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绝热跃迁方法测量铯喷泉钟冷原子碰撞频移

本站小编 Free考研考试/2021-12-29
摘要:冷原子碰撞频移是限制铯原子喷泉钟频率不确定度性能的主要因素之一. 在使用外推法测量冷原子碰撞频移时, 制备密度均匀成比例的原子团是减小系统误差的关键. 绝热跃迁方法可以用来实现均匀跃迁比例, 均匀度可达10–3. 通过理论分析Bloch矢量的演化, 导出了误差满足的方程, 实验测量了不同参数对跃迁几率的影响, 印证了理论分析. 在此基础上可以优化实验参数并评估原子有效密度比的不确定度, 实现了冷原子碰撞频移的高精度测量.
关键词: 铯原子喷泉钟/
冷原子碰撞频移/
绝热跃迁方法

English Abstract


全文HTML

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1.引　言
铯原子喷泉钟是复现秒定义的频率基准装置, 冷原子碰撞频移是限制频率不确定度性能的主要因素之一[1-6]. 在原子团冷却到μK量级时, 原子的de Broglie波长增大, 带来了冷原子碰撞频移[7-10]. 由于这项频移与密度成正比, 为测量频移, 需要用高低两种密度的原子团来交替运行, 由于碰撞频移和密度成正比, 所以用两种状态的频率和密度比例, 即可外推到0密度时的频率[11]. 最简单的做法是改变选态腔的选态功率, 但是用这种方法制备高低密度原子时, 由于选态腔微波幅度分布不均匀, 原子团的密度分布就会有所变化, 原子数目的比值就不能很好地反映有效密度的比值, 采用原子数目比值外推就会带来误差[12]. 另外, 由于原子的速度不同, 经历的激励腔功率也会有所差别, 在自由飞行阶段$\left| {F = 4, {m_F} = 3} \right\rangle $态原子的比值也会影响碰撞频移[13], 所以对不同速度的原子, 制备高低密度原子团时比例不均匀同样会带来误差. Santos等[12]指出由此带来的误差可达到10%—20%. NIST-F2采用改变装载时间的方法来调整原子数, 原子团的分布改变小于5%[14].
绝热跃迁方法(rapid adiabatic passage, RAP)是指在满足量子绝热近似的条件下连续改变哈密顿量, 使原子通过绝热跃迁改变布居数, 实现与功率无关的均匀跃迁几率[15], 从而制备密度比例空间均匀的原子团的方法[16]. 实验证明这是一种对环境因素不敏感的方法, 可以实现10–3量级均匀的原子团, 大大减小了碰撞频移的不确定度[12,16-19]. 本文将在第2节对RAP方法的误差进行理论分析, 导出误差满足的方程, 确定导致误差的激励源; 第3节将在NTSC-F1上测量各种参数对该方法的影响, 评估该方法对碰撞频移不确定度的影响; 第4节对实验结论进行总结.
2.二能级绝热跃迁理论分析
对二能级系统, 原子态的演化可由Bloch方程来表示:
$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\begin{aligned} x \\ y \\ z\end{aligned}} \right) = 2{\text{π}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \delta }&0 \\ \delta &0&{ - b} \\ 0&b&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{aligned} x \\ y \\ z \end{aligned}} \right),$
x, y, z分别是原子态的Bloch球三个分量, 其中z表示原子在两能级的布居数差, δ为微波与原子能级的失谐量, b为微波功率相应的Rabi频率. 当δ和b固定时, Bloch矢量在Bloch球面上绕着bx + δz轴旋转, 转轴位于xz平面, 角速度为
$\varOmega = 2{\text{π}}\sqrt {{b^2} + {\delta ^2}} .$
当δ和b变动时, 如果转轴进动的速度远远小于转动的速度, 即满足条件[14]
$ | {\dot \theta } | \ll \sqrt {{b^2} + {\delta ^2}} ,$
则原子态的Bloch矢量会随轴进动, 从而产生原子布居数的绝热改变. 当转轴转过180°时, 就实现了全跃迁. 当转轴转过90°时, 就实现了半跃迁. 和其他跃迁几率不同, 全跃迁和半跃迁对微波幅度都不敏感, 因此虽然原子速度有快慢, 选态腔微波功率不均匀, 但所有原子都能以很高的精度以同样的概率跃迁, 从而获得原子数不同但原子的空间分布和速度分布都相同的原子团.
当$ \delta \ll b$时, 将θ写成δ和b的函数, 可以由(3)式导出
$ | {\dot \delta } | \ll {b^2}.$
对Bloch球上的坐标进行变换(图1),
图 1 坐标变换示意图
Figure1. Map of coordinate transformation

$x = \sin \theta \sin \varphi,~y = \cos \theta,~z = \sin \theta \cos \varphi ,$
旋转轴在t = 0时刻位于z轴方向, 然后沿θ = π/2大圆旋转, 角速度为Ω. 以ξ表示旋转轴与z轴的夹角. 当满足绝热条件时, 原子离转轴的位置会很近, 记θ = π/2 + Δθ, φ = π/2 + Δφ, 则Bloch方程可简化为:
$\begin{split} &\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\Delta \theta = - 2{\text{π}}\varOmega {\rm{sin}}\Delta \phi, \\ &\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\Delta \phi = 2{\text{π}}\varOmega \cos \Delta \phi {\rm{tan}}\Delta \theta - \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\xi, \end{split} $
当Ω很大时, Δθ, Δφ都很小, (6)式可化为两个波动方程:
$\begin{split}&\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}\Delta \theta - \frac{{\dot \varOmega }}{\varOmega }\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\Delta \theta + 4{{\text{π}}^2}{\varOmega ^2}\Delta \theta = 2{\text{π}}\varOmega \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\xi ,\\&\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}\Delta \phi \!-\! \frac{{\dot \varOmega }}{\varOmega }\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\Delta \phi \!+\! 4{{\text{π}}^2}{\varOmega ^2}\Delta \phi \!=\! \frac{{\dot \varOmega }}{\varOmega }\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\xi \!-\! \frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}\xi .\end{split}$
在方程(7)中可以看到, 原子Bloch矢量绕轴旋转, 偏差满足波动方程. 方程的右边可以视为误差源, 来自于进动轴的角速度与角加速度, 以及Ω的变化. 要达成跃迁必须要有转轴的进动, 角速度和角加速度都不可能大幅减小, 因此误差是不可避免的. 误差应正比于方程右边的误差源, 反比于$ \varOmega^2 $. 假定时间长度为T, 脉冲形状不变, 则误差源反比于$ T^2 $, 可以预期误差$ \Delta p \propto (\varOmega T)^2 $.
3.实验与结果
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3.1.实验装置
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3.1.实验装置

实验框图如图2所示, 频率波形由任意波形发生器产生, 和另一个DDS输出的9.2 GHz进行混频低通滤波, 之后再经过压控衰减器和放大器, 得到选态微波所需的9.2 GHz信号. 软件编辑好任意的调制波形, 通过远程接口写入. 幅度的变化通过模拟输出通道控制压控衰减器实现.
图 2 生成RAP脉冲的微波电路
Figure2. Scheme of microwave circuit generating RAP pulses.

实验中, 微波脉冲选取的是Blackman脉冲. 该脉冲产生的边带幅度较小, 实验证明采取Blackman脉冲可以将到其他子能级的跃迁减少3个数量级[20]. 失谐则由Blackman脉冲与绝热条件(4)式确定.
$\begin{split}& b\left( t \right) = {b_0}\left( {0.42 - 0.5\cos 2{\text{π}}t + 0.08\cos 4{\text{π}}t} \right), \\ &\delta \left( t \right) = {f_0} + {\delta _0}\left( {2\frac{{\displaystyle\int_0^{\rm{t}} {{b^2}\left( u \right){\rm{d}}u} }}{{\displaystyle\int_0^{\rm{1}} {{b^2}\left( u \right){\rm{d}}u} }} - 1} \right), \end{split} $
其中b0为脉冲Rabi频率的幅度, δ0为频率幅度, f0为中心频率, 脉冲时间归一化为1.
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3.2.实验结果
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3.2.实验结果

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3.2.1.全脉冲
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3.2.1.全脉冲
由前述结果, 当全脉冲结束时, ξ = π, 跃迁几率为
$p \approx 1 - \frac{1}{4}\left( {\Delta {\theta ^2} + \Delta {\varphi ^2}} \right).$
由于误差只与Δθ, Δφ的二次项成正比, 因此全脉冲对影响绝热跃迁演化过程的参数比较不敏感.
在绝热跃迁中, 微波功率和频率的调整幅度b0和δ0是最直接的参数, 对跃迁几率有直接的影响. 图3分别展示了固定b0调整δ0, 以及固定δ0调整b0的跃迁几率变化. 在脉冲形状确定后, 假定中心频率f0与原子谐振频率无失谐, 则b0与δ0的比值k完全决定误差源的变化. 当k接近1时, 误差源很小, 当k远离1时误差源迅速增大. 其中, 当k大于1时, 误差源主要出现在脉冲的两端, 反之则出现在脉冲的中间(图4).
图 3 脉冲长度8 ms, 脉冲起始点在进入腔后4 ms的跃迁几率　(a) δ0为5 kHz, 不同b0的跃迁几率; (b)功率幅度为10 kHz, 不同δ0的跃迁几率
Figure3. Transition probability as a function of b0 and δ0 with 8 ms pulse starts 4 ms after atoms entering the cavity: (a) δ0 = 5 kHz, with different b0; (b) b0 = 10 kHz, with different δ0.

图 4 误差源随时间的变化
Figure4. Time evolution of deviation excitation.

极端情况下, 在k过大或过小时, 绝热条件不能满足, 误差就会非常大. 在全脉冲情况下, 所有的偏差都会导致跃迁几率减小.
脉冲的时间参数是另一组重要的参数, 脉冲相对于原子团进入微波作用区的时间和作用时间, 都会对原子跃迁几率产生不同的影响. 原子团通过选态腔的时间约为12 ms, 通过原子的上抛高度和选态腔的位置, 计算得原子团到达腔中点的时间为上抛开始40 ms. 图5(a)测量了不同的脉冲长度造成的影响. 由于全脉冲误差很小, 在脉冲偏离8 ms不太远的范围, 跃迁几率近似都为1. 当脉冲长度接近0, 由于脉冲长度的缩短相当于Ω的缩小, 在脉冲长度过于小时, 绝热条件渐渐遭到破坏, 造成跃迁几率减小. 在图5(a)的另一端, 脉冲长度增大, 当脉冲的长度超过原子团过腔时间时, 脉冲起始时原子尚未进入选态腔, 原子团出腔时, 脉冲尚未结束. 因此, 原子团感受到的脉冲相比输入的脉冲会发生畸变, 在两端都会产生进动轴角速度的异常改变, 使原子的状态偏离进动轴, 跃迁几率下降. 在图5(b)中, 脉冲长度固定为8 ms, 改变起始时间, 跃迁几率的变化也会因为同样的原因而降低. 当起始点早于0 ms时, 原子感受到的脉冲会在开始的部分产生畸变; 当起始点大于4 ms时, 原子感受到的脉冲会在结束的部分产生畸变; 跃迁几率都会因此下降. 图5(b)中跃迁几率下降的时间点和计算所得相符合.
图 5 时间参数对跃迁比例的影响, 其中δ0 = 5 kHz, b0 = 10 kHz. 以原子到达选态腔下端面为时间0点　(a)固定脉冲以原子在腔中心的时间点为中心, 改变脉冲长度; (b)固定脉冲长度为8 ms, 改变脉冲起始时间
Figure5. Transition probability as a function of time parameters, δ0 = 5 kHz, b0 = 10 kHz, atoms enter selection cavity at time 0: (a) Pulse duration remaining symmetric about the central point of cavity; (b) start point of pulse with a fixed duration of 8 ms.

另一个重要参数是中心频率f0. 理想情况下, 频率调整的范围应以谐振频率为中心. 但由于测量偏差, 可能会有所偏离. 此处测量了这项误差对于全脉冲跃迁几率的影响, 结果如图6所示. 当中心频率改变时, 转动轴的角速度在中点两侧会产生不对称的变化, 改变偏差激励. 但实验结果显示, 对于一个相当大的频率范围(±4.5 kHz), 在观测精度以内没有发现跃迁几率的变化. 只有在两端偏离值接近5 kHz时, 跃迁几率才有显著下降. 由于8 ms的脉冲产生的Rabi跃迁峰, 半高宽就约为125 Hz左右, 因此在中心频率偏差接近5 kHz时, 在脉冲的开始或结束时, 绝热条件都遭到了显著破坏, 因此才会出现跃迁几率下降.
图 6 不同频率中心值的跃迁几率
Figure6. Transition probabilty as a function of center frequency detuning.

实验测量了以上5个参数对全脉冲跃迁几率的影响. 由于全脉冲跃迁对偏差值不敏感, 以上的参数和理想值的偏差没有非常大时, 对跃迁几率都几乎没有影响. 由于对相同的偏差, 全脉冲的误差正比于半脉冲误差的平方, 因此, 在测量全脉冲和半脉冲的原子跃迁几率比值时, 误差几乎全部来自于半脉冲的误差.
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3.2.2.半脉冲
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3.2.2.半脉冲
当半脉冲结束时, 设ξ = π/2 + Δξ, 跃迁几率为
$p \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\Delta \varphi + \frac{1}{2}\Delta \xi .$
误差正比于Δξ和Δφ, 因此, 半脉冲的误差相比全脉冲更容易受到影响. 除了原子状态因为激励源偏离转轴造成的误差, 由于中心频率的误差造成半脉冲结束时轴的角度偏差也能造成跃迁几率的偏差.
对半脉冲的测量, 脉冲结束时间点的频率会影响此时转动轴的角度, 从而影响跃迁几率. 由于磁场不均匀, 若脉冲结束时原子的位置不同, 则中心频率的相对移动就会带来额外的误差. 为对比起见, 图7测量不同脉冲长度时, 脉冲结束点固定在进入腔后10 ms处, 通过改变脉冲起始点来改变脉冲长度. 如前所述, 脉冲时间缩短, 相当于转动速度减小, 因此对不同的脉冲长度, 低功率下跃迁几率都减小, 但脉冲越短, 降低得越多. 而以b0T为横坐标时, 则不同脉冲长度的曲线近似于完全重合.
图 7 δ0 = 5 kHz, 脉冲开始于不同时刻, 结束于入腔后10 ms. 5个不同脉冲长度下, 不同b0的跃迁几率　(a)横坐标为b0; (b)横坐标为b0与脉冲长度T的乘积
Figure7. Transition probability as a function of b0 for a 5 kHz δ0 pulse start at 5 different points and end at 10 ms after entering cavity: (a) b0 as the abscissa; (b) b0T as the abscissa.

图8(a)显示了不同的δ0对跃迁的影响. 在b0较低时, 跃迁几率会显著小于1, 这同之前的结果相类似. 而δ0此时对跃迁几率就有明显的影响, δ0越大, 跃迁几率越小. 在功率幅度小于δ0时, 越大的δ0, 造成误差激励源的增大越明显, 即使Ω的增大也不能补偿由此产生的偏差. 只有在功率幅度和δ0大小接近时, 角加速度和Ω变化率带来的偏差减小, Ω的增大才会有助于减小误差. 在图8(b)中, 脉冲长度的改变相当于Ω的变化, 但脉冲幅度和频率幅度的比保持不变, 于是在短到1 ms的脉冲时, 跃迁几率也没有像图8(a)中那样出现明显的下降.
图 8 (a)在5个δ0下, 不同b0的跃迁几率; (b)脉冲频率幅度为5 kHz, b0为10 kHz, 不同脉冲长度的跃迁几率
Figure8. Transition probability as a function of (a) b0 for five different δ0, (b) pulse duration with δ0 = 5 kHz, and b0 = 10 kHz.

当半脉冲结束时, 由于失谐为0, 所以不论微波功率多大, 转动轴都正好指向π/2角度, 对应于1/2跃迁几率. 这正是半脉冲对功率相对不敏感的原因所在. 但是, 如果中心频率有误差Δf, 则跃迁几率为0.5 + Δf/Ω. 由于角度反比于Rabi频率Ω, 因此随着功率幅度的增高, 误差逐渐缩小. 图9(a)展示了在3个中心频率下跃迁几率的变化, 明显可以看到, 在中心频率大于0时, 随着脉冲幅度的增加, 跃迁几率会先增大到接近0.7, 再逐渐缩小. 图9(b)中, 在脉冲长度趋于0的一端, 跃迁几率的上升也同样意味着中心频率偏大. 在图8(b)中, 不同中心频率下的跃迁几率展示出非常好的线性度. 这一结果同样很明显地显示出中心频率的偏差.
图 9 (a)中心频率取100, 0, –100 Hz, 不同b0时的跃迁几率; (b)δ0 = 5 kHz, b0 = 10 kHz时, 不同中心频率的跃迁几率
Figure9. (a) Transition probability as a function of b0 for 100, 0, –100 Hz center frequency detuning; (b) transition probability as a function of center frequency detuning for δ0 = 5 kHz and b0 = 10 kHz.

为准确测定目前的半脉冲结束时, 原子团所在位置的谐振频率, 实验中采用了1 ms脉冲, 测量$\left| {F = 3, {m_F} = 1} \right\rangle $到$\left| {F = 4, {m_F} = 1} \right\rangle $的跃迁频率, 计算即可得到$\left| {F = 3, {m_F} = 0} \right\rangle $到$\left| {F = 3, {m_F} = 0} \right\rangle $的频率. 在修正过后的中心频率下经过3 h的测量, 得到高低密度原子团的比值为0.5068, 相应的稳定度如图10所示, 在1000 s时稳定度已经可以达到2 × 10–4. 由于测量密度比时是交替运行的, 此时的稳定度主要决定于原子数本身的稳定度和测量噪声, 稳定度的稳定下降显示绝热跃迁方法的跃迁几率比值非常稳定. 跃迁几率与理想值0.5之间有6.8 × 10–3的差异. 经分析, 即使在没有选态微波时, 也有一定数量的F = 3态的原子数本底, 主要是选态推光抽运到3态的原子. 当原子团中含有与选态方法无关的F = 3态原子Δn时, 比例r = NL/NH变为
图 10 密度比的稳定度
Figure10. Stability of atoms number ratio.

$r = \frac{{{N_{\rm{L}}} + \Delta n}}{{{N_{\rm{H}}} + \Delta n}} \approx \frac{{{N_{\rm{L}}}}}{{{N_{\rm{H}}}}} + \frac{{{N_{\rm{L}}}}}{{{N_{\rm{H}}}}}\frac{{\Delta n}}{{{N_{\rm{H}}}}}.$
在上组测量之后, 通过交替运行全脉冲与无选态, 测得本底与全脉冲的比值约为1.22%, 因此扣除本底, 高低密度原子数比值为0.5007. 本底原子的比例长期来看会有一定程度的浮动, 多次测量得到的值在0.3%—1.5%之间.
最后一个可能影响比值的因素是半脉冲的边带. 由于半脉冲结束时功率由最大幅度突降为0, 带来比较高的边带效应, 可能导致原子跃迁到F = 4态的其他子能级. 增加磁场, 可以让这些子能级远离钟跃迁能级, 减小边带带来的影响. 图11是在几个磁场强度下测得的跃迁几率. 在磁场小到11000 nT时, 跃迁几率有6‰左右的偏差, 但在15000 nT以上, 跃迁几率就没有明显差异了. 日常运行时, 磁场约为18000 nT, 可以合理地估计边带带来的密度比不确定度不超过1 × 10–3.
图 11 不同磁场下的跃迁几率
Figure11. Transition probability as a function of magnetic field

当测量冷原子碰撞频移时, 由高密度原子团频率fH, 低密度原子团频率fL, 以及密度比k, 可以外推得到0密度原子的频率,
${f_{{\rm{ext}}}} = \frac{{k{f_{\rm{L}}} - {f_{\rm{H}}}}}{{k - 1}}, $
其不确定度为
$\begin{split}{\sigma _{{\rm{ext}}}}^2\left( \tau \right) =\; & {\left( {\frac{k}{{k - 1}}} \right)^2}{\sigma _{\rm{L}}}^2({\tau _{\rm{L}}}) + {\left( {\frac{1}{{k - 1}}} \right)^2}{\sigma _{\rm{H}}}^2({\tau _{\rm{H}}})\\ & + {\left( {\frac{{{F_{\rm{L}}} - {F_{\rm{H}}}}}{{{{\left( {k - 1} \right)}^2}}}} \right)^2}{\sigma _k}^2,\\[-20pt]\end{split}$
式中前两项是统计不确定度, 可以通过延长测量时间而缩小. 第三项k的变化可以分为两部分, 第一部分是由于原子数本身的变化, 实验测得的原子数比值会因此偏离理论上的k值, 随着时间的延长偏差会趋向于0, 因此也应该归于统计不确定度. 第二部分是系统不确定度, 来源于原子团制备方法带来的k的不确定度. 采用绝热跃迁方法, 由于参数变化密度比r的差异小于2 × 10–3. F = 3态的原子数本底中, 有1/7为$\left| {F = 3, {m_F} = 0} \right\rangle $态原子, 因此对r的改变为本底占比的1/14, 从宽估计本底原子影响小于2 × 10–3. 两项合计r的不确定约为3 × 10–3, k = 1/r的不确定为6 × 10–3, NTSC-F1的碰撞频移测量, fH与fL的差约为2.8 × 10–14[21], 若采取绝热跃迁方法, k = 2, 系统不确定度σk可以达到1.6 × 10–16.
4.结　论
理论分析了误差的来源和影响的大小, 实验也证明, 绝热跃迁方法有很好的健壮性, 对参数的变化和外界影响不敏感. 全脉冲对参数在很大范围的变化都表现得很稳定, 对同样的扰动误差变化都比半脉冲要低几个量级, 因此原子团有效密度比值的误差主要取决于半脉冲的误差. 半脉冲的误差主要有几个来源. 首先, 是绝热跃迁的过程中原子状态和转动轴的偏离, 只要保证脉冲幅度与频率幅度大小相近, ΩT足够大, 就能减小误差. 第二是中心频率的误差, 可以通过仔细测量谐振频率值来减小. 第三是边带的误差, 可以通过加大磁场来缩小. 以上三个方面决定了绝热跃迁方法本身的误差都可以合理地降低. 最后是F = 3态本底原子. 此因素不影响绝热跃迁方法的准确性, 但会改变原子数比例. 这可以通过调整光学系统加以改善, 在无法消除时, 在使用绝热跃迁方法测量冷原子碰撞频移时, 可以测量残余原子的数量并修正密度比. 相比用Rabi跃迁调控原子数方法10%—20%的误差, 绝热跃迁方法可以将冷原子碰撞频移测量的系统不确定度降低50—100倍.
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    摘要:高能量密度纳秒量级强脉冲离子束辐照材料表面的烧蚀产物和束流的相互作用,可能对束流在靶中的能量沉积产生影响,进而影响烧蚀情况下的束流分析和相关应用的优化.本文采用红外成像方法对横截面能量密度1.5—1.8J/cm2的强脉冲离子束在304不锈钢和高分子材料上的能量沉积进行了测量分析.结果表明在高分 ...
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  • 脉冲调制条件下介质阻挡特高频放电特性的数值模拟
    摘要:大气压条件下,引入脉冲调制是一种有效地提高射频放电稳定性的方法.已有的研究表明,当电源频率提高到甚高频乃至特高频频段的时候,在脉冲调制条件下射频放电会表现出新的放电现象与放电规律.本文借助于流体模型,研究了当电源频率提高至500MHz,脉冲调制条件下介质阻挡放电的放电特性.数值计算表明,在电压 ...
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