2013年江南大学博士研究生入学考试

《数学（高等数学、矩阵论）》考试大纲

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为100分，考试时间为180分钟．

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

三、试卷内容结构

高等数学部分（50分）

1. 极限与连续

映射与函数，数列的极限，函数及函数的极限，无穷小与无穷大，极限的性质及运算法则，极限存在准则 两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

2. 导数与微分

导数的概念，函数的求导法则，高阶导数，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率，函数的微分。

3. 微分中值定理与导数的应用

微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，函数的单调性与曲线的凹凸性，函数的极值与最大值最小值，函数图形的描绘，曲率，方程的近似解。

4. 不定积分

不定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分，积分表的使用。

5. 定积分

定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法，反常积分，反常积分的审敛性 Γ函数。

6. 定积分的应用

定积分的元素法，定积分在几何学上的应用，定积分在物理学上的应用。

7. 空间解析几何与向量代数

向量及其线性运算，数量积，向量积，混合积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。

8. 多元函数微分法及其应用

多元函数的基本概念，偏导数与高阶偏导数，全微分，复合函数及隐函数的求导法，多元函数微分学的几何应用，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法，二元函数的泰勒公式，最小二乘法。

9. 重积分

二重积分的概念与性质，二重积分的计算法，多重积分，重积分的应用，含参变量的积分。

10. 曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，格林公式及其应用，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分，高斯公式通量与散度，斯托克斯公式 环流量与旋度。

11.  无穷级数

常数项级数的概念和性质，常数项级数的收敛性，幂级数，函数展开成幂级数，函数幂级数展开式的应用，函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质，傅里叶级数，一般周期函数的傅里叶级数。

12．微分方程

微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，全微分方程，可降价的高阶微分方程，高阶线性微分方程，常微分齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程，欧拉公式，微分方程的幂级数解法，常系数线性微分方程组解法举例。

矩阵论部分（50分）

1. 线性空间与内积空间

线性空间及其基本性质、向量的线性相关性、线性空间的维数，基与坐标，线性子空间的概念、子空间的交与和、子空间的直和，线性空间的同构，内积空间及其基本性质、标准正交基、正交补与投影定理。

2. 线性映射

线性映射的定义及其性质，线性映射的运算，线性映射及其矩阵表示，线性映射的值域与核。

3. 线性变换

线性变换的概念、特征值和特征微量，矩阵的相似对角形，线性变换的不变子空间，酉变换与酉矩阵。

4. 矩阵与矩阵的Jordan标准形

一元多项式，矩阵及其在相抵下的标准形，矩阵的行列式因子和初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形，Cayley-Hamilton定理与最小多项式。

5. 矩阵的因子分解

初等矩阵，满秩分解，三角分解，QR分解，Schur定理与正规矩阵，奇异值分解。

6. Hermite矩阵与正定矩阵

Hermite矩阵与Hermite二次型，Hermite正定矩阵，矩阵不等式，Hermite矩阵的特征值。

7. 范数与极限

向量范数，矩阵范数、矩阵序列与矩阵级数。

8. 矩阵函数

矩阵函数的基本概念、矩阵函数的微分与积分，矩阵分析在微分方程中的应用等。

四、试卷题型结构

（1）求解题，60分。

（2）证明题，40分。

考试要求

考试要求：

（1）高等数学部分考试要求

要求考生系统理解和掌握高等数学的基本概念、基本理论、基本方法和常用的运算技能，具有抽象思维、逻辑推理、空间想象、数学运算等能力，能够综合运用所学的知识分析问题和解决问题。

（2）矩阵论部分考试

要求考生较系统地掌握矩阵的基本概念，基本理论和基本运算，全面掌握若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，具有较强的抽象思维与逻辑推理能力，能够灵活运用所学的内容和方法解决实际问题。

五、参考教材

[1]高等数学（第五版），同济大学数学系高等数学教研室编，同济大学出版社，2001年

[2]矩阵论（南京航空航天大学），戴华编著，科学出版社，2001年