式中,A为载波振幅;P(t)为伪码速率为Rc的扩频伪码;τ为伪码相位;D(t－τ)为比特率为Rb(Rb=1/TbRc=1/Tc)的数据码,Tb为数据码时长,Tc为伪码时长;fc为中频频率;fd为多普勒频率;θ为未知的接收信号载波相位;n(t)为双边谱密度为N0/2的加性高斯白噪声,N0为接收信号噪声谱密度.伪码捕获是通过搜索由所有可能的伪码相位和多普勒频率组合构成的二维假设平面,寻找接收信号对应的正确假设,进而得到信号的伪码相位τ和多普勒频率fd,如图 1所示,其中[fmin,fmax]是多普勒频率fd变化范围.假设接收机捕获码相位精度为半个码片之内,采样率(fs)取2倍的伪码速率,即fs=2Rc.
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| 图 1 多普勒频率与伪码相位二维搜索 Fig. 1 Two-dimensional search for Doppler frequency and pseudo-code phase |
| 图选项 |
在传统的捕获方法中,接收机首先要通过相关器对接收信号和本地生成参考信号进行相关处理,该本地信号可表示为
式中,fkd和τl分别为第k个多普勒频率假设对应的多普勒频率和第l个伪码相位假设对应的码相位;信号x(t)与信号x0(t)之间的相关运算实际是在离散时间域内进行,但是为了简化代数分析模型,在连续时间域内进行理论分析.假设相关积分时间为T,且有TcTTb,在相关时间内可以认为数据保持不变D(u－τ)=D.则经过低通滤波的归一化相关器输出结果为
式中,t0为积分开始时刻;x*0为本地信号x0的复共轭;hL(t)为低通滤波器可以滤除相关器输出信号的高频分量.输出结果由多普勒频率差异Δfk=fd－fkd和码相位差异Δτl=τ－τl共同决定.在无噪声时,R(Δfk,Δτl)可以转变为
根据式(4)中第2个积分项的积分范围,可知P(u)和P(u－Δτl)相互独立,则该积分项可忽略,并且假设A=1,D=1,式(4)可进一步近似为
(5)式中，sinc(x)=sin(x)/x.由式(5)可知,当Δfk=0时,R(0,Δτl)表示伪随机码的自相关函数(ACF，Auto Correlation Function),即
假设接收机采样率fs=2Rc,则式(6)中只有3个连续伪码相位假设可以产生信号相关能量,自相关函数曲线如图 2所示.
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| 图 2 自相关函数曲线 Fig. 2 Auto correlation function curve |
| 图选项 |
根据以上分析可知,DSSS信号在其自相关域内具有较强的稀疏性.假设采样率fs=2Rc,接收信号x={x[0],x[1],…,x[2L-1]}T的稀疏变换矩阵为Ψ,则其构成元素可以表示为
式中,L为扩频伪码长度;l和k表示该元素在Ψ中的位置,且有l,k∈{0,1,…,2L-1};·是向上取整运算;mod为取模运算.稀疏变换矩阵Ψ能够把接收信号x变换为低稀疏度表示形式,即
式(8)可以等价为2L个并行相关器的相关运算过程,相位分辨率为半个码片.2 双阶段压缩捕获方法研究 基于第1节DSSS信号模型分析,提出了基于确定性沃尔什-阿达马矩阵的双阶段压缩捕获算法,该算法主要包括2个处理阶段,算法流程图如图 3所示.其中，Φ′1=Φ1Ψ为等效第1阶段测量矩阵，Φ1为第1阶段测量矩阵；Φ′2为等效第2阶段测量矩阵.下面分别加以论述.
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| 图 3 双阶段压缩捕获算法流程图 Fig. 3 Two-stage compressive acquisition algorithm flow chart |
| 图选项 |
2.1 第1阶段压缩测量及检测基于确定性沃尔什-阿达马矩阵,构造第1阶段测量矩阵Φ1,其构成元素为
式中,m(1≤m≤M1)和l(0≤l≤2L-1)表示该元素在Φ1中的位置;M1=2M01,WM01是大小为M1×M1的Walsh-Hadamard矩阵;α(≥1)为WM01矩阵的列重复比.由式(9)可知,2L列的测量矩阵Φ1是由M1列的Walsh-Hadamard矩阵WM01扩展而得,矩阵WM01前M1-1列分别重复α次构成矩阵Φ1的前α(M1-1)列,矩阵WM01的最后一列重复构成矩阵Φ1的其余2L-α(M1-1)列.第1阶段测量过程如下:
式中,y1为第一阶段测量值,大小为M1×1.式(10)表述了第1阶段测量过程,测量矩阵Φ1通过M1个Walsh码获得M1个测量值,每个测量值都是y0的α个连续元素之和,根据式(6)可知,当α≥3时,该测量值能够包含信号的大部分能量,因为Walsh码具有正交性,所以接收机可以从M1个Walsh码中找到具有最大测量值的Walsh码,并且该索引能够以α/2个码片的分辨率给出ACF输出峰值的位置.注意,上述过程可以看作是由等效第一阶段测量矩阵Φ′1行向量构成的M1个压缩相关器实现的相关运算处理,因此,提出的双阶段压缩捕获方法相对于传统基于并行相关器的方法,第1阶段测量值(或相关器)数量降低了α≈2L/M1倍.根据第1阶段的观测向量y1,第1阶段检测算法通过M1点FWHT生成向量wH1,目的是为了寻找最大系数所对应的Walsh码[13].I路和Q路分别进行FWHT,生成相应的向量wH1组成部分,需要2M1lbM1次乘法,并且为了获得WH1=wH12,需要2M1次乘法和2M1-1次加法.因此,第1阶段总共需要2M1(lbM1+1)次乘法.把WH1的每个元素与第1阶段检测门限γ1进行比较,找出大于门限值的Nmax个最大元素,假设这些元素索引由Λ1表示,则有Λ1{0,1,…,M1-1}和Λ10≤Nmax.假设第1阶段检测成功,Λ1的每个元素都可能包含ACF输出的正确峰值位置,由Λ1扩展可得出峰值的所有可能位置的索引集合Λ′1,如下:
2.2 第2阶段压缩测量及检测 基于第1阶段检测情况,第2阶段需要使用Λ′10个并行压缩相关器检测集合Λ′1中包含的Λ′10个所有可能码相位,寻找y0的ACF输出峰值位置(以半个码片精度),该阶段测量矩阵Φ2的构成元素为
式中,k(k=1,2,…,Λ′10)为Λ′1的索引值;M02=lbΛ10;M2=2M02,WM02是大小为M2×M2的Walsh-Hadamard矩阵.注意,测量矩阵Φ2有2L-Λ′10个全零列向量,通过调整门限值γ1和最大元素容限Nmax,集合Λ′1的大小,即Λ′10,可以很小甚至为0.而且,一般情况下假设M2<M1.第2阶段测量过程如下:
式中,y2为第2阶段测量值,大小为M2×1;Φ′2=Φ2Ψ是等效第2阶段测量矩阵.注意,上述过程可以看作是由等效第2阶段测量矩阵Φ′2行向量构成的M2个压缩相关器实现的相关运算处理.测量值y2可以看做Walsh码的线性组合,如下:
式中,WM02(·,k)表示WM02的第k个Walsh码.根据第2阶段观测向量y2,第2阶段检测算法通过M2点FWHT生成向量wH2,目的也是为了寻找最大系数所对应的Walsh码.I路和Q路分别进行FWHT,生成相应的向量wH2组成部分,需要2M2lbM2次乘法,并且为了获得WH2=wH22,需要2M2次乘法和2M2-1次加法.因此,第2阶段总共需要2M2(lbM2+1)次乘法.把WH2的每个元素与第2阶段检测门限γ2进行比较,找出大于门限值的最大元素,假设该元素索引为Λ2{0,1,…,M2-1},则Λ′1(Λ2)就是最终捕获的码相位值,并且其捕获精度是半个码片,满足后续的跟踪要求.3 性能分析 主要从检测概率、平均捕获时间2方面对提出的双阶段压缩捕获方法进行性能分析.3.1 检测概率 首先给出接收信号信噪比PSNR和稀疏化信号(即相关检测输出)信噪比PSNR0定义,即
式中,G0=2AL是相关输出最大幅度值;σv为输入信号噪声功率.第1阶段中I路和Q路FWHT输出平均幅度分别是G1cosθ和G1sinθ,其中
式中,lT(1≤lT≤2L)为y0的峰值位置,即接收信号的真实码相位.式(17)仅仅针对直视信道,而实际信道是多径信道,并且大部分路径延时小于半个码片,即能在直视路径后的半个码片时间内进入接收机.在这种情况下,ACF输出与之前有所不同,然而直视仍是主要路径,所以G1仍然可以按式(17)进行近似计算.随着路径时延增加,多径信道能量呈指数衰减,即路径时延越小,信道越强,因此当没有直视路径只有延时路径时,ACF输出仍保持三角形状,其峰值在最早到达的延时路径处出现.根据式(17),可得G1的平均值G1=(2－1/α)G0,则第1阶段输出判决量的噪声方差为
第2阶段中I路和Q路FWHT输出平均幅度分别为G0cosθ和G0sinθ,因此WH2=wH22平均幅值G2=G0,则第2阶段输出判决量的噪声方差为
当集合Λ1包含lT时,WHi(i∈{1,2})服从两自由度的非中心卡方分布,即
式中,I0(·)是第一类零阶修正贝塞尔函数.当集合Λ1不包含lT时,WHi(i∈{1,2})服从两自由度的中心卡方分布,即
则第1阶段检测概率为
式中,x(u)为u阶统计值,其概率分布函数为
为了简化分析模型,在后续分析中假设Nmax=1,即只考虑双阶段压缩捕获方法的最简单实现情况.根据文献[3]中的推论,可得第1阶段检测概率为
式中,Q(a,b)为马坎Q函数[15].同上,第2阶段检测概率可以表示为
式中M2=α(由Nmax=1易得).根据式(25)可知,由于M22L,在同等输入信号SNR水平下,检测概率P2D要比传统基于并行相关方法的检测概率高.综合式(20)、式(21)和文献[3]的推论,可得漏报概率和虚警概率分别为
式中i(i∈{1,2})表示第i阶段.上述P1D,P2D,PiM和PiF(i∈{1,2})的前提是当前多普勒频率假设fkd与多普勒频率真实值fd差异最小,即fd－fΓ<0.5Δf.在较高SNR和较大α(1)情况下,有P2D>P1D,P1MP2M和P1FP2F,因此在后续分析中不再考虑P2M和P2F这2项指标.注意,双阶段压缩捕获方法与传统基于并行相关方法的P1D,P1M和P1F拥有相同的表达式,只是具体参数有所不同,这和预期结果保持一致,因为2个阶段测量值y1和y2可以看作是对相邻相关器输出的有效合并.在输入信号SNR相同条件下,双阶段压缩捕获方法可以用较少的相关运算获得与传统基于并行相关方法相同的性能水平.3.2 平均捕获时间 忽略很小的FWHT计算时间,假设第1、第2阶段测量值y1,y2的获取时间都是T1=LTc,验证模式时间为TV=N2LT1,信号捕获的环形搜索状态转移流程图如图 4所示.
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| 图 4 环形搜索状态转移流程图 Fig. 4 Circular search state shift diagram |
| 图选项 |
如果当前多普勒频率假设fΓ最接近多普勒频率真实值fd,第1阶段检测结果存在成功检测、漏报和虚警3种可能情况.如果第1阶段检测漏报,多普勒频率假设Γ加1,在下个节点重复第1阶段检测过程.如果第1阶段成功检测或虚警,则启动第2阶段检测.如果第2阶段成功检测,则启动验证模式.直接正确假设检验(从节点Γ=ΓR到完成捕获)、正确假设漏报(从节点Γ=ΓR到节点Γ=ΓR+1)和非正确假设检验(从节点Γi到节点Γi+1,且i≠R)3种情况的传递函数分别为
在实际中,验证模式函数多采用N1-N2检测器[16],其检测概率和虚警概率分别为
式中,(·)V表示验证检测模式.注意,验证检测模式中使用的相关器与第2阶段的相同.并且PVD≈1和PVF≈PVf≈0可以做近似处理,式(28)~式(30)可以简化为
注意,在式(34)中忽略了第1阶段的成功检测,而第2阶段出现虚报、虚警及第2阶段成功检测,而验证模式出现虚报、虚警2种情况.上述假设在一般情况下,尤其是较高SNR条件下,具有合理性.根据文献[2]结论,系统传递函数可表示为
根据系统传递函数与MAT相互关系μR=
,可得系统的MAT为
当SNR较低时,P1DP2D降低,式(37)的第2项会增加,从而导致平均捕获时间μR增加.当信噪SNR较高时,式(37)可以简化为
式(38)表明,MAT与第1、第2阶段测量值y1,y2的获取时间、验证模式时间和多普勒频率搜索容限等因素成正比. 4 仿真校验对双阶段压缩捕获方法进行蒙特卡罗实验验证,主要思路是从检测概率和平均捕获时间出发,对比分析双阶段压缩捕获方法和传统基于并行的相关方法的捕获性能.仿真实验参数设置如下:考虑BPSK调制DSSS信号,数据率Rb=1kb/s，码速率Rc=10MHz,采样率fs=2Rc,多普勒频率fd=100Hz,码相位τ=1000,相关处理时间1ms,即2L=2046个采样值,第1和第2阶段捕获门限分别为γ1=1.2和γ2=0.75[3].4.1 检测概率 在不同测量值个数情况下,通过蒙特卡洛仿真对比分析双阶段压缩捕获方法与传统基于并行相关方法的检测概率,其中载噪比C/N0变化范围取[20, 60]dBHz,测量矩阵Φ1与Φ2构造参数分别为M01∈{7,8,9,10}和M02=lb(2L/M1),则有第1阶段测量值个数M1∈{128,256,512,1024},第1阶段超过门限的最大值个数Nmax∈{1,0.05M1,0.1M1,0.2M1},检测概率对比如图 5所示.
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| 图 5 检测概率对比 Fig. 5 Comparison of detection probability |
| 图选项 |
由图 5可知,仿真结果与理论分析结果基本吻合,检测概率随着第1阶段测量值个数M1和超过门限的最大值个数Nmax增加而增大,并且最终趋向于一个稳定值.当M1=256且Nmax=13时,双阶段压缩捕获方法捕获性能与传统基于并行相关方法的基本持平,且有α≈2L/M1=8,第1和第2阶段的相关次数分别为256和αNmax=104,即双阶段压缩捕获方法相关次数总共为360,而传统基于并行相关的方法相关次数为2L=2046,可知此时双阶段压缩捕获方法相关次数相对于传统基于并行相关的方法几乎降低了6倍,说明双阶段压缩捕获算法在显著降低相关运算量的前提下,能够达到传统基于并行相关捕获方法的检测概率水平.4.2 平均捕获时间 实验条件设置与检测概率实验条件设置基本相同,测量矩阵Φ1构造参数取M01∈{7,8,9},即第1阶段测量值个数M1∈{128,256,512},第1阶段超过门限的最大值个数Nmax=4α,测量值获取时间T1=1ms,N2=10,Γmax=20,平均捕获时间对比关系如图 6所示.
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| 图 6 平均捕获时间对比关系 Fig. 6 Comparison of MAT |
| 图选项 |
由图 6可知,在载噪比较高(>42dBHz)时,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间趋向于一个稳定的最小值22T1,该最小值与式(38)得到的理论值2T1+10T1+(20/2)T1相一致;在载噪比较低时,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间随着载噪比的降低而快速增加,这也与3.2节的理论分析保持一致,对应于式(37)的第2项,当载噪比较低时,分母P1DP2D降低,分子1+P1D－(2+20)·P1DP2D+P1F+10P1FP2F+20(1+10P1fP2f)增高,导致平均捕获时间增加.值得注意的是,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间的变化趋势与基于传统并行相关方法的保持一致,而且第1阶段测量值个数M1越大,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间越能够较快地接近基于传统并行相关方法的平均捕获时间. 5 结 论基于压缩感知理论,提出了一种双阶段压缩捕获方法,并进行了理论分析与实验对比验证,主要结论有:1) 在显著降低相关运算量的前提下,该方法能够达到传统基于并行相关捕获方法的检测概率水平.2) 该方法平均捕获时间的变化趋势与基于传统并行相关方法的保持一致,而且第1阶段测量值个数越大,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间越能够较快地接近基于传统并行相关方法的平均捕获时间.3) 双阶段压缩捕获方法能够有效利用DSSS接收信号在自相关域的稀疏性,可以有效解决DSSS信号在捕获过程中难以同时实现的高检测性能、低硬件消耗或计算量问题.
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