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基于S-R和分解定理的三维几何非线性无网格法

本站小编 Free考研考试/2022-01-01

宋彦琦^*^,, 周涛
中国矿业大学(北京)力学与建筑工程学院, 北京 100083

THREE-DIMENSIONAL GEOMETRIC NONLINEARITY ELEMENT-FREE METHOD BASED ON S-R DECOMPOSITION THEOREM

SongYanqi^*^,, ZhouTao
School of Mechanics and Civil Engineering , China University of Mining & Technology , Beijing 100083, China
中图分类号:O331
文献标识码:A

通讯作者:^*宋彦琦, 教授, 主要研究方向: 固体力学理论及工程应用等方面的研究. E-mail:songyq@cumtb.edu.cn^*宋彦琦, 教授, 主要研究方向: 固体力学理论及工程应用等方面的研究. E-mail:songyq@cumtb.edu.cn
收稿日期:2018-03-5
接受日期:2018-06-19
网络出版日期:2018-07-18
版权声明:2018力学学报期刊社力学学报期刊社所有
基金资助:

国家自然科学基金重点项目(41430640)和中国矿业大学(北京)深部岩土力学与地下工程国家重点实验室开放基金项目(SKLGDUEK1728)资助

展开

摘要
S-R(strain-rotation)和分解定理克服了经典有限变形理论的一些缺点, 使其可以为几何非线性数值分析提供可靠的理论基础. 对于大变形问题, 由于无网格法(element-free method)避免了对单元网格的依赖, 从而从根本上避免了有限单元法(finite element method, FEM)的单元畸变问题, 保证了求解精度. 因此, 将无网格法和S-R和分解定理结合起来势必能建立一套更加合理可靠的几何非线性数值计算方法. 目前基于S-R 定理的无网格数值方法研究较少并且只能用于二维平面问题的求解, 但实际上绝大多数问题都必须以三维模型来进行处理, 因此建立适用于三维情况的S-R无网格法是非常有必要的. 本文给出了适用于三维情况的S-R 无网格法: 采用由更新拖带坐标法和势能率原理推导出来的增量变分方程, 利用基于全局弱式的无网格Galerkin 法(EFG)得到了用于求解三维空间问题的离散格式. 利用MATLAB编制三维S-R 无网格法程序, 对受均布载荷的三维悬臂梁和四边简支矩形板结构的非线性弯曲问题进行了计算. 最后将所得的数值结果与已有文献进行了比较, 验证了本文的三维S-R无网格数值算法的合理性、有效性和准确性. 本文的三维S-R无网格数值算法可以作为一种可靠的三维几何非线性数值分析方法.

关键词：S-R和分解;三维无网格法;几何非线性
Abstract
Due to its overcoming the deficiencies of classic finite deformation theories, Strain-Rotation (S-R) decomposition theorem can provide a reliable theoretical support for the geometrically nonlinear simulation. In addition, due to it’s independent of the elements and meshes, the element-free method has more advantages to solve large deformation problems compared to finite element method (FEM), so that the accuracy is guaranteed as a result of avoiding the element distortions. Therefore, a more reasonable and reliable geometric nonlinearity numerical method certainly will be established by combining the S-R decomposition theorem and element-free method. But the studies of element-free methods based on S-R decomposition theorem in current literature are limited to two-dimensional problems. In most cases, three-dimensional mathematical-physical models must be established for the practical problems. Therefore it is very necessary to establish a three-dimensional element-free method based on the S-R decomposition theorem. Present study extends the previously work by authors into three-dimensional case: The incremental variation equation is derived from updated co-moving coordinate formulation and principle of potential energy rate in this paper, and three-dimensional discretization equations are obtained by element-free Galerkin method (EFG). By using the MATLAB programs based on the proposed 3D S-R element-free method in present study, the nonlinear bending problems for three-dimensional cantilever beam and simply supported plates subjected to uniform load are numerical discussed. The reasonability, availability and accuracy of 3D S-R element-free method proposed by present paper are verified through comparison studies, and the numerical method in present work can provide a reliable way to analysis 3D geometric nonlinearity problems.

Keywords：S-R decomposition theorem;three-dimensional element-free method;geometric nonlinearity

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宋彦琦, 周涛. 基于S-R和分解定理的三维几何非线性无网格法[J]. 力学学报, 2018, 50(4): 853-862 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-050
Song Yanqi, Zhou Tao. THREE-DIMENSIONAL GEOMETRIC NONLINEARITY ELEMENT-FREE METHOD BASED ON S-R DECOMPOSITION THEOREM[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 853-862 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-050

引言

固体几何非线性和物理非线性问题的建模和求解方法等一直都是非线性力学的重点课题之一^[1]. 由于非线性问题在数学求解上的复杂性, 很难找到问题的解析解, 因此更多时候是从数值模拟方面寻找解答. 在传统固体几何非线性问题的数值模拟方法中, 一般都采用全拉格朗日格式(total Lagrange formulation, 简称 T.L. 格式)和更新拉格朗日格式(updated Lagrange formulation, 简称 U.L. 格式)的有限元方法(FEM)来进行求解^[2]. 但由于FEM对单元具有依赖性, 对于大变形问题, 单元的畸变会严重影响FEM的求解精度^[3]. 为了避免对单元网格的依赖, 无网格法(element-free methods)是一个很好的选择, 例如, Li和Belytschko^[4]利用无网格Galerkin 法(EFG)^[5]对金属成形过程中的接触冲击大变形问题进行了分析. 邵玉龙等^[6]在一致性无单元Galerkin法(consistent EFG, CEFG)的基础之上, 发展了自适应分析方法, 进一步提高它求解局部高梯度问题的计算效率. 杨建军和郑健龙^[7]基于无网格局部强弱法(meshless local strong-weak, 简称MLSW), 对不规则域问题进行了求解.
然而在传统几何非线性无网格数值方法中, 绝大多数都是采用Green应变张量作为有限变形理论的基础. 例如Chen 等^[8]、Li 等^[9]、Liew等^[10], 采用了无网格RKPM (reproducing kernel particle method)法对一些结构的大变形问题进行了数值计算. 又例如最近几年, Zhang 等^[11]、Do等^[12]分别利用无网格IMLS-Ritz法(improved moving least-square ritz method)和无网格RPIM 法(radial point interpolation method)对功能梯度碳纳米管增强复合材料板的大变形弯曲问题进行了数值讨论. 虽然Green应变张量克服了Cauchy应变张量在变形体作纯转动时产生虚假应变这一缺点, 但是由于没有导出相应的转动张量和应变张量相匹配, 因此会限制其在大位移和大转动问题中的应用^[13,14]. 陈至达等^[13,15-16] 提出的S-R(strain-rotation)和分解定理, 克服了Green应变张量的缺点, 应变和局部转动是同时发生的, 并且应变是唯一确定的^[17]. 因此S-R和分解定理可以为几何非线性数值方法提供精确完备的数学力学基础.
陈至达等^[18]基于S-R和分解定理, 采用拖带坐标描述法和势能率变分原理, 给出了用以数值求解的位移增量方程, 为S-R 和分解定理在数值方法中的应用奠定了基础. 到目前为止, 基于S-R和分解定理的数值模拟方法的研究大多数以FEM为主: 秦忠^[19]提出了基于S-R定理的节理单元和曲壳单元, 编制了非线性有限元计算程序SNAP, 对岩体蠕变和壳体大变形问题进行了求解; 尚勇等^{[20,21,22,23]} 进一步拓展了S-R定理和拖带坐标描述法在有限元中的应用, 建立了连续体大变形变边界变分公式和大变形接触问题的计算模型; 李平等^[24,25]提出了更新拖带坐标法(updated co-moving system, 简称U.C. 法)的大变形有限元计算方法, 编制了程序NASRAC, 并与采用U.L. 格式的程序ADINA 进行了比较; 高立堂等^[26,27]采用李平的更新拖带坐标有限元法对火灾作用下的钢筋混凝土板进行了数值计算; 何满潮等^[28]开发了有限元程序“深部软岩工程大变形力学设计分析系统”, 对巷道的不同埋深下进行开挖的巷道围岩大变形进行数值模拟. 除了FEM之外, 一些****将S-R定理也应用到了其他一些数值方法中. 谢和平^[29,30]导出了基于S-R定理的非线性边界元计算格式, 编写了NBEM程序; 高亚楠等^[31]采用S-R 和分解理论对原有非连续变形分析(DDA)程序进行了修正; 罗丹^[32]、陈芳祖和罗丹^[33]、宋彦琦等^[34] 都采用了更新拖带坐标描述法, 导出了基于S-R 定理的二维无网格Galerkin法离散方程, 对二维平面大变形梁结构算例进行了求解; 最近, Fan等^[2]同样基于S-R 定理和更新拖带坐标描述法, 利用动量守恒定律给出了动态增量变分方程, 并结合数值流形法(numerical manifold method, NMM), 建立了二维情况下的S-R 动态数值流形法(S-R-D-based NMM); 随后Fan等^[35,36]又根据自己推导的动态增量变分方程, 给出了三维情况下的离散格式^[36], 并结合DDA, 分别建立了基于S-R 定理的二维DDA方法(SR-2D-DDA)^[35] 和三维^[36]DDA方法(SR-3D-DDA).
从前面的文献综述可以看出, 基于S-R定理的无网格法的研究依然较少, 由于在大变形问题分析中, 无网格法相对于FEM更有优势, 因此目前结合S-R定理和无网格数值方法的研究依然值得关注. 另外文献^[32,33,34]只是对二维问题进行了讨论, 并未给出基于S-R和分解定理的三维无网格法离散格式. 基于以上认识, 本文将S-R无网格法进一步延伸到三维情况: 采用由更新拖带坐标法和势能率原理推导出来的增量变分方程, 利用基于全局弱势的无网格Galerkin法得到了用于求解三维空间问题的离散格式, 其本质边界条件的施加是通过直接修改系统离散方程中的刚度矩阵和总体力向量来实现的. 利用MATLAB编制三维S-R 无网格法程序, 对受均布载荷的三维悬臂梁和四边简支矩形板结构的非线性弯曲问题进行了计算. 最后将所得的数值模拟结果与现有文献进行比较, 验证了本文的三维S-R无网格数值模拟算法的合理性和准确性.

1 S-R和分解定理

S-R和分解定理^[13]证明: “给定一个物理可能的位移函数, 此函数在形变体点集域内是单值连续的, 处处具有一阶导数, 则此运动变换总可以分解为正交与对称两个子变换的直和. 正交变化体现点集的转动, 而对称变换体现点集的形变.”
为了描述欧式空间

E^{3}

中任意变形体的运动, 可以选取两个参考系, 如图1所示. (1) 全局固定参考系

\{X^{i}\} (i = 1,2, 3)

; (2) 嵌含在变形体中的自然拖带坐标系

\{x^{i}\} (i = 1,2, 3)

. 其坐标线会随着物体形变而变形.

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图1三维欧式空间中变形体示意图.
-->Fig.1A deformable body in three-dimension Euclidean space
-->

图1中,

r

和

R

分别为变形前和变形后的位置矢量;

u

为位移矢量;

{\overset{0}{g}}_{i}

和

g_{i} (i = 1,2, 3)

分别为局部拖带坐标系在一点变形前后的基矢量. 位置矢量(

r

R

)和位移矢量(

u

)满足如下关系

R = r + u (1)

变形前后拖带坐标系中的基矢量分别定义如下

{\overset{0}{g}}_{i} = \frac{? r}{? x^{i}}, i = 1,2, 3 (2)

g_{i} = \frac{? R}{? x^{i}}, i = 1,2, 3 (3)

将式(2)和式(3)代入式(1)得到

\frac{? R}{? x^{i}} = \frac{? r}{? x^{i}} + \frac{? u}{? x^{i}} (4)

在曲线坐标系下

\frac{? u}{? x^{i}} = \frac{?}{? x^{i}} (u^{j} {\overset{0}{g}}_{j}) = u^{j} |_{i} {\overset{0}{g}}_{j} (5)

其中

u^{j} |_{i} = \frac{? u^{j}}{? x^{i}} + \overset{0}{Γ_{ik}^{j}} u^{k} (6)

\overset{0}{Γ_{ik}^{j}} = \frac{1}{2} \overset{0}{g^{jl}} (\frac{? {\overset{0}{g}}_{li}}{? x^{k}} + \frac{? {\overset{0}{g}}_{lk}}{? x^{i}} - \frac{? {\overset{0}{g}}_{ik}}{? x^{l}}) (7)

其中,

u^{j} |_{i}

称为一阶逆变分量

u^{j}

对

x^{i}

的协变导数或者绝对导数;

\overset{0}{Γ_{ik}^{j}}

称为第二类Christoffel符号. 进而可以得到变形前后局部拖带坐标系基矢量的转换关系

g_{i} = F_{i}^{j} {\overset{0}{g}}_{j} (8)

F_{i}^{j} = δ_{i}^{j} + u^{j} |_{i} (9)

其中,

F

称为局部坐标系基矢的变换函数(或称为位移梯度函数);

δ_{i}^{j}

为Kronecker符号.
换句话说, S-R和分解定理可以表述为: 任何一个可逆的线性微分变换函数

F

都存在一个唯一的直和分解

F = S + R (10)

其中,

S

为对称的子变换, 表示应变张量;

R

为正交的子变换, 表示转动张量. 文献^[13]证明了和分解定理的存在性和唯一性, 这里只是给出其中相关的数学结果.
应变张量和转动张量分别为

S_{j}^{i} = \frac{1}{2} (u^{i} |_{j} + u^{i} |_{j}^{T}) - L_{k}^{i} L_{j}^{k} (1 - c os θ) (11)

R_{j}^{i} = δ_{j}^{i} + L_{j}^{i} s in θ + L_{k}^{i} L_{j}^{k} (1 - c os θ) (12)

其中,

L_{j}^{i}

为转轴单位矢量

L_{j}^{i} = \frac{1}{2 s in θ} (u^{i} |_{j} - u^{i} |_{j}^{T}) (13)

其中,

θ

为平均整旋角

2 基于更新拖带坐标法的增量变分方程

2.1 增量变分方程

假设从0到

t

时刻的所有时间点的物理量已经得到, 随后需要求解的是

t + Δ t

时刻的物理量, 这一求解过程是具有代表性的, 这样可以重复应用该过程直到整个求解路径完成. 由势能率原理,

t + Δ t

时刻的变分为^[25]

δ^{t + Δ t} J = {\int_{Ω (t + Δ t)} ?}^{t + Δ t} σ_{j}^{i} δ^{t + Δ t} V^{j} | |_{i} d Ω -^{t + Δ t} R = 0 (15)

式中,δ为变分符号;J为泛函;σⁱ_j为应力张量;

表示在

t + Δ t

时刻速度

^{t + Δ t} V^{i}

关于

t + Δ t

时刻拖带系协变基矢

^{t + Δ t} g_{i}

的协变导数;

^{t + Δ t R}

为外力虚功

?^{t + Δ t} R = {\int_{S_{p} (t + Δ t)} ?}^{t + Δ t} P_{i} δ^{t + Δ t} V^{i} d S + {\int_{Ω (t + Δ t)} ?}^{t + Δ t} ρ f_{i} δ^{t + Δ t} V^{i} d Ω (16)

其中,

P

和

f

分别为面力和体力.
假设所考虑的问题为准静力学问题, 根据速度梯度和应力的线性近似逼近有

^{t + Δ t} V^{k} | |_{i} = (δ_{l}^{k} - Δ u^{k} | |_{j}) V^{j} | |_{i} (17)

^{t + Δ t} σ_{j}^{i} =^{t} σ_{j}^{i} + Δ t {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} (18)

其中,

Δ u^{k} | |_{j}

是位移增量

Δ u^{k}

在

^{t} g_{i}

系下的协变导数;

{\overset{?}{σ}}_{j}^{i}

是以

t

时刻拖带系

^{t} g_{i}

作为基准的拖带应力速率. 将式(17)和式(18)代入式(15)中并利用关系

Δ u^{j} | |_{k} = Δ t V^{j} | |_{k}

得到

Δ t \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} δ V^{j} | |_{i} d Ω - Δ t \int ? σ_{j}^{i} V^{j} | |_{k} δ V^{k} | |_{i} d Ω =^{t + Δ t} R - \int ? σ_{j}^{i} δ V^{j} | |_{i} d Ω (19)

2.2 更新拖带坐标法

在更新拖带坐标法^[25]中, 是以

t

时刻初始拖带系

^{t} {\overset{0}{g}}_{i}

内的速度分量

^{t} {\overset{0}{V}}_{i}

作为基本插值量. 如图2所示, 设质点在初始时刻

t_{0}

时位于空间位置

P

点,

P

处的初始拖带基矢为

{\overset{0}{g}}_{i}

. 在

t

时刻, 质点移至空间位置

P'

处,

P'

处的初始拖带系基矢为

^{t} {\overset{0}{g}}_{i}

, 瞬时拖带系基矢为

^{t} g_{i}

. 在由

t

时刻至

t + Δ t

时刻的增量步上, 选用

t

时刻的初始拖带坐标系

^{t} {\overset{0}{g}}_{i}

(一般取为标准直角坐标系)作为参考基准. 这样,

t

时刻瞬时拖带系

^{t} g_{i}

上的

^{t} V^{i} | |_{j}

表示为

^{t} V^{i} | |_{j} =^{t} \overset{0}{V^{k}} |_{l} \frac{? x^{i}}{?^{t} x^{k}} \frac{?^{t} x^{l}}{? x^{j}} (20)

对

^{t} \overset{0}{V^{k}} |_{l}

同样有广义欧拉运动学公式

^{t} \overset{0}{V^{k}} |_{l} = {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{l}^{k} + {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{l}^{k} (21)

式中

{\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{l}^{k} = \frac{1}{2} (^{i} \overset{0}{V^{k}} |_{l} +^{i} \overset{0}{V^{k}} |_{l}^{T}) (22)

{\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{l}^{k} = L_{t}^{k} \overset{?}{\overset{?}{θ}} = \frac{1}{2} (^{i} \overset{0}{V^{k}} |_{l} +^{i} \overset{0}{V^{k}} |_{l}^{T}) (23)

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图2更新拖带坐标系.
-->Fig.2Update of the three-dimension co-moving coordinate
-->

其中,

和

分别表示应变速率和转动速率; 顶标“?”表示相应物理量是在

t

时刻初始拖带系

^{t} {\overset{0}{g}}_{i}

下的物理量.
将式(20)运用到式(19)中

Δ t \int ? {\overset{?}{\overset{?}{σ}}}_{j}^{i} δ^{t} \overset{0}{V^{j}} |_{i} d Ω - Δ t \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i}^{t} \overset{0}{V^{j}} |_{k} δ^{t} \overset{0}{V^{k}} |_{i} d Ω =^{t + Δ t} R - \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} δ^{t} \overset{0}{V^{j}} |_{i} d Ω (24)

上式中

{\overset{?}{σ}}_{j}^{i} = σ_{l}^{k} \frac{? x^{l}}{?^{t} x^{j}} \frac{?^{t} x^{i}}{? x^{k}} (25)

{\overset{?}{\overset{?}{σ}}}_{j}^{i} = {\overset{?}{σ}}_{l}^{k} \frac{? x^{l}}{?^{t} x^{j}} \frac{?^{t} x^{i}}{? x^{k}} (26)

以

^{t} {\overset{0}{g}}_{i}

系为基准的速率型物性方程

{\overset{?}{\overset{?}{σ}}}_{j}^{i} = {\overset{?}{C}}_{jl}^{ik} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{k}^{l} (27)

其中

{\overset{?}{C}}_{jl}^{ik} = C_{nt}^{ms} \frac{? x^{n}}{?^{t} x^{j}} \frac{?^{t} x^{i}}{? x^{m}} \frac{? x^{t}}{?^{t} x^{l}} \frac{?^{t} x^{k}}{? x^{s}} (28)

对于各向同性体有

{\overset{?}{C}}_{jl}^{ik} = C_{jl}^{ik}

.
将式(27)代入式(24)中

Δ t \int ? {\overset{?}{C}}_{jl}^{ik} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{k}^{l} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{j} d Ω - Δ t \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{k}^{j} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{k} d Ω - Δ t \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{k}^{j} δ {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{i}^{k} d Ω - Δ t \int ? ({\overset{?}{σ}}_{j}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{k}^{j} δ {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{i}^{k} + {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{k}^{j} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{k}) d Ω + Δ t \int ? {\overset{?}{\overset{?}{σ}}}_{j}^{i} δ {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{i}^{j} d Ω =^{t + Δ t} R - \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{j} d Ω (29)

如果不考虑体力矩的影响, 假设初始系为正交系, 文献^[25]利用如下结果

{\overset{?}{\overset{?}{σ}}}_{j}^{i} = {\overset{?}{σ}}_{k}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{j}^{k} - {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{k}^{i} {\overset{?}{σ}}_{j}^{k} (30)

对式(29)进行简化

Δ t \int ? {\overset{?}{C}}_{jl}^{ik} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{k}^{l} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{j} d Ω - Δ t \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{k}^{j} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{k} d Ω - Δ t \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{k}^{j} δ {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{i}^{k} d Ω - Δ t \int ? ({\overset{?}{σ}}_{j}^{i} {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{k}^{j} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{k} + {\overset{?}{σ}}_{k}^{j} {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{j}^{i} δ {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{i}^{k}) d Ω =^{t + Δ t} R - \int ? {\overset{?}{σ}}_{j}^{i} δ {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{i}^{j} d Ω (31)

此式可作为全局弱形式无网格法的增量变分方程.
更新拖带坐标法最大的特点是, 在每一次迭代步结束后, 重新选择初始拖带系, 不仅保证了应力速率的客观性, 自动消除了转动的影响, 使应力分量不随时间改变, 而且大大简化了增量变分方程求解中的系数矩阵, 降低了增量变分方程的求解难度,利于算法实现和推广应用^[34].

3 基于无网格Galerkin法的系统离散方程

在无网格方法中, 问题域被离散成一组节点

x_{k} (k = 1,2, ?, n)

来进行求解. 根据无网格Galerkin 法, 对于

t

时刻节点位移增量

^{t} Δ u

和速度

^{t} V

, 采用移动最小二乘(MLS) 插值形函数进行近似

^{t} Δ u = {\sum_{k}^{=} ?}^{t} ?_{k} (x)^{t} Δ u_{k} (32)

^{t} V = {\sum_{k}^{=} ?}^{t} ?_{k} (x)^{t} V (33)

其中,

^{t} ?_{k}

为

t

时刻节点

k

的MLS的形函数;

^{t} Δ u_{k}

和

^{t} V

分别是

t

时刻节点

k

的位移增量参数和速度参数.
类似于式(6), 对于

V^{j} | |_{i}

同样有

V^{j} | |_{i} = \frac{? V^{j}}{? x^{i}} + Γ_{il}^{j} V^{l} (34)

将式(32)和式(33)分别代入式(6)和式(34)中

^{t} Δ u^{j} |_{i} = \sum_{k}^{=} ? {\frac{?^{t} ?_{k}}{? x^{i}}}^{t} Δ u_{k}^{j} + Γ_{il}^{j} {\sum_{k}^{=} ?}^{t} {?_{k}}^{t} Δ u_{k}^{l} (35)

^{t} V^{j} |_{i} = \sum_{k}^{=} ? {\frac{?^{t} ?_{k}}{? x^{i}}}^{t} V_{k}^{j} + Γ_{il}^{j} {\sum_{k}^{=} ?}^{t} {?_{k}}^{t} V_{k}^{l} (36)

另外

Δ \overset{?}{S} = Δ t \overset{?}{\overset{?}{S}}, Δ \overset{?}{R} = Δ t \overset{?}{\overset{?}{R}} (37)

从而可以将式(22), (23)和式(37)改写成矩阵形式

Δ \overset{?}{S} = {B^{s}}^{t} Δ u, Δ \overset{?}{R} = {B^{r}}^{t} Δ u (38)

\overset{?}{\overset{?}{S}} = {B^{s}}^{t} V, \overset{?}{\overset{?}{R}} = {B^{r}}^{t} V (39)

以上两式中

^{t} Δ u = {\{^{t} Δ u_{1}^{1},^{t} Δ u_{1}^{2},^{t} Δ u_{1}^{3}, ?,^{t} Δ u_{n}^{1},^{t} Δ u_{n}^{2},^{t} Δ u_{n}^{3}\}}_{(3 n \times 1)}^{T} (40)

^{t} V = {\{^{t} V_{1}^{1},^{t} V_{1}^{2},^{t} V_{1}^{3}, ?,^{t} V_{n}^{1},^{t} V_{n}^{2},^{t} V_{n}^{3}\}}_{(3 n \times 1)}^{T} (41)

B^{s} = {[B_{1}^{s}, B_{2}^{s}, ?, B_{n}^{s}]}_{(6 \times 3 n)} (42)

B^{r} = {[B_{1}^{r}, B_{2}^{r}, ?, B_{n}^{r}]}_{(6 \times 3 n)} (43)

Δ \overset{?}{S} = {\{Δ {\overset{?}{S}}_{1}^{1}, Δ {\overset{?}{S}}_{2}^{2}, Δ {\overset{?}{S}}_{3}^{3}, 2 Δ {\overset{?}{S}}_{2}^{1}, 2 Δ {\overset{?}{S}}_{3}^{2}, 2 Δ {\overset{?}{S}}_{3}^{1}\}}_{6 \times 1}^{T} (44)

Δ \overset{?}{R} = {\{2 Δ {\overset{?}{R}}_{2}^{1}, 2 Δ {\overset{?}{R}}_{3}^{2}, 2 Δ {\overset{?}{R}}_{3}^{1}\}}_{3 \times 1}^{T} (45)

\overset{?}{\overset{?}{S}} = {\{{\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{1}^{1}, {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{2}^{2}, {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{3}^{3}, 2 {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{2}^{1}, 2 {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{3}^{2}, 2 {\overset{?}{\overset{?}{S}}}_{3}^{1}\}}_{6 \times 1}^{T} (46)

\overset{?}{\overset{?}{R}} = {\{2 {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{2}^{1}, 2 {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{3}^{2}, 2 {\overset{?}{\overset{?}{R}}}_{3}^{1}\}}_{3 \times 1}^{T} (47)

而

B_{i}^{s} = [\begin{array}{l} \frac{? N^{k}}{? x^{1}} + Γ_{11}^{1} N^{k} & Γ_{12}^{1} N^{k} & Γ_{13}^{1} N^{k} \\ Γ_{21}^{2} N^{k} & \frac{? N^{k}}{? x^{2}} + Γ_{22}^{2} N^{k} & Γ_{23}^{2} N^{k} \\ Γ_{13}^{3} N^{k} & Γ_{32}^{3} N^{k} & \frac{? N^{k}}{? x^{3}} + Γ_{33}^{3} N^{k} \\ \frac{? N^{k}}{? x^{2}} + (Γ_{21}^{1} + Γ_{11}^{2}) N^{k} & \frac{? N^{k}}{? x^{1}} + (Γ_{22}^{1} + Γ_{12}^{2}) N^{k} & (Γ_{23}^{1} + Γ_{13}^{2}) N^{k} \\ (Γ_{31}^{2} + Γ_{21}^{3}) N^{k} & \frac{? N^{k}}{? x^{3}} + (Γ_{32}^{2} + Γ_{22}^{3}) N^{k} & \frac{? N^{k}}{? x^{2}} + (Γ_{33}^{2} + Γ_{23}^{3}) N^{k} \\ \frac{? N^{k}}{? x^{3}} + (Γ_{31}^{1} + Γ_{11}^{3}) N^{k} & (Γ_{32}^{1} + Γ_{12}^{3}) N^{k} & \frac{? N^{k}}{? x^{1}} + (Γ_{33}^{1} + Γ_{13}^{3}) N^{k} \end{array}] (48)

B_{i}^{r} = [\begin{array}{l} \frac{? N^{k}}{? x^{2}} + (Γ_{21}^{1} + Γ_{11}^{2}) N^{k} & - \frac{? N^{k}}{? x^{1}} + (Γ_{22}^{1} - Γ_{12}^{2}) N^{k} & (Γ_{23}^{1} - Γ_{13}^{2}) N^{k} \\ (Γ_{31}^{2} - Γ_{21}^{3}) N^{k} & \frac{? N^{k}}{? x^{3}} + (Γ_{32}^{2} + Γ_{22}^{3}) N^{k} & - \frac{? N^{k}}{? x^{2}} + (Γ_{33}^{2} - Γ_{23}^{3})) N^{k} \\ \frac{? N^{k}}{? x^{3}} + (Γ_{31}^{1} - Γ_{11}^{3}) N^{k} & (Γ_{32}^{1} + Γ_{12}^{3}) N^{k} & - \frac{? N^{k}}{? x^{1}} + (Γ_{33}^{1} + Γ_{13}^{3}) N^{k} \end{array}] (49)

在更新拖带坐标法中, 如果初始拖带系和直线直角系胚

Γ_{jk}^{i} = \overset{0}{Γ_{jk}^{i}} = 0 (50)

将式(38)和式(39)代入式(31)中, 并根据

δ^{t} V^{T}

的任意性, 得到增量变分方程的矩阵形式

[^{t} K_{L} -^{t} K_{N}] ?^{t} Δ u =^{t + Δ t} R -^{t} F (51)

其中

^{t} K_{L} = \int_{Ω (t)} ? B^{s T} D B^{s} d Ω (52)

^{t} K_{N} = \int_{Ω (t)} ? B^{s T} σ_{1} B^{s} d Ω - \int_{Ω (t)} ? B^{r T} σ_{2} B^{r} d Ω - \int_{Ω (t)} ? B^{s T} σ_{3} B^{r} d Ω - \int_{Ω (t)} ? B^{r T} {σ_{3}}^{T} B^{s} d Ω (53)

^{t + Δ t} R = \int_{sp (t)} ? ?^{T} P d S + \int_{Ω (t)} ? ?^{T} ρ f d S (54)

^{t} F = \int_{Ω (t)} ? B^{s T} σ d Ω (55)

上式中,

D

是物性系数矩阵

σ = {σ_{1}^{1}, σ_{2}^{2}, σ_{3}^{3}, σ_{2}^{1}, σ_{3}^{2}, σ_{3}^{1}}^{T} (56)

σ_{1} = [\begin{array}{l} σ_{1}^{1} & 0 & 0 & \frac{σ_{2}^{1}}{2} & 0 & \frac{σ_{3}^{1}}{2} \\ 0 & σ_{2}^{2} & 0 & \frac{σ_{1}^{2}}{2} & - 1 mm \frac{σ_{3}^{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{3}^{3} & 0 & \frac{σ_{2}^{3}}{2} & \frac{σ_{1}^{3}}{2} \\ \frac{σ_{1}^{2}}{2} & \frac{σ_{2}^{1}}{2} & 0 & \frac{σ_{1}^{1} + σ_{2}^{2}}{4} & \frac{σ_{3}^{1}}{4} & \frac{σ_{3}^{2}}{4} \\ 0 & \frac{σ_{2}^{3}}{2} & \frac{σ_{3}^{2}}{2} & \frac{σ_{1}^{3}}{4} & \frac{σ_{2}^{2} + σ_{3}^{3}}{4} & \frac{σ_{1}^{2}}{4} \\ \frac{σ_{1}^{3}}{2} & 0 & \frac{σ_{3}^{1}}{2} & \frac{σ_{2}^{3}}{4} & \frac{σ_{2}^{1}}{4} & \frac{σ_{1}^{1} + σ_{3}^{3}}{4} \end{array}] (57)

σ_{2} = - \frac{1}{4} [\begin{array}{l} σ_{1}^{1} + σ_{2}^{2} & - σ_{3}^{1} & σ_{3}^{2} \\ - σ_{1}^{3} & σ_{2}^{2} + σ_{3}^{3} & σ_{1}^{2} \\ σ_{2}^{3} & σ_{2}^{1} & σ_{1}^{1} + σ_{3}^{3} \end{array}] (58)

σ_{3} = [\begin{array}{l} - \frac{1}{2} σ_{2}^{1} & 0 & - \frac{1}{2} σ_{3}^{1} \\ \frac{1}{2} σ_{1}^{2} & - \frac{1}{2} σ_{3}^{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} σ_{2}^{3} & \frac{1}{2} σ_{1}^{3} \\ \frac{1}{4} (σ_{1}^{1} - σ_{2}^{2}) & - \frac{1}{4} σ_{3}^{1} & - \frac{1}{4} σ_{3}^{2} \\ - \frac{1}{4} σ_{1}^{3} & \frac{1}{4} (σ_{2}^{2} - σ_{3}^{3}) & \frac{1}{4} σ_{1}^{2} \\ - \frac{1}{4} σ_{2}^{3} & \frac{1}{4} σ_{2}^{1} & \frac{1}{4} (σ_{1}^{1} - σ_{3}^{3}) \end{array}] (59)

在本文中, 采用直接法来施加本质边界条件, 即通过直接修改系统增量方程(51)中的刚度矩阵和总体力向量. 在本文的无网格法数值计算过程中, 其它一些必要的参数设置见表1.
Table 1
表1
表1本文三维SR-EFG的必要参数设定
Table 1The essential parameters for 3D-SR-EFG

Name	Type
nodes distributions	regular nodes
influence domain	sphere: scaling factor $d = 2.5$
basis functions	linear basis function:
	$p^{T} (x) = {1, x^{1}, x^{2}, x^{3}}, m = 4$
	$u_{i} (x_{i}) = a_{1} (x_{i}) + a_{2} (x_{i}) x_{i}^{1} +$
	$a_{3} (x_{i}) x_{i}^{2} + a_{4} (x_{i}) x_{i}^{3}$
weight function	CSRBF2:
	$W = (\begin{array}{l} 0, r > 1 \\ (1 - r)^{6} (6 + 36 r + 82 r^{2} + \\ 72 r^{3} + 30 r^{4} + 5 r^{5}), r & # x 2264; 1 \end{array}$
numerical integration	Gauss integration: $3 \times 3 \times 3$

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4 数值算例

4.1 悬臂梁结构的非线性弯曲计算

图3所示为一上表面受均布载荷

q

的三维悬臂梁结构. 已知梁的长宽高分别为

L = 254

mm,

D = H = 25.4

mm, 杨氏模量

E = 82.74

MPa, 泊松比

?

. 图4给出了该算例中梁右端中点的无量纲挠度值与无量纲均布载荷值之间的关系, 其中包括本文数值方法收敛性的验证, 以及本文结果与罗丹^[32] 和Holden^[37]的结果、小变形线性理论的结果之间的比较. 由不同节点数之间的对比可以反映出本文三维S-R无网格法在该算例中的收敛性特点, 可以发现当采用

21 \times 3 \times 3

个节点时, 计算结果已经趋于稳定. 通过与罗丹^[32]的结果进行比较, 可以发现本文的结果与罗丹^[32] 的结果之间存在微小的差异. 在罗丹的所有算例中, 结构都是有厚度的, 因此实际上都应该是三维空间结构. 当他们使用自己的二维S-R无网格法来求解这些三维问题时, 必定需要满足如下假设(以这里的悬臂梁为例): 所有物理量与厚度方向的坐标(

X^{2}

)是没有关系的, 即所有物理量只是另外两个方向坐标(

X^{1}, X^{3}

)的函数; 沿厚度方向的物理分量(

σ_{i 3}, ε_{i 3}, u_{3}, i = 1,2, 3

)都为零. 本文的三维S-R 无网格数值法未对该算例中的问题作以上的假设近似简化处理, 因此本文方法对于该算例的求解应该具有更高的精度. 而由于Holden^[37] 采用不同的有限变形理论, 因此与之比较起来差异性会更加明显一点. 通过该算例的求解, 可以验证本文三维S-R 无网格法的收敛性和合理性.

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图3受均布载荷的空间悬臂梁.
-->Fig.33D cantilever beam subjected to a uniform load
-->

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图4梁右端中点挠度与载荷的关系
-->Fig.4The right end central deflection of beam versus load
-->

4.2 矩形板结构的非线性弯曲计算

图5所示为一上表面受均布载荷

q

的三维矩形板结构示意图, 其长度为

b

, 宽度为

a

, 厚度为

h

. 在该算例中, 假定板为各向同性材料(

μ = 0.316

), 并且

a = b

, 其四边受简支约束. 如图6, 给出了平板中面中点的无量纲挠度与无量纲均布载荷强度之间的关系曲线, 与之作为对比的结果是来自于Shen^[38]、Levy^[39]和Gorgi^[40]. 首先可以看到在该算例中采用节点数

11 \times 11 \times 3

时结果就已经收敛了. 另外从曲线图中可以看出, 对于该算例本文计算得到的结果小于Shen^[38]、Levy^[39]、Gorgi^[40]给出的结果. Shen^[38] 、Levy^[39]、Gorgi^[40]都是在位移几何关系中加入冯·卡门(Von Kármán)应变项来实现非线性的考虑, 只是三者采用了不同板壳理论和不同的偏微分方程求解方法. Levy^[39]采用的是经典板壳理论(classic plate theory, CPT), 通过三角级数展开法对方程进行了求解. Gorgi^[40]则利用一阶剪切变形理论(first order shear deformation theory, FSDT), 通过有限差分法和有限单元法进行的求解. Shen^[38]是基于Reddy的高阶剪切变形理论(higher order shear deformation plate theory, HSDT), 最后通过摄动法对非线性方程进行求解. 但是经典板壳理论和绝大多数剪切变形板壳理论包括一阶剪切变形理论和Reddy的高阶剪切变形理论, 会采用一些假设, 如假设沿厚度方向的正应变

ε_{z} = 0

. 而本文方法所采用的理论基础未做任何近似假设, 因此同本文的三维方法相比较而言, Shen^[38] 、Levy^[39] 和Gorgi^[40]三者的准确性应该相对较低. 在传统板壳几何非线性分析中, 都是采用Von Kármán应变项来实现非线性的考虑^[41]. 而作者认为Von Kármán应变在本质上为Green 应变张量, 而Green 应变张量理论最致命的缺点是没有导出相应的转动张量和应变张量相匹配^[13,14]. 总结以上的讨论, 该算例同样验证了本文三维S-R 无网格法的收敛性, 并且同Shen^[38]、Levy^[39] 和Gorgi^[40] 之间的差异性也是可以解释的.

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图5受均布载荷的矩形板结构示意图.
-->Fig.53D rectangle plate subjected to a uniform load
-->

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图6平板中面中点挠度与载荷关系(各向同性板).
-->Fig.6The central deflection of rectangle plate’s mid-plane versus load (isotropic plate)
-->

同样以图5为例, 若板为正交各向异性材料, 杨氏模量有

E_{1} = 2.069 \times 1 0^{4}

MPa,

E_{2} = 8.826 \times

1 0^{3}

MPa, 剪切模量有

G_{12} = G_{13} = G_{23} = 2.551 \times 1 0^{3}

MPa, 泊松比

μ = 0.32

, 其长宽高满足

a = b = 304.8

mm,

h = 3.5

mm. 图7给出该算例的平板中面中点的无量纲挠度与无量纲均布载荷强度之间的关系. 同样可以发现当节点数为

11 \times 11 \times 3

时, 计算结果就已经收敛. 这里还可以发现, 对于正交各向异性板, 本文方法的计算结果是大于Shen^[38] 给出的结果, 这是与前文的各向同性板算例不一样的. 相对于Zaghoul 等^[42] 给出的经典解(CPT) 和Shen^[38] 的结果, 本文的三维S-R 无网格法计算结果与Zaghoul^[42] 给出的实验值最接近. 因此充分说明了本文三维S-R无网格法的准确性, 也说明了S-R 和分解理论相对于其它有限变形理论的优越性.

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图7平板中点挠度与载荷的关系(正交各向异性板).
-->Fig.7The central deflection of rectangle plate’s mid-plane versus load (orthotropic plate)
-->

5 结论

本文将基于S-R和分解定理的二维无网格数值方法扩展到三维情况, 给出了3D-SR-EFG数值计算方法, 并通过对梁、板结构的非线性弯曲问题典型算例进行了对比分析, 验证了该方法在求解三维几何非线性问题时的合理性、有效性和准确性. 另外, 对于本文提出的方法在与其他方法进行对比时所表现出来的一些差异性, 也给出了合理的解释. 在受均布载荷的四边简支正交各向异性方形板的算例中, 本文提出的数值计算方法是在所有对比方法中最接近实验结果的一种方法, 说明了3D-SR-EFG方法可以作为一种更加可靠的几何非线性数值计算方法.
The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献原文顺序
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文中引用次数倒序
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[41]	刘人怀, 薛江红. 复合材料层合板壳非线性力学的研究进展 . 力学学报, 2017, 49(3): 487-506 [本文引用: 1] (Liu Renhuai, Xue Jianghong.Development of nonlinear mechanics for laminated composite .Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2017, 49(3): 487-506 (in Chinese)) [本文引用: 1]
[42]	Zaghloul SA, Kennedy JB.Nonlinear behavior of symmetrically laminated plates .Journal of Applied Mechanics, 1975, 42(1): 234-236 [本文引用: 2]

基于S-R和分解定理的三维几何非线性无网格法

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THREE-DIMENSIONAL GEOMETRIC NONLINEARITY ELEMENT-FREE METHOD BASED ON S-R DECOMPOSITION THEOREM

引言

1 S-R和分解定理

2 基于更新拖带坐标法的增量变分方程

2.1 增量变分方程

2.2 更新拖带坐标法

3 基于无网格Galerkin法的系统离散方程

4 数值算例

4.1 悬臂梁结构的非线性弯曲计算

4.2 矩形板结构的非线性弯曲计算

5 结论

参考文献原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

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THREE-DIMENSIONAL GEOMETRIC NONLINEARITY ELEMENT-FREE METHOD BASED ON S-R DECOMPOSITION THEOREM

引言

1 S-R和分解定理

2 基于更新拖带坐标法的增量变分方程

2.1 增量变分方程

2.2 更新拖带坐标法

3 基于无网格Galerkin法的系统离散方程

4 数值算例

4.1 悬臂梁结构的非线性弯曲计算

4.2 矩形板结构的非线性弯曲计算

5 结 论

参考文献文献选项 原文顺序 文献年度倒序 文中引用次数倒序 被引期刊影响因子

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5 结论

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文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

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