基础数学
Pure Mathematics
（070101）
● 培养方案
（一）培养目标和要求
1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、硕士应达到的要求：
(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。
(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。
(3)具有强烈的责任心和敬业精神。
(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。
(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
5、本专业主要学习分析和拓扑（泛函分析、Banach空间几何理论、线性拓扑空间、拓扑度理论），代数（基础代数、C*-代数、交换代数），方程（常微分方程、泛函微分方程、偏微分方程）和图论、组合论等方面的数学基础知识，为高等院校、中学及相关领域培养合格的专门人才。
1、 泛函分析 Functional Analysis
导师：曾六川教授，徐本龙教授，许庆祥教授，孙彦副教授
2、 组合数学 Combinatorial Mathematics
导师：王军教授、唐明元副教授
3、 代数学Algebra
导师：周才军教授、王宇教授
4、 常微分方程 Ordinary Differential Equation
导师：韩茂安教授
研究方向介绍：
泛函分析方向：主要研究无限维空间中的算子族不动点及其渐近行为，无限维变分不等式与向量最优化；Toeplitz算子代数，算子广义逆；半线性和拟线性椭圆方程的解，传染病模型，奇异非线性微分方程解的存在性，解的确切个数；脉冲微分方程整体解的存在性，极值解的存在性，及单调迭代解，微分-积分方程解的存在性等。主持国家自然科学基金项目3项，参加国家自然科学基金项目2项；主持教育部高等学校优秀青年教师教学与科研奖励基金项目1项，以及博士点专项基金项目1项；主持上海市科委“曙光”基金项目和自然科学基金项目各1项；主持上海市教委项目多项。最近5年，在各类SCI杂志上发表文章40多篇。
代数学方向：主要研究交换代数和超代数上映射理论的研究。在交换代数方面，主要用同调方法研究交换代数的一些重要问题，所得的研究成果发表在J. Algebra, Trans. AMS 等重要杂志上，在研的科研项目有国家自然科学基金和上海市教委创新项目等。在超代数上映射理论的研究方面，主要用代数学方法研究结合环上的导子、自同构及其相关映射。近几年，开展了环上函数恒等式这一新兴领域的研究。主要结果已发表在Communication in Algebra，Algebra Colloquium，Quarterly Journal of Mathematics，Math of Japanica，India Pure and Appl. Math，J of Taiwanese Math.，Acta Mathematica Sinica等杂志上。
组合学方向：主要研究有限集及有限偏序集上的组合学、字上的组合等，已在各类SCI/SCI杂志上发表文章60多篇，其中主要结果发表在Ann. Combin.，J. Combin. Theory A, SIAM J. Disc. Math., Euro. J. Combin., Adv. Appl. Math.等本领域著名的国际杂志上。三次参加国家自然科学基金重点项目；作为负责人完成国家自然科学基金面上项目、两个基地项目等三项，省部级项目4项。近几年还研究组合数学在生物信息学中的应用，在J. Chem. Inf. Comp., J. Theor. Bio. Math. Bio.等杂志上发表论文20余篇，并被引用上百次。
微分方程方向：主要研究领域是微分方程定性理论、动力系统分支理论、常微分方程与时滞微分方程的周期解及奇摄动系统几何方法。在极限环的存在性及其个数、Hopf分支、Poincare分支、同宿异宿分支、亚调和解与不变环面的分支及高维系统周期解的局部与非局部分支等方面获得一系列有重要学术价值的研究成果，建立了系统完整、特色突出的一般理论与方法。主要研究论文发表在《J.Diff. Equs》、《Intern. J. Bifurcations and Chaos》、《Disc. Cont. Dynamical Systems》、《Sciences in China》等重要刊物上。作为负责人主持完成了5项国家自然科学基金项目，曾主持上海市曙光计划项目、上海市曙光跟踪项目、上海市优秀学科带头人计划项目、上海市人才发展基金项目等，并入选2004年度教育部新世纪优秀人才培养计划；有6项研究成果获得省部级科技进步奖，其中作为第一完成人完成的研究成果“非线性动力系统的全局理论及其应用”与“非线性系统动力学研究”分别获得2002年度教育部科技进步奖一等奖和2006年度上海市自然科学奖二等奖。2007年获得上海市育才奖。
（三）学制
三年（特殊情况下可以适当延长或缩短）
（四）课程设置与学分要求
1、必修课程：
（1）学位公共课程：
科学社会主义理论与实践Theory and Practice of Scientific Socialism （2学分）
自然辩证法 Dialectics of Nature （2学分）
第一外国语 First Foreign Language （2学分）
（2）学位基础课：（每门课程3学分）
泛函分析 Functional Analysis
泛函分析续论 Functional Analysis（Advanced）
拓扑学 Topology
基础代数学 Basic Algebra
数学物理方程 Equations of Mathematical Physics
概率与测度 Probability and Measure
（3）学位专业课：（除专业外语外，每门课程3学分）
专业外语 Specialized Foreign Language （2学分）
线性拓扑空间理论 Linear Topological Space
Banach空间几何理论 Geometry Theory on Banach Space
偏微分方程的近代方法 Modern Methods of Partial Differential Equations
二阶椭圆偏微分方程 Elliptic Partial Differential Equations of Second Order
C*-代数I C*-algebra I
Hilbert C*-模 Hilbert C*-module
非线性泛函分析 Nonlinear Functional Analysis
抽象空间微分方程 Differential Equation in Abstract Space
图论 Graph theory
组合分析 Enumerative Combinatorics
交换代数I Commutative Algebra I
交换代数II Commutative Algebra II
常微分方程（定性与稳定性理论）Ordinary Differential Equations
离散动力系统 Discrete Dynamical Systems
泛函微分方程 Functional Differential Equations
【注】专业外语为必选课程。每个学生根据不同研究方向还需选择其他两门或两门以上的课程。
2、选修课程：
（1）公共选修课
英语口语（2学分）
计算机基础（2学分）
（2）专业选修课 （每门课程2学分）
Banac空间中的非线性逼近理论 Nonlinear Approximate Theory on Banach Space
不动点理论 Fixed Point Theory
变分方法及其在偏微分方程中的应用 Variational Methods and Applications to Partial Differential Equations
非线性偏微分方程选讲 Topics of Nonlinear Partial Differential Equations
C*-代数 II C*-algebra II
算子代数K-理论 K-theory for Operator Algebra
非线性积分方程 Nonlinear Integral Equation
非线性微分方程的泛函方法 Functional Method in Nonlinear ODE
自补图理论 Self-Complementary Graph Theory
同调代数 Homological Algebra
代数拓扑 Algebraic Topology
极限环分支理论 Bifurcation Theory of Limit Cycles
无穷维动力系统 Infinite-Dimensional Dynamical Systems
微分方程边值问题I Boundary Value Problems of Differential Equations
【注】每个学生根据不同研究方向需选择两门或两门以上的课程。
（3）讨论班与论文选读 （是否开课由导师决定）
【注】学生可根据导师安排选修其他相关学科的课程，并按专业选修课计算学分。
（五）培养方式与考核方式
学位基础课和学位专业课以教师讲授为主，少数内容可以在教师指导下由学生轮流报告。专业选修课采用教师讲授与学生报告相结合的方法，以学生报告为主，逐步减少教师的讲授内容。从二年级开始，根据各研究方向，学生在导师指导下查阅和报告有关文献，开展专题讨论，在此基础上形成毕业论文题目，并围绕该题目进行研究，最后完成毕业论文，进一步提高学生科研能力和创新意识。
课程考核分考试与考查两种方式，可采用笔试/口试、闭卷/开卷、撰写论文、完成项目等形式进行。必修课程原则上都要进行笔试。
研究生课程的成绩由平时成绩和期末考试成绩综合评定。考试成绩采用百分制记录，也可以分优（90分-100分）、良（80分-89分）、中（70分-79分）、及格（60分-69分）、不及格五等；考查成绩以合格、不合格记。
撰写论文，以优、良、中、及格、不及格五级计算成绩。
1、研究生在撰写论文之前，必须经过认真的调查研究，阅读大量的文献资料，了解本人主攻方向的历史和现状，在此基础上酝酿学位论文选题。
2、第四学期末，在导师指导下确定选题，写出开题报告，并经教研室有关专家论证。开题报告需包含：论题；论文的基本构思或大纲；论题的学术意义和现实意义；已阅读过的和准备阅读的资料；疑点和难点等。
3、论文的选题和内容应具有一定理论价值和应用价值，有一定的创意和前沿性。
4、论文送审与答辩
（1）论文送审，硕士学位论文至少校内外各1位具有副教授及以上职称专家评阅：如果参加盲检，论文还需各聘请1名校内与校外专家评阅；否则，只需请1名校内专家评阅（由学位点安排）。第六学期中期（3月中旬-4月初）经导师同意由研究生登陆指定网站查看自己是否参加盲审。
（2）盲审结束后无异议则进入答辩阶段（每年的5月下旬进行）。
（3）答辩委员会由3-5名与选题有关的教授（或研究员）、副教授（或副研究员）组成。答辩委员会推举一名答辩主席，答辩人的导师和副导师不能担任答辩主席。答辩后由答辩委员会投票表决，答辩主席在答辩决议书上签字。
5、学位授予
论文在获三分之二（或以上）答辩委员通过后，答辩委员会可建议授予答辩人所申请的学位。
☆ 泛函分析
（一）教学目的和要求
泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支，泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹及应用数学物理，力学和现代工程理论的许多分支，本课程系统介绍泛函分析的一些基本概念和方法，是为各专业硕士研究生开设的学位基础课。
（二）基本教学内容
第一章 线性泛函分析基础
§1.1 拓扑空间
§1.2 拓扑线性空间
§1.3 紧性
§1.4 Hahn-Banach定理及其几何形式
§1.5 线性算子的基本定理
第二章 谱论I：Banach空间上的紧算子及Fredholm算子
§2.1 Banach代数中元素的谱
§2.2 线性算子的谱
§2.3 紧算子
§2.4 Fredholm算子
第三章 谱论II: Hilbert空间上的正规算子
§3.1 Banach代数的Gelfand表示
§3.2 C*-代数
§3.3 谱测度和谱积分
§3.4 Hilbert空间上的正规算子的谱分解
第四章 无界算子
§4.1 对称算子和自伴算子
§4.2 对称算子的自伴扩张
§4.3 自伴算子的扰动
（三）主要参考资料
《泛函分析教程》（第一章到第四章），童裕孙编著，复旦大学出版社，2004年
（四）任课教师：
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 泛函分析续论
（一）教学目的和要求
泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支，它的概念和方法已渗透到现代纯粹及应用数学物理，力学和现代工程理论的许多分支。本课程为《泛函分析》的继续，将系统介绍泛函分析在算子半群、无穷维空间的微分学和拓扑度等方面的应用，是为本专业硕士研究生开设的学位基础课。
（二）基本教学内容
第一章 算子半群
§1.1 向量值函数
§1.2 Bochner积分和Pettis积分
§1.3 算子半群的概念
§1.4 C0-类算子半群的表示
§1.5 无穷小母元的特征
§1.6 单参数酉算子半群、Stone定理
§1.7 遍历定理
第二章 无穷维空间的微分学
§2.1 影射的微分
§2.2 隐函数定理
§2.3 极值泛函
第三章 拓扑度
§3.1 Brouwer度
§3.2 Leray-Schauder度的定义
§3.3 不动点定理及其应用
（三）主要参考资料
《泛函分析教程》（第五章到第七章），童裕孙编著，复旦大学出版社，2004年
（四）任课教师：
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 拓扑学
（一）教学目的和要求
介绍拓扑空间的基础知识，包括拓扑结构，连通性，连续映像，拓扑空间的各种分离性，全正则拓扑空间，紧性，距离空间，拓扑空间距离化问题等。
（二）基本教学内容
第一章 各种一般拓扑空间
§1.1 邻域与收敛，开集与闭集
§1.2 连续映照，同胚性，拓扑结构精粗的比较，子空间
§1.3 分离性公理（T0）（T1）（T2）
§1.4 第一和第二可数性公理
§1.5 连通性
第二章 连续函数与全正则空间
§2.1 函数分离性
§2.2 （T3）分离性，正则空间
§2.3 全正则空间
§2.4 正规空间
§2.5 全正规空间与完正规空间
第三章 紧性
§3.1 紧空间
§3.2 局部紧空间
§3.3 列紧空间与局部列紧空间
§3.4 仿紧空间
§3.5 紧致化问题
（三）主要参考资料
1.《点集拓扑讲义》（第二版），熊金城，高等教育出版社，2000年
2.《拓扑空间概论》，关肇直，科学出版社，1960年
（四）任课教师：
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 基础代数
（一）教学目的和要求
熟悉群、环、域的基本知识，了解交换群的结构，重点是讨论模的一些基本结果，包括自由模、投射模、内射模以及链条件等。
（二）基本教学内容
第一章 群、环、域的基本知识
§1.1 同态、陪集、直和、直积，生成元与关系
§1.2 自由Alel群，有限生成Alel群
§1.3 群在集合上的作用
§1.4 分式环和局部化
§1.5 有限域扩张
第二章 模的基本知识和基本结果
§2.1 模同态和正合序列
§2.2 自由模和向量空间
§2.3 投射模和内射模
§2.4 Hom和对偶性
§2.5 张量积
§2.6 主理想整环上的模
第三章 交换环
§3.1 链条件
§3.2 素理想和准素理想
§3.3 Noether环和Nother模
§3.4 环的扩张
第四章 范畴理论
§4.1 函子和自然变换
§4.2 伴随函子
§4.3 态射
§4.4 积、余积和自由对象
（三）主要参考资料
《代数学》，Hunphrys，冯克勤译。
（四）任课教师：
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 概率与测度
（一）教学目的和要求
本课程主要是在初等概率论的基础上进一步的提高，以测度为基础严格概率论的理论。将测度论与概率论融为一体，应用测度论来严格处理大学概率论基础课中所没有讲清楚的问题，要求学生掌握测度论中的主要结果，并能熟练地运用到概率论中。熟记近代概率论的基本概念，工具及性质，定理的论证。
（二）基本教学内容
第一章 集类, 测度和概率
§1.1 集合
§1.2 可测空间
§1.3 乘积空间
§1.4 可测变换
§1.5 可加集函数
§1.6 概率空间
§1.7 导出测度
第二章 独立性
§2.1 独立性
§2.2 Borel-Cantelli 定理
§2.3 Kolmogogov 0-1律
§2.4 以概率收敛
§2.5 几乎处处收敛
§2.6 独立和
§2.7 随机变量
第三章 概率空间中的积分
§3.1 定义
§3.2 积分的基本性质
§3.3 单调收敛定理
§3.4 不定积分
§3.5 一致可积性
§3.6 平均收敛
§3.7 Schwarz 不等式
第四章 独立随机变量的和
§4.1 三个定理
§4.2 大数定律
§4.3 停止时间
§4.4 Wald方程
§4.5 最优停止
第五章 测度拓展
§5.1测度拓展
§5.2 Lebesgue-Stieltejes 测度
§5.3 测度空间中的积分
§5.4 乘积测度
§5.5 Fubini定理
§5.6 n维 Lebesgue-Steltjes测度
§5.7 无穷维乘积测度空间
§5.8 绝对连续测度
§5.9 Radon-Nikodym 定理
第六章 条件期望与鞅
§6.1 条件期望
§6.2 鞅
（三）主要参考资料
《Probability Theory》, Yuan Shih Chow, Springer-Verlag New York,1988.
《概率论基础》，严士健，科学出版社，1982。
（四）任课教师：张晓云
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：闭卷
☆线性拓扑空间理论
（一）教学目的和要求
线性拓扑空间是现代数学的重要基础之一，它综合地运用了代数，拓扑，几何的观点和方法研究分析中最常用的空间的性质，本课程系统地介绍了线性拓扑空间的基本概念和方法，以帮助学生尽快地了解和掌握线性拓扑空间的最基本的内容。
（二）基本教学内容
第一章 线性拓扑空间
§1.1 定义
§1.2 一些基本性质
§1.3 向量拓扑局部基的构造
§1.4 有界集
§1.5 完备性
§1.6 商拓扑和拓扑积
§1.7 线性连续泛函
§1.8 线性距离空间
§1.9 凸集，Minkowski泛函和局部凸的概念
§1.10 完全有界集和有限维TVS
第二章 局部凸线性拓扑空间
§2.1 局部凸TVS
§2.2 赋可列拟范空间
§2.3 Hahn-Banach定理和凸集的分离性定理
§2.4 共轭空间和弱拓扑
§2.5 凸集的端点和Креǔн-Мильман定理
第三章 对偶性
§3.1 线性拓扑空间的对偶和相容拓扑
§3.2 极
§3.3 一致收敛拓扑
§3.4 可允许拓扑
§3.5 Mackey-Arens定理
§3.6 各种不同的拓扑
§3.7 自完备集和Banach-Mackey定理
§3.8 Grothendieck完备性定理
§3.9 局部凸空间类
（三）主要参考资料
《线性拓扑空间引论》，夏道行、杨亚立，上海科技出版社,1986年
（四）任课教师：曾六川
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆Banach空间几何理论
（一）教学目的和要求
Banach空间几何理论是现代数学的重要基础之一．通过学习，要求掌握Banach空间几何理论中的基本概念，一些常用的几何结构与性质，能够对Banach空间几何理论有一个比较全面系统的了解，为进一步在该领域的学习、研究和发展打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 Banach空间中几种常用拓扑
§1.1 Banach空间中的弱拓扑与中的弱拓扑
§1.2 共轭空间中的有界弱拓扑
§1.3 Banach空间中弱紧集的构造
第二章 Banach空间基的初步理论
§2.1 Schauder基
§2.2 有界完备基与收缩基
§2.3 无条件基
§2.4 逼近性质
第三章 Bishop-Phelps定理，Krein-Milman定理及Choquet定理
§3.1 Bishop-Phelps定理
§3.2 Krein-Milman定理
§3.3 Choquet定理
第四章 自反的Banach空间
§4.1 关于商空间的几个定理
§4.2 自反空间的判定定理
§4.3 自反空间的性质
§4.4 亚自反Banach空间和超自反Banach空间
第五章 凸性、光滑性及范数可微性
§5.1 凸性、光滑性及范数可微性的定义
§5.2 凸性、光滑性及范数可微性的各种关系
§5.3 赋等价范数改进凸性、光滑性及范数可微性
第六章 凸函数的微分
§6.1 凸函数及其微分
§6.2 Asplund空间
§6.3 某些应用
附录：可分Banach空间不具Schauder基的例子
（三）主要参考资料
《Banach空间几何理论》，俞鑫泰，上海科技出版社, 1986年
（四）任课教师：曾六川
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆Banach空间中的非线性逼近理论
（一）教学目的和要求
要求掌握Banach空间中的非线性逼近理论中的基本概念、基本理论和一些常用的技巧。能够对非线性逼近理论有一个比较全面系统的了解。为进一步在该领域的学习、研究和发展打下扎实的基础，了解Banach空间中非线性逼近领域中最新发展成果。
（二）基本教学内容
第一章 Banach空间理论基础
§1.1 弱拓扑与自反特征
§1.2 凸性与光滑性
§1.3 向量值函数空间
§1.4 线性逼近的基本定理
第二章 非线性逼近的特征理论
§2.1 太阳集及其性质
§2.2 Kolmogorov条件与正则集
§2.3 Papini特征定理
§2.4 中的太阳集与交错类
第三章 非线性逼近的存在性理论
§3.1 逼近紧性与存在性
§3.2 距离函数的可导性与最佳逼近的存在性
§3.3 某些函数类逼近的存在性
第四章 非线性逼近的唯一性理论
§4.1 最佳逼近的唯一性
§4.2 最佳逼近的强唯一性
§4.3 最佳逼近的广义强唯一性
第五章 非线性强增生算子方程解的逼近
§5.1 强增生算子及其等价定义
§5.2 Mann与Ishikawa迭代法的定义
§5.3 一致光滑Banach空间中的特征不等式
§5.4 迭代序列的收敛性
第六章 一类强增生型变分包含解的逼近
§6.1 变分包含问题的提出
§6.2 强增生型变分包含问题及其等价问题
§6.3 解的算法构造与相关命题
§6.4 迭代序列的收敛性
（三）主要参考资料
1.《Banach空间中的非线性逼近理论》，徐士英，李冲，杨文善，科学出版社,1998年
2. 《Banach空间中非线性算子方程的迭代方法(英文版)》，张石生，赵烈济(韩)，周海云, Nova Science Publishers, Inc., Huntington, New York, 2001年
（四）任课教师：曾六川
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ 不动点理论
（一）教学目的和要求
要求掌握不动点理论中的基本概念，基本理论和一些常用的方法。能够对不动点理论有一个比较全面系统的了解。为进一步在该领域的学习、研究和发展打下扎实的基础，并初步了解不动点理论中一些最新发展成果。
（二）基本教学内容
第一章 压缩映象原理
§1.1 完备距离空间中压缩映象原理
§1.2 压缩映象的推广
§1.3 迭代逼近
§1.4 压缩映象原理的应用
第二章 Brouwer不动点定理
§2.1 不动点性质
§2.2 Brouwer不动点定理及其等价形式
§2.3 Brouwer定理的Robbins补充
§2.4 Brouwer定理的初等证明
§2.5 Brouwer不动点定理的应用
第三章 Schauder不动点定理及其推广
§3.1 Schauder不动点定理
§3.2 Schauder不动点定理的Darbo推广
§3.3 Krasnoselskii定理，Rothe定理与Altman定理
§3.4 Schauder定理与Tychonoff定理的Browder与Fan的推广
§3.5 一些应用
第四章 非扩张映象及其相关映象类的不动点定理
§4.1 非扩张映象
§4.2 非扩张映象的延拓
§4.3 非扩张映象的一般性质
§4.4 几类Banach空间上的非扩张映象
§4.5 与非扩张映象相关的映象类
§4.6 非扩张映象不动点的计算
第五章 映象列与不动点
§5.1 压缩映象或相关映象的不动点的收敛性
§5.2 映象列与非紧性测度
第六章 映象族与不动点
§6.1 Markov与Kakutani的结果
§6.2 Ryll-Nardzewski不动点定理
§6.3 非扩张映象族的不动点
§6.4 半群上不变均值与映象族的不动点
第七章 不动点与集值映象
§6.1 Pompeiu-Hausdorff距离
§6.2 Ryll-Nardzewski不动点定理
§6.3 集值映象的连续性
§6.4 几类集值映象的不动点定理
§6.5 集值压缩映象
§6.6 集值映象列与不动点
（三）主要参考资料
1. 《Fixed Point Theory: An Introduction》，Vasile I. Istratescu，D. Reidel Publishing Company 1981年版。
2. 《不动点理论及应用》，张石生，重庆出版社1984年版。
（四）任课教师：曾六川
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆偏微分方程的近代方法
（一）教学目的和要求
主要介绍Sobolev空间理论, 二阶椭圆方程,抛物方程和双曲方程的弱解理论。本课程是现代偏微分方程的入门课程，要求学生能准确理解Sobelve空间和弱解等基本概念，理解和掌握主要定理及相关技巧.
（二）基本教学内容
第一章 Sobolev空间
§1.1 空间
§1.2 Sobolev空间
§1.3 逼近定理
§1.4 延拓定理
§1.5 迹定理
§1.6 Soblev不等式（嵌入定理）
§1.7 紧性
§1.8 其它相关问题
第二章 二阶椭圆型方程
§2.1 椭圆型方程边值问题的弱解
§2.2 椭圆型方程边值问题的可解性
§2.3 解的正则性
§2.4 特征值问题
第三章 线性发展方程
§3.1 二阶抛物型方程
§3.2 二阶双曲型方程
§3.3 算子半群理论及应用
（三）主要参考资料
1. 《Partial Differential Equations》，Part 2，E. Evance，American MathematicalSociety, Providence, Rhode Island, 1998
2. 《现代偏微分方程导论》，陈恕行，科学出版社，2005.
（四）任课教师：徐本龙
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆二阶椭圆偏微分方程
（一）教学目的和要求
介绍二阶椭圆方程最大值原理，各种先验估计，Schauder理论，弱解和粘性解理论.
（二） 基本教学内容
第一章 调和函数
§1.1 平均值性质
§1.2 基本解
§1.3 最大值原理, 能量方法
第二章 最大值原理
§2.1 强最大值原理
§2.2 先验估计
§2.3 梯度估计
§2.4 Alexandroff最大值原理
§2.5 移动平面方法、
第三章 Schauder理论简介
第四章 弱解，Part I
§3.1 局部积分
§3.2 解的连续性
§3.3 梯度的连续性
第五章 弱解，Part II
§４.1 局部有界性
§４.2 连续性
§４.３ Moser’s Harnack不等式
§４.4 非线性方程
第六章 粘性解
§４.1 Alexandroff最大值原理
§４.2 Harnack不等式，Schauder估计
§４.３ 估计
（三）主要参考资料
1.《Elliptic Partial Differential Equations》，Qing Han & Fanghua Lin, American Mathematical Society，Courant Institute of Mathematical Science, 1997。
2. 《Elliptic Partial Differential Equations of Second Orde》， Gilbarg, D., and Trudinger, N.S., Springer-Verlage, New York, 1991.
3. 《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》， 陈亚浙，吴兰成，科学出版社，1991.
（四）任课教师：徐本龙
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆变分方法及其在偏微分方程中的应用
（一）教学目的和要求
介绍直接变分法，极小极大（Minimax）方法，以及在Palais-Smale条件极限情形下
的变分方法，了解变分方法在偏微分方程中研究中的应用。
（二）基本教学内容
第一章 直接变分法
§1.1 下半连续性
§1.2 约束
§1.3 补偿紧性
§1.4 集中紧性
§1.5 Ekland变分原理
第二章 极小极大方法
§2.1 Palais-Smale条件
§2.2 一般形变引理
§2.3 极小极大原理
§2.4 指标理论
§2.5 山路引理
§2.6 摄动理论
§2.7 环绕
§2.8 山路型临界点
§2.9 凸集上的Ljusternik-Schnirelman理论
第三章 Palais-Smale条件的极限情形
§3.1 Pohozaev 不存在结果
§3.2 Brezis-Nirenberg结果
§3.3 拓扑结构对解的存在性的影响
§3.4 Yamabe问题
§3.5 常平均曲率方程的Dirichlet问题
（三）主要参考资料
1.《Variational Methods》，M. Struwe，Springer-Verlag，1996.
2.《微分方程中的变分方法》，陆文端，科学出版社，2003.
（四）任课教师：徐本龙
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆非线性偏微分方程选讲
（一）教学目的和要求
为使学生能顺利阅读数学文献, 并进入研究前沿, 介绍或加深非线性偏微分方程现代研究中的一些常用知识和方法, 了解非线性偏微分方程研究的一些最新进展.
（二）基本教学内容
第一章 Krein-Rutman定理和主特征值问题
§1.1 序Banach空间和Krein-Rutman定理
§2.2 椭圆方程的主特征值问题
第二章 再论最大值原理
§2.1 最大值原理的等价形式
§2.2 中的最大值原理
第三章 移动平面法
§3.1 有界区域上的对称性
§3.2 全空间上的对称性
§3.3 非负解的正性
第四章 上下解方法
§4.1 经典上下解
§4.2 弱上下解
第五章 边界爆破问题
§5.1 Keller-Osserman结果及推广
§5.2 爆破速率和唯一性
§5.3 加权的Logistics方程
第六章 对称性和Liouville型结果
§6.1 半空间上的对称性
§6.2 全空间上的偏对称性
§6.3 一些Liouville定理
第七章 拓扑度和分歧理论
§7.1 拓扑度理论简介
§7.2 拓扑度理论在PDE中的应用
§7.3 分歧理论及应用
第八章 半线性方程的解的确切个数和分歧结构
§8.1 Time-Map方法和分歧方法
§8.2 一些主要结果
§8.3 一个渐进线性方程的解的确切个数
（三）主要参考资料
1. 《Order Structure and Topological Methods in Nonlinear Partial Differential Equations》，Yihong Du，World Scientific Publishing Co.，2006.
2.《On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations》，P. L. Lions，SIAM Rev. 24(1982), 441--467.
3.《Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach space》，H. Amann,，SIAM Rev. 18(1976), 620--709.
（四）任课教师：徐本龙
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考查
☆ C*-代数I
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习，使学生掌握线性拓扑空间，Banach代数，C*-代数和von Neumann代数等方面的一些基础知识和基本技能，为学习Hilbert C*-模等后继课程打好基础。
（二）基本教学内容
第一章 线性拓扑空间基础
§1.1 线性拓扑空间
§1.2 弱拓扑
§1.3 端点
§1.4 赋范线性空间
§1.5 Banach空间上的有界线性算子
§1.6 Hilbert空间上的有界线性算子
第二章 Banach代数
§2.1 Banach代数中的元素的谱
§2.2 全纯函数演算
§2.3 Banach代数
第三章 抽象C*-代数初步
§3.1 谱理论
§3.2 具体例子
§3.3 C*-代数中的正元
§3.4 C*-代数中的近似单位
§3.5 可传代数，理想和商
第四章 von Neumann代数初步
§4.1 弱算子和强算子拓扑
§4.2 自共轭算子和正规算子的谱理论
§4.3 两个基本的逼近定理
§4.4 不可约代数及其应用
§4.5 投影技巧与构造
（三）主要参考资料
1. 《Fundamentals of the theory of operator algebras》(Volume I), R. Kadison
and R. Ringrose, Academic Press, 1983
2. 《C*-algebras and their automorphism groups》，G. Pedersen, Academic Press, 1979
（四）任课教师：许庆祥
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ C*-代数II
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习，使学生掌握C*-代数方面的一些专门知识，为学习算子代数K-理论等后继课程打好基础。
（二）基本教学内容
第一章 具体C*-代数
§1.1 B（Ｈ）中的拓扑
§1.2 von Neumann 代数中的双交换定理
§1.3 Kaplansky稠密性定理
§1.4 上－下定理
§1.5 正规同态和理想
§1.6 中心覆盖
§1.7 推广的Lusin定理
§1.8 最大交换子代数
第二章 泛函与表示
§2.1 正泛函
§2.2 Jordan 分解
§2.3 G-N-S构造
§2.4 交换von Neumann代数
§2.5 Ｂ(Ｈ)中的－弱拓扑
§2.6 正规泛函
§2.7 万有表示
§2.8 包络von Neumann代数
§2.9 抽象von Neumann代数
§2.10 Kadison 函数表示
§2.11 半-连续
§2.12 乘子
§2.13 纯态和不可约表示
第三章 分解理论
§3.1 C*-代数的谱
§3.2 Polish空间
§3.3 谱和纯态
§3.4 Weights 和 迹
（三）主要参考资料
《C*-algebras and their automorphism groups》，G. Pedersen, Academic Press,1979。
（四）任课教师：许庆祥
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ Hilbert C*-模
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习， 使学生掌握Hilbert C*-模的一些基本知识，了解Hilbert C*-模在拓扑分次C*-代数和算子广义逆等方面的应用。
（二）基本教学内容
第一章 模和映照
§1.1 Hilbert C*-模的定义
§1.2 几个重要例子
§1.3 可共轭算子的严格拓扑
第二章 乘子和同态
§2.1 本原理想
§2.2 乘子代数的定义
§2.3 乘子代数的几个等价命题
第三章 投影和酉元
§3.1 闭值域算子的刻划
§3.2 等距元、酉元的刻划
§3.2 等距元、酉元的刻划
第四章 张量积
§4.1 C*-代数张量积的基本性质
§4.2 Hilbert C*-模的内张量积
§4.3 Hilbert C*-模的外张量积
第五章 严格完全正映照
§5.1 KSGNS构造
§5.2 严格完全正映照的刻划
（三）主要参考资料
《Hilbert C*-modules》，E.C.Lance, Cambridge University Press, 1995
（四）任课教师：许庆祥
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 算子代数K-理论
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习，使学生掌握C*-代数的K0-群及K1-群的定义及基本性质，能计算一些特殊的C*-代数的K0-群和K1-群，并且了解K0-群和K1-群的一些应用。
（二）基本教学内容
第一章 C*-代数理论
§1.1 C*-代数和*-同态
§1.2 谱理论
§1.3 矩阵代数
第二章 投影和酉元
§2.1 酉元的同伦类
§2.2 投影的等价类
§2.3 投影半群
第三章 有单位的 C*-代数的K0-群
§3.1 K0-群的定义
§3.2 K0-群的函子
第四章 函子K0
§4.1 函子的定义
§4.2 K0（）的结构
§4.3 的半正合性及稳定性
第五章 C*-代数的归纳极限
§5.1 C*-代数的归纳极限的定义
§5.2 K0 的连续性
§5.3 C*-代数的稳定化
第六章 函子K1
§6.1 K1-群的定义
§6.2 函子K1
§6.3 指标映照
§6.4 Bott周期性定理
§6.5 六项循环正合序列
（四）任课教师：许庆祥
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆非线性泛函分析
（一）教学目的和要求
了解实Banach空间中的全连续算子场的Leray-Schauder度理论及其应用。
（二）基本教学内容
第一章 非线性算子
§1.1 连续性与有界性
§1.2 全连续性
§1.3 Frechet微分与Gateaux微分
§1.4 隐函数定理
第二章 拓扑度理论
§2.1 Brouwer度
§2.2 Leray-Schauder度
§2.3 不动点定理
§2.4 固有值、固有元与歧点
§2.5 严格集压缩场和凝聚场的拓扑度
§2.6 A-proper映象的广义拓扑度
第三章 单调映象
§3.1 单调映象的概念
§3.2 单调映象的满射性
§3.3 多值极大单调映象的满射性
第四章 变分方法
§4.1、泛函的极值与梯度
§4.2、最速下降法
§4.3 Minimax原理
§4.4 偶泛函的临界点
（三）主要参考资料
《Nonlinear Functional Analysis》,Klaus Deimling,Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo,1985
《非线性泛函分析》，郭大钧，山东科学技术出版社，2003年
（四）任课教师：孙彦
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆抽象空间微分方程
（一）教学目的和要求
了解非线性算子的一般性质，包括连续性、有界性、全连续性、可微性等。利用实Banach空间中的锥理论并结合不动点指数理论讨论非线性算子方程 = 的正解。
（二）基本教学内容
第一章 锥的基本性质
§1.1 正规锥
§1.2 正则锥及全正则锥
§1.3 极小锥及强极小锥
§1.4 正线性泛函
§1.5 e-正规锥及Hilbert’s投影距离法
第二章 正的不动点理论
§2.1 单调算子的不动点
§2.2 凹凸算子的不动点
§2.3 锥的拉伸与压缩算子的不动点
§2.4 多个不动点理论
§2.5 区域的拉伸与压缩不动点
第三章 Chauchy问题解的存在唯一性
§3.1 非紧性测度
§3.2 中值定理与比较定理
§3.3 半内积
§3.4 近似解与解的关系
§3.5 解的唯一性及闭集上的存在性
第四章 紧型条件与耗散型条件
§4.1 解的存在性
§4.2 最大解与最小解
§4.3 闭集上解的存在性
§4.4 耗散型条件下解的存在唯一性
§4.5 全局存在唯一性
§4.6 Galerkin逼近
§4.7连续相依定理和可微性定理
第五章 流不变集与微分不等式
§5.1 流不变集
§5.2 微分不等式
§5.3最大解与比较定理
§5.4 拟线性化方法
第六章 非线性半群与Banach空间常微分方程
§6.1 非线性半群
§6.2 耗散算子
§6.3 指数公式
§6.4 含耗散项的自治微分方程
§6.5 拟自治微分方程
第七章 解的全局性质
§7.1 全局存在性定理
§7.2 渐进均衡性
§7.3 稳定性和渐进状态
§7.4 同等有界性
§7.5 解集的全局结构
第八章 Banach空间中的边值问题
§8.1 紧型条件下的存在性定理
§8.2 比较定理
§8.3 上下解方法
§8.4 多重解
§8.5 无穷边值问题
第九章 Banach空间中的泛函微分方程
§9.1 逼近解的存在性
§9.2 紧型条件
§9.3 耗散型条件
第十章 Banach空间中常微分方程理论的某些应用
§10.1 在临界点理论中的应用
§10.2 在不动点理论中的应用
§10.3 对非线性特征值问题的应用
（三）主要参考资料
《Nonlinear Problems in Abstract Cones》，Dajun Guo and V.Lakshmikantham，Academic PRESS, 1988
《Differential and integral inequalities》，V.Lakshmikantham & S.Leela Vol.Iand II. Academic Press, New York, 1969
Nonlinear differential equations in abstract spaces, Differential and integral inequalities,Pergamon Press, New York,1981.
《Ordinary Differential Equationin Abstract Spaces》Dajun Guo and Jingxian Sun,Science Press,Jinan,2002
（四）任课教师：孙彦
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 非线性积分方程
（一）教学目的和要求
学会利用拓扑方法和变分方法研究Fredholm型非线性积分方程
（二）基本教学内容
第一章 线性积分方程基础
§1.1 积分方程和微分方程的关系
§1.2 逐次迭代法
§1.3 Fredholm理论
§1.4 Hilbert-Schmidt理论
第二章 非线性积分算子
§2.1 Orlicz空间
§2.2 HeMbilikHH算子
§2.3 非线性积分算子的全连续性
第三章 非线性积分方程的可解性-----变分方法
§3.1 线性积分算子的分解
§3.2 具有正定核的Hammerstein型非线性积分方程的可解性
§3.3 具有拟正定核的Hammerstein型非线性积分方程的可解性
§3.4 具有一般对称核的Hammerstein型非线性积分方程的存在性和唯一性
第四章 非线性积分方程的可解性-----拓扑方法
§4.1 可解性和唯一性
§4.2 角有界算子
§4.3 含有线性角有界算子的非线性积分方程
§4.4 含有非线性角有界算子的非线性积分方程
第五章 非线性积分方程的多重解-----拓扑方法
§5.1 拓扑度的计算
§5.2 线性积分算子的正特征函数
§5.3 次线性积分方程的正解
（三）主要参考资料
《非线性积分方程》，郭大钧、孙经先著，山东科学技术出版社，1987年
（四）任课教师：孙彦
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ 非线性微分方程的泛函方法
（一）教学目的和要求
学会利用拓扑度理论、半序方法及临界点理论来获得常微分方程多个解的存在性以及对各解存在区域的估计
（二）基本教学内容
第一章 上下解方法
§1.1 上下解方法的理论基础
§1.2 一阶常微分方程初值问题
§1.3 一阶常微分方程初值问题
§1.4 一阶与二阶常微分方程周期边值问题
§1.5 二阶常微分方程边值问题
第二章 迭合度方法
§2.1 Brouwer度与Leray-Schauder度
§2.2 迭合度的概念与性质
§2.3 迭合度的计算与抽象存在定理
第三章 边值问题多个解的存在性
§3.1 常微分方程边值问题与积分方程的关系
§3.2 锥压缩与锥拉伸不动点定理
§3.3 几个三解存在性定理
§3.4 Dancer猜想与多解定理
第四章 分歧理论
§4.1 拓扑方法与分歧问题
§4.2 变分方法与分歧问题
§4.3 非线性算子方程特征元的全局结构
§4.4 两点边值问题特征值理论解的全局结构
第五章 脉冲方程的解
§5.1 一阶脉冲方程初值问题
§5.2 一阶脉冲方程边值问题
§5.3 二阶脉冲方程边值问题
（三）主要参考资料
《非线性常微分方程泛函方法》，郭大钧、孙经先、刘兆理著，山东科学技术出版社，2005年
（四）任课教师：孙彦
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ 图论
（一）教学目的和要求
掌握图论的组合结构的基本性质，掌握图论中的基本问题及其应用方向，介绍图论中未解决的几个问题。
（二）基本教学内容
第一章 图和子图
§1.1 图和简单图
§1.2 图的同构
§1.3 关联矩阵与邻接矩阵
§1.4 子图
§1.5 顶点的度
§1.6 路和连通
§1.7 圈
第二章 树
§2.1 树
§2.2 割边和键
§2.3 割点
§2.4 Caylai公式
第三章 连通度
§3.1 连通度
§3.2 块
第四章 Euler环游与Hamilton圈
§4.1 Euler环游
§4.2 Hamilton圈
第五章 对集
§5.1 对集
§5.2 偶图的对集和覆盖
第六章 边着色
§6.1 边色数
§6.2 Vizing定理
第七章 独立集和团
§7.1 独立集
§7.2 Ramsey定理
§7.3 Turan定理
第八章 顶点着色
§8.1 色数
§8.2 Brooks定理
§8.3 Hajos
§8.4 色多项式
§8.5 围长和色数
第九章 平面图
§9.1 平面和平面图
§9.2 对偶图
§9.3 Euler公式
§9.4 桥
§9.5 Kuratowski定理
§9.6 五色定理和四色猜想
§9.7 非Hamilton平面图
第十章 有向图
§10.1 有向图
§10.2 有向路
§10.3 有向圈
第十一章 网络流
§11.1 流
§11.2 割
§11.3 最大流最小割定理
第十二章 圈空间和键空间
§12.1 环流和势差
§12.2 生成树的数目
第十三章 未解决问题介绍
（三）主要参考资料
《Graph theory with Alllications》, J. A. Bondy and U. S. R. Murty，The Macmillan Press Ltd , 1976
（四）任课教师：唐明元
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 组合分析
（一）教学目的和要求
了解组合的基本理论，包括容斥原理，鸽笼原理，发生函数等，还将介绍Mobius反演，双射原理等。
（二）基本教学内容
第一章 什么是组合
§1.1 如何计数
§1.2 集与重集
§1.3 随机置换
§1.4 鸽笼原理
第二章 筛法
§2.1 容斥原理
§2.2 举例
§2.3 限制置换
§2.4 Ferres盘
§2.5 V-分析与单峰列
§2.6 卷积
§2.7 行列式
第三章 有理发生函数
§3.1 一个变量的形式幂级数
§3.2 多项式
§3.3 拟多项式
§3.4 P-分拆
§3.5 线性Diophant方程
（三）主要参考资料
《Enumerative Combinatorics》, R. P. Stanley，
（四）任课教师：唐明元
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 自补图理论
（一）教学目的和要求
掌握自补图的基本性质与基本理论，掌握自补图理论中的基本问题及其应用方向，了解自补图理论中尚待解决的问题或猜想。
（二）基本教学内容
第一章 图的基本知识
§1.1 图的定义与分类
§1.2 图的同构
§1.3 图的度与度序列
§1.4 子图及其运算
§1.5 路、圈、图的连通性，补图与自补图
§1.6 匹配，独立集，覆盖与Ramsey数
§1.7 图的三种矩阵
§1.8 群与图的自同构群
第二章 自补图的基本理论
§2.1 引子
§2.2 自补置换
§2.3 可自补度序列
§2.4 自补图中的三角形
§2.5 自补图的直径
§2.6 自补图的同构群
§2.7 自补图的谱
§2.8 自补图的色性
第三章 自补图的分解与构造
§3.1 引言
§3.2 自补图的分解
§3.3 4n阶自补图的构造
§3.4 (4n+1)阶自补图的构造
第四章 自补图的计数理论
§4.1 计数的基本理论
§4.2 p阶自补图与p阶有向自补图的数目
§4.3 素数阶顶点可传有向、无向自补图的计数
§4.4 标定自补图计数问题的讨论
第五章 自补图中的路与圈
§5.1 圈与Hamilton圈的基本知识
§5.2 自补图中的路
§5.3 自补图中的圈
§5.4 自补图的Hamilton性
第六章 正则与强正则自补图
§6.1 强正则图
§6.2 正则与强正则自补图的基本性质
§6.3 强正则自补图的自补置换
§6.4 阶数 49的强正则自补图的完全计数
§6.5 Kozting三个公开问题的解
§6.6 强正则自补图与Ramsey数
第七章 有向、无向偶自补图
§7.1 偶自补图的基本理论
§7.2 可偶自补度序列
§7.3 偶自补图的计数问题
§7.4 偶自补图的构造
§7.5 有向偶图的数目
§7.6 有向偶自补图的计数
第八章 2重自补图与有向自补图
§8.1 基本概念
§8.2 可2重自补序列
§8.3 计数理论
§8.4 2重自补图的构造
§8.5 有向自补图的构造
§8.6 顶点数小于或等于5的全部有向自补图
第九章 自补图与图的色多项式
§9.1 图的色多项式
§9.2 自补度序列图
§9.3 图与它的补图的色多项式
（三）主要参考资料
《Self-Complementary Graph theory with Alllications》, Xu Jing，西安电子科技大学出版社，1999
（四）任课教师：唐明元
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ 代数图论
（一）教学目的和要求
用线性代数方法来研究图的理论，用多项式理论来研究图的理论，用置换群方法来研究图的理论。
（二）基本教学内容
第一章 图论中的线性代数
§1.1 图的谱理论
§1.2 线图与正则图
§1.3 图的同调
§1.4 生成树与伴随结构
§1.6 复杂性
§1.7 行列式展开
第二章 着色问题
§2.1 项着色与谱
§2.2 边子图展开式
§2.3 边子次式
§2.4 点子图展开式
§2.5 Tutto多次式
§2.6 尔公式与生成树
第三章 图的对称性与正则性
§3.1 图的自动构群
§3.2 顶点传递子图
§3.3 对称图
§3.4 盖图结构
§3.5 距离传递图
§3.6 交图的可行性
§3.7 本原性与非本原性
（三）主要参考资料
《Algebraic Graph Theory》, Morman Biggs，
（四）任课教师：唐明元
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 代数拓扑
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习,使学生掌握拓扑空间的同调理论的基本知识,了解该方向的一些应用,并能应用该理论研究一些问题。
（二）基本教学内容
第一章 单纯复形的同调群
§1.1 单纯复形
§1.2 同调群与相对同调群
§1.3 同调群的计算共济
§1.4 零调承载子研
§1.5 重心重分与单纯逼近定理
§1.6 同调群的拓扑不变性
§1.7 同伦不变性
§1.8 应用1：球面的连续映射
§1.9 应用2：Lefschetz 不动点定理
§1.10 同调群的长正合列
§1.11 Mayer-Vitoris正合列
§1.12 Eilenberg-Steenrod 公理
第二章 奇异同调论
§2.1 奇异同调群
§2.2 奇异同调群公理
§2.3 奇异同调群的切除定理
§2.4 奇异同调群的Mayer-Vitoris正合列研
§2.5 奇异同调群与单纯同调群的同构
§2.6 CW 复形的同调群
第三章 上同调群简介
§3.1 单纯上同调群
§3.2 上同调群理论
§3.3 CW 复形的上同调群
（三）主要参考资料
1.《Elements of Algebraic Topology》，J. Munkres, Addison-Wesley Publishing Company, 1984
2.《Singular Homology Theory》, W. S. Massey, Springer-Verlag, 1980
（四）任课教师：周才军
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ 交换代数I
（一）教学目的和要求
课程目标：通过本课程的学习,使学生掌握交换代数的基本知识,了解该方向的一些研究动态,并应用该理论研究交换环论与Norther模论的一些问题。
（二）基本教学内容
第一章 交换环与模
§1.1 理想
§1.2 模
§1.3 链条件共济
第二章 素理想共济
§2.1 局部化研
§2.2 Hilbert 零点定理与维数的初步理论
§2.3 准素分解
第三章 扩环的性质
§3.1 平坦模与平坦扩张
§3.2 完备化与Artin-Rees 引理
§3.3 整扩张
第四章 赋值环
§4.1 一般赋值环
§4.2 离散 赋值环
§4.3 Krull 环
第五章 维数理论
§5.1 分次环与Hilbert函数
§5.2 参数理想与重数
§5.3 扩环的维数
（三）主要参考资料
1.《Commutative ring theory》，H. Matsmura, Cambridge University Press，1986
2.《Commutative algebra》 卷I，II, O. Zariski and P Samuel, Springer-Verlag, 1975
（四）任课教师：周才军
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 交换代数II
（一）教学目的和要求
课程目标：通过本课程的学习,使学生掌握近代交换代数的基本知识,了解该方向的一些研究动态,并应用该理论研究交换环论与Norther模论的一些问题。
（二）基本教学内容
第一章 正则序列
§1.1 正则序列
§1.2 Cohen-Macaulay 环
§1.3 Gorenstein环共济
第二章 正则环共济
§2.1 正则环研
§2.2 唯一分解环
第三章 平坦的进一步性质共济
§3.1 局部平坦性的判别定理研
§3.2 平坦与纤维
§3.3 开Loci 的结果
第四章 导子
§4.1 导子与微分形式
§4.2 可分性
§4.3 高阶导子
第五章 光滑性
§5.1 光滑性
§5.2 完备局部环的Cohen结构定理
§5.3 与导子相关的结果
第六章 完备局部环的应用
§6.1 素理想链
§6.2 形式纤维
（三）主要参考资料
1.《Commutative ring theory》，H. Matsmura, Cambridge University Press，1986
2.《Commutative algebra》 卷I，II, O. Zariski and P Samuel,Springer-Verlag, 1975
（四）任课教师：周才军
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 同调代数
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习,使学生掌握同调代数的一些基本知识和基本方法,并能应用同调代数的理论和方法去研究环、模。
（二）基本教学内容
第一章 模
§1.1 Hom函子与张量函子
§1.2 投射模与内射模
§1.3 平坦模
§1.4 导出函子
第二章 函子Ext
§2.1 基本性质
§2.2 Ext1及模的扩张
§2.3 Ext函子序列的公理化刻画
第三章 函子Tor
§3.1 基本性质
§3.2 Tor及挠
§3.3 泛系数定理
第四章 谱序列
§4.1 正和偶
§4.2 导来偶及谱序列
§4.3 滤链及谱序列的收敛性
§4.4 双复形
§4.5 Künneth公式
（三）主要参考资料
1.《An Introduction to Homological Algebra》，J. Rotman, Academic Press，New York，1979
2.《An Introduction to Homological Algebra》, D. G.Northcott, Cambridge University Press, 1960
（四）任课教师：周才军
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ 常微分方程
（一）教学目的和要求
常微分方程是基础数学与应用数学的重要内容之一，在自然科学、工程技术和社会科学中具有广泛的应用。通过这门课的学习要求学生掌握常微分方程的基本理论和方法，为今后进一步学习后续课程奠定扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章线性系统
§1.1 基本解集
§1.2 常系数方程组
§1.3 变系数方程组
第二章非线性系统与流
§2.1 基本概念
§2.2 一维微分方程
§2.3 二维微分方程
§2.4 线性化稳定性
第三章相图分析方法
§3.1 捕食者－食饵系统
§3.2 无阻尼强迫振荡
§3.3 李雅普诺夫函数
§3.4 极限集
第四章极限环
§4.1 庞加莱－本迪克松定理
§4.2 Hopf分支
§4.3 同宿分支
§4.4 稳定性与庞加莱映射
第五章混沌吸引子
§5.1 吸引子
§5.2 混沌
§5.3 洛仑兹系统
§5.4 李雅普诺夫指数
（三）主要参考资料
1.《动力系统导论》，韩茂安等译, 机械工业出版社， 2007。
2.《非线性系统理论和方法》，韩茂安，顾圣士，科学出版社，2001。
（四）任课教师：韩茂安、周盛凡
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 极限环分支理论
（一）教学目的和要求
极限环分支理论是动力系统的重要内容之一，在自然科学、工程技术和社会科学中具有广泛的应用。通过这门课的学习要求学生掌握极限环分支理论的主要方法，了解该领域的最新研究成果和进展，为今后的研究提供基础。
（二）基本教学内容
第一章 极限环及其扰动
§1.1 基本概念
§1.2 极限环的性质
§1.3 极限环的扰动
第二章 焦点量与Hopf分支
§2.1 Poincare映射
§2.2 规范型
§2.3 Hopf分支
§2.4 多项式系统
第三章 Hamilton系统的扰动
§3.1 一般理论
§3.2 同宿环与异宿环附近的极限环
§3.3 Melnikov函数
§3.4 含幂零奇点系统的扰动
第四章 同宿轨的稳定性与极限环分支
§4.1 鞍点的局部性质
§4.2 同宿轨的保持
§4.3 稳定性准则
§4.4 改变稳定性发现极限环
（三）主要参考资料
《Bifurcation Theory of Limit Cycles》，M Han, 待出版， 2007
（四）任课教师：韩茂安、周盛凡
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考试
☆ 泛函微分方程
（一）教学目的和要求
泛函微分方程是一门有着广泛应用背景的学科, 是生物、医药、流行病控制等方面一类非常重要的数学模型，在很多情况下，与常微分方程相比，泛函微分方程能更加准确描述研究对象的运动规律。通过这门课的学习要求学生掌握泛函微分方程的基本理论和主要研究方法，了解时滞对方程解的性态的影响，接触最新研究成果和进展。
（二）基本教学内容
第一章 线性微分差分方程
§1.1 基本解集
§1.2 特征方程
§1.3 常数变异公式
第二章 滞后型泛函微分方程
§2.1 解的基本理论：存在性、唯一性、连续性和光滑性
§2.2 局部稳定性理论
§2.3 自治系统的稳定性与李雅普诺夫泛函
§2.4 拉什米辛型定理
第三章 自治系统与周期系统
§3.1 过程、不变集、周期轨道
§3.2 线性自治系统与线性周期系统
§3.3 线性系统的扰动
§3.4 平衡点和周期轨道附近的动力学行为
§3.5 Hopf分支
§3.6 哈密顿系统与时滞微分方程的周期解
第四章 脉冲泛函微分方程
§4.1 脉冲方程与脉冲泛函微分方程
§4.2 基本理论与稳定性
（三）主要参考资料
1.《Theory of Functional Differential Equations》，Jack Hale,1977。
2. 《Delay Differential Equations》,Yang Kuang, 1993.
（四）任课教师：邢业朋、丁玮
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆离散动力系统
（一）教学目的和要求
动力系统是20世纪最有成就的一个数学分支, 在不少领域中有重要的应用。通过这门课的学习要求学生掌握迭代函数、周期点、不变集、Smale马蹄、符号动力系统等离散动力系统的基本概念、理论和方法，为今后进一步学习奠定扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 动力系统中的迭代函数
§1.1 一维映射
§1.2 多变量函数
第二章 一维映射的周期点
§2.1 周期点
§2.2 图示迭代法
§2.3 周期点的稳定性
§2.4 周期汇与施瓦尔茨导数
§2.5 周期点分支
§2.6 共轭
§2.7 应用: 资本积累与种群模型
第三章 一维映射的迭路
§3.1 周期点的转换图方法
§3.2 拓扑传递性
§3.3 符号序列
§3.4 对初始值的敏感依赖性
§3.5 康托集
§3.6 子移位: 分段扩张区间映射
§3.7 种群增长模型的复杂动力学
第四章 一维映射的不变集
§4.1 极限集
§4.2 混沌吸引子
§4.3 Lyapunov指数
§4.4 测度
§4.5 测度
第五章 高维映射的周期点
§5.1 线性映射的动力学
§5.2 周期点的稳定性与分类
§5.3 稳定流形
§5.4 双曲环面自同构
§5.5 应用: 马尔可夫链与离散传染病模型
第六章 高维映射的不变集
§6.1 几何马蹄
§6.2 符号动力学
§6.3 同宿点与马蹄
§6.4 吸引子
§6.5 高维映射的Lyapunov指数
§6.6 混沌吸引子的检验
第七章 分形
§7.1 盒维数
§7.2 相关维数与Lyapunov维数
§7.3 迭代函数系
（三）主要参考资料
1.《动力系统导论》，韩茂安等译, 机械工业出版社，2007。
2.《微分动力系统原理》，张筑生，科学出版社，1997。
（四）任课教师：周盛凡、韩茂安
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆无穷维动力系统
（一）教学目的和要求
无穷维动力系统近三十年来取得了一系列有重要意义的成果，并已成为非线性科学的重要组成部分。本课程的目的是要求学生掌握无穷维动力系统的基本内容--吸引子理论和方法以及在偏微分方程中的应用，为今后开展进一步的研究奠定基础。
（二）基本教学内容
第一章 自治发展方程、算子半群与吸引子
§1.1 自治发展方程的解映射与算子半群
§1.2 不变集
§1.3吸收集、吸引子及其存在性
§1.4 吸引子的稳定性
§1.5常微分方程例子
第二章 关于时间一阶的耗散发展方程的吸引子
§2.1反应扩散方程
§2.2 二维Navier-Stokes方程
第三章 耗散波动方程的吸引子
§3.1 Sine-Gordon方程
§3.2抽象波动方程
第四章 Lyapunov指数和吸引子维数
§4.1线性和多重线性代数
§4.2 Lyapunov指数和Lyapunov数
§4.3吸引子的Hausdorff维数和分形维数
第五章 发展方程的吸引子的维数
§5.1 Lorenz吸引子
§5.2反应扩散方程
§5.3二维Navier-Stokes方程
§5.4耗散波动方程
第六章 惯性流形
§6.1 锥性质
§6.2惯性流形的构造
§6.3惯性流形的存在性
（三）主要参考资料
1.《Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics》(Second Edition)，R. Temam，Springer-Verlag, 1997.
2.《无穷维动力系统》(上下册)，郭柏灵著，国防工业出版社, 2000年。
（四）任课教师：周盛凡
（五）总时数：54学时
（六）考核方式：考查
☆微分方程边值问题I
（一）教学目的和要求
边值问题是非线性常微分方程理论研究中一个活跃且重要的领域，在自然科学、工程技术和社会科学中具有广泛的应用。通过这门课的学习要求学生掌握边值问题的主要方法，了解该领域的最新研究成果和进展，为今后的研究提供基础。
（二）基本教学内容
第一章 导论
§1.1 历史背景
§1.2 常微分方程线性边值问题
§1.3 格林函数
§1.4 共振情况下边值问题的解
§1.5 非线性边值问题的算子表示
第二章 度理论和不动点定理
§2.1 度理论概要
§2.2 不动点定理
§2.3 连续性定理
第三章 二阶微分方程边值问题
§3.1 上下解方法与多点边值问题
§3.2 多点共振边值问题的有解性
§3.3 非线性项非负条件下正解的存在性
§3.4 非线性项变号的二阶边值问题的正解
（三）主要参考资料
马如云，非线性常微分方程非局部问题，北京：科学出版社，2004。
邓宗琦，常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论，武汉：华中师范大学出版社，1999。
（四）任课教师：丁玮
（五）总时数：54
（六）考核方式：考试
培养计划表
（硕士）
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院（系、
所）
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数理信息
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学 科、
专 业
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数学 基础数学专业
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研 究
方 向
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1. 泛函分析 2. 组合数学 3.代数学 4. 常微分方程
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课程类别
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课 程
名 称
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学
分
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周学时
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总
学
时
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各学期教学周时数
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任课教师
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考核方式
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一
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二
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三
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四
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五
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六
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必
修
课
程
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学
位
公
共
课
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第一外国语
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2
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考试
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科学技术哲学
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2
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考试
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科学社会主义理论与实践
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2
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考试
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学位基础课
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泛函分析
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3
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4
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72
|
4
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考试
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拓扑学
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3
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4
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72
|
4
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考试
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基础代数
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3
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4
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72
|
4
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考试
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数学物理方程
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3
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4
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72
|
4
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考试
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泛函分析续论
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3
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4
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72
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|
4
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考试
|
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|
学位专业课
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专业外语
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2
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3
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54
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|
3
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考查
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学位专业课1
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3
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4
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72
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4
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考试
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学位专业课2
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3
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4
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72
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4
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考试
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学位专业课3
|
3
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4
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72
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|
4
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|
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|
|
考试
|
||||
|
选
修
课
程
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讨论班
|
|
3
|
54
|
|
|
|
|
3
|
|
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考查
|
|||
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论文选读
|
2
|
3
|
54
|
|
|
|
3
|
|
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考查
|
||||
|
专业选修课1
|
2
|
3
|
54
|
|
|
3
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|
考试
|
||||
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专业选修课2
|
2
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3
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54
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|
|
|
3
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考试
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专业选修课3
|
2
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3
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54
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|
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3
|
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考试
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||||
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其他
培养
环节
名称
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学术讲座与文献研讨
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评审
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论文写作与答辩
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√
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√
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答辩
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同等学力者补修课程
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实变函数
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近世代数
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