺寸r-_{p,再根据式(2)与式(62)计算裂纹尖端塑性区内的平均三维约束T_zp}.根据T_zp的值与式(63)重新计算新的r-_{p,再根据式(2)与式(62)重新计算新的T_zp},如此反复迭代计算直至T_zp的值满足一定的误差时停止迭代,即可得到裂纹尖端塑性区内的平均三维约束T_zp.求出T_zp后可用第2节中的方法计算材料在过渡状态下的断裂韧性值.以2219-T87铝合金为例,采用经验模型与理论计算模型分别计算了该材料的KC1-B曲线,2219-T87铝合金的KC1-B曲线如图 5所示.

图 5 2219-T87铝合金的KC1-B曲线 Fig. 5 KC1-B curves for 2219-T87 aluminum alloy

图选项

从图 5中可以看出,理论计算值曲线的绝大部分均在试验点的范围内,小于经验公式计算值,且偏于安全,作为工程应用中的参考值是很有价值的.计算曲线出现凸凹反复变化的情况可能是由以下两个原因造成的：①T_z的表达式有待于完善；②由于T_z是K_C1的函数,而K_C1又是k及T_z的函数,因此迭代求解过程的算法还有待改进.4 结论研究了过渡状态下材料断裂韧性的计算方法.通过研究三维状态下材料断裂韧性与拉伸性能之间的关系,得到了一种过渡状态下材料断裂韧性的计算确定方法,并对2219-T87铝合金在过渡状态下的断裂韧性进行了理论计算.理论计算结果表明：1) 在材料的拉伸性能已知时,过渡状态下的材料断裂韧性可通过理论计算得到,且理论计算值是偏于安全的.2) 通过理论计算得到的过渡状态下材料的断裂韧性值还存在一些问题,在以后的研究中需要不断进行完善.
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