计算数学
Computational Mathematics
（070102）
● 培养方案
（一）培养目标和要求
1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、硕士应达到的要求：
(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。
(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。
(3)具有强烈的责任心和敬业精神。
(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。
(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
科学计算是当代科学和工程研究的三大研究手段之一，对科学技术的发展起着十分重要的作用。本专业的主要内容是科学与工程计算的方法、理论及其应用，侧重于研究和发展高水平的数值计算方法，为实际应用提供有效的工具。 因此要求硕士生具有较扎实的数学基础、较丰富的专业知识以及一定的科学计算能力。毕业后具有一定的独立从事科学研究的能力，成为数值分析方面的专业研究人才和高等学校相关专业的师资力量。
（二）研究方向
1、 偏微分方程数值解Numerical Solution of Partial Differential Equations
本方向的主要研究内容：奇异问题的高精度算法、无界区域问题的数值方法、外部问题的新算法、高阶有限元方法以及分歧计算等。
主要导师：郭本瑜教授、王中庆副教授、郭谦副教授。
2、 常微分方程数值解Numerical Solution of Ordinary Differential Equations
本方向的主要研究内容：常微分方程的计算方法、滞时（中立）微分方程的计算方法、泛函微分方程的计算方法以及数值方法的动力学等。
主要导师：丛玉豪教授、田红炯教授、孙乐平副教授。
3、 数值代数Numerical Algebra
本方向的主要研究内容：线性和非线性系统、结构矩阵的若干问题和广义逆理论及其应用等。
主要导师：魏木生教授。
4、 偏微分方程反问题及其计算 Inverse Problems in Partial Differential Equations and Their Computation
本方向的主要研究内容：医学影像领域中的偏微分方程反问题，包括脑影像EEG (electroencephalography)和MEG (magnetoencephalography) 反问题的重构理论和科学计算。
主要导师：彭丽副教授。
（三）学制
三年（特殊情况下可以适当延长或缩短）
（四）课程设置与学分要求
1、必修课程：
（1）学位公共课程：
科学社会主义理论与实践Theory and Practice of Scientific Socialism （2学分）
自然辩证法 Dialectics of Nature （2学分）
第一外国语 First Foreign Language （2学分）
（2）学位基础课：（每门课程3学分）
泛函分析 Functional Analysis（3学分）
泛函分析续论 Functional Analysis (Continued)（3学分）
矩阵分析Matrix Analysis（3学分）
数值分析 Numerical Analysis（3学分）
数学物理方程 Mathematical Physics Equations（3学分）
微分方程数值解 Numerical Solutions of Differential Equations（3学分）
【注】 每个学生根据不同研究方向需选择至少三门以上的课程。
（3）学位专业课：（除专业外语外，每门课程3学分）
专业外语 Specialized Foreign Language （2学分）
有限元方法 Finite Element Methods（3学分）
谱方法 Spectral Methods （3学分）
谱方法续论 Spectral Methods (Continued)（3学分）
分歧理论及计算 Bifurcation Theory and its Computation（3学分）
对称破缺分歧理论 Symmetry-Breaking Bifurcation Theory（3学分）
常微分方程数值解 Numerical Solutions of Ordinary Differential Equations（3学分）
常微分方程数值动力系统 Numerical Dynamics of Ordinary Differential Equations （3学分）
常微分方程数值动力系统 Numerical Dynamics of Ordinary Differential Equations (Continued)（3学分）
滞时微分方程数值解 Numerical Solutions of Delay Differential Equations（3学分）
矩阵扰动分析 Matrix Perturbation Analysis（3学分）
广义逆矩阵理论及计算 Generalized Inverse: Theory and Computation（3学分）
偏微分方程反问题及其数值解法 Inverse Problems in Partial Differential Equations and Their Numerical Solutions（3学分）
数学物理中的不适定问题 Ill-posed Problems in Mathematics and Physics（3学分）
【注】 专业外语为必选课程。每个学生根据不同研究方向还需选择其他两门或两门以上的课程。
2、选修课程：
（1）公共选修课
英语口语（2学分）
计算机基础（2学分）
（2）专业选修课 （每门课程2学分）
Sobolev 空间 Sobolev Spaces（2学分）
扩张系统方法 Methods of Extended System（2学分）
生物数学引论 Introduction to Mathematical Biology（2学分）
泛函微分方程引论 Introduction to Functional Differential Equations（2学分）
Hamilton系统的计算方法 Computational Methods of Hamiltonian Systems（2学分）
应用数学中的反问题 Inverse Problems in Applied Mathematics（2学分）
【注】每个学生根据不同研究方向需选择两门或两门以上的课程。
（3）讨论班与论文选读 （是否开课由导师决定）
【注】学生可根据导师安排选修其他相关学科的课程，并按专业选修课计算学分。
（五）培养方式与考核方式
学位基础课和学位专业课以教师讲授为主，少数内容可以在教师指导下由学生轮流报告。专业选修课采用教师讲授与学生报告相结合的方法，以学生报告为主，逐步减少教师的讲授内容。从二年级开始，根据各研究方向，学生在导师指导下查阅和报告有关文献，开展专题讨论，在此基础上形成毕业论文题目，并围绕该题目进行研究，最后完成毕业论文，进一步提高学生科研能力和创新意识。
课程考核分考试与考查两种方式，可采用笔试/口试、闭卷/开卷、撰写论文、完成项目等形式进行。必修课程原则上都要进行笔试。
研究生课程的成绩由平时成绩和期末考试成绩综合评定。考试成绩采用百分制记录，也可以分优（90分-100分）、良（80分-89分）、中（70分-79分）、及格（60分-69分）、不及格五等；考查成绩以合格、不合格记。
撰写论文，以优、良、中、及格、不及格五级计算成绩。
（六）学位论文撰写与答辩
1、研究生在撰写论文之前，必须经过认真的调查研究，阅读大量的文献资料，了解本人主攻方向的历史和现状，在此基础上酝酿学位论文选题。
2、第四学期末，在导师指导下确定选题，写出开题报告，并经教研室有关专家论证。开题报告需包含：论题；论文的基本构思或大纲；论题的学术意义和现实意义；已阅读过的和准备阅读的资料；疑点和难点等。
3、论文的选题和内容应具有一定理论价值和应用价值，有一定的创意和前沿性。
4、论文送审与答辩
（1）论文送审，硕士学位论文至少校内外各1位具有副教授及以上职称专家评阅：如果参加盲检，论文还需各聘请1名校内与校外专家评阅；否则，只需请1名校内专家评阅（由学位点安排）。第六学期中期（3月中旬-4月初）经导师同意由研究生登陆指定网站查看自己是否参加盲审。
（2）盲审结束后无异议则进入答辩阶段（每年的5月下旬进行）。
（3）答辩委员会由3-5名与选题有关的教授（或研究员）、副教授（或副研究员）组成。答辩委员会推举一名答辩主席，答辩人的导师和副导师不能担任答辩主席。答辩后由答辩委员会投票表决，答辩主席在答辩决议书上签字。
5、学位授予
论文在获三分之二（或以上）答辩委员通过后，答辩委员会可建议授予答辩人所申请的学位。
（七）教学大纲
☆ 泛函分析
（一）教学目的和要求
泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支，泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹及应用数学物理，力学和现代工程理论的许多分支。本课程系统介绍泛函分析的一些基本概念和方法，是硕士研究生进行专业理论学习的学位基础课。
（二）基本教学内容
第一章 度量空间
§1.1 基本概念
§1.2 线性空间上的范数
§1.3 LP空间
§1.4 度量空间中的点集
§1.5 连续映照
§1.6 稠密性
§1.7 完备性
§1.8 不动点定理
§1.9 致密集
第二章 线性有界算子
§2.1 线性有界算子
§2.2 线性连续泛函的表示及延拓
§2.3 共轭空间和共轭算子
§2.4 逆算子定理和共鸣定理
§2.5 线性算子的正则集与谱，不变子空间
§2.6 关于全连续算子的谱分析
第三章 Hilbert空间的几何学
§3.1 基本概念
§3.2 投影定理
§3.3 内积空间中的正交系
§3.4 共轭空间和共轭算子
§3.5 投影算子
§3.6 双线性Hermite泛函和自共轭算子
§3.7 谱系，谱测度和谱积分
§3.8 自共轭算子的谱分解
§3.9 酉算子的谱分解定理
§3.10正常算子的谱分解
（三）主要参考资料
《实变函数和泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1980年版。
（四）任课教师：曾六川等
（五）总时数：144学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 矩阵分析
（一）教学目的和要求
本课程主要从数学分析的角度论述矩阵分析的经典理论和现代结果。通过本课程的学习，要求掌握矩阵分析的基本理论、方法及其应用，掌握一定的描述和解决数学问题的能力，为以后各研究方向课程的学习作好准备。
（二）基本教学内容
第一章 矩阵特征值、特征向量和相似性
§1.1 特征值-特征向量方程
§1.2 特征多项式
§1.3 相似性
§1.4 特征向量
第二章 酉等价和正规矩阵
§2.1 酉矩阵
§2.2 酉等价
§2.3 Schur酉三角化定理
§2.4 Schur定理的若干推论
§2.5 正规矩阵
§2.6 QR分解和QR算法
第三章 标准形
§3.1 Jordan标准形
§3.2 多项式和矩阵：极小多项式
§3.3 其他标准形
§3.4 三角分解
第四章 Hermite矩阵和对称矩阵
§4.1 Hermite矩阵的定义、性质和特征
§4.2 Hermite矩阵的特征值的变分特征
§4.3 变分特征的某些应用
§4.4 复对称矩阵
§4.5 Hermite矩阵、对称矩阵的相合与同时对角化
§4.6 合相似和合对角化
第五章 向量范数和矩阵范数
§5.1 向量范数和内积的定义
§5.2 向量范数的代数性质
§5.3 向量范数的分析性质
§5.4 向量范数的几何性质
§5.5 矩阵范数
§5.6 关于矩阵的向量范数
§5.7 矩阵的逆和线性方程组的解的误差
第六章 特征值的估计和扰动
§6.1 Gersgorin圆盘
§6.2 Gersgorin圆盘的更细致的讨论
§6.3 扰动定理
§6.4 其他包含区域
第七章 正定矩阵
§7.1 正定矩阵的特征
§7.2 极形式和奇异值分解
§7.3 奇异值分解的例子和应用
§7.4 Schur乘积定理
§7.5 相合：乘积和同时对角化
§7.6 半正定次序关系
§7.7 关于正定矩阵的不等式
第八章 非负矩阵
§8.1 非负矩阵—不等式及其推广
§8.2 正矩阵
§8.3 非负矩阵
§8.4 不可约非负矩阵
§8.5 素矩阵
§8.6 一般极限定理
§8.7 随机矩阵和双随机矩阵
（三）主要参考资料
《矩阵分析》, R. A. Horn, C. R. Johnson著, 杨奇译，北京机械工业出版社，2005年版.
《Matrix Comptation》, G. H. Golub, C. F. Van Loan, John's Hopkings Univ. Press, 1983.
（四）任课教师：魏木生
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 数值分析
（一）教学目的和要求
本课程详尽地论述了数值分析的各种算法及其理论，通过学习将使学生掌握各种插值方法，例如多项式插值、有理函数插值、三角函数插值和样条函数插值，对常用的数值积分、求解线性和非线性代数方程组，以及优化的常用算法和收敛性有详尽的理解，对特征值问题和常微分方程的数值解能有基本了解和掌握。通过本课程的学习，使学生对进一步的数值分析的研究打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 误差分析
§1.1 误差
§1.2浮点运算
第二章 插值法
§2.1多项式插值
§2.2有理函数插值
§2.3三角插值
§2.4样条函数插值
第三章 数值积分
§3.1积分公式
§3.2误差表示
§3.3外推法
第四章 迭代法与最优点
§4.1迭代法
§4.2收敛理论
§4.3 Newton法及其修正方法
§4.4求根，灵敏度分析
§4.5无约束优化
第五章 常微分方程
§5.1基本定理
§5.2初值问题与边值问题
§5.3差分方法、变分方法
§5.4有限元法
第六章 大规模数值解
§6.1算法步骤
§6.2收敛定理
§6.3松弛法、迭代法
（三）主要参考资料
《数值分析引论》，J. Stoer & R. Bulirsch著，南京大学出版社，1995年版。
《数值分析引论》，易大义陈道琦著，浙江大学出版社，2003年版。
（四）任课教师：魏木生等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试(闭卷)
☆ 数学物理方程
（一）教学目的和要求
数学物理方程是数学专业硕士研究生的一门重要的基础课程。它的一些基本内容是应用数学及计算数学等专业硕士研究生所必备的基础知识，通过对数理方程的学习，使研究生掌握有关偏微分方程的基本概念、基本原理和解偏微分方程的各种方法与技巧，同时对培养研究生的逻辑推理能力起着很大的作用。
数理方程的主要内容包括：波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程以及它的定解问题的适定性。
通过对数理方程的学习，使研究生较系统地掌握几种求解数理方程的方法，掌握偏微分方程解的适定性的基本内容。
（二）基本教学内容
第一章 引言
§1.1 方程的推导
§1.2 偏微分方程的一些概念
§1.3 定解条件与定解问题
§1.4 二阶线性方程的分类与化简
§1.5 定解问题的适定性
第二章 波动方程
§2.1 弦振动方程的初值问题
§2.2 有界域上混合问题的分离变量法
§2.3 波动方程定解问题的适定性
第三章 热传导方程
§3.1 有界域上的混合问题和分离变量法
§3.2 Fourier变换和Laplace变换
§3.3 Fourier变换和Laplace变换的应用
§3.4 极值原理与解的唯一性和稳定性
第四章 Laplace方程
§4.1 定解问题的提法
§4.2 分离变量法
§4.3 基本解，Green公式与Green函数
§4.4 调和函数的基本性质，边值问题
§4.5 解的唯一性和稳定性
（三）主要参考资料
《数学物理方程》，谷超豪等编，高等教育出版社，2002年版。
《数学物理方程讲义》，姜礼尚著，高等教育出版社，2005年版。
（四）任课教师：丁玮等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 微分方程数值解
（一）教学目的和要求
微分方程数值解是计算数学专业的专业基础课程之一，它主要研究在科学和工程实际中出现的常微分方程和偏微分方程的数值方法，以差分法和有限元法为主要内容。通过一些典型通用的数值方法，去阐明构造方法的基本思想、方法和技巧；使学生了解如何在计算机上应用这些方法数值求解一个微分方程定解问题；通过对数值方法中的稳定性、收敛性和误差估计的介绍，使学生在理论分析能力上得到一定的训练；注重一些新方法、新思想的介绍，在教学中适当反映这门学科的新成就。为了使学生更好地掌握所学方法，培养学生解决实际问题的能力，除了配置某些习题以外，需平行地安排计算实习课。
（二）基本教学内容
第一章 常微分方程数值解
§1.1 Euler方法及改进的Euler方法
§1.2 一般单步方法、稳定性、收敛性和误差估计
§1.3 线性多步方法，Adams内插法，外推法，待定系数法
§1.4 线性差分方程的基本理论
§1.5 线性多步方法的稳定性、收敛性及误差估计
§1.6 多步法的数值实现
第二章 变分原理
§2.1二次函数极值
§2.2两点边值问题变分原理，自然和本质边界条件
§2.3二阶椭圆边值问题的变分原理，自然和本质边界条件
§2.4 Ritz方法和Galerkin方法及误差分析
第三章 椭圆型方程的差分法
§3.1 差分逼近、截断误差、相容性、收敛性、稳定性
§3.2 一维差分格式、直接差分法、积分插值法及边界条件处理
§3.3 二维差分格式、矩形网、三角网的差分格式、边界条件处理
§3.4 极值定理的先验估计、敛速估计
第四章 椭圆型方程的有限元方法
§4.1 一维线性元（Ritz方法、Galerkin方法）、误差估计
§4.2 一维高次元
§4.3二维矩形元（双线性Lagrange元、双三次Hermite元）
§4.4 三角形元：面积坐标及其公式、Lagrange元、Hermite元
§4.5 有限元方程的形成，积分计算，边界条件的处理
第五章 抛物型方程
§5.1古典差分格式，截断误差，不稳定现象
§5.2 稳定性与收敛性
§5.3 分离变量法
§5.4 高维问题，交替方法隐格式
§5.5 有限元法
第六章 双曲型方程
§6.1 古典差分格式及稳定性
§6.2 一阶线性双曲型方程的特征线法
§6.3 特征差分格式
（三）主要参考资料
《微分方程数值解法》，李荣华、冯果忱，高等教育出版社，1987年版。
《微分方程数值方法》，汤怀民、胡健伟，南开大学出版社，1990年版。
《偏微分方程差分方法》，陆金甫、顾丽珍、陈景良，高等教育出版社，1988年版。
《常微分方程初值问题的数值解法》，费景高等译，科学出版社，1978年版。
（四）任课教师：彭丽
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 有限元方法
（一）教学目的和要求
有限元方法是数值求解偏微分方程的主要方法之一。学习本课程要求学生了解和掌握有限元方法的基本思想和数学理论以及如何运用于计算实际问题。
（二）基本教学内容
第一章 数学物理问题的抽象提法
§1.1 抽象问题
§1.2 具体例子
第二章 有限元方法
§2.1 最简单形式的有限元方法
§2.2 有限元例子
§2.3 有限元的一般性质
第三章 Sobolev空间中的插值论及应用
§3.1 Sobelev空间插值理论
§3.2 对多角形区域二阶问题的应用
§3.3 数值积分的影响
第四章 混合元、杂交元、非协调元简介
§4.1 同一边值问题的不同变分形式
§4.2 混合有限元方法
§4.3 基于余能原理的杂交有限元方法
§4.4 基于最小势能原理的杂交有限元方法
§4.5 非协调有限元方法
第五章 抛物问题的有限元方法
§5.1 对空间变量的半离散化
§5.2 对时空方向的全离散性
（三）主要参考资料
《有限元素法的数值分析》，P.G.Ciarlet著、蒋尔雄等译，上海科学技术出版社，1978年版。
《有限元方法讲义》，应隆安著，北京大学出版社，1988年版。
《抛物问题Galerkin有限元法》，V.Thomée著，黄明游、刘海楼译，吉林大学出版社，1986年版。
（四）任课教师：郭玲等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 谱方法
（一）教学目的和要求
谱方法是数值求解偏微分方程的主要方法之一。学习本课程要求学生了解和掌握谱方法的基本思想和数学理论以及如何运用于计算实际问题。
（二）基本教学内容
第一章 Sobolev 空间中的正交逼近
§1.1 Fourier 逼近
§1.2 Legendre 逼近
§1.3 Chebyshev 逼近
§1.4 Jacobi 逼近
§1.5 Laguerre 逼近
§1.6 Hermite 逼近
第二章 稳定性和收敛性
§2.1 线性问题的稳定性和收敛性
§2.2 非线性问题的广义稳定性
§2.3 初值问题
第三章 谱和拟谱方法
§3.1 Fourier谱和拟谱方法
§3.2 Legendre谱和拟谱方法
§3.3 Chebyshev谱和拟谱方法
§3.4 Jacobi谱和拟谱方法
§3.5 Laguerre谱和拟谱方法
§3.6 Hermite谱和拟谱方法
§3.7 谱补偿（罚）方法
§3.8 谱消失粘性方法
第四章 高维高阶问题的谱方法
§4.1 高维空间中的正交逼近
§4.2 高维非线性问题的谱方法
§4.3 高阶非线性问题的谱方法
§4.4 谱区域分解法
§4.5 谱多重网格法
第五章 混合谱方法
§5.1 混合 Fourier-Legendre 逼近
§5.2 混合 Fourier-Chebyshev 逼近
§5.3 混合 Fourier-Jacobi 逼近
§5.4 混合 Fourier-Laguerre 逼近
§5.5 混合 Legendre-Laguerre 逼近
§5.6 应用
第六章 球面上的谱方法
§6.1 球面上的谱逼近
§6.2 球面上的拟谱逼近
§6.3 应用
（三）主要参考资料
《Spectral Methods and Their Applications》，郭本瑜著，World Scietific出版社, Singapore, 1998年版。
《Spectral Methods, Fundamentals in Single Domains》，C. Canuto, M. Y. Hussaini, A. Quarteroni and T. A. Zang著，Springer-Verlag出版社, Berlin, 2006年版。
（四）任课教师：王中庆
（五）总时数：144学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 分歧理论及其计算
（一）教学目的和要求
1介绍在科学技术不同领域中出现的各种非线性分歧问题，理论联系实际。
2、深入浅出地描述非线性分歧问题的各类分歧现象，从定常分歧、Hopf分歧、对称破缺分歧到同宿分歧、异宿分歧，做到教材的现代化。
3、详尽介绍求解各类分歧现象的常用数值方法，并尽可能反映出有关的最新研究成果。
4、强调上机实践，通过具体模型问题的计算，使读者尽快地掌握有关计算方法。
（二）基本教学内容
第一章 分歧理论初步
§1.1 分歧理论的实际背景和例子
§1.2 有限维问题的Liapunov-Schmidt方法
§1.3 非线性项的作用与分歧的分类
§1.4 分歧和稳定性
§1.5 Hopf分歧和倍周期分歧
第二章 分歧理论中的几个主要工具
§2.1 隐函数存在定理
§2.2 Fredholm算子与二中择一方法
§2.3 Sard定理与拓扑度
§2.4 全局分歧的一个定理
§2.5 中心流形定理和正规形式
第三章 定常分歧问题的计算方法
§3.1 定常分歧问题的进一步例子
§3.2 摄动与计算分歧点的迭代方法
§3.3 延拓与道路通过技术
§3.4 计算折叠点的直接方法
§3.5 计算分歧点的直接方法
§3.6 对称破缺分歧的数值方法
第四章 Hopf分歧问题的计算
§4.1 Hopf分歧的进一步例子
§4.2 计算Hopf分歧的迭代方法
§4.3 打靶方法
§4.4 计算Hopf点的直接方法
§4.5 对称破缺Hopf分歧的数值方法
第五章 全局分歧和混沌的计算
§5.1同宿轨道和异宿轨道的计算方法
§5.2 Liapunov指数的计算
§5.3 功率谱的计算
§5.4奇异吸引子的计算
（三）主要参考资料
《Lectures on Numerical Methods of Bifurcation Problems》, H.B.Keller, Springer-Verlag, 1987.
《From Equilibrium to Chaos》, R.Segdel, Elsevier Science, 1988.
《Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems》, T.S.Parker, L.O.Chua, Springer-Verlag, 1989.
《Methods of Bifurcation Theory》, S.N.Chow, J.K.Hale, Springer-Verlag, 1982.
（四）任课教师：郭谦等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 对称破缺分歧理论
（一）教学目的和要求
本课程是计算数学专业的专业方向课，它主要介绍分岔的基本概念、主要方法和一些重要应用；引进奇异性理论的基本概念，介绍对称性理论，以及利用它们处理分岔问题的基本方法。
通过本课程的学习，使学生掌握分岔的基本概念，基本内容，处理分岔问题的主要方法，了解分岔的一些重要应用；掌握奇点理论的基本概念、基本内容和基本方法，提高分析问题和解决问题的能力。
（二）基本教学内容
第一章 分岔概述
§1.1 分岔的基本概念
§1.2 分岔的一些应用
§1.3 分岔理论的基本方法
第二章 识别问题
§2.1 代数基本知识
§2.2 核的基本概念
§2.3 切空间和约束空间
§2.4 有限确定性问题
§2.5 识别问题
第三章 开折理论
§3.1 开折和普适开折
§3.2 普适开折定理
§3.3 例子
§3.4 普适开折的识别问题
§3.5 摄动分支问题的几何理论
第四章 具有Z2对称性的分支
§4.1 基本概念，Z2-强等价
§4.2 识别问题
§4.3 普适开折
§4.4 摄动后的分支图
第五章 分类定理
§5.1 引言
§5.2 按余维数的分类定理
§5.3 初等分支的有关结论
§5.4 Z2余维数的分类定理
第六章 Hopf分支问题
§6.1 例子
§6.2 Liapunor-Schmidt法求周期解
§6.3 主要定理
（三）主要参考资料
《分岔与奇异性》，陆启韶，上海科技教育出版社1994年版。
《Singularities and Groups in Bifurcation Theory》, Vol.1, 2, M. Golubitsky and D. G., Schaeffer, Springer-Verlag, 1985.
（四）任课教师：郭谦等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 常微分方程数值解
（一）教学目的和要求
本课程将详细介绍求解常微分方程的常用数值方法，并通过一些具体问题的数值计算，使学生尽快地掌握有关计算方法。通过这门课的学习，要求学生掌握常微分方程数值解的基本理论和计算方法，了解该领域的最新成果和进展，为今后的研究工作打下扎实基础。
（二）基本教学内容
第一章 常微分方程数值方法初步
§1.1 初值问题数值方法的作用和例子
§1.2收敛性概念
§1.3相容性概念
§1.4零稳定性概念
§1.5一些数值例子
第二章 线性多步方法
§2.1差分算子、阶以及误差常数
§2.2与多项式插值的联系
§2.3 Dahlquist第一阶障碍
§2.4局部截断误差、整体截断误差以及误差界
§2.5线性稳定性理论
§2.6向后差分形式的Adams方法及其系数的性质
§2.7向后微分公式
第三章 预估-校正方法
§3.1预估-校正模式
§3.2预估-校正方法的局部截断误差
§3.3 PLTE的Milne估计以及局部外推
§3.4基于Adams方法向后差分形式的预估-校正方法
§3.5预估-校正方法的线性稳定性理论
§3.6变步长技术
第四章 Runge-Kutta方法
§4.1相容性、局部截断误差以及收敛性
§4.2标量问题的显式Runge-Kutta方法
§4.3 Butcher理论初步
§4.4 M阶Frechet导数、初等微分概念
§4.5阶条件
§4.6显式方法的可达阶、局部截断误差估计
§4.7隐式和半隐式方法
§4.8 Runge-Kutta方法的线性稳定性理论
第五章 刚性问题：线性稳定性理论
§5.1数值试验
§5.2刚性的本质
§5.3与刚性有关的线性稳定性定义
§5.4指数的有理逼近以及阶星
§5.5刚性问题的线性多步方法
§5.6刚性问题的Runge-Kutta方法
§5.7与偏微分方程有限差分方法的联系
第六章 刚性问题：非线性稳定性理论
§6.1线性稳定性理论的缺陷
§6.2压缩性
§6.3单边Lipschitz常数以及对数范数
§6.4 G-稳定性
§6.5隐式Runge-Kutta方法的非线性稳定性
§6.6 B-收敛性
（三）主要参考资料
《Computational Methods in Ordinary Differential Equations》, J. D. Lambert, Springer-Verlag，1990.
《Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff problems》, E. Hairer, S.Norsett, Lubich, G. Wanner, Springer, 1993。
《Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-algebraic Equations》, E. Hairer, S.Norsett, Lubich, G. Wanner, Springer, 1996。
（四）任课教师：田红炯等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 常微分方程的数值动力系统
（一）教学目的和要求
动力系统在自然科学、工程技术和社会科学中具有广泛的应用、动力系统的理论主要研究当控制系统的参数和初始状态的变化时系统状态随着时间的演化。由于极大多数的动力系统的理论无法精确获得，因此数值模拟对于理解动力系统具有非常重要的意义。作为数值分析的一个基本分支，数值动力系统的研究已越来越受到计算数学界的重视，通过这门课的学习要求学生掌握常微分方程的数值动力系统的基本理论和研究方法，了解该领域的最新研究成果和进展，为今后的研究提供基础。
（二）基本教学内容
第一章 有限维离散动力系统
§1.1极限集
§1.2稳定性
§1.3分岔
§1.4不变流形
§1.5吸引子
§1.6面积守恒与辛映射
第二章 常微分方程的理论
§2.1极限集
§2.2稳定性
§2.3分岔
§2.4不变流形
§2.5吸引子
§2.6哈密尔顿系统和守恒系统
第三章 数值算法
§3.1 Runge-Kutta方法
§3.2线性多步法
§3.3单支法
§3.4收敛法与稳定性
§3.5单边Lipschitz条件
第四章 全局稳定性
§4.1线性问题
§4.2伪解
§4.3压缩性
§4.4耗散系统
§4.5 梯度系统
第五章 不变集的收敛性
§5.1平衡点
§5.2不稳定流形
§5.3周期与拟周期解
第六章 吸引子
§6.1向后误差分析
§6.2保持结构一致渐进稳定集
§6.3上半连续性
§6.4下半连续性
第七章 哈密尔顿系统和守恒系统
§7.1线性哈密尔顿系统的逼近
§7.2辛Runge-kutta法
§7.3辛线性多步法
§7.4向后误差分析
（三）主要参考资料
《Dynamics and Numerical Analysis 》，A.M.Stuart, A.R.Humphries, 剑桥大学出版社，1996年版。
（四）任课教师：田红炯等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 滞时微分方程数值解
（一）教学目的和要求
滞时微分方程数值处理是计算数学专业的专业方向课，它主要研究在生态学、环境科学、电力工程等领域中出现的滞时微分方程的数值处理。
本课程主要讲授滞时微分方程数值处理的基本知识，基本理论和基本方法；分析数值求解滞时微分方程的数值稳定性、收敛性，以及数值实现等问题。
通过本课程的学习，使学生掌握数值求解滞时微分方程的基本数值方法，掌握方法的稳定性和收敛性的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力。
（二）基本教学内容
第一章 常微分方程数值求解的基本方法
§1.1 线性多步方法
§1.2 Runge-Kutta方法
§1.3 BDF方法及块方法
§1.4一般线性方法
§1.5 单支法，混合法
第二章 线性滞时微分方程的数值解
§2.1 q-方法的渐近稳定性
§2.2 线性多步法解多滞时量方程
§2.3 RK方法的渐近稳定性
§2.4 块q-方法的渐近稳定性
§2.5变系数线性滞时微分方程的数值处理
§2.6 PL-稳定性
第三章 线性滞时系统的数值处理
§3.1渐近稳定的充要条件
§3.2 多滞时量线性系统的数值处理
§3.3多滞时量线性系统的进一步讨论
第四章 非线性滞时系统的数值解
§4.1 RN-、GRN-稳定性
§4.2 q-方法的渐近稳定性
§4.3非自治线性系统的数值处理
§4.4 RK方法的GPN-、GRN-稳定性
第五章 中立型方程的数值处理
§5.1单参数法及其数值稳定性
§5.2理论解的渐近性态
§5.3数值稳定性区域的特征
第六章 滞时积分方程(Volterra型)
§6.1可约积分公式
§6.2 < r，s>可约积分公式的数值稳定性
§6.3 q-方法的数值稳定性
（三）主要参考资料
《泛函微分方程的数值处理》，匡蛟勋，科学出版社，1999年版。
《函数论》，E.C梯其玛希，科学出版社，1962年版。
《刚性微分方程的数值解》，袁兆鼎、费景高、刘德贵，科学出版社，1984年版。
（四）任课教师：丛玉豪等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 矩阵扰动分析
（一）教学目的和要求
本课程主要教授矩阵论的基本知识, 范数与度量, 线性方程组和最小二乘问题的扰动分析, 特征值问题的和广义特征值问题的扰动分析等内容。通过学习，要求学生在理解讲课内容的基础上，阅读相关教材与论文，从而对基本知识有深入理解和对前沿技术有一定的了解。
（二）基本教学内容
第一章 预备知识
§1.1特征值与特征向量
§1.2矩阵分解
§1.3广义逆
§1.4投影
§1.5行列式，Hadamard不等式和Kronecker乘积
第二章 奇异值，奇异子空间和MP逆的扰动
§2.1酉不变范数的性质
§2.2奇异者的扰动和降秩最佳逼近
§2.3正交投影和奇异子空间的扰动
§2.4 MP逆的扰动
第三章 线性方程组与最小二乘问题的扰动
§3.1矩阵逆于线性方程组解的扰动
§3.2广义逆的扰动
§3.3投影的扰动
§3.4线性最小二乘问题的扰动
第四章 特征值问题的的扰动
§4.1特征值问题的稳定性
§4.2 Gerschgorin理论
§4.3 Hermite矩阵的特征值
§4.4正规阵与可对角化阵的特征值
§4.5一般方阵的特征值
§4.6条件数
§4.7特征空间的扰动
§4.8不变子空间的扰动
第五章 广义特征值问题的的扰动
§5.1基本概念
§5.2 Gerschgorin 理论
§5.3定型对的特征值
§5.4正规对，可对角化对于一般正则对得特征值
§5.5特征空间的扰动
§5.6广义不变子空间的扰动
（三）主要参考资料
《矩阵扰动分析》(第二版), 孙继广，科学出版社，2001年版。
《Matrix Analysis 》, R. A. Horn and C. R. Johnson, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1985.
《矩阵计算》(中译本), G. H. Golub and C. F. Van Loan,, 科学出版社, 2001.
《广义最小二乘问题:理论与计算》，魏木生，科学出版社, 2006年版。
（四）任课教师：魏木生
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 广义逆矩阵理论及计算
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习，要求学生掌握广义逆矩阵的基本理论和计算方法，并了解广义逆的某些应用，对有些问题较深入地了解国内外动态，为写作论文作好准备。
（二）基本教学内容
第一章 表示线性方程组解的广义逆
§1.1 M-P逆
§1.2 {i, j, k,}逆
§1.3具有指定值域和零空间的广义逆
§1.4 加权M-P逆
§1.5 Bott-Duffin逆和广义Bott-Duffin广义逆
第二章 Drazin逆
§2.1 Drazin逆
§2.2 群逆
§2.3 带W权Drazin逆
第三章 Cramer法则的推广
§3.1 加边矩阵的非异性
§3.2 线性方程组解的Cramer法则
§3.3 矩阵方程组解的Cramer法则
§3.4 广义逆及投影算子的行列式表示
第四章 广义逆计算的直接方法
§4.1 满秩分解方法
§4.2 奇异值分解与（M.N）奇异值分解方法
§4.3 分块算法
§4.4 嵌入算法
§4.5 有限算法
第五章 广义逆计算的并行算法
§5.1 并行处理机模型
§5.2 并行算法性能评价
§5.3 并行算法
§5.4 等价性定理
第六章 M-P逆和加权M-P逆扰动分析
§6.1 扰动界
§6.2 连续性
§6.3 保秩变形
§6.4 条件数
第七章 Drazin逆扰动分析
§7.1 扰动界
§7.2 连续性
§7.3 保核秩变形
§7.4 条件数
（三）主要参考资料
《矩阵与算子广义逆》，王国荣，科学出版社,1994、1998年版。
《Generalized Inverses: Theory and Applications》, A. Ben-Isral, T. N. E. Greville, John Wiely, 1974.
《Generalized Inverses of Linear Transformations》, S. L. Campbell, C. D. Meyer, Pitman, 1979.
（四）任课教师：魏木生等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 偏微分方程反问题及其数值解法
（一）教学目的和要求
本课程旨在介绍偏微分方程反问题的数学理论和数值方法。通过本课程的学习，使学生了解反问题领域中重要的研究课题，掌握研究反问题的数学理论和数值方法，为从事反问题的研究奠定数学基础。
（二）基本教学内容
第一章 若干反问题
§1.1 重力测量中的反问题
§1.2 电导率反问题
§1.3 逆散射问题
§1.4 断层成像和地震测量中的反问题
§1.5 谱问题的反问题
第二章 不适定问题和正则化方法
§2.1 适定和不适定问题
§2.2 约束条件校正法：正则化
§2.3 正则化解的构造
§2.4 正则化算法的收敛性
§2.5 迭代算法
第三章 Cauchy问题的唯一性和稳定性
§3.1 后向抛物方程
§3.2 Carleman估计和Cauchy问题
§3.3椭圆方程和抛物方程
§3.4 双曲方程和Schrödinger方程
第四章 椭圆方程：单边测量问题
§4.1 椭圆边值问题的有关结果
§4.2 重力测量反问题
§4.3 低阶项的重构
§4.4 电导率反问题的唯一性
§4.5单复变量理论的应用方法
§4.6 系数识别问题的线性化
§4.7 非破坏性识别计算的若干问题
第五章 椭圆方程：多边测量问题
§5.1 Dirichlet边界数据到Neuman 边界数据的映射
§5.2 边界重构
§5.3 区域Ω内部重构
§5.4 几个方程系数的重构
§5.5 非线性方程
§5.6 间断的电导率
§5.7 Maxwell方程和弹性力学方程组
第六章 双曲方程
§6.1一维问题
§6.2 单边测量
§6.3 多边测量：边界控制方法
§6.4 传播速度间断性的恢复
第七章 抛物方程
§7.1 最后时刻的超定边界条件
§7.2 侧面超定边界条件：单边测量
§7.3 侧面超定边界条件：多边测量
§7.4 非线性方程
§7.5 内部源问题
第八章 一些数值方法
§8.1 线性化方法
§8.2 Cauchy问题的变分正则化方法
§8.3 松弛法
§8.4 剥层法
§8.5 离散化方法
（三）主要参考资料
《Inverse Problems for Partial Differential Equations》, Victor Isakov, Springer-Verlag，New York，Inc., 1998.
（四）任课教师：彭丽
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 数学物理中的不适定问题
（一）教学目的和要求
本课程旨在介绍数学物理等实际问题中出现的一些典型的不适定问题的数学理论和方法。通过本课程的学习，使学生了解研究不适定问题的实际意义，掌握研究不适定问题的数学理论和方法，为从事交叉学科的反问题研究奠定数学基础。
（二）基本教学内容
第一章 不适定问题的物理阐述
§1.1稳态场的延拓
§1.2扩散方程问题
§1.3离散集的延拓
§1.4地质物理学中的反问题
§1.5重力测量的反问题
§1.6地震学的反问题
第二章 不适定问题的基本概念和理论
§2.1 Tikhnov 意义下的适定问题
§2.2 正则化方法
§2.3 线性不适定问题
第三章 解析延拓
§3.1 问题的阐述和经典结果
§3.2 连续统的延拓
§3.3 点集上的解析延拓
§3.4 正则区域上椭圆方程和抛物方程解的重构
第四章 微分方程的边界测量
§4.1抛物方程的非特征Cauchy问题
§4.2时间递减的抛物方程混合问题
§4.3类时双曲方程和超双曲方程的Cauchy问题
第五章 Volterra 方程
§5.1 第一类Voterra方程的正则化
§5.2 第一类Voterra算子方程
第六章 积分几何
§6.1球平均问题
§6.2特殊函数类的积分几何
§6.3平面曲线的积分几何问题和能量不等式
（三）主要参考资料
《Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis》, M．M．Lavrent'ev，V．G．Romannov and S．P．Shishat-skiǐ, American Mathematical Society, 1986.
（四）任课教师：彭丽
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ Sobolev 空间
（一）教学目的和要求
学习本课程要求学生了解和掌握Sobolev空间的一些基本理论，特别是Sobolev空间的嵌入定理、迹定理、内插和延拓定理等。
（二）基本教学内容
第一章 预备知识
§1.1 拓扑向量空间
§1.2 赋范空间、赋范对偶
§1.3 弱拓扑和弱收敛
§1.4 紧集、一致凸性
§1.5 算子与嵌入
§1.6 广义函数与弱导数
第二章 空间
§2.1 的完备性
§2.2 连续函数逼近，可分性
§2.3 光滑函数逼近
§2.4 的准紧集
§2.5 的一致凸性
§2.6 的赋范对偶
第三章 空间
§3.1 基本性质
§3.2 对偶空间
§3.3光滑函数逼近
§3.4函数逼近
第四章 内插和延拓定理
§4.1 区域的几何性质
§4.2 内插不等式
§4.3 延拓定理
第五章 的嵌入
§5.1 Sobolev嵌入定理
§5.2 中的函数在边界上的迹
§5.3 作为Banach代数的
§5.4 有尖点区域的嵌入定理
§5.5 带权的嵌入不等式
第六章 的紧嵌入
§6.1 Rellich-Kondrachov定理
§6.2 在无界区域上的紧嵌入
§6.3 在无界区域上的紧嵌入
§6.4 Hilbert-Schmidt嵌入
第七章 分数次空间
§7.1 Bochner积分
§7.2 算子半群和抽象Cauchy问题
§7.3 Lions的迹空间
§7.4 高次迹
§7.5 空间
§7.6 嵌入定理
§7.7其它分数次空间
第八章 Orlicz空间和Orlicz-Sobolev空间
§8.1 Orlicz空间及其对偶
§8.2 可分性和紧性定理
§7.3 Orlicz-Sobolev空间
§8.4 Orlicz-Sobolev空间的嵌入定理
（三）主要参考资料
《Sobolev空间》，R. A. Adams编著，叶其孝等译, 人民教育出版社, 1983年版。
（四）任课教师：王中庆
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试（开卷或闭卷）
☆ 扩张系统方法
（一）教学目的和要求
本课程介绍近年来非线性问题的一大热点——分歧问题，即研究非线性方程解的个数和稳定性随参数的变化的问题。通过扩张方程方法可以将复杂的高阶分歧问题化成简单的低阶分歧问题，并可以直接用于分歧问题的数值计算，通过本课程的学习，使学生掌握扩张系统方法这一工具应用于实际非线性分歧问题的计算。
（二）基本教学内容
引言
第一章 预备知识
第二章 基本分枝问题
§2.1 转折点
§2.2 初始分枝点
§2.3 音叉点
§2.4 Hopf点
第三章 带两个参数的分枝问题
§3.1 高阶分枝点与余维数
§3.2 Takens-Bogdanov点
§3.3 滞后点
§3.4 简单分枝点及孤立中心点
第四章 Z2-对称性的双参数非线性方程
§4.1 引言
§4.2 Z2-对称四阶奇异点
§4.3 Z2-Takens-Bogdanov点
§4.4 双重奇异点
第五章 带O（2）-对称性的方程的分枝
§5.1 O（2）-对称性
§5.2 平凡解曲线上的Hopf分枝
§5.3 从非平凡解分枝出的行波解
§5.4 从行波解分枝出的拟行波解
§5.5 三维奇异点处的分枝
§5.6 无限维情形
（三）主要参考资料
《解非线性分枝问题的扩展方程方法》，吴微，科学出版社, 1993年版。
（四）任课教师：郭谦
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试（开卷或论文）
☆ 生物数学引论
（一）教学目的和要求
本课程旨在介绍生物学科中产生的一些与方程有关的重要数学模型的建立、模型分析等方面的研究课题。 通过本课程的学习，使学生了解相关生物数学研究中的相关背景知识及其数学理论和方法。
第一章 单种群动力系统
§1.1一阶线性与非线性离散时间模型
§1.2 微分方程模型
§1.3 演化
§1.4 捕食
§1.5 复合种群
§1.6 时滞的作用
第二章 具有相互作用的种群系统的动力学
§2.1 Host—Parasitoid模型的相互作用
§2.2 Lotka-Volterra食饵-捕食者模型方程
§2.3 生态系统建模
§2.4复合种群的相互作用
第三章 传染病模型
§3.1 简单流行病及SIS疾病模型
§3.2 SIR流行病
§3.3 SIR特有现象
§3.4 疾病的根除与控制
§3.5 具有年龄结构的种群动力学
第四章 生物运动
§4.1 运动的宏观理论：连续方法
§4.2 定向运动
§4.3 稳态方程与转迁时间
§4.4 生物侵润
§4.5 一般反应扩散方程的行波解
第五章 模式形成
§5.1 图灵不稳定性
§5.2 图灵分歧
§5.3 活化-抑制系统
第六章 肿瘤模型
§6.1 现象学模型
§6.2 扩散受限阶段
§6.3 自由边值问题
§6.4 生长的促进与抑制因素
§6.5 血管化
§6.6 转移
§6.7 免疫相应
（三）主要参考资料
《Essential Mathematical Biology》, Nicholas Ferris Britton, Springer-Verlag，New York， 2003.
《Mathematical biology I: an introduction》, J.D.Murray, Springer-Verlag，2003.
《Mathematical Models In Biology》, 6th Edition, Leah Eldestein-Keshet, Society for Industrial & Applied; 2005
（四）任课教师：郭谦
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试（开卷或论文）
☆ 泛函微分方程引论
（一）教学目的和要求
本课程介绍泛函微分方程的基本理论和和最新研究方向。通过对本课程的学习，掌握有关泛函微分方程的基本概念、基本理论、解映射特性、稳定性理论以及整体理论等，为进行数值计算方法研究提供理论基础，同时培养研究生的逻辑推理能力。
（二）基本教学内容
第一章 线性微分方程
§1.1 定义
§1.2 解的指数估计
§1.3 特征方程
§1.4 基本解
§1.5 常数变易法
§1.6 中立型方程
第二章 泛函微分方程基本理论
§2.1 定义
§2.2 存在性、唯一性、连续依赖性
§2.3 解的延拓
§2.4 可微性
§2.5 向后延拓
第三章 解映射的性质
§3.1 有限与无限维问题
§3.2 解的等价类
§3.3 值域
第四章 稳定性
§4.1 定义
§4.2 Lyapunov泛函方法
§4.3 自治系统Lyapunov泛函方法
§4.4 Razumikhin定理
第五章 一般线性系统
§5.1 预解式与指数估计
§5.2 常数变易法
§5.3 伴随方程
§5.4 边值问题
§5.5 稳定性与有界性
第六章 线性自治方程
§6.1 强连续半群
§6.2 生成元的谱
§6.3 特征矩阵与等价性
§6.4 广义特征空间
§6.5 相空间的分解
§6.6 谱分解
（三）主要参考资料
《Theory of Functional Differential Equations》, J. Hale, 世界图书出版社，2003。
（四）任课教师：孙乐平等
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试（开卷或论文）
☆ Hamilton系统的计算方法
（一）教学目的和要求
本课程主要介绍求解Hamilton系统的数值方法。通过本课程的学习，为学习保结构算法和开展进一步的研究工作作好准备。
（二）基本教学内容
第一章 Hamilton系统
§1.1 Hamilton系统的定义
§1.2 Hamilton系统的一些例子
第二章 辛结构
§2.1 解算子
§2.2 保面积性质
§2.3 辛变换
§2.4 保体积性质
第三章 数值方法
§3.1 数值积分
§3.2 刚性问题
§3.3 Runge-Kutta方法
§3.4 分块Runge-Kutta方法
§3.5 Runge-Kutta-Nystrom方法
§3.6 合成方法
第四章 阶条件
§4.1 Runge-Kutta方法的阶及其局部误差
§4.2 分块Runge-Kutta方法的阶及其局部误差
§4.3 Runge-Kutta-Nystrom方法的阶及其局部误差
第五章 数值实现
§5.1 变步长方法
§5.2 嵌入对
§5.3 隐式方法的实现
§5.4 一些数值例子
第六章 辛格式
§6.1 辛方法定义
§6.2 辛Runge-Kutta方法
§6.3 辛Runge-Kutta-Nystrom方法
§6.4 辛格式的必要条件
第七章 辛方法的阶条件
§7.1 辛Runge-Kutta方法的阶
§7.2 辛分块Runge-Kutta方法的阶
§7.3 辛Runge-Kutta-Nystrom方法的阶
§7.4 阶条件的齐次形式
第八章 辛方法实例
§8.1 Gauss方法的辛结构
§8.2 对角隐式Runge-Kutta方法
§8.3 其他辛Runge-Kutta方法
§8.4 显式分块Runge-Kutta方法
§8.5 辛Runge-Kutta-Nystrom方法
（三）主要参考资料
《Numerical Hamiltonian Systems》, J. M.. Sanz-Serna, M. P. Calvo, St. Edmundsbury Press, 1994。
《Geometric Numerical Integration: Structure Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations》, E. Hairer, C. Lubich, G. Wanner, Springer, 2002。
（四）任课教师：丛玉豪
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试（开卷或论文）
☆ 应用数学中的反问题
（一）教学目的和要求
本课程旨在介绍物理、生物、医学、地质等学科领域中产生的一些重要的反问题的研究课题。 通过本课程的学习，使学生了解反问题研究中的相关背景知识及其数学理论和方法。
（二）基本教学内容
第一章 重力测量反问题
§1.1 密度问题
§1.2 Molodensky问题
§1.3 引力导航问题
第二章 电阻成像（EIT）
§2.1 微内涵物电导率的探测
§2.2 弹性介质中微型内涵物的探测
§2.3 电磁介质中微型内涵物的探测
第三章 脑电图与脑磁图影像（EEG/MEG）
§3.1 EEG 和MEG的场方程
§3.2 均匀无界介质中的场方程
§3.3 有界非均匀介质中的场方程
§3.4 正问题的数值方法
§3.5 反问题的数值方法
第四章 散射问题
§4.1 散射的正问题
§4.2 从散射图样到近场
§4.3 介质散射
§4.4 障碍物散射
第五章 积分几何与断层成像
§5.1 随机变换和它的逆
§5.2 能量积分法
§5.3 迁移方程
（三）主要参考资料
《Reconstruction of Small Inhomogeneities from Boundary Measurements》, HabibAmmari，Hyeonbae Kang， Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2004.
《Basic Mathematical and Electromagnetic Concepts of the Biomagnetic Inverse Problem》, Jukka Sarvas, Phys. Med.Biol. Vol. 32, 1987.
《Inverse Problems for Partial Differential Equations》, Victor Isakov, Springer-Verlag，New York，Inc., 1998.
（四）任课教师：彭丽
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试（开卷或论文）
培养计划表
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院（系、
所）
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数理信息
学院
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学 科、
专 业
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计算数学
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研 究
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1. 偏微分方程数值解 2. 常微分方程数值解 3. 数值代数 4. 数学物理反问题及其计算
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课程类别
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课 程
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学
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周学时
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学
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一
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二
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必
修
课
程
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学
位
公
共
课
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第一外国语
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2
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考试
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科学技术哲学
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2
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考试
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科学社会主义理论与实践
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2
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考试
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||||
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学位基础课
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泛函分析
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3
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4
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72
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4
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考试
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泛函分析续论
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3
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4
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72
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4
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|
考试
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||||
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矩阵分析
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3
|
4
|
72
|
4
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考试
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||||
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数值分析
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3
|
4
|
72
|
|
4
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|
考试
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||||
|
数学物理方程
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3
|
4
|
72
|
4
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|
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|
考试
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||||
|
微分方程数值解
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3
|
4
|
72
|
|
4
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|
考试
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||||
|
学位专业课
|
专业外语
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2
|
3
|
54
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3
|
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|
考试
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|||
|
有限元方法
|
3
|
4
|
72
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|
4
|
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|
考试
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||||
|
谱方法
|
3
|
4
|
72
|
|
|
4
|
|
|
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|
考试
|
||||
|
谱方法续论
|
3
|
4
|
72
|
|
|
|
4
|
|
|
|
考试
|
||||
|
常微分方程数值解
|
3
|
4
|
72
|
|
4
|
|
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|
考试
|
||||
|
常微分方程数值动力系统
|
3
|
4
|
72
|
|
|
4
|
|
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|
|
考试
|
||||
|
常微分方程数值动力系统续论
|
3
|
4
|
72
|
|
|
|
4
|
|
|
|
考试
|
||||
|
滞时微分方程数值解
|
3
|
4
|
72
|
|
|
|
4
|
|
|
|
考试
|
||||
|
分歧理论及计算
|
3
|
4
|
72
|
|
|
4
|
|
|
|
|
考试
|
||||
|
对称破缺分歧理论
|
3
|
4
|
72
|
|
|
|
4
|
|
|
|
考试
|
||||
|
矩阵扰动分析
|
3
|
4
|
72
|
|
|
4
|
|
|
|
|
考试
|
||||
|
广义逆矩阵理论及计算
|
3
|
4
|
72
|
|
|
|
4
|
|
|
|
考试
|
||||
|
偏微分方程反问题及其数值解法
|
3
|
4
|
72
|
|
|
4
|
|
|
|
|
考试
|
||||
|
数学物理中的不适定问题
|
3
|
4
|
72
|
|
|
|
4
|
|
|
|
考试
|
||||
|
选
修
课
程
|
英语口语
|
2
|
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|
考试
|
|||
|
计算机基础
|
2
|
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|
|
|
考试
|
||||
|
Sobolev 空间
|
2
|
3
|
54
|
|
3
|
|
|
|
|
|
考试
|
||||
|
扩张系统方法
|
2
|
3
|
54
|
|
|
|
3
|
|
|
|
考试
|
||||
|
生物数学引论
|
2
|
3
|
54
|
|
|
|
3
|
|
|
|
考试
|
||||
|
泛函微分方程引论
|
2
|
3
|
54
|
|
|
3
|
|
|
|
|
考试
|
||||
|
Hamilton系统的计算方法
|
2
|
3
|
54
|
|
|
|
3
|
|
|
|
考试
|
||||
|
应用数学中的反问题
|
2
|
3
|
54
|
|
|
|
3
|
|
|
|
考试
|
||||
|
论文选读
|
2
|
3
|
54
|
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|
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|
考试
|
||||
|
讨论班
|
2
|
3
|
54
|
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|
考试
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||||
|
其他
培养
环节
名称
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学术讲座与文献研讨
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√
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|
考查
|
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√
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|
评审
|
|||||
|
论文写作与答辩
|
|
|
|
|
|
|
|
√
|
√
|
|
答辩
|
||||
|
同等学力者补修课程
|
|
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|||
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||||
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