1.西南民族大学计算机科学与技术学院, 成都 610041;2.中科院成都计算机应用研究所,成都 610041;自动推理与认知重庆市重点实验室,重庆 400714
出版日期:2016-01-25发布日期:2016-03-02A GENERALIZATION OF VINCENT'S THEOREM TO MULTIVARIATE POLYNOMIALS
XU Jia1,YAO Yong21.College of Computer Science and Technology, Southwest University for Nationalities,Chengdu 610041;2.Chengdu Institute of Computer Applications, Chinese Academy of Sciences, Chengdu 610041;Chongqing Key Laboratory of Automated Reasoning and Cognition , Chongqing 401121
Online:2016-01-25Published:2016-03-02摘要
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Vincent 定理指出: 若~\(f(x)\) 为~\(d\) 次实系数多项式, $(a_1,\ b_1)$ 为开区间, 则多项式~\(f(x)\) 在~\((a_1,\ b_1)\) 上没有实根当且仅当存在正常数 $\delta $, 使得对任意区间 $(a,\ b)\subset (a_1,\ b_1)$ , 当 $|a-b|<\delta$ 时, 多项式 ~\((1+x)^d f(\frac{a+bx}{1+x})\) 的系数不变号\ (都是正数或都是负数). 文章的主要工作是推广这一结果到一般的多变元代数系统. 设实系数多项式 ~\(f\in \mathbb{R}[x_1,x_2, \cdots, x_n]\), $f$ 相对于变元 $x_i$ 的次数记为 $d_i$. 记区间的笛卡尔积为 ~ $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\cdots \times [a_n, b_n]$ (也称为Box). 记~\(\phi(I)=\max\{b_i-a_i,\ i=1,2,\cdots,n\}\). 定义 $$ f_I=(1+x_1)^{d_1}(1+x_2)^{d_2}\cdots (1+x_n)^{d_n} f\bigg(\frac{a_1+b_1x_1}{1+x_1},\frac{a_2+b_2x_2}{1+x_2},\cdots, \frac{a_n+b_nx_n}{1+x_n}\bigg). $$ 称 $f_I$ 为 $f$ 相对于\ Box $I$ 的伴随多项式. 证明了: 若多项式~\(f_1,f_2,\cdots, f_m \in \mathbb{R}[x_1,x_2,\cdots, x_n], \) 且Box ${\It\Lambda}\subset \mathbb{R}^n$, 则方程组 $\{f_1=0,f_2=0,\cdots, f_m=0$\} 在Box ${\It\Lambda}$ 上没有零点, 当且仅当存在正常数 $\delta$ (与Box ${\It\Lambda}$ 有关), 使得 对于任意Box $I\subset {\It\Lambda}$, 当 $\phi(I)< \delta$ 时, 伴随多项式 $$f_{1I},f_{2I},\cdots,f_{mI}$$ 中至少一个 $f_{iI}$ 的非零系数全是正\ (或负) 数且 $f_i$ 在Box $I$ 的所有顶点上的值不为~0.
MR(2010)主题分类:
65H10
26C10
12E12
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