黄志来^*,?, 李新圆^*, 金栋平^,*,2)*南京航空航天大学航空学院机械结构力学及控制国家重点实验室, 南京 210016
^?安徽工业大学机械工程学院, 安徽马鞍山 243002

OUTPUT CHARACTERISTIC ANALYSIS OF SINGLE GIMBAL CONTROL MOMENT GYROSCOPE¹⁾

Huang Zhilai^*,?, Li Xinyuan^*, Jin Dongping^,*,2)*State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China
^?School of Mechanical Engineering, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243002, Anhui, China

通讯作者: 2) 金栋平, 教授, 主要研究方向: 动力学与控制. E-mail:jindp@nuaa.edu.cn

收稿日期:2020-09-3接受日期:2020-12-28网络出版日期:2021-02-07

基金资助:

1) 装备预研基金.6140210010202 国家自然科学基金资助项目.11827801

Received:2020-09-3Accepted:2020-12-28Online:2021-02-07
作者简介 About authors


摘要
广泛用于航天领域的单框架控制力矩陀螺, 具有力矩放大效应的优点,其理论基础为有假设条件的力矩放大原理. 本文不局限于这些假设, 不限定工况,解析单框架控制力矩陀螺的输出特性. 考虑安装基座的运动,得到具有两维输入三维输出的单框架控制力矩陀螺力矩输出模型,提出将输出力矩分解为可调控与不可调控两部分. 为分析单框架控制力矩陀螺的输出特性,定义两个参数, 分别为输出输入力矩比和输出力矩利用率. 研究发现,单框架控制力矩陀螺不恒有力矩放大效应, 也不恒有高效的力矩利用率,两者与其状态密切相关. 最后,以含两个单框架控制力矩陀螺的航天器姿态机动任务为例,对非对角奇异鲁棒操纵控制和优化控制进行仿真,检验了单框架控制力矩陀螺输出特性对控制效果的影响. 同时,根据单框架控制力矩陀螺的三维输出特性, 借助一个单框架控制力矩陀螺的优化控制,实现了航天器的三轴姿态机动. 仿真结果显示, 在优化控制过程中,单框架控制力矩陀螺始终具有力矩放大效应和高效的力矩利用率.
关键词： 航天器;控制力矩陀螺;输出特性;力矩放大;力矩利用率

Abstract
The single-gimbal control moment gyroscope (SCMG), which is widely used in aerospace field, has the advantage of torque amplification effect. It is based on the principle of torque amplification with some hypotheses. In this paper, the output characteristics of SCMG are analyzed without those hypotheses. By considering the motion of the mounting base, the output torque model of SCMG with a two-dimensional input and three-dimensional output is obtained, in which the adjustable and nonadjustable parts are identified. In order to analyze the output characteristics of SCMG, two parameters are defined. One is the ratio of the norms about the SCMG's output to input torque vectors. The other is the ratio of the norm about the SCMG's used and unused torque vector, which is to represent the utilization ratio of the SCMG's output torque. In all feasible regions, the results show that the characteristic parameters of torque output are is not always greater than 1, i.e., SCMG does not always has torque amplification effect and efficient torque utilization, which are closely related to the state of SCMG. Finally, for the spacecraft attitude maneuver task with two SCMGs, the simulation of non-diagonal singular robust control and optimal control is completed. It is found that the control effect is closely related to the output characteristic parameters which are determined by the system state. At the same time, the optimal control with a SCMG is used to realize the three-dimensional attitude maneuver of a spacecraft based on the three-dimensional output characteristics of SCMG. The simulation results show that the SCMG always has the torque amplification effect and the efficient torque utilization in the process of optimal control.
Keywords：spacecraft;control moment gyroscope;output characteristics;torque amplification effect;utilization of torque


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本文引用格式
黄志来, 李新圆, 金栋平. 单框架控制力矩陀螺输出特性分析¹⁾. 力学学报[J], 2021, 53(2): 511-523 DOI:10.6052/0459-1879-20-306
Huang Zhilai, Li Xinyuan, Jin Dongping. OUTPUT CHARACTERISTIC ANALYSIS OF SINGLE GIMBAL CONTROL MOMENT GYROSCOPE¹⁾. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2021, 53(2): 511-523 DOI:10.6052/0459-1879-20-306

引言

傅科(Foucault)于1852年首次提出"陀螺"概念^[1], 可利用陀螺的力学特性设计执行器, 称之为控制力矩陀螺(control moment gyroscope, CMG). 半个世纪以来, CMG广泛用于航天器姿态控制^[2], 并随着航天器控制任务的多样化^[3-4], 从姿态控制逐渐延伸到能量存储^[5]、振动抑制^[6]等领域.

CMG有两种机械结构, 单框架(SCMG)^[7]和双框架(double-gimbal control moment gyro, DCMG)^[8]. 飞轮可调速时, CMG演化成变速控制力矩陀螺(variable-speed control moment gyro, VCMG), 按其机械结构分类, 有单框架变速控制力矩陀螺(single-gimbal variable-speed control moment gyro, SVCMG)^[9]和双框架变速控制力矩陀螺(double-gimbal variable-speed control moment gyro, DVCMG)^[10-11]. 相比于DCMG, SCMG机械结构简单, 但存在奇异性问题, 而前者机械结构和控制算法更加复杂, 两者同属于多体系统, 本文仅关注航天领域应用最广的SCMG.

通常, 为实现航天器三轴姿态控制, 在只利用SCMG输出陀螺力矩^[12]的情况下, 要满足输出三维控制力矩, 则需要按一定构型配置多个SCMG, 如金字塔构型^[13]、屋顶构型^[14]和五棱锥构型^[15]等. VSCMG有两个输出, 只需两个VSCMG即可完成航天器三轴姿态控制. 力矩陀螺群存在操纵奇异性^[16]问题, 针对不同构型的力矩陀螺群, 许多****分析了其奇异几何特性^[17-18]和零运动存在性^[19], 提出诸如奇异逃离^[20]、奇异鲁棒^[21]、反馈^[22]、方向规避等操纵律^[23], 以及综合零运动与奇异逃离的混合操纵律^[24-25]等.

最初, SCMG作为航天器的执行机构, 其输出模型仅考虑陀螺力矩^[26], 而VSCMG的飞轮可调速, 输出力矩比SCMG多一个反作用力矩^[27]. 为分析柔性航天器的振动问题^[28], 胡权等^[29]基于Kane方程建立了适用于任意构型的多个柔性体系统递推算法, 这丰富了含SCMG的多体系统建模方法. 现有研究对SCMG的力矩输出特性不够关注, 一直停留于Lappas等^[30]关于SCMG基座角速度较小且转子角速度较大的假设基础之上, 并借鉴反作用轮原理获得SCMG的力矩放大效应^[30-31].

本文不局限于Lappas假设条件, 建立SCMG输出力矩模型, 在全部可行域中对SCMG输出特性进行解析, 以期更加全面地理解SCMG动态输出特性, 为在工程实践中高效利用SCMG及其控制策略设计提供新思路.

1 SCMG输出力矩模型

如图1所示, 设SCMG的连体坐标系为${\cal F}( g, s, t)$, 坐标轴单位矢量为$ s$, $ g$和$ t$, 其中$ g$为安装轴. 定义飞轮角速度和角动量分别为 $ \varOmega $和$ h$, 框架相对基座的转动角速度为$\dot{{\delta }}$, 以致$\varOmega=\varOmega { s}$, ${ h}=h{ s}$, $ \delta =\delta { g}$和$\dot{{ \delta }}=\dot{{\delta }}{ g}$. 在连体坐标系中, 基座、飞轮和框架的角速度为

(1)$\begin{eqnarray} \label{eq1} \left. {\begin{array}{l} { \omega }=\{{ g},{ s},{ t}\}{ \omega }^{(0)}\\ { \omega }_{\rm f} =\{{ g},{ s},{ t}\}{ \omega}_{\rm f}^{(0)} \\ { \omega }_{\rm w} =\{{ g},{ s},{ t}\}{ \omega}_{\rm w}^{(0)} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
式中, ${ \omega }^{(0)}=\{\omega_{g}, \omega_{s} ,\omega_{t} \}^{\rm T}$, ${ \omega }_{\rm f}^{(0)}=\{\omega_{g} +\dot{{\delta }},\omega_{s},\omega_{t}\}^{\rm T}$和${ \omega }_{\rm w}^{(0)} =\{\omega_{g}+\dot{{\delta }},\omega_{s} +\varOmega ,\omega_{t}\}^{\rm T}$分别为角速度坐标.

图1

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图1SCMG模型

Fig.1Model of SCMG



设飞轮与框架的惯量张量分别为${ J}_{\rm w} $和${ J}_{\rm f} $, ${ J}_{\rm w}^{(0)} ={\rm diag}[J_{{\rm w}g} ,J_{{\rm w}s} ,J_{{\rm w}t}]$和${ J}_{\rm f}^{(0)} ={\rm diag}[J_{{\rm f}g} ,J_{{\rm f}s},J_{{\rm f}t} ]$为惯性矩阵. 由于转子轴对称, 有$J_{{\rm w}g} =J_{{\rm w}t}=J$. SCMG的角动量${ h}_{\rm total} =[{ g},{ s},{ t}]({ J}_{\rm w}^{(0)} { \omega }_{\rm w}^{(0)} +{ J}_{\rm f}^{(0)} { \omega }_{\rm f}^{(0)} )$, 则SCMG输出力矩为

(2)$\begin{eqnarray} \label{eq2} { \tau }=-{\dot{{ h}}}_{\rm total} =\{{ g},{ s},{ t}\}\{\tau_{g} ,\tau_{s} ,\tau_{t} \}^{\rm T} \end{eqnarray}$
从式(2)可见, SCMG输出力矩沿$ s$, $ g$和$ t$三个方向, 而仅有$ g$和$ s$两个方向具有输入力矩, 即SCMG为二维输入三维输出系统.

将式(2)输出力矩分成两部分, 即${ \tau }={ \tau }_{0}+{ \tau }_{\rm c} $, 这里${ \tau }_{0} =\tau_{g0}{ g}+\tau_{s0} { s}+\tau_{t0} { t}$为不可调控输出力矩, 表示SCMG对基座的惯性影响, 只与基座角加速度和角速度有关, ${ \tau }_{\rm c} =\tau_{g\rm c} { g}+\tau_{s\rm c} { s}+\tau_{t\rm c} { t}$为可调控输出力矩. 令${ J}_{\rm cmg}^{(0)} ={ J}_{\rm w}^{(0)} +{ J}_{\rm f}^{(0)} ={\rm diag}[J_{g},J_{s} ,J_{t} ]$, 则

(3)$\begin{eqnarray} \label{eq3} &&\left. {\begin{array}{l} \tau_{g0} =-J_{g} { g}\cdot {\dot{{ \omega }}}-(J_{t} -J_{s} )\omega_{t} \omega_{s} \\ \tau_{s0} =-J_{s} { s}\cdot {\dot{{ \omega }}}-(J_{g} -J_{t} )\omega_{g} \omega_{t} \\ \tau_{t0} =-J_{t} { t}\cdot {\dot{{ \omega }}}-(J_{s} -J_{g} )\omega_{g} \omega_{s} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
(4)$\begin{eqnarray} \label{eq4} \left. {\begin{array}{l} \tau_{g{\rm c}} =-J_{g} \ddot{{\delta }}+J\varOmega \omega _{t} \\ \tau_{s{\rm c}} =-J\dot{{\varOmega }}-(J_{s} +J_{g} -J_{t} )\dot{{\delta }}\omega_{t} \\ \tau_{t{\rm c}} =-(J_{s} -J_{t} -J_{g} )\dot{{\delta }}\omega_{s} -J\varOmega (\omega_{g} +\dot{{\delta }}) \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

2 SCMG输出输入力矩比

设输入力矩为

(5)$\begin{eqnarray} \label{eq5} { \tau }_{\rm in} =-\tau_{g} { g}+\tau_{s{\rm w}} { s} \end{eqnarray}$
式中, $\tau_{s\rm w} =-\tau_{s}|_{J_{{\rm f}g} =J_{{\rm f}s} =J_{{\rm f}t}=0}=J({ s}\cdot {\dot{{ \omega }}}+\dot{{\delta }}\omega_{t} +\dot{{\varOmega}})$. 记输出力矩为${ \tau }_{\rm out} $, 则输出与输入力矩比定义为

(6)$\begin{eqnarray} \label{eq6} K=\frac{\left| {{ \tau }_{\rm out} } \right|}{\left| {{ \tau }_{\rm in} } \right|}\end{eqnarray}$
令${ \tau }_{\rm c} ={ \tau }_{\rm c}^{\ast} +{ \tau}_{\rm r} $, ${ \tau }_{\rm c}^{\ast} $和${ \tau }_{\rm r}$分别为被利用和未利用的输出力矩, 这里${ \tau }_{\rm c}^{\ast}=n_{1} \tau_{t1} { t}+n_{2} \tau_{s1} { s}+n_{3} \tau_{g1}{ g}+n_{4} { \tau }_{c0}^{\ast } $, 其中

(7)$\begin{eqnarray} \label{eq7} \left. {\begin{array}{l} { \tau }_{\rm c0}^{\ast } =\tau_{g2} { g}+\tau _{s2} { s}+\tau_{t2} { t} \\ \tau_{g1} =-J_{g} \ddot{{\delta }},\ \ \tau_{g2} =J\varOmega \omega_{t} \\ \tau_{s1} =-J\dot{{\varOmega }},\ \ \tau_{s2} =-(J_{s} +J_{g} -J_{t} )\dot{{\delta }}\omega_{t} \\ \tau_{t1} =-J\varOmega \dot{{\delta }},\ \ \tau_{t2} =-[(J_{s} J_{t} -J_{g} )\dot{{\delta }}\omega_{s} +J\varOmega \omega_{g} ] \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
因此, 当$n_{1}=1$且$n_{2} =n_{3} =n_{4} =0$时, 意指SCMG;当$n_{2}=1$且$n_{1} =n_{3} =n_{4}=0$时, 意指反作用轮;当$n_{1} =n_{2}=1$且$n_{3}=n_{4} =0$时, 则代表VSCMG; 当$n_{1} =n_{2}=n_{3}=1$且$n_{4} =0$或$n_{1} =n_{2} =n_{3} =n_{4}=1$时, 本文称为三维单框架控制力矩陀螺(three-dimensional single-gimbal control moment gyro, 3D-SCMG). 输出力矩可以为全部输出力矩、可调节输出力矩或者被利用输出力矩, 即

(8)$\begin{eqnarray} \label{eq8} K=\sqrt {\frac{\left| {{ \tau }_{\rm out} } \right|^{2}}{\tau_{g}^{2} +\tau_{s\rm w}^{2} }},\ \ { \tau }_{\rm out} ={ \tau } \ {\rm or} \ { \tau }_{\rm c} \ {\rm or} \ { \tau }_{\rm c}^{\ast} \end{eqnarray}$
选择合适的独立参数改写式(8), 有

(9)$\begin{eqnarray} \label{eq9} K=\left\{ {\begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{a_{1}^{2} }{1+x_{1}^{2} }} ,\ \ a_{1} =\tau _{s\rm w}^{-1} |{ \tau }_{\rm out} |,\ \ x_{1} =\tau_{g} \tau_{s\rm w}^{-1} ,\ \ \tau_{s\rm w} \ne 0 \\ a_{2} \left| {x_{2} } \right|^{-1},\ \ a_{2} =\vert { \tau}_{\rm out} |,\ \ x_{2} =\tau_{g} ,\ \ \tau_{s\rm w} =0 \\ \end{array}} \right. \end{eqnarray}$
式中, $a_{1}$为输出力矩幅值与$ s$方向输入力矩比值, $a_{2}$为输出力矩幅值, $x_{1}$为$ g$方向与$ s$方向输入力矩比值, $x_{2}$为$ g$方向输入力矩. 根据式(9), 可得输出与输入力矩之比的关系曲线, 如图2所示. 从图2可知, $K$值与SCMG的状态有关, 并不恒大于1, 即SCMG并不总有力矩放大效应.

图2

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图2SCMG输出输入力矩比

Fig.2Torque ratio of SCMG's input to output



同理, 可以选择合适的独立参数, 对特定情形下的$K$值进行分析. 这里例举基座固定、输出力矩为全部力矩和三维控制力矩陀螺.

(1)基座固定

此时${ \omega }=0$, ${\dot{{ \omega }}}=0$, ${ \tau }_{\rm out} =-J_{g} \ddot{{\delta }}{ g}-J\dot{{\varOmega}}{ s}-J\varOmega \dot{{\delta }}{ t}$. 令$x_{3} =J\dot{{\varOmega}}/(J_{g} \ddot{{\delta }})$, $x_{4} =\dot{{\varOmega }}$, $a_{3} =J\varOmega \dot{{\delta }}/(J_{g} \ddot{{\delta}})$和$a_{4} =\varOmega \dot{{\delta }}$, 则

(10)$\begin{eqnarray} \label{eq10} K=\left\{ {\begin{array}{ll} \sqrt {1+a_{3}^{2} (1+x_{3}^{2} )^{-1}} ,&\ \ \ddot{{\delta }}=0 \\[3mm] \sqrt {1+a_{4}^{2} x_{4}^{-2} } ,&\ \ \ddot{{\delta }}\ne 0 \\ \end{array}} \right. \end{eqnarray}$
由式(10)可得SCMG的输出输入力矩比曲线, 结果如图3所示. 从图3可见, 基座固定的SCMG输出与输入力矩比$K\geqslant 1$. 当$a_{3} $或$a_{4} $为零时, $K=1$, 此时${ \tau }_{\rm out} $中陀螺力矩为零, 即等同于反作用轮.

图3

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图3基座固定的SCMG输出输入力矩比

Fig.3Torque ratio of SCMG's input to output with the fixed base



(11)$\begin{eqnarray} \label{eq11} K=\left\{ {{\begin{array}{ll} \sqrt {1+\dfrac{a_{5}^{2} -1}{x_{5}^{2} +1}},&\ \ \tau_{s\rm w} \ne 0\\ \sqrt {1+\dfrac{a_{6}^{2} }{x_{6}^{2} }},&\ \ \tau_{s\rm w} =0\\ \end{array} }} \right. \end{eqnarray}$
(2)输出力矩为全部力矩此时, 输出力矩${ \tau }_{\rm out} ={ \tau }$, 则

式中, $x_{5} =\tau_{g} /\tau_{s\rm w} $, $x_{6} =\tau _{g} $, $a_{5}^{2} =(\tau_{s}^{2} +\tau _{t}^{2} )/\tau_{s\rm w}^{2} $, $a_{6}^{2} =\tau _{s}^{2} +\tau_{t}^{2} $.

根据式(11), 可得输出输入力矩比曲线, 如图4所示. 从图4可知, 当$\tau_{s}^{2} +\tau_{t}^{2} \geqslant \tau_{s\rm w}^{2} $时, SCMG的输出与输入力矩比$K\geqslant 1$, 反之亦成立. 因为当$K\geqslant 1$时, 由式(11)可得$a_{5}^{2} \geqslant 1$, 即$\tau_{s}^{2} +\tau_{t}^{2} \geqslant \tau_{s\rm w}^{2} $.

图4

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图4SCMG输出输入力矩比

Fig.4Torque ratio of SCMG's input to output with ${ \tau }_{\rm out} ={ \tau }$



(${ \tau }_{\rm out} ={ \tau }$)(3)三维控制力矩陀螺三维控制力矩陀螺情形, 即考虑${ \tau }_{\rm out} ={ \tau }_{\rm c}^{\ast} $, $n_{1} =n_{2} =n_{3}=1$且$n_{4} =0$, 则

(12)$\begin{eqnarray} \label{eq12} K=\sqrt {\frac{(J_{g} \ddot{{\delta }})^{2}+\dot{{\varOmega}}^{2}+(\varOmega \dot{{\delta }})^{2}}{(\tau_{g0} +\tau _{g2} )^{2}+(\tau_{s0} +\tau_{s2})^{2}+(\tau_{t0} +\tau_{t2} )^{2}}} \end{eqnarray}$
首先, 分析$\varOmega \dot{{\delta }}$对$K$的影响. 由式(12)可得

(13)$\begin{eqnarray} \label{eq13} K=\sqrt {\frac{b_{1}^{2} +(\varOmega \dot{{\delta }})^{2}}{(c_{1}-\varOmega \omega_{t} )^{2}+d_{1}^{2} }} \leqslant \sqrt {\frac{b_{1}^{2} +(\varOmega \dot{{\delta }})^{2}}{d_{1}^{2} }} \end{eqnarray}$
其中

(14)$\begin{eqnarray} \label{eq14} \left. {\begin{array}{l} b_{1}^{2} =J_{g}^{2} \ddot{{\delta }}^{2}+\dot{{\varOmega }}^{2},\ \ d_{1}^{2} =({ s}\cdot {\dot{{ \omega }}}+\dot{{\delta }}\omega_{t} +\dot{{\varOmega }})^{2} \\ c_{1} =J_{g} { g}\cdot {\dot{{ \omega }}}+(J_{t} -J_{s} )\omega_{t} \omega_{s} +J_{g} \ddot{{\delta }} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
其次, 分析参数$\ddot{{\delta }}$对$K$的影响. 由式(12)可得

(15)$\begin{eqnarray} \label{eq15} K=\sqrt {\frac{b_{2}^{2} +(J_{g} \ddot{{\delta }})^{2}}{(c_{2} +J_{g} \ddot{{\delta }})^{2}+d_{2}^{2} }} \leqslant \sqrt {\frac{b_{2}^{2} +(J_{g} \ddot{{\delta }})^{2}}{d_{2}^{2} }} \end{eqnarray}$
其中

(16)$\begin{eqnarray} \label{eq16} \left. {\begin{array}{l} b_{2}^{2} =\dot{{\varOmega }}^{2}+(\varOmega \dot{{\delta }})^{2},\ \ d_{2}^{2} =({ s}\cdot {\dot{{ \omega }}}+\dot{{\delta }}\omega_{t} +\dot{{\varOmega }})^{2} \\ c_{2} =J_{g} { g}\cdot {\dot{{ \omega }}}+(J_{t} -J_{s} )\omega_{t} \omega_{s} -\varOmega \omega_{t} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
最后, 分析参数$\dot{{\varOmega }}$对$K$的影响. 由式(12)可得

(17)$\begin{eqnarray} \label{eq17} K=\sqrt {\frac{b_{3}^{2} +\dot{{\varOmega }}^{2}}{(c_{3} +\dot{{\varOmega }})^{2}+d_{3}^{2} }} \leqslant \sqrt {\frac{b_{3}^{2} +\dot{{\varOmega }}^{2}}{d_{3}^{2} }} \end{eqnarray}$
其中

(18)$\begin{eqnarray} \label{eq18} \left. {\begin{array}{l} b_{2}^{2} =\dot{{\varOmega }}^{2}+(\varOmega \dot{{\delta}})^{2},\ \ d_{2}^{2} =({ s}\cdot {\dot{{ \omega }}}+\dot{{\delta }}\omega_{t} +\dot{{\varOmega }})^{2} \\ c_{2} =J_{g} { g}\cdot {\dot{{ \omega }}}+(J_{t} -J_{s} )\omega_{t} \omega_{s} -\varOmega \omega_{t} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
设$p_{1} =\varOmega \dot{{\delta }}$, $p_{2} =\ddot{{\delta }}$, $p_{3} =\dot{{\varOmega }}$, 综合式(13)、式(15)和式(17), 可得$K$的上界为

(19)$\begin{eqnarray} \label{eq19} K_{{\rm m}i} =\sqrt {\frac{b_{i}^{2} +p_{i}^{2} }{d_{i}^{2} }} ,\ \ i=1,2,3 \end{eqnarray}$
$K_{{\rm m}i} $与参数$p_{i} $的关系如图5所示. 由图5可知, 上界$K_{{\rm m}i} $值随$|p_{i} |$值上升而增大, 且$K_{{\rm m}i}$的极小值随$b_{i}^{2} $值上升而增大.

图5

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图5不同参数的影响

Fig.5Influence for different parameters

3 SCMG力矩利用率

设${ \tau }_{\rm c}^{\ast} $为SCMG被利用的力矩, 则未被利用的部分为${ \tau }-{ \tau }_{\rm c}^{\ast}$. 为衡量SCMG的力矩利用率, 定义

(20)$\begin{eqnarray} \label{eq20} \eta =\frac{|{ \tau }_{\rm c}^{\ast} |}{|{ \tau }-{ \tau }_{\rm c}^{\ast} |} \end{eqnarray}$
式中, 矢量${ \tau }={ \tau }_{\rm c}^{\ast} +({ \tau }-{ \tau }_{\rm c}^{\ast} )$, 几何关系如图6所示.

图6

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图6矢量几何关系

Fig.6Geometric relation diagram of vectors



由几何关系图6可知, 当${ \tau }_{\rm c}^{\ast} $在${ \tau}$方向的投影值${ \tau }_{\rm c}^{\ast} \cdot$ ${ \tau }\cdot |{ \tau }|^{-1}>0.5|{ \tau }|$, 则$|{ \tau }_{\rm c}^{\ast} \vert>\vert { \tau }-{ \tau }_{\rm c}^{\ast}|$. 根据式(20), 即

(21)$\begin{eqnarray} \label{eq21} \left.\begin{array}{ll} \eta \geqslant 1, & \tau_{\rm c}^{\ast} \cdot \tau \geqslant 0.5| \tau |^{2} \\ \eta <1, & \tau_{\rm c}^{\ast} \cdot \tau <0.5| \tau |^{2} \\ \end{array} \right\} \end{eqnarray}$
由式(21)可得, 力矩利用率$\eta $与SCMG的状态有关, 并不恒大于1. 下面举例分析$\eta $. 取转子和框架以及基座处于匀速状态, 即$\dot{{\varOmega }}=\ddot{{\delta }}=0$, ${\dot{{ \omega }}}={\bf0}$, 此时被利用的力矩只有陀螺力矩, 即${ \tau }_{\rm c}^{\ast } =\varOmega \dot{{\delta }}$. 取$J_{g} =J_{s} =J_{t} =nJ$, 有

(22)$\begin{eqnarray} \label{eq22} |{ \tau }-{ \tau }_{\rm c}^{\ast} \vert =\sqrt {(\varOmega \omega_{t} )^{2}+(n\dot{{\delta }}\omega_{t} )^{2}+(\varOmega \omega_{g} -n\dot{{\delta }}\omega_{s} )^{2}} \end{eqnarray}$
将式(22)代入式(20), 利用不等式可得$\eta \leqslant \eta_{\rm m} $, 这里$\eta_{\rm m} $为$\eta $的上界. 令$p_{1} =\omega_{t} /\dot{{\delta}}$, $p_{2} =\varOmega /\dot{{\delta }}$, 即

(23)$\begin{eqnarray} \label{eq23} \eta_{\rm m} =\sqrt {\frac{p_{1}^{-2} }{1+n^{2}p_{2}^{-2} }} \end{eqnarray}$
式中, $p_{1}$为基座的角速度在$ t$方向分量与框架角速度值之比, $p_{2}$为转子转速值与框架角速度值之比, $n$表示转子在$ s$轴的惯量矩与基座主惯量矩之比.

根据式(23), 当$n=1$和$n=2$时, $\eta_{\rm m}$分别如图7所示. 对比图7(a)和图7(b)可知, $\eta_{\rm m} $曲线关于$p_{2}=0$对称, 并在$p_{2} =0$取得峰值, 随$\left| {p_{1} }\right|$值上升而下降. 当$\left| {p_{1} } \right|>1$时, $\eta_{\rm m}$始终小于1, 可得此时$\eta $恒小于1. $n$不影响峰值大小, 但随$n$增大, 使得$\eta_{\rm m} $曲线的峰值变陡.

图7

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图7SCMG力矩利用率上界$\eta_{\rm m}$(${\dot{{ \omega }}}=0$, $\dot{{\varOmega }}=\ddot{{\delta }}={\bf0}$, $J_{g}=J_{s} =J_{t} =nJ$)

Fig.7The upper bound of torque utilization in SCMG (${\dot{{ \omega }}}={\bf0}$, $\dot{{\varOmega }}=\ddot{{\delta }}=0$, $J_{g} =J_{s} =J_{t} =nJ$)

4 姿态控制

4.1 非对角奇异鲁棒操纵控制

考虑斜装两个VSCMG的航天器姿态控制, 安装角$\beta =\pi /6$, 第$i$个SCMG的转子对$ s$轴转动惯量为$J_{i} $, 其连体坐标系对航天器本体坐标系的转换矩阵为${ B}_{i}\ (i=1,2)$. 矢量或张量在航天器本体坐标系下的坐标加注上标(b), 则陀螺群的输出力矩在航天器本体坐标系中的坐标为

(24)$\begin{eqnarray} \label{eq24} { \tau }_{\rm c}^{\rm (b)} =\sum\limits_{i=1,2} {{ B}_{i} [0,-J_{i} \dot{{\varOmega }}_{i} ,-J_{i} \varOmega _{i} \dot{{\delta }}_{i} ]^{\rm T}} \end{eqnarray}$
式中

$\begin{eqnarray*} { B}_{i} =\left[ {{\begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c} {(-1)^{i+1}\sin \beta } & 0 & {(-1)^{i}\cos \beta } \\ {-\sin \delta_{i} \cos \beta } & {(-1)^{i+1}\cos \delta_{i} } & {-\sin \delta_{i} \sin \beta } \\ {\cos \delta_{i} \cos \beta } & {(-1)^{i+1}\sin \delta_{i} } & {\cos \delta_{i} \sin \beta } \\ \end{array} }} \right] \end{eqnarray*}$

令${ u}=\{\dot{{\delta }}_{1} ,\dot{{\varOmega }}_{1} ,\dot{{\delta }}_{2} ,\dot{{\varOmega }}_{2} \}^{\rm T}$, ${ \tau }_{\rm c}^{\rm (b)} ={ Q} u$. 航天器姿态四元数${ q}=\{q_{0} ,q_{1} ,q_{2} ,q_{3} \}^{\rm T}$, 这里$q_{0}$为姿态四元数的标量部分. ${ q}(0)$和${ q}_{\rm d}$分别为姿态四元数的初始值和目标值, ${ q}_{\rm d} =\{q_{\rm 0d} ,q_{\rm 1d} ,q_{\rm 2d} ,q_{\rm 3d} \}^{\rm T}$. 定义误差四元数

(25)$\begin{eqnarray} \label{eq25} { q}_{\rm e} =\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {q_{\rm 0d} } & {q_{\rm 1d} } & {q_{\rm 2d} } & {q_{\rm 3d} } \\ {-q_{\rm 1d} } & {q_{\rm 0d} } & {q_{\rm 3d} } & {-q_{\rm 2d} } \\ {-q_{\rm 2d} } & {-q_{\rm 3d} } & {q_{\rm 0d} } & {q_{\rm 1d} } \\ {-q_{\rm 3d} } & {q_{\rm 2d} } & {-q_{\rm 1d} } & {q_{\rm 0d} } \\ \end{array} }} \right]{ q} \end{eqnarray}$
取${ q}_{\rm re} =\{q_{\rm 1e} ,q_{\rm 2e} ,q_{\rm 3e} \}^{\rm T}$, 令${ \omega }_{0} $和${ \omega }_{\rm d}$分别为航天器的角速度初始值和目标值, 则航天器姿态机动控制任务描述为$\mathop{\rm lim}\limits_{t\to \infty } { q}={ q}_{\rm d} $和$\mathop{\rm lim}\limits_{t\to \infty } { \omega }={ \omega }_{\rm d}$. 采用误差四元数反馈控制调整航天器姿态, 取$ K$和$ D$为正定矩阵, ${ T}_{\rm d}^{\rm (b)}$为干扰力矩, ${ \tau}_{\rm r}^{\rm (b)} $为SCMG群输出力矩中未利用的力矩, ${ \omega }^{{\rm (b)}\times}$表示航天器角速度的叉乘矩阵. 含SCMG的系统总惯量为

(26)$\begin{eqnarray} \label{eq26} { J}_{\rm all}^{\rm (b)} ={ J}^{\rm (b)}+\sum\limits_{i=1,2} {{ B}_{i} { J}_{{\rm cmg}i}^{(0)}{ B}_{i} } \end{eqnarray}$
则

(27)$\begin{eqnarray} \label{eq27} &&{ \tau }_{\rm c}^{\rm (b)} ={ \omega }^{{\rm (b)}\times}{ J}_{\rm all}^{\rm (b)} { \omega }^{\rm (b)}+{ K q}_{\rm re}+ \\&&\qquad{ D}({ \omega }_{\rm d}^{\rm (b)} -{ \omega }^{\rm (b)})-{ T}_{\rm d} ^{\rm (b)}-{ \tau }_{\rm r}^{\rm (b)} \end{eqnarray}$
取$\lambda =\lambda_{0} \exp [-\mu \det ({ Q Q}^{\rm T})]$, 这里$\lambda_{0} $和$\mu $为正实常数. 取对角元素$W_{i}(i=1$, 2, 3, 4)和非对角元素$\varepsilon_{i}$ $(i=1,2,3)$, 采用非对角奇异鲁棒操纵律^[32], 有

(28)\begin{eqnarray} \label{eq28} { u}={ W A}^{\rm T}({ A W A}^{\rm T}+{ V})^{-1}{ \tau }_{\rm c}^{\rm (b)} \end{eqnarray}
其中

(29)$\begin{eqnarray} \label{eq29} { W}=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {W_{1} } & \lambda & \lambda & \lambda \\ \lambda & {W_{2} } & \lambda & \lambda \\ \lambda & \lambda & {W_{3} } & \lambda \\ \lambda & \lambda & \lambda & {W_{4} } \\ \end{array} }} \right],\ \ { V}=\lambda \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0 & {\varepsilon_{3} } & {\varepsilon_{2} } \\ {\varepsilon_{3} } & 0 & {\varepsilon_{1} } \\ {\varepsilon_{2} } & {\varepsilon_{1} } & 0 \\ \end{array} }} \right] \end{eqnarray}$
若令目标状态和初始条件为

(30)$\begin{eqnarray} \label{eq30} \left. {\begin{array}{l} { q}_{\rm d} =\{0,0,1,0\}^{\rm T},\ \ { q}(0)=\{1,0,0,0\}^{\rm T} \\ { \omega }_{\rm d}^{\rm (b)} =\{0,0,0\}^{\rm T},\ \ { \omega }_{0}^{\rm (b)} =\{0,0,0\}^{\rm T} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
取控制参数^[33]为

(31)$\begin{eqnarray} \label{eq31} \left. \begin{array}{l} { D}=300{\rm diag}[1,1,1],\ \ { K}=k{\rm diag}[1,1,1] \\ \lambda_{0} =10^{-3},\ \ \mu =100,\ \ \varepsilon_{1}=0.1\cos 0.1t \\ \varepsilon_{2} =0.1\cos (0.1t+2),\ \ \varepsilon_{3}=0.1\cos (0.1t+1) \\ \end{array} \right\} \end{eqnarray}$
令$J_{{\rm w}gi} =J_{{\rm w}ti} =0.4$ kg/m$^{2}$, $J_{i} =0.7$ kg/m$^{2}$, $J_{{\rm f}gi} =J_{{\rm f}si} =J_{{\rm f}ti} =0.1$ kg/m$^{2}$, 以及^[33]

(32)$\begin{eqnarray} \label{eq32} { J}^{\rm (b)}=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {15053} & {3000} & {-1000} \\ {3000} & {6510} & {2000} \\ {-1000} & {2000} & {11122} \\ \end{array} }} \right] kg \cdot m^{-2} \end{eqnarray}$
取${ \tau }_{\rm out}= { \tau }_{\rm c}^{\ast} =\tau _{t1} { t}+\tau_{s1} { s}$.

选4种控制参数进行控制效果考核, 方案1: $W_{i} =1$, $k=300$; 方案2: $W_{i} =300$, $k=10$; 方案3: $W_{i} =200$, $k=100$; 方案4: $W_{i} =300$, $k=5$. 仿真控制结果如图8和图9所示. 可以看出, 4种方案均在500 s内趋于稳态, 其中方案1和3在初始有一段时间的波动后趋于稳态, 方案2和4相对平稳.

图8

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图8航天器姿态四元数时间历程

Fig.8Time histories of the attitude quaternion about spacecraft

图9

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图9航天器的角速度时间历程

Fig.9Time histories of the angular velocity about spacecraft



由式(8)和式(20)可得SCMG群的输出与输入力矩之比$K$和力矩利用率$\eta $, 如图10$\sim\!$图12所示. 可以看出, 在4种方案中, $K$和$\eta $均在等值线1上下波动, 表明SCMG并不恒有力矩放大效应和高效的力矩利用率, 这与理论结论一致. 方案1在等值线1上下波动次数最多, 总体控制效果欠佳, 与图8(a)和图9(a)表现出的控制效果吻合;方案3在等值线1上下波动次数仅次于方案1, 与图8(c)和图9(c)一致. 从图10(b)和图11(b)可见, 方案2的输出输入力矩比在等值线1以上的区域占优. 根据图8和图9所示的控制效果, 方案2收敛更快, 两者吻合;比较图12(b)和图12(d)可见, 方案3的力矩利用率$\eta$在等值线1以上的区域占优, 与图8和图9所示的平稳控制效果一致. 综上所述, 控制效果与输出输入力矩比$K$和力矩利用率$\eta $这两个参数密切相关.

图10

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图10输出与输入力矩比时间历程

Fig.10Torque ratio of CMG's input to output vs time

图11

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图11输出与输入力矩比时间历程

Fig.11Torque ratio of CMG's input to output vs time

图12

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图12力矩利用率时间历程

Fig.12Torque utilization vs time

4.2 优化控制

使用两个SCMG对控制方案1进行优化, 其参数与4.1节相同. 这里考虑SCMG的运动参数约束^[34]为$|\varOmega _{i} |\leqslant 3000$ rad/s, $|\dot{{\varOmega }}_{i} |\leqslant 10$ rad/s$^{2}$, $|\dot{{\delta }}_{i} |\leqslant 10$ rad/s, $|\ddot{{\delta }}_{i} |\leqslant 10$ rad/s$^{2}$, ($i=1$, 2), ${ \tau }_{\rm out}= { \tau }_{\rm c}^{\ast} ={ \tau }_{\rm c} $, 仿真时长$t_{\rm f} =80$ s, 优化目标为

(33)$\begin{eqnarray} \label{eq33} { f}=\int_0^{t_{\rm f} } {({ e}^{\rm T}{ N e}+{ x}^{\rm T}{ M x}+{ u}^{\rm T}{ R u})\mbox{d}t} \end{eqnarray}$
其中

(34)$\begin{eqnarray} \label{eq34} \left. {\begin{array}{l} { e}=\{q_{0} -q_{\rm 0d} ,q_{1} -q_{\rm 1d} ,q_{2} -q_{\rm 2d} ,q_{3} -q_{\rm 3d} \}^{\rm T} \\ { x}=\{\omega_{x} ,\omega_{y} ,\omega_{z} ,\dot{{\delta }}_{1} ,\dot{{\delta }}_{2} ,\varOmega_{1} ,\varOmega_{2} \}^{\rm T} \\ { u}=\{\ddot{{\delta }}_{1} ,\ddot{{\delta }}_{2} ,\dot{{\varOmega }}_{1} ,\dot{{\varOmega }}_{2} \}^{\rm T} \\ N =3000{ E}_{4} ,\ \ { M}=300{ E}_{7} ,\ \ { R}={ E}_{4} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$
式中, ${ E}_{i} $表示$i\times i$阶单位矩阵. 方案1控制效果如图13(a)和图14(a)所示, 框架角速度和转子角加速度分别如图15(a)和图16(a)所示. 由式(8)和式(20)计算输出与输入力矩比和力矩利用率, 结果如图17(a)和图18(a)所示.

图13

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图13航天器姿态四元数时间历程

Fig.13Time histories of the attitude quaternion about the spacecraft

图14

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图14航天器角速度时间历程

Fig.14Time histories of the angular velocity about the spacecraft

图15

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图15框架角速度时间历程

Fig.15Time histories of the gimbal rates

图16

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图16转子角加速度时间历程

Fig.16Time histories of the angular acceleration about the flywheel

图17

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图17输出与输入力矩比时间历程

Fig.17Torque ratio of CMG's input to output vs time

图18

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图18力矩利用率时间历程

Fig.18Torque utilization vs time



由式(3)和式(4)可知, SCMG为三维力矩输出, 单个SCMG即可实现航天器三维姿态控制. 因此, 优化控制方案2只保留优化方案1中第一个SCMG, 仿真时长$t_{\rm f} =200$ s, 其他仿真参数不变. 方案2仿真控制效果如图13(b)和图14(b)所示, 框架角速度和转子角加速度如图15(b)和图16(b)所示. 从式(8)和式(20)可得输出与输入力矩比和力矩利用率, 结果如图17(b)和图18(b)所示.

从图13和图14可见, 考虑到SCMG的运动参数受限, 两个优化控制方案均可完成控制任务, 控制过程比较平稳, 收敛效果良好. 对于收敛到目标的耗时, 方案1 (两个SCMG)约50 s, 方案2 (一个SCMG)约150 s, 后者用时略长, 前者航天器机动角速度明显高于后者, 因此收敛速度更快. 从图15可见, 方案1的框架角速度幅值更大. 图15(a)显示方案1在35 s以后$\dot{{\delta }}_{i} (i=1$, 2)已接近零, 即此时输出的陀螺力矩值非常有限. 由图16可知, 方案1长时间利用转子变速输出力矩, 而方案2在50 s时已接近目标姿态, 之后就不再利用转子变速输出力矩, 但维持比较高的转子速度. 由图15(b)可知, 方案2在50 s以后框架角速度在稳态期望值零上下波动, 通过输出陀螺力矩来调节航天器姿态. 上述两种优化控制方案的任务相同, 但图13$\sim\!$图16中两种控制方案表现出明显差异, 根本原因在于方案1有4个输入, 从控制的角度可理解其有一个冗余, 可行域更广;方案2仅有2个输入, 属于欠驱动, 可行域更窄. 由图17和图18可知, 在整个控制过程中, 两种优化控制方案的输出输入力矩比和力矩利用率始终位于等值线1以上, 表明在优化控制过程中SCMG始终有良好的输出特性, 即SCMG始终具有力矩放大效应和高效的力矩利用率.

5 结论

通过建立SCMG的两维输入三维输出模型, 将其输出力矩分解成可调控部分与不可调控部分, 进而定义SCMG的输入与输出力矩比和力矩利用率. 研究发现, SCMG不恒有力矩放大效应, 也不恒有高效的力矩利用率. 此外, SCMG输出特性确实与系统状态有关. 根据SCMG的三维输出特性, 借助一个SCMG的优化控制可实现航天器三轴姿态机动. 在提出的优化控制方案中, 可以始终确保SCMG具有力矩放大效应和高效的力矩利用率. 因此, 通过合理设计控制方案, 可以使SCMG具有良好的动态输出特性且控制效果最优.

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