摘要:本文基于求解单频声波方程近似解的方法, 得到了非线性声场中谐波的声压与介质性质、初始声压幅值及频率之间的定量关系. 并对两列相对声压幅值和相对频率不同情况下的声场分布进行了研究. 通过分析单、双频声源辐射场中的谐波分布和传播规律发现: 在非线性声场中会不断地出现新的谐波, 激发的各阶谐波随着声波传播距离的增大逐渐增强而后减弱. 在声源的附近, 谐波的声压随基波声压振幅的增大而增大; 但在基波的频率增大时反而会减小. 在输入总声能相同的情况下, 与单频声场相比双频声源辐射场的声能量分布较均匀, 声的传播距离较大, 远场中的谐波含量较大. 结果表明, 基波的频率越高, 衰减得越快, 谐波的积累越缓慢; 声压的极值越大, 基波声能量转移得越多, 产生的谐波越多, 基波的衰减越快, 声压对远场声能的负效应增大; 如果改用多频声源, 并适当地控制输入声波的组成成分, 可以达到改善声场分布均匀性、增大声辐射距离的效果.
关键词: 非线性作用/
声波方程/
声参量

English Abstract

全文HTML

--> --> -->

超声波的自作用以及不同频率声波在空间的调制问题, 近年来引起了国内外****的广泛关注并取得了不少的成果. 鉴于超声波和介质的非线性效应, 传播中的声波波形会不断地发生变化, 同时在声的传播路径上持续地发生谐波、分频波以及和差频波; 而且实际声源辐射的往往是多频波, 不同频率声波间的非线性相互作用, 又会产生新的各阶差频与和频声波, 这些新波的出现将会改变初始声波的传播特性^[1-7]. 如Westervelt^[8]提出的非线性声学参量阵理论, 以及钱祖文^[9,10]的声散射声理论都为声呐小型化、高性能化提供了理论依据. 强声场中大幅声波的超吸收、声压对声源远场能量的负效应^[11-13], 说明影响非线性声的传播的不仅是驱动声源, 还有介质的非线性和黏滞性、热传导及空化等诸多因素^[14-20]. 本文根据求解声波方程得出的近似解, 分别对单、双频声源声场中的声参量的产生和传播规律进行了探讨. 通过比较发现, 声波间的非线性相互作用不仅改变了基波与谐波的含量比, 而且使声场中的声能分布也发生了变化. 即当输入声波的声压比和频率比不同时, 声场的分布就会不同, 因此可以通过改变输入声波的组成成分来调控声场的分布. 这个研究结果为建立高声强低畸变, 声能分布均匀的声场提供了理论上的依据.

2

-->

2.1.单频声波的非线性传播

描述声的非线性传播规律的基本方程为^[21]

$\frac{{\partial \rho '}}{{\partial t}} + {{\upsilon }} \cdot \nabla \rho ' + \rho \nabla \cdot {{\upsilon }} = 0,$

$\,\rho \left( {\frac{{\partial {{\upsilon }}}}{{\partial t}} + {{\upsilon }} \cdot \nabla {{\upsilon }}} \right) = - \nabla p + \left( {\mu + \mu '} \right)\nabla \nabla \cdot {{\upsilon }} + \mu {\nabla ^2}{{\upsilon }},$

$p \!=\! c_0^2\rho' \!+\! \frac{{ \beta-1 }}{{{\rho _0}}}c_0^2{\rho ^{\prime2}} \!-\! \kappa \Big( {\frac{1}{{{C_{\rm{V}}}}} \!-\! \frac{1}{{{C_{\rm{P}}}}}} \Big)\nabla \cdot {{\upsilon}} \!+\! { \cdots} ,$

式中, $\mu, \;\mu '$表示介质的第一和第二黏滞系数; κ为介质的热传导系数; ${C_{\rm{V}}}, \;{C_{\rm{P}}}$分别为介质的等容和等压比热容; β为介质的非线性系数; $ p=P-{P}_{0}$和$ {\rho }^{\prime }=\rho -{\rho }_{0}$分别表示由于声扰动引起的介质压强和密度的变化, ${P}_{0} $和${\rho }_{0}$分别表示液体静态的压强与密度, ${c_0}$为绝热声速. 假设速度是无旋的并将(3)式代入(2)式, 消去p可得

$\begin{split}&\rho \left( {\frac{{\partial {\bf{\upsilon }}}}{{\partial t}} + {\bf{\upsilon }} \cdot \nabla {\bf{\upsilon }}} \right) = - c_0^2\nabla \left( {\rho ' + \frac{{ {\beta - 1} }}{{{\rho _0}}}{{\rho '}^2}} \right) \\&~~ + \left[ {\kappa \left( {\frac{1}{{{C_{\rm{V}}}}} - \frac{1}{{{C_{\rm{P}}}}}} \right) + \left( {2\mu + \mu '} \right)} \right]{\nabla ^2}{\bf{\upsilon }}.\end{split}$

分别将${\partial / {\partial t, \;\nabla\cdot }}$作用于(4)式, 结合(1)式消去${{\partial \rho '} / {\partial t}}, \nabla \rho '$项, 并引入势函数φ, 即${{\upsilon }} = - \nabla \varphi$. 利用线性关系$p = c_0^2\rho ' = {\rho _0}{{\partial \varphi } / {\partial t}}$, 得到的非线性波动方程为

$\begin{split}&\frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {t^2}}} - c_0^2{\nabla ^2}\varphi = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {{\left( {\nabla \varphi } \right)}^2} + \frac{{\beta - 1}}{{c_0^2}}{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right)}^2}\right.\\&~~\left.+ \frac{b}{{{\rho _0}}}\left( {{\nabla ^2}\varphi } \right) \right] - \frac{1}{3}\nabla {\left( {\nabla \varphi } \right)^3} - \frac{b}{{{\rho _0}}}\nabla \varphi \left( {{\nabla ^3}\varphi } \right),\end{split}$

${\text{式中}}, \;{\text{耗散系数}}\;b = 2\mu + \mu ' + \kappa \left( {\frac{1}{{{C_{\rm{V}}}}} - \frac{1}{{{C_{\rm{P}}}}}} \right).~~$

设上述声波方程的解可以表示为

$\varphi = {\varphi _1} + {\varphi _2} + {\varphi _3} + \cdots ,$

其中${\varphi _{\rm{1}}}$为一级近似解; ${\varphi _{\rm{2}}}$为二级近似解; ${\varphi _3}$为三级近似解.
令${\varphi _1} = {\varphi _{\rm{a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega \left( {t - {x / c}} \right)}}$, 依据文献[22]可知, (7)式中的二级近似解为^[22]

$\begin{split}\;&{\varphi _2} = - \frac{{\varphi _{\rm{a}}^2{\omega ^3}x}}{{2c_0^4}}\left[ \frac{{\beta - 5{A^2}\beta + 3{A^2}}}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}}\right.\\&~~\left.+ \frac{{{\rm{i}}A ( {2{A^2}\beta - 2{A^2} \!+\! 2\beta \!+\! 1} )}}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}} \right]{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}\omega \left( {t - {x / c}} \right)}},\end{split}$

在$A \ll 1$的条件下, 波的衰减系数可以表示为

$\alpha \approx {{\omega A}}/({{2{c_0}}}) = {{{\omega ^2}b}}/({{2{\rho _0}c_0^3}}).$

用同样的方法, 求得的三级近似解为

$\begin{split}{\varphi _3} =\;& \frac{{ - \varphi _{\rm{a}}^3{\omega ^6}Ax}}{{c_0^6{{\left( {1 + {A^2}} \right)}^2}}}\left[ \frac{{5{A^2} - 2{A^2}\beta + 9{A^4}\beta - 7{A^4} + \beta }}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}}\right.\\&\left.+ \frac{{{\rm{i}}A\left( {2{A^4} - 2{A^4}\beta - 9{A^2} + 10{A^2}\beta + 1} \right)}}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}} \right] \\&\times {{\rm{e}}^{3{\rm{i}}\omega \left( {t - {x / c}} \right)}},\\[-12pt]\end{split}$

其中$A = {{\omega b} / ({{\rho _0}c_0^2}})$; $c = {c_0}\sqrt {1 + {\rm{i}}A} $是液体中的实际声速.
由关系式$p = {\rho _0}\dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}$, 得到的声压表达式为

$\begin{split}\;& p = {\rho _0}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} \\=\;& {\rho _0}\frac{{\partial \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2} + {\varphi _3}} \right)}}{{\partial t}} \\=\;& {p_1}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega \left( {t - {x / c}} \right)}} + {p_2}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}\omega \left( {t - {x / c}} \right)}} + {p_3}{{\rm{e}}^{3{\rm{i}}\omega \left( {t - {x / c}} \right)}},\end{split}$

式中

${p_1} = {\rm{i}}{\rho _0}{\varphi _{\rm{a}}}\omega ,$

$\begin{split}{p_2} =\;& \frac{{{\rho _0}\varphi _{\rm{a}}^2{\omega ^4}x}}{{c_0^4}}\left[ \frac{{A\left( {2{A^2}\beta - 2{A^2} + 2\beta + 1} \right)}}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}} \right.\\&\left.- \frac{{{\rm{i}}\left( {\beta - 5{A^2}\beta + 3{A^2}} \right)}}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}} \right],\end{split}$

$\begin{split}{p_3} \;&= \frac{{3{\rho _0}\varphi _{\rm{a}}^3{\omega ^7}Ax}}{{c_0^6{{\left( {1 + {A^2}} \right)}^2}}}\\&\times\bigg[ \frac{{A( {2{A^4} - 2{A^4}\beta - 9{A^2} \!+\! 10{A^2}\beta \!+\! 1} )}}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}} \\&- \frac{{{\rm{i}}( {5{A^2} - 2{A^2}\beta \!+\! 9{A^4}\beta - 7{A^4} \!+\! \beta } )}}{{1 + 5{A^2} + 4{A^4}}} \bigg].\end{split}$

从(8)式和(10)式可以看出, 频率为ω的单频声波在介质中传播时, 声速发生了改变且滋生了频率为$2\omega $和$3\omega $的谐波. 如果在展开式(3)式中保留更高次项, 就可以得到更高次的谐波解. 而且各高次谐波的强度都与驱动声压、介质的性质有关, 并随传播距离x的增大而增大.
2 -->

2.2.声波间的非线性作用及传播

考虑到实际的声源辐射的声波一般都含有多个频率成分, 不同频率声波间的非线性作用又会产生新的各阶差频与和频声波, 致使初始声波的传播特性发生了改变. 为使问题简化, 以下仅讨论两列声波间的相互作用.
基于文献[22]中单频声波方程的求解方法, 设初始声波为两个频率为${\omega _1}$和${\omega _2}$的简谐扰动之和, 令

${\varphi '_1} = {\varphi '_{\rm{1a}}} + {\varphi '_{\rm{1b}}} = {\varphi '_{\rm{a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}} + {\varphi '_{\rm{b}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}.$

将(15)式代入(5)式的右端, 得到的二级近似方程为

$\begin{split} &\frac{{{\partial ^2}{{\varphi '}_2}}}{{\partial {t^2}}} - c_0^2\frac{{{\partial ^2}{{\varphi '}_2}}}{{\partial {x^2}}} - \frac{b}{{{\rho _0}}}\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{{\varphi '}_2}}}{{\partial {x^2}}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {{{\left( {\frac{{\partial {{\varphi '}_1}}}{{\partial x}}} \right)}^2} + \frac{{\beta - 1}}{{c_0^2}}{{\left( {\frac{{\partial {{\varphi '}_1}}}{{\partial t}}} \right)}^2}} \right]\\ = \;&\frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {{{\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial x}}} \right)}^2} + \frac{{\beta - 1}}{{c_0^2}}{{\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial t}}} \right)}^2}} \right]\\ & + \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {{{\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1b}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial x}}} \right)}^2} + \frac{{\beta - 1}}{{c_0^2}}{{\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1b}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial t}}} \right)}^2}} \right]\\&+ \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {2\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial x}}} \right)\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1b}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial x}}} \right)}\right. \\& \left.{ + 2\frac{{\beta - 1}}{{c_0^2}}\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial t}}} \right)\!\!\left( {\frac{{\partial \left( {{{\varphi '}_{\rm{1b}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\!\left( {t - {x / c}} \right)}}} \right)}}{{\partial t}}} \right)}\! \right].\end{split}$

求解(16)式得到对应的二级近似解为

${\varphi '_2} = {\varphi '_{\rm{2a}}} + {\varphi '_{\rm{2b}}} + {\varphi '_{\rm{2c}}}.$

其中　　 　　$\qquad {\varphi '_{\rm{2 a}}} = - \dfrac{{\varphi _{\rm{a}}^{'2}\omega _1^3 x}}{{2 c_0^4}}\left[ {\dfrac{{\beta - 5 A_1^2\beta + 3 A_1^2}}{{1 + 5 A_1^2 + 4 A_1^4}} + \dfrac{{{\rm{i}}{A_1}\left( {2 A_1^2\beta - 2 A_1^2 + 2\beta + 1} \right)}}{{1 + 5 A_1^2 + 4 A_1^4}}} \right]{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}},$

$\begin{split}&{\varphi '_{\rm{2b}}} = - \frac{{\varphi _{\rm{b}}^{'2}\omega _2^3x}}{{2c_0^4}}\left[ {\frac{{\beta - 5A_2^2\beta + 3A_2^2}}{{1 + 5A_2^2 + 4A_2^4}} + \frac{{{\rm{i}}{A_2}\left( {2A_2^2\beta - 2A_2^2 + 2\beta + 1} \right)}}{{1 + 5A_2^2 + 4A_2^4}}} \right]{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}},\\&{\varphi '_{\rm{2c}}} = - \frac{{{{\varphi '}_{\rm{a}}}{{\varphi '}_{\rm{b}}}{\omega _1}{\omega _2}x}}{{c_0^3}}\left[ {\frac{{\beta \left( {1 - A_{12}^2} \right) + A_{12}^2}}{{1 + A_{12}^2}} + \frac{{{\rm{i}}{A_{12}}\left( {1 - 2\beta } \right)}}{{1 + A_{12}^2}}} \right]{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}.\end{split}$

式中, ${A_1} = \dfrac{{{\omega _1}b}}{{{\rho _0}c_0^2}}$, ${A_2} = \dfrac{{{\omega _2}b}}{ {{\rho _0}c_0^2}}$, ${A_{12}} = \dfrac { ( {\omega _1} + {\omega _2} )b} {{\rho _0}c_0^2}$.
考虑到复数解${{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}$的实部为

$\begin{split}& \cos \left[ {{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)} \right]\cos \left[ {{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)} \right] \\= \;& \dfrac{1}{2}\cos [ \left( {{\omega _1} + {\omega _2}} \right) \left( {t - {x / c}} \right) ] \\ & + \dfrac{1}{2}\cos \left[ {\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)\left( {t - {x / c}} \right)} \right] \end{split}$

可知, (17)式右端的第三项${\varphi '_{{2 c}}}$是由两列简谐波组成的, 它们分别为两列初始声波的和频波与差频波.
利用关系式$p = {\rho _0}\dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}$, 得到声压的表达式为

$p' = {p'_1} + {p'_2},$

${p'_1} = {\rho _0}\frac{{\partial {{\varphi '}_1}}}{{\partial t}} = {p'_{\rm{1a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}} + {p'_{\rm{1b}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}},$

$\begin{split} {p'_2} =\;& {\rho _0}\frac{{\partial {{\varphi '}_2}}}{{\partial t}} = {p'_{\rm{2a}}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}} + {p'_{\rm{2b}}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}\\&+ {p'_{\rm{2c}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _1}\left( {t - {x / c}} \right)}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _2}\left( {t - {x / c}} \right)}}.\end{split} $

其中

${p'_{\rm{1a}}} = i{\rho _0}{\varphi '_{\rm{a}}}{\omega _1},$

${p'_{\rm{1b}}} = i{\rho _0}{\varphi '_{\rm{b}}}{\omega _2},$

$\begin{split} {p'_{\rm{2a}}} =\;& \frac{{{\rho _0}\varphi _{\rm{a}}^{'2}\omega _1^4x}}{{c_0^4}}\left[ \frac{{{A_1}\left( {2A_1^2\beta - 2A_1^2 + 2\beta + 1} \right)}}{{1 + 5A_1^2 + 4A_1^4}} \right.\\&\left.+ \frac{{{\rm{i}}\left( {5A_1^2\beta - \beta - 3A_1^2} \right)}}{{1 + 5A_1^2 + 4A_1^4}} \right],\end{split} $

$\begin{split} {p'_{\rm{2b}}} =\;& \frac{{{\rho _0}\varphi _{\rm{b}}^{'2}\omega _2^4x}}{{c_0^4}}\left[ \frac{{{A_2}\left( {2A_2^2\beta - 2A_2^2 + 2\beta + 1} \right)}}{{1 + 5A_2^2 + 4A_2^4}}\right.\\&\left.+ \frac{{{\rm{i}}\left( {5A_2^2\beta - \beta - 3A_2^2} \right)}}{{1 + 5A_2^2 + 4A_2^4}} \right],\end{split} $

$\begin{split} {p'_{\rm{2c}}} =\;& \frac{{{\rho _0}\left( {{\omega _1} + {\omega _2}} \right){\varphi '_{\rm{a}}}{\varphi '_{\rm{b}}}{\omega _1}{\omega _2}x}}{{c_0^3}}\left[ \frac{{{A_{12}}\left( {1 - 2\beta } \right)}}{{1 + A_{12}^2}}\right.\\&\left.+ \frac{{{\rm{i}}\left( {\beta A_{12}^2 - \beta - A_{12}^2} \right)}}{{1 + A_{12}^2}} \right].\end{split} $

比较单、双频声波传播方程的二级近似解即(8)式和(17)式可以看出, 双频声场中不仅含有两列声波单独传播时滋生的二次谐波项${\varphi '_{2{\rm{a}}}}$和${\varphi '_{2{\rm{b}}}}$, 还增加了修正项${\varphi '_{2{\rm{c}}}}$. 第三项${\varphi '_{2{\rm{c}}}}$的出现说明: 两列声波在非线性传播过程中发生了相互作用, 并在介质中激发了频率分别为$\left| {{\omega _1} + {\omega _2}} \right|$和$\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|$的新简谐波. 我们把由于声波间的非线性相互作用在介质中产生和频波与差频波的现象称为声参量效应^[23].

2

-->

3.1.单频声场中的谐波分量

采用文中的非线性传播模型, 对单频声波声轴线上的声场分布进行了数值分析. 图1中的横坐标为$X = x/{x_k}$, 纵坐标为$P = {{{p_N}} / {{p_{\rm{1 a}}}}}$, N为谐波的阶数. 其中x为观察点与声源之间的距离、${x_k}$为临界距离、${p_N}$为N次谐波的声压幅值、${p_{1{\rm{a}}}}$为驱动声压幅值. 当驱动声压幅值${p_{\rm{1 a}}} = 2 \times {10^5}\;{\rm{ Pa}}, \;f = 1\;{\rm{M}}{\rm{H}}z$时(在水中$\beta = 3.6$)产生的谐波的传播规律, 如图1所示.
图 1 各阶谐波的声压分布曲线
Figure1. The harmonic curve of acoustics.

从图1可以看到, 在声源附近的声场中以基波为主, 谐波的含量较少; 随着传播距离的增大, 基波的声压逐渐减小, 谐波的声压逐渐增大. 这表明声场的能量由基波向高次谐波发生了转移且在临界距离处达到了最大; 阶数越高的谐波声压越小转移的能量也越少. 图1中谐波声能约占基频能量的13%, 其中有9%的声能转换成了二次谐波. 为了简化问题, 以下仅讨论二次谐波的产生与传播规律.
在不同驱动声压、不同频率下产生的二次谐波曲线如图2所示. 从图2(a)中可以看出, 当声波频率为1.5 MHz时, 驱动声压越大, 产生的二次谐波的声压越大; 随着距离的增大, 二次谐波的声压值先增大后减小; 二次谐波的幅值越大, 衰减的也越快. 从图2(b)中可以看出, 驱动声压幅值为4.8 × 10⁵ Pa时, 驱动频率越大, 二次谐波的声压幅值越小; 随着距离的增大, 二次谐波的声压幅值先增大后减小; 声压幅值越小的二次谐波衰减得越快. 图1和图2表明, 谐波的强度与声源的驱动声压、频率以及和声源的间距有关, 驱动声压较高、频率较低的声场中更容易滋生谐波.
图 2 二次谐波曲线　(a)不同声压下的二次谐波; (b)不同频率下的二次谐波
Figure2. The distribution of second harmonic: (a) Different acoustic pressure; (b) different acoustic frequency.

驱动声压不同时, 产生的谐波的声能与声场总能量之比的分布曲线如图3所示. 当频率为1.5 MHz时, 随着驱动声压的增大, 声场中谐波能量的含量比也随之增大, 这说明在声的非线性传播过程中, 驱动声压越大基波向谐波转移的声能量越多; 随着距离的增大, 谐波的含量逐渐积累增大而后减小, 驱动声压越强谐波含量比的变化越快.
图 3 谐波声能与总能量比分布
Figure3. Distributions of the ratio of the hamonic and total energies.

2 -->

3.2.声波间的非线性作用与各谐波分量的分布

设两列波的声压幅值为${p_{\rm{1 a}}}, \;{p_{\rm{2 a}}}$, 频率为${f_1}, $$ \;{f_2}\left( {{f_2} > {f_1}} \right)$, 其中${f_1} = 1\;{\rm{ MHz}}$, 选取的参数为: $m = $$ {{{p_{\rm{2 a}}}} / {{p_{\rm{1 a}}}}}, \;n = {{{f_2}} / {{f_1}}}$. 设声场中总输入声能为$40\;{\rm{ J/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$, 在声轴线上产生的和差谐波分量的分布, 如图4和图5所示.
图 4 和频波声压分布曲线
Figure4. The acoustic pressure curves of sum frequency.

图 5 差频波声压分布曲线
Figure5. The acoustic pressure curves of difference frequency.

从图4和图5可以看出, 在频率比n一定时, 和差频波的声压幅值都随着m的增大而增大; 声压比m一定时, 随着n的增大而减小; 差频波的声压比和频波的大且衰减得慢; 驱动声压极值和频率值较小时激发的谐频波较强, 如n = 2, m = 1/1时, 激发的和差频波最强, 且差频波声压约为和频波的3倍.
由图6可以看到, 在频率比n一定时, 谐波的声能含量随着m的增大而增大; 声压比m一定时, 随着n的增大而减小; 随着传播距离的增大, 谐波的含量先增大后减小. 当n = 2, m = 1∶1时, 谐波含量达到最大约占声场总声能的50%, 说明声场中的能量转移不仅与输入的声功率有关, 还与入射声的组成成分有关.
图 6 谐波声能与总能量比分布
Figure6. The ratio of the hamonic and total energies.

2 -->

3.3.声参量效应对声场分布的影响

声波在非线性传播中产生的谐波与声场的驱动声压幅值、频率及介质的性质密切相关, 同时原声场也会因谐波的存在而发生改变. 在输入总声能相同的情况下, 单、双列声波传播中的声能变化及场中声能的分布如图7和图8所示.
图 7 基频声能量的分布
Figure7. The distribution of fundamental energy.

图 8 基频声能量与总声能量比分布
Figure8. The ratio of the fundamental and total energies.

从图7可以看出, 在m = 1的情况下, 单频声场中的声能衰减量最大而且衰减的速度也最快, 声源远场1 m处的声能只剩下了5%; 多频声场中频率比n较大的声能衰减得较快. 图8给出了不同声场中的基波声能占比分布, 当谐波的含量增大时, 基波声能与总声能的比值就会减小. 图8中显示基波声能比先减小后增大, 说明在传播过程中产生的高次谐波率先被介质吸收; 在$x = 0.35\;{\rm{ m}}$处, 单频的声能比下降的值最大说明滋生的谐波最显著. 结合图7和图8可知, 单频声场中的驱动声压较大、产生的谐波较多且衰减得快、远场的声能以基波能为主; 相比之下多频声场中的声能分布较均匀、声波传播的距离较大、远场中的谐波含量也较大.

本文对声波的非线性传播过程中出现的声参量效应进行了探讨. 人们发现了强声场中的众多现象, 例如水中大幅声波的超吸收、声场中能量的负效应等都与参量的激发有关. 声场中谐波的产生和积累过程与驱动声压、频率和介质的性质密切相关. 例如, 图1所示的声压幅值为2 × 10⁵ Pa的声波在水中的传播规律, 表明声波在介质中传播时不但出现了谐波成分, 而且谐波的含量还随着传播距离的增大不断增强. 图2(a)中, 频率一定时驱动声压越大产生的二次谐波越强; 图2(b)中, 声压一定时频率较大产生的二次谐波较弱. 由图3给出的声场中的谐波声能比分布可知, 频率一定的声场中, 谐波含量比随着输入声压幅值的增大而增大. 这表明声波与介质的非线性作用产生的谐波积累远远超过了声的吸收作用. 从图4—图6中的和频波与差频波的声压以及谐波的声能分布, 可以看到和频波含量较小且大多集中在声源的附近, 差频波较强而且传播距离较远. 图7和图8给出的单、双频场中的基波声能的分布及基波声能与场中总声能比的分布, 说明多频场中的非线性作用过程要比单频场更加复杂, 谐波成分也更丰富. 综合以上分析, 说明声波沿着传播路径不断地激励介质并产生新的谐波, 由于高次谐波更容易被介质吸收从而导致了声能量的加速衰减; 在增大输入声功率的同时, 声场中的谐波含量也在增大, 声能的衰减也在加快. 最终的结果是高驱动产生了比低驱动更低的声能分布, 因而参量效应也是引发强声场中声的超吸收、声能反常衰减的因素之一. 文中的研究还表明, 当多频声源输出的声波的声压比和频率比不同时, 声场的分布就会发生变化. 例如两列频率相近的等幅声波的耦合声场, 与同声功率的单频声场相比, 声场的传播距离明显增大而且场中声能分布的均匀性也得到了显著提高. 这为通过改变输入声波的组成, 调控声场的分布提供了理论上的依据, 也使得在高声强情况下建立一个畸变低、声能分布均匀的声场成为可能.