, 郑烽 2 , 王立平 1,3 1. 清华大学 机械工程系, 北京 100084;
2. 电子科技大学 机械电子工程学院, 成都 611731;
3. 清华大学 精密超精密制造装备及控制北京市重点实验室, 北京 100084
收稿日期：2018-01-18
基金项目：国家科技重大专项（2014ZX04001051）
作者简介：刘成颖(1960-), 女, 副教授。E-mail:liucy@tsinghua.edu.cn
摘要：主轴的振动是影响机床加工精度的重要因素，且包含大量机床的工况信息。在保证精度的条件下，为实现主轴振动加速度能够在机壳外部测量，建立了主轴与机壳之间的振动传递力学模型。针对力学模型中的未知参数，基于Hertz理论和最小二乘法理论相结合的方法求解出轴承的线性刚度；基于Hooke定律，利用Ansys软件求解出电主轴固定基座的刚度。以170XDS20Z11型电主轴作为实验对象进行实验验证与仿真分析。结果表明：在机壳上测量振动信号，通过该模型可以高效、准确地推导出主轴真实振动。此理论可以运用到主轴振动间接测量方法中，提高测量精度。
关键词：主轴振动力学模型轴承刚度基座刚度
Vibration transmission mechanical model between the shaft and housing of a high speed motor spindle
LIU Chengying1,3
, ZHENG Feng2, WANG Liping1,31.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China;
3.Beijing Key Lab of Precision/Ultra-precision Manufacturing Equipments and Control, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Spindle vibration is an important factor affecting the machining accuracy of machine tools with the vibrations reflecting a large amount of working condition information about the machine tool. A vibration transmission mechanics model was developed to model the coupling between the shaft and the chassis to improve machining accuracy when measuring the acceleration of the main shaft outside the shell. Hertz theory was used to calculate the bearing stiffness because of unknown parameters in the mechanical model. The base stiffness was calculated using Ansys and Hooke's theory. The vibrations of a 170XDS20Z11 motorized spindle were analyzed with the results showing that the spindle vibrations can be efficiently and accurately measured by measuring the shell vibrations. This theory can be applied to indirect measurements of spindle vibrations to improve measurement accuracy.
Key words: spindle vibrationsmechanical modelbearing stiffnessbase stiffness
机床主轴的振动不仅对加工精度有着很大影响[1]，而且也包含了大量反应工况特征的信息[2-3]。对于主轴振动信号的采集有很多方法，例如采用非接触传感器对主轴振动位移进行直接监测[4-6]。针对一些结构复杂的主轴系统或加工条件下，非接触式的传感器难于安装，此时只能采取间接测量的方法对主轴振动进行测量。陈超[7]为了实现主轴跳动的测量，用接触式加速度传感器对主轴前端机壳的振动进行测量。李先广等[8]为获得滚齿刀主轴振动信号，将加速度传感器吸附在轴承座上进行测量；Amirat等[9]为实现风机主轴故障在线监测，将传感器安装在齿轮箱上获取主轴振动信号。
在上述对主轴振动的加速度间接测量方法中，皆是利用传感器采集主轴外壳或基座部分振动信号来作为主轴振动信号分析，并未考虑拾振点测量的信号与主轴振动信号的差异。图 1中，在主轴外部所测得信号是经过轴承和轴承座多个结构调制过的，在间接拾振点测量主轴振动时必须考虑主轴轴承等结构对振动传递的影响。
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| 图 1 电主轴结构简化图 |
| 图选项 |
本文为实现主轴振动的间接测量，提出一种主轴-机壳振动传递力学模型。该模型可以通过在机壳上测量的信号精确地推导出主轴的真实振动。
1 主轴——机壳振动传递力学模型主轴—机壳振动力学模型中包括主轴与轴承内圈、滚动体、轴承外圈与机壳以及基座。对于整个主轴系统，可以简化为质量、弹簧、阻尼系统，为了研究X、Y自由度，有如下假设：
1) 忽略轴承中滚动体的质量；
2) 考虑基座质量和刚度的影响；
3) 滚道与滚动体之间属于点接触，且符合Hertz接触；
对上述假设进行处理以后，得到主轴—机壳的振动传递模型，如图 2所示。
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| 图 2 主轴—机壳振动传递简化模型图 |
| 图选项 |
根据上述对主轴系统进行的动力学假设，可以列出主轴的X、Y两个方向的运动学微分方程：
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}_1}\;{\mathit{\boldsymbol{\ddot s}}_1} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_2} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_1}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_1}} \right) = 0.$ | (1) |
| $\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}\;{{\mathit{\boldsymbol{\ddot s}}}_2} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_2}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_2} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_3}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{K}}_2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_3}} \right) = \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_1} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_2}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_2}} \right).\end{array}$ | (2) |
| $\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{M}}_3}\;{{\mathit{\boldsymbol{\ddot s}}}_3} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_3}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_3} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_4}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{K}}_3}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_3} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_4}} \right) = \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_2} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_3}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{K}}_2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_3}} \right).\end{array}$ | (3) |
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}_4}\;{\mathit{\boldsymbol{\ddot s}}_4} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_4}{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}_4} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_3}{\mathit{\boldsymbol{s}}_4} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_3}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_3} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_4}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{K}}_3}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_3} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_4}} \right).$ | (4) |
在机壳上测得的信号可通过主轴和机壳振动传递力学模型推导出主轴实际的振动信号，下一步需要确定运动方程中轴承与基座的刚度和阻尼即可。
2 轴承刚度的计算在已建立的主轴和机壳部分运动学方程中，轴承部分的刚度K2可采用Hertz理论[10]求解。
根据Hertz理论，单个球与内(外)滚道之间变形与受力的关系式为
| $\delta {\rm{ = }}\gamma {\left[ {\left( {\frac{9}{{2\varepsilon R}}} \right){{\left( {\frac{1}{{\pi tE}}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{3}}}{Q^{\frac{2}{3}}}.$ | (5) |
由于Hertz理论求解出来的刚度与变形量有关，属于非线性刚度，导致模型求解困难，因此必须得到轴承近似的线性刚度。以170XDS20Z11电主轴B7009C轴承为例，在主轴振动范围(1~10 μm)进行以最小二乘法的一次项拟合，得到变形与受力的线性关系，如图 3所示。
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| 图 3 接触刚度与拟合刚度 |
| 图选项 |
计算图 3中两直线的斜率的倒数即为拟合出的单个滚动体与内滚道线性刚度Ki和单个滚动体与外滚道线性刚度Ko：Ki=6.22×107 N/m，Ko=6.4×107 N/m。
对于角接触球轴承，可以计算出滚子与滚道径向刚度Kir[11](以内滚道与滚动体为例)：
| ${K_{{\rm{ir}}}} = {K_{\rm{i}}}{\cos ^2}\alpha .$ | (6) |
得到单个滚子与内外滚道的刚度，可以求出径向Kr的总刚度为
| ${K_{\rm{r}}} = \sum\limits_{j = 1}^Z {\frac{{{K_{{\rm{ir}}j}} \times {K_{{\rm{or}}j}}}}{{{K_{{\rm{ir}}j}} + {K_{{\rm{or}}j}}}}\cos \frac{{2\pi }}{Z}\left( {j - 1} \right).} $ | (7) |
3 基座与两个结合面的刚度的计算从式(1)模型可以看出：主轴振动通过轴承传递到机壳不仅与轴承的结构参数有关，也与基座的结构参数有关。基座的刚度可以通过Hooke定律求得，如图 4所示。通过有限元软件Ansys对基座建立模型，材料设定为45#钢，弹性模量为210 GPa，密度为7 850 kg/m3, Poisson比为0.31。
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| 图 4 基座刚度的求解 |
| 图选项 |
通过在X、Y方向分别加载1 000~5 000 N的力，得到两个方向的变形量如表 1所示。
表 1 基座与机壳受力变形表
| 载荷力/kN | X向变形/μm | Y向变形/μm |
| 1 | 0.57 | 0.68 |
| 2 | 1.15 | 1.39 |
| 3 | 1.73 | 2.11 |
| 4 | 2.30 | 2.81 |
| 5 | 2.88 | 3.49 |
表选项
通过Hooke定律可以计算出基座的结构刚度K4，X向刚度为1.72×109 N/m，Y向刚度为1.42×109 N/m。
以图 4基座、B7009C轴承，170XDS20Z11型主轴轴颈为例，用Ansys软件进行结合面刚度求解[12]。轴承内圈和外圈的材料为轴承钢，密度为7 800 kg/m3，Poisson比为0.30，弹性模量为208 Gpa；主轴和基座都为45#钢，密度为7 850 kg/m3。Poisson比为0.31，弹性模量为210 Gpa。可以得到，轴颈与轴承内圈的结合面刚度为1.5×1011 N/m，轴承外圈与基座的结合面刚度为19×1010 N/m。轴承系统的阻尼可采取等效黏滞阻尼模型，其值的大小可以在相应线性刚度的25×10-5~0.25的范围取值[13]。
4 实验验证与分析4.1 实验验证方法对电主轴170XDS20Z11的Y方向进行实验探究。实验利用力锤对主轴进行敲击，可使主轴产生振动，将两个Kistler 8778A500微型单向加速度传感器拾取测量点3和点2的振动加速度信号，如图 5a所示。加速度信号经过LMS SCM050采集箱采集到电脑，得到两点的加速度信号后。如图 5b所示，把点2测得的信号代入到模型中可以求得主轴点1加速度信号，为了验证理论计算信号的正确性，测量点3(离点1最近的可测点)实测的信号近似代替点1，对比两信号。
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| 图 5 实验测点布置图 |
| 图选项 |
4.2 实验结果与分析对点2信号进行测量经过Fourier变换后代入到式(6)中，可以计算出主轴振动加速度的频域加速如图 6所示。
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| 图 6 加速度实测值与计算值对比 |
| 图选项 |
提取图 6b中两个信号的幅值在100~1 500 Hz区间中对比，如表 2所示。
表 2 计算与实测幅值在100~1 500 Hz对比
| 100 | 7.09×10-3 | 6.61×10-3 | 7.3 |
| 200 | 2.08×10-2 | 2.28×10-2 | -8.7 |
| 300 | 7.86×10-2 | 8.08×10-2 | -2.7 |
| 400 | 9.27×10-2 | 1.16×10-2 | -20.0 |
| 500 | 2.72×10-1 | 2.60×10-1 | 4.6 |
| 600 | 1.11×100 | 9.31×10-1 | 19.2 |
| 700 | 3.78×10-1 | 6.70×10-1 | -43.6 |
| 800 | 3.19×10-1 | 9.74×10-1 | -71.7 |
| 900 | 1.39×100 | 4.64×100 | -70.0 |
| 1 000 | 6.95×10-1 | 8.97×10-1 | -22.5 |
| 1 100 | 5.82×10-1 | 9.11×10-1 | -36.1 |
| 1 200 | 3.91×10-1 | 6.91×10-1 | -43.4 |
| 1 300 | 3.96×10-1 | 6.08×10-1 | -39.3 |
| 1 400 | 3.20×10-1 | 5.32×10-1 | -39.8 |
| 1 500 | 2.50×10-1 | 3.34×10-1 | -25.1 |
表选项
由图 6a可以看出点1振动经过轴承和机壳等结构的传递到点2有很大的衰减。图 6b中点1与3的加速度信号在100~500 Hz吻合程度很高，但在600~1 000 Hz处，点1理论推导值与点3的实测信号差异较大。对此情况做如下仿真实验。对电主轴系统建立模型，4个轴承部分分别简化为圆周上均布的弹簧。刀具、刀柄与主轴固接连接，如图 7所示。
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| 图 7 仿真实验原理图 |
| 图选项 |
对主轴施加幅值为100 N的力，频率从0到1 500 Hz，分150步(间隔10 Hz)进行仿真。分别得到点1和3的幅频曲线如图 8所示。
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| 图 8 点1和3的振动频域曲线 |
| 图选项 |
由图 6b和8可知：当力的频率在700~800 Hz这一段，点1和3幅值相差很大。这是由于主轴在振动时点3位于振型的节点处，频响幅值很小。其他频段这两点频响幅值相差不大。此情况与图 6b相同，通过仿真得出的点3和1间的差别，对图 5b进行补偿，得到点3实测值与计算值的对比如图 9所示。
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| 图 9 点3实测与计算振动频域曲线 |
| 图选项 |
本文通过对机壳振动的测量推导出主轴的振动，然后利用点3对推导出的振动进行验证。计算得出点1的振动信号和点3略有差距，为此，进行补充仿真实验。发现点1和3也存在一样的差异。并通过补偿，利用点1推导出点3振动。可以得出：将机壳振动信号代入模型可以计算出主轴的真实振动信号。
5 结论本文通过实验得出：主轴振动加速度真实信号与机壳测点的振动加速度信号相差甚大，必须考虑主轴振动通过轴承等结构传递的影响；否则机壳上测量的信号不能直接作为主轴振动信号分析。通过对主轴结构进行了合理的简化后，提出了主轴—机壳之间振动传递模型。为求解模型参数，本文基于Hertz理论和最小二乘法理论求解出模型中轴承的线性刚度；基于Hooke定律，利用Ansys软件求解出实例中电主轴固定基座的刚度，最后通过实验和分析验证了模型的正确性，为主轴振动间接测量方法提供了精度保证。
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