式中，ρ为流体的密度；ui为流场的速度分量；p为流场的压强；μ为流体黏性系数.在大涡模拟中,通过滤波函数将流动变量划分为大尺度量和小尺度量两部分：
式中,f(x)为瞬时流动变量；f-(x)为大尺度量；f′(x)为小尺度量,也称为亚格子分量.大尺度量用如下形式来表示：
式中，D为计算流域；G(x,x′,Δ)为空间滤波函数，Δ代表网格尺寸.滤波函数G(x,x′)可以表示为
对控制方程进行空间滤波,得到大涡模拟的基本方程为
式中，“-”代表经过空间滤波的变量；τij=uiuj－u-iu-j为亚格子应力.本文采用Smagorinsky-Lilly亚格子模型[13, 14],亚格子应力定义为
式中,τkk为亚格子湍动能；υt=(CsΔ)2|S|为涡黏系数；Ssub>ij为经过滤波后的速度变形张量:
且
；δij为Kronecker记号；Cs为Smagorinsky常数.1.2 计算模型 计算流域是横截面为正方形的长方体,囊体按球体处理,球体的直径为D,坐标原点在上游球体球心,上下游球体球心的间距为G(G为0时则是单球体的情况),x轴正方向指向压力出口,y轴正方向指向上方,z轴正方向由右手准则确定,速度入口平面距坐标原点为4D,压力出口平面距坐标原点为10D,计算域横截面为边长为8D的正方形,来流速度为V0,如图 1和图 2所示. |
| 图 1 流场侧视图 Fig. 1 Side view of flow field |
| 图选项 |
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| 图 2 流场正视图 Fig. 2 Front view of flow field |
| 图选项 |
计算流域网格采用O形结构网格,附面层第一层网格的y+值为0.5,空间最小网格步长位于近壁面,约为0.6×10-5D,球体表面网格与近壁面网格如图 3和图 4所示.
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| 图 3 球体表面网格图 Fig. 3 Surface grid of sphere |
| 图选项 |
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| 图 4 球体近壁面网格图 Fig. 4 Near wall grid of sphere |
| 图选项 |
1.3 边界条件 边界条件设为速度入口、压力出口和壁面.由于已知来流速度,将入口边界定义为速度入口条件;球体表面定义为无滑移壁面边界条件;出口边界定义为压力出口边界条件.1.4 计算方法 数值模拟采用Fluent软件平台,采用有限体积法对控制方程进行离散化,大涡模拟控制方程采用有限二阶隐式法推进,对流项的离散格式采用有限中心差分格式.2 计算结果 2.1 方法验证:单球体(G=0)为了检验计算方法的准确性,先计算单球体在超临界雷诺数范围时(Re=1.41×106，1.88×106)的非稳态情况.阻力系数定义为
式中，Fx为圆球受力沿流向的分量.y和z方向侧力系数定义为
式中，Fy和Fz分别为圆球受力沿y和z轴方向的分量；Cy和Cz为y和z方向侧力系数.横向合力系数定义为
阻力系数随时间变化如图 5和图 6所示.Re=1.41×106时,阻力系数在0.1278~0.1442间波动,时均值为0.1367;Re=1.88×106时,阻力系数在0.1315~0.1602间波动,时均值为0.1428.Achenbach通过试验测量了球体在Re=5×104~6×106的阻力系数[15],从Achenbach给出的试验数据插值出Re=1.41×106，1.88×106时的阻力系数,试验值分别为0.135和0.140.计算结果对比如表 1所示.
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| 图 5 Re=1.41×106时,阻力系数随时间变化图 Fig. 5 Time history of drag coefficient at Re=1.41×106 |
| 图选项 |
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| 图 6 Re=1.88×106时,阻力系数随时间变化图 Fig. 6 Time history of drag coefficient at Re=1.88×106 |
| 图选项 |
表 1 计算值与试验值对比表 Table 1 Calculated value and experimental value contrasting table
| Re | CD计算 | CD试验 | 误差/% |
| 1.41×106 | 0.1367 | 0.135 | 1.26 |
| 1.88×106 | 0.1428 | 0.140 | 2 |
表选项
由表 1可以看出本文的计算结果与Achenbach的试验结果吻合良好,验证了本文方法在分析超临界雷诺数球体绕流问题时的准确性. 2.2 双球体通过计算超临界雷诺数Re=1.41×106时,不同间距的非稳态情况.上下游球体球心的间距为D时,阻力系数随时间变化如图 7所示.图中：CD-1表示上游球体的阻力系数；CD-2表示下游球体的阻力系数；CD-all表示两球合阻力系数.上游球体的阻力系数时均值为0.0093,下游球体的阻力系数时均值为0.2090,两球合阻力系数时均值为0.2183.
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| 图 7 G=D时,阻力系数随时间变化图 Fig. 7 Time histories of drag coefficient when G=D |
| 图选项 |
上下游球体球心的间距为1.5D时,阻力系数随时间变化如图 8所示.上游球体的阻力系数时均值为0.0925,下游球体的阻力系数时均值为0.3142,两球合阻力系数时均值为0.4067.
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| 图 8 G=1.5D时,阻力系数随时间变化图 Fig. 8 Time histories of drag coefficient when G=1.5D |
| 图选项 |
上下游球体球心的间距为2D时,阻力系数随时间变化如图 9所示.上游球体的阻力系数时均值为0.1101,下游球体的阻力系数时均值为0.1874,两球合阻力系数时均值为0.2975.
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| 图 9 G=2D时,阻力系数随时间变化图 Fig. 9 Time histories of drag coefficient when G=2D |
| 图选项 |
上下游球体球心的间距为3D时,阻力系数随时间变化如图 10所示.上游球体的阻力系数时均值为0.1934,下游球体的阻力系数时均值为0.1087,两球合阻力系数时均值为0.3021.
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| 图 10 G=3D时,阻力系数随时间变化图 Fig. 10 Time histories of drag coefficient when G=3D |
| 图选项 |
图 11给出了阻力系数随间距的变化情况.随着上下游球体距离G的增加,上游球体的阻力系数逐渐增大,下游球体的阻力系数先增大后减小,在G=1.5D时有最大值.两球合阻力系数也先增大后减小,G=D时为最小值,G=1.5D时为最大值,G=2D和G=3D时基本相同.
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| 图 11 阻力系数随间距变化图 Fig. 11 Drag coefficient varies with distance |
| 图选项 |
进一步分析阻力振动的频谱特性,运用快速傅里叶变换,将时域上的数据变化到频域上,得到了阻力系数和横向合力系数在频域上的幅度特征.上下游球体阻力系数频谱特征如图 12所示.当G=D时,上游球体的占优频率为0.118;下游球体的占优频率为0.176,但下游球体还存在二、三、四次频,分别为0.412,0.059,0.294,这3个次频的幅度值相差不大,与占优的主频形成竞争的态势.当G=1.5D时,上游球体的占优频率为0.050,还存在二、三次频,分别为0.151,0.252;下游球体的占优频率与上游球体相同,还存在与主频幅度值接近的二次频,频率为0.504,三、四次频的频率分别为0.202,0.303.当G=2D时,上下游球体存在相同的占优频率0.041,下游球体还存在较多竞争的次频,频率范围为0.123~0.739.当G=3D时,上游球体的占优频率为0.049;下游球体的占优频率为0.292,还存在较多竞争的次频,频率范围为0.097~0.632.
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| 图 12 上下游球体阻力系数频谱特征图 Fig. 12 Frequency spectrum of upstream and downstream spheres’drag coefficients |
| 图选项 |
图 13显示了不同间距流向无量纲时均速度(u/V0)的分布.从图中可以看出,在球体背风面均有负速度分布.G=D时,由于两球接触而在球间形成凹槽,在上游球体的侧后方最小的流向速度达到了-0.50,是4种间距中最小的,说明该位置有很强的流向回流,但是该间距对应的流向回流区域却是4种情况中最小的,球体所受的压差阻力最小,而球体的阻力主要与压差阻力相关,因此上游球体的阻力系数在4种情况中最小;下游球体的流向回流速度分布长度大约为0.3D,是4种情况中最短的,球体所受的压差阻力最小,因此阻力系数在4种情况中也最小.随着间距的增大,上游球体后的最小流向速度分布向中心线靠近,回流区域逐渐增加,上游球体所受的压差阻力也逐渐增大,阻力系数随之增大,如图 11所示.后3种情况的最小流向速度位置位于上游球体后,仅在G=2D时,在下游球体后有一最小流向速度与上游球体相当.间距从G=D增加到G=3D的过程中,流向速度最小值呈先增大后减小的趋势,G=2D时,流向速度最小值是4种情况中最大的,说明流向回流的强度最弱.G=1.5D时,中心线的流向速度皆为负值,说明在此间距条件下,流向回流充满整个区域,下游球体的流向来流速度很小,提前了边界层的分离,增大了压差阻力,导致阻力系数增大.随间距增加,两球体间的相互作用逐渐减弱,下游球体流向来流速度逐渐增大到远前方值,边界层分离逐渐推迟,压差阻力逐渐减小,阻力系数也随之减小.
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| 图 13 不同间距流向无量纲时均速度图 Fig. 13 Patterns of time-averaged streamwise velocity at different spacing |
| 图选项 |
为了显示尾流中的涡结构,需要采用三维流场的涡识别方法.本文采用Jeong和Hussain的Q-定义方法[16].当G=D时,尾涡结构变化如图 14所示.上游球体的上下面交替脱出“Ω”型涡,下游球体的尾涡结构受上游球体尾涡结构影响,较为复杂.
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| 图 14 G=D时,不同时刻尾涡结构图 Fig. 14 When G=D,the trailing vortex structure at different time |
| 图选项 |
当G=1.5D时,尾涡结构变化如图 15所示.与G=D时不同,上游球体的尾涡仅从下面脱出,绕过下游球体后有增大趋势.与G=D时相同,下游球体尾涡结构受上游尾涡影响,结构复杂.
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| 图 15 G=1.5D时,不同时刻尾涡结构图 Fig. 15 When G=1.5D,the trailing vortex structure at different time |
| 图选项 |
当G=2D时,尾涡结构变化如图 16所示.相比G=1.5D时,上游球体脱出的尾涡在到达下游球体之前能更充分的发展,两球体间大约有2、3个“Ω”型涡环.
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| 图 16 G=2D时,不同时刻尾涡结构图 Fig. 16 When G=2D,the trailing vortex structure at different time |
| 图选项 |
当G=3D时,尾涡结构变化如图 17所示.随着两球间距的加大,上游球体的尾涡结构对下游球体的影响逐渐减弱,下游球体脱出的尾涡结构能够观察到“Ω”型涡环.
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| 图 17 G=3D时,不同时刻尾涡结构图 Fig. 17 When G=3D,the trailing vortex structure at different time |
| 图选项 |
3 结 论 采用大涡模拟法对“球形囊体型”平流层浮空器的气动模型(超临界雷诺数串列双球体)进行了数值研究,得出相关结论,对平流层浮空器的气动设计具有一定的参考意义.1) 本文方法在分析超临界雷诺数球体绕流问题时具有准确性,可以为“球形囊体型”平流层浮空器气动设计提供参考依据.2) 随上下游球体间距G增加,上游球体的阻力增大,下游球体的阻力先增大后减小,两球体合阻力先增大后减小,G=D时合阻力最小,G=1.5D时合阻力最大.3) 随上下游球体间距G增加,上游球体的阻力振动频率逐渐减小.G=D时,下游球体的阻力振动频率略大于上游球体,G=1.5D和G=2D时,上下游球体有相同的占优振动频率,G=3D时,下游球体的占优振动频率为上游球体的6倍.4) G=D时,在上游球体的侧后方流向回流速度最强,随着间距的增大,上游球体后的最小流向速度分布向中心线靠近,G=1.5D时,流向回流充满中心线附近区域,随间距继续增加,两球体间的相互作用逐渐减弱.5) G=D时,上游球体的上下面交替脱出“Ω”型涡,随间距增大,上游球体的尾涡仅从下面脱出,当间距达到G=3D时,上游球体的尾涡结构对下游球体的影响较小.
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