参考系波动下的参考系无关测量设备无关量子密钥分发协议

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1.引　言

量子密钥分发(quantum key distribution, QKD)是基于量子力学及基本定理的一种新型密钥体系^[1,2], 以其绝对的安全性得到了广泛的研究, 在理论研究和实验验证方面进展迅速^[3-9]. 但现实设备和实验条件总是会与理想模型及假设存在一定差距, 这导致实际的QKD系统仍然存在许多安全性问题^[10-16]. 2012年Lo等^[17]提出了测量设备无关量子密钥分发(measurement device independent quantum key distribution, MDI-QKD)协议, 在克服探测端全部安全漏洞的同时实现了协议性能的提升. 近几年, 基于相位、偏振等编码方式的MDI-QKD演示实验已经相继完成^[18-20]. 然而, 无论采用何种编码方式, 通信双方都需确立共享参考系以保证MDI-QKD系统有效的Bell测量, 但同时多参考系之间的校准会增加MDI-QKD系统的复杂性, 甚至可能产生信息泄露, 对系统安全产生威胁.
2014年, Yin等^[21]提出了参考系无关测量设备无关量子密钥分发(reference frame independent measurement device independent quantum key distribution, RFI-MDI-QKD)协议, 有效地解决了参考系校准的问题, 并实现了系统性能在参考系缓慢偏移情况下的稳定性. 然而, 已有研究表明统计波动下的RFI-MDI-QKD协议不再具有对参考系偏差的鲁棒性, 会随偏差角的增大产生性能衰减, 但这些分析都只是选取固定的参考系偏差角度进行分析, 并未涉及一般化情况, 且没有考虑参考系波动的情况^[22-26]. 在实际环境中, 参考系偏差角会在一定范围内产生波动, 虽然文献[27, 28]已经讨论分析了参考系波动对参考系无关QKD协议(reference frame independent quantum key distribution, RFI-QKD)的影响, 但仍然缺乏对参考系波动下RFI-MDI-QKD协议的性能分析.
本文主要研究了参考系波动下RFI-MDI-QKD协议的性能. 考虑到实际参考系波动的问题和有限长效应, 通过公式推导和仿真分析, 得到了参考系偏移角和波动角与有偏基RFI-MDI-QKD协议相关参数间的关系. 仿真结果表明, 协议的性能与参考系偏差的角度密切相关, 并且其密钥率随参考系偏移角产生周期性波动, 随参考系波动角的增大而减小.

2.理论与模型

2.1.有偏基RFI-MDI-QKD模型

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2.1.有偏基RFI-MDI-QKD模型

以偏振编码为例, 在诱骗态RFI-MDI-QKD协议中, Alice和Bob使用三组共轭基{Z, X, Y}对量子态进行编码. 协议假设Alice和Bob的Z基完全对准, 而两者的X基和Y基可以存在β角的偏差, Alice和Bob的三组基具体的关系如下^[22-26]:

$\begin{split}&{X_{\rm{B}}} = {\rm{cos}}\beta {X_{\rm{A}}} + {\rm{sin}}\beta {Y_{\rm{A}}},\\&{Y_{\rm{B}}} = {\rm{cos}}\beta {Y_{\rm{A}}} - {\rm{sin}}\beta {X_{\rm{A}}},\\&\beta = \left| {{\beta _{\rm{A}}} - {\beta _{\rm{B}}}} \right|/2,\\&{Z_{\rm{A}}} = {Z_{\rm{B}}} = Z,\end{split} $

式中${\beta _{{\rm{A(B)}}}}$

代表着Alice和Bob的X基和Y基偏离标准参考系的角度. 此时, $\left| 0 \right\rangle $

和$\left| 1 \right\rangle $

构成Z基, $\left| \pm \right\rangle = $

$(|0\rangle \!\pm\! {\rm e}^{{\rm i} \beta_{{\rm A(B)}}}|1\rangle)/\sqrt 2 $

和$| \pm {\rm i} \rangle = (| 0 \rangle \!\pm\! {\rm i} {\rm e}^{{\rm i}{\beta _{{\rm{A(B)}}}}} |1\rangle )/\sqrt 2 $

分别构成X基和Y基. 其中Z基主要用于密钥的产生, X基和Y基的测量结果主要用于估计限制Eve获取的信息量的参数C. 在渐近极限情况下, RFI-MDI-QKD协议具备对参考系偏差的鲁棒性, 而现实情况下信号脉冲长度总是有限的.
为缓解有限长效应对RFI-MDI-QKD协议的影响, 文献[29]提出了有偏基RFI-MDI-QKD协议以产生更高的密钥率. 该协议与原始诱骗态RFI-MDI-QKD协议不同点在于: 原始诱骗态RFI-MDI-QKD协议Z, X, Y基编码的信号态和诱骗态的平均光子数是相同的, 而有偏基RFI-MDI-QKD协议的量子态有三种强度, 即信号态$\mu $

、诱骗态${\nu}$

、真空态$\omega $

, 其中Z基下Alice和Bob只准备信号态$\mu $

, X和Y基下随机准备信号态$\mu $

和诱骗态${\nu}$

. 因此, 有偏基RFI-MDI-QKD协议密钥率的计算公式为^[29]

$\begin{split} {R_{\rm{s}}} =\, & {P_{ZZ}}P_{ZZ}^{\mu \mu }[{\mu ^2}{{\rm{e}}^{ - 2\mu }}Y_{ZZ}^{11}(1 - {I_E}) - Q_{ZZ}^{\mu \mu }fH(E_{ZZ}^{\mu \mu })]\\ &- \frac{1}{N} \bigg[{\log _2}\frac{2}{{{\varepsilon _{{\rm{EC}}}}}}+ 2{\log _2}\frac{1}{{{\varepsilon _{{\rm{PA}}}}}} \\ & + 7n_{ZZ}^{\mu \mu }\sqrt {\frac{{{{\log }_2}(2/\bar \varepsilon )}}{{n_{ZZ}^{\mu \mu }}}} + 30{\log _2}(N + 1)\bigg],\\[-18pt]\end{split}$

式中$n_{ZZ}^{\mu \mu }$

为Alice和Bob同时选择Z基对信号态${\mu _Z}$

编码时Bell态测量的成功事件数量; ${\varepsilon _{{\rm{EC}}}}({\varepsilon _{{\rm{PA}}}})$

为纠错(隐私放大)错误的概率; $\bar \varepsilon $

是估计平滑最小熵的精度; N是实际的脉冲总数; ${Q_{{w_{\rm{A}}}{w_{\rm{B}}}}}$

和${E_{{w_{\rm A}}{w_{\rm B}}}}$

表示当Alice和Bob分别选择基${w_{\rm{A}}}$

和${w_{\rm{B}}}$

时的总增益率和误码率, 右下标

$ {w_{\rm{A}}}{w_{\rm{B}}}{{ = \{ }}{Z_{\rm{A}}}{Z_{\rm{B}}}, {X_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}, {Y_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}, {X_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}, {Y_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}{{\} }} $

为Alice和Bob选择的编码基; $Y_{ZZ}^{11}$

为Z基下单光子增益率; $P_{ZZ}^{}$

为Alice和Bob同时选择Z编码基的概率; $P_{ZZ}^{\mu \mu }$

为Alice和Bob均选择Z编码基情况下两者量子态平均强度均为${\mu}$

的概率; 窃听者获取的信息${I_{\rm{E}}}$

为^[16-18]

${I_{\rm{E}}} = (1 - e_{ZZ}^{11})H[(1 + u)/2] + e_{ZZ}^{11}H[(1 + v)/2],$

其中${\rm{e}}_{ZZ}^{11}$

为Z基下单光子误码率,

$\begin{split}& v = \sqrt {C/2 - {{(1 - e_{ZZ}^{11})}^2}{u^2}} /e_{ZZ}^{11},\\ & u = \min [\sqrt {C/2} /(1 - e_{ZZ}^{11}), 1],\\ &C = {\left\langle {{X_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}} \right\rangle ^2} + {\left\langle {{Y_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}} \right\rangle ^2} + {\left\langle {{X_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}} \right\rangle ^2} + {\left\langle {{Y_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}} \right\rangle ^2},\end{split}$

且C值在0—2内取值, C值越小, ${I_{\rm{E}}}$

越大. 参数C与不同编码基下的增益和误码率有关, 这些测量结果满足^[24]

$\begin{split}{Q_{{Z_{\rm{A}}}{Z_{\rm{B}}}}} =\, & {Q_C} + {Q_E},\\{E_{{Z_{\rm{A}}}{Z_{\rm{B}}}}} =\, & {e_{\rm{d}}}{Q_C} + (1 - {e_{\rm{d}}}){Q_E},\\{Q_{{X_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}}} =\, & {Q_{{Y_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}}} = 2{y^2}[2{y^2} - 4y{I_0}(x) + {I_0}(B) + {I_0}(E)],\\{E_{{X_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}}} =\, & {E_{{Y_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}}} = 2{y^2}[{y^2} - 2y{I_0}(x) + {e_{\rm{d}}}{I_0}(B)\\& + (1 - {e_{\rm{d}}}){I_0}(E)]/{Q_{{X_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}({Y_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}})}},\\{Q_{{X_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}}} =\, & {Q_{{Y_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}}} = 2{y^2}[2{y^2} - 4y{I_0}(x) + {I_0}(\varTheta ) + {I_0}(\varXi )],\\{E_{{X_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}}} =\, & 2{y^2}[{y^2} - 2y{I_0}(x) + {e_{\rm{d}}}{I_0}(\varXi )\\& + (1 - {e_{\rm{d}}}){I_0}(\varTheta )]/{Q_{{X_{\rm{A}}}{Y_{\rm{B}}}}},\\{E_{{Y_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}}} =\, & 2{y^2}[{y^2} - 2y{I_0}(x) + {e_{\rm{d}}}{I_0}(\varTheta ) \\&+ (1 - {e_{\rm{d}}}){I_0}(\varXi )]/{Q_{{Y_{\rm{A}}}{X_{\rm{B}}}}},\\[-16pt]\end{split}$

式中$B \!=\! 2 x\!\cos \beta $

, $E \!=\! 2 x\!\sin \beta $

, $\varTheta \!=\!\! \sqrt 2 x(\cos \beta \!+\! \sin \beta )$

, $\varXi = \sqrt 2 x(\cos \beta - \sin \beta )$

, 其余的参数以及不同编码基下单光子误码率和增益率的估计方法在文献[24]中给出.
2

2.2.参考系偏移和波动下的有偏基RFI-MDI-QKD模型

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2.2.参考系偏移和波动下的有偏基RFI-MDI-QKD模型

如图1所示, 在实际不稳定的环境中, 由于相对运动和平台抖动, 通信双方共享的参考系总是会发生偏移且产生波动, 即Alice和Bob间的参考系方向夹角$\beta $

不再是一个固定的值, 而是在一定的范围内变化、波动^[27,28], 即$\left[ {\theta - \delta , \;\theta +\delta } \right]$

图 1 Alice和Bob的三组共轭基的实际位置关系图
Figure1. Relationship among reference frames of Alice and Bob.

文献[27, 28]通过在波动范围进行积分详细讨论了参考系偏移角和波动角与RFI-QKD协议性能间的关系. 本文将此扩展到二维, 采用相同的方法来分析参考系波动下的有偏基RFI-QKD协议的性能. 将参考系偏差$\beta =\left[ {\theta - \delta , \;\theta+\delta } \right]$

代入求积分可得

$\begin{split}{B{'}} \,&=\frac{1}{{2\delta }}\int\nolimits_{\theta - \delta }^{\theta + \delta } {2x\cos \beta {\rm{d}}\beta } = 2x\cos \theta \frac{{\sin \delta }}{\delta },\\{E{'}} \,&= \frac{1}{{2\delta }}\int\nolimits_{\theta - \delta }^{\theta + \delta } {2x\sin \beta {\rm{d}}\beta } = 2x\sin \theta \frac{{\sin \delta }}{\delta },\\{\varTheta{'}}\,& = \frac{1}{{2\delta }}\int\nolimits_{\theta - \delta }^{\theta + \delta } {\sqrt 2 x(\cos \beta + \sin \beta ){\rm{d}}\beta }\\& =\sqrt 2 x(\cos \theta + \sin \theta )\frac{{\sin \delta }}{\delta },\\{\varXi {'}} \,& = \frac{1}{{2\delta }}\int\nolimits_{\theta - \delta }^{\theta + \delta } {\sqrt 2 x(\cos \beta - \sin \beta ){\rm{d}}\beta }\\& =\sqrt 2 x(\cos \theta - \sin \theta )\frac{{\sin \delta }}{\delta },\end{split}$

其中$\theta $