随着计算机技术的发展，应用有限元方法对岩土工程进行数值分析是一个重要方法，有限元方法的关键技术是本构模型，本构模型选取的是否合理关系到岩土问题分析的正确与否。目前，在有限元中广泛应用的修正剑桥(MCC)模型[4]等弹塑性模型主要针对的是细粒土，其对正常固结土和弱超固结土的力学特性反映的比较准确，但是对超固结土的力学特性反映的还不够准确。姚仰平教授等[5-8]提出了土的统一硬化(UH)模型，其合理考虑了复杂应力路径和应力历史对土体强度和变形的影响，对正常固结土和超固结土的应力应变特性均能够进行合理反映，并能够对超固结土的硬化、软化、剪缩和剪胀等特性进行统一描述。
黏聚力是土抗剪强度的一个重要指标。粗粒土中存在着颗粒的几何堆积，这种堆积能够使没有任何物理和化学引力的体系中产生表观黏聚力[9]，这是由粗粒土中的咬合表现的强度。含石量是影响土石混合料抗剪强度的重要因素[10]，影响着内摩擦角和黏聚力，因此如果在本构模型中考虑含石量，将含石量和黏聚力及内摩擦角的关系引入进来，则能够更加合理地反映土石混合料的抗剪强度和应力应变特性，使得对实际高填方工程问题的分析更加合理。
因此，本文主要基于含石量与内摩擦角和黏聚力的关系，以及扩展SMP准则和变换应力，将含石量引入UH模型中，建立了考虑含石量的UH模型。应用当前屈服面与平均主应力轴交点的变化规律作为模型加卸载的判断准则，实现硬化和软化的统一考虑，并将其应用到有限元程序的应力更新算法中，实现了考虑含石量UH模型的有限元应用。应用考虑含石量UH模型的有限元程序，对土石混合料的大型三轴试验进行了有限元分析，计算结果和实测结果进行了对比，验证了有限元程序的正确性。针对机场高填方工程进行了有限元分析，分析了机场高填方地基的竖向位移随时间的变化曲线、竖向位移云图、侧向位移云图、超静孔隙水压力云图和超静孔隙水压力随时间的变化曲线，并与实测结果进行了对比，得到了机场高填方地基的位移和超静孔隙水压力的变化规律，验证了考虑含石量UH模型在分析机场高填方地基变形方面的合理性。
1 含石量与内摩擦角、黏聚力的关系 很多****通过实验研究了含石量与抗剪强度的关系。Lindquist[11]、Irfan[12]、Medley[13]等通过室内三轴试验研究了含有块石的混杂岩土体的抗剪强度与含石量之间的关系，试验数据如图 1(a)所示。徐文杰等[14]基于现代数字图像处理技术，获取土石混合体相应的粒度组成及块石含量，以此作为试验试样制备基础，制备了重塑样土石混合体，进行了基于重塑样的土石混合体大型直剪室内试验，得出了含石量与土石混合体的内摩擦角增量和黏聚力之间的关系曲线，如图 1(a)、(b)所示，并基于试验数据及结合前人研究，得出了内摩擦角增量与含石量的公式，如式(1)所示，包括3个部分：①含石量小于25%，这时内摩擦角增量约为0，说明土石混合体的内摩擦角和相应土体的内摩擦角基本相等，不随含石量的变化而改变；②含石量在25%~70%之间，这时内摩擦角增量随着含石量的变化呈线性发展；③含石量大于70%，这时内摩擦角增量随着含石量的变化基本不改变。同时由图 1(b)发现，土石混合体的黏聚力和相应土体比较有较大的减小，但当含石量大于30%时，随着含石量的变化，黏聚力减小的幅度降低。涂义亮等[15]也进行了含石量和颗粒破碎对土石混合料强度的影响研究，得到了当含石量小于20%时，非线性参数Δφ接近0，随着含石量增高，土石混合料的非线性参数Δφ增大，含石量大于80%时，非线性参数Δφ增长曲率趋于平缓，黏聚力的增长随含石量的升高呈“先快后慢”的降低规律。
 | (1) |
 |
| 图 1 含石量与内摩擦角增量、黏聚力的关系 Fig. 1 Relationship among stone content, internal friction angle increment and cohesion |
| 图选项 |
式中: PR为土石混合体的含石量; ΔφPR为含石量为PR时土石混合体的内摩擦角与相应土体的内摩擦角进行比较所得到的增量; Δφ70为含石量为70%时土石混合体的内摩擦角与相应土体的内摩擦角进行比较所得到的增量。
从各位****的试验研究中可以看出，虽然试验土石混合体种类并不相同，但得出的含石量与内摩擦角增量和黏聚力的规律基本类似。因此，笔者以几位****的试验研究为基础，在徐文杰等[14]提出的内摩擦角增量公式的基础上，总结了含石量与内摩擦角公式，以及含石量与黏聚力的关系公式，如式(2)~式(5)所示。
1) 内摩擦角与含石量的关系。
土石混合料的内摩擦角为
 | (2) |
式中：φc为纯土的内摩擦角。
 | (3) |
2) 黏聚力与含石量的关系。
 | (4) |
式中: cc为纯土的黏聚力; g(PR)为图 1(b)中文献[14]实验中土的黏聚力关于含石量的关系式。
由图 1(b)中黏聚力与含石量的关系曲线，可以得出g(PR)的公式为
 | (5) |
2 扩展SMP准则和变换应力 2.1 扩展SMP准则 SMP准则对粒状体材料适用。黏聚力c=0的SMP准则[16]可以表示为
 | (6) |
式中: I1、I2、I3为3个应力不变量；Const表示常数。
当c≠0时，由图 2所示，
 | (7) |
 |
| 图 2 剪应力和垂直应力 Fig. 2 Shear stress and vertical stress |
| 图选项 |
式中:
应力不变量为
 | (8) |
式中:
由图 2可知：
 | (9) |
将式(2)、式(4)代入式(9)得
 | (10) |
则扩展SMP准则可以表示为
 | (11) |
2.2 变换应力 c=0情况下的变换应力[17-19]张量为
 | (12) |
式中：p为平均主应力；δij为克朗内克符号；q为广义剪应力；σij为应力张量；
 | (13) |
c≠0情况下的变换应力张量为
 | (14) |
式中：
平均主应力为
 | (15) |
用扩展SMP准则表示的三轴压缩时的偏应力公式
 | (16) |
对于c=0情况和c≠0情况，
将式(7)、式(15)、式(16)代入式(14)，可得变换应力公式为
 | (17) |
3 考虑含石量UH模型 3.1 屈服函数 基于扩展SMP准则，考虑含石量和内摩擦角及黏聚力的关系，并基于变换应力方法，得到变换应力空间中考虑含石量UH模型的屈服函数公式为
 | (18) |
式中：
参数
 | (19) |
 | (20) |
式中：
3.2 对称的弹塑性刚度矩阵 为了提高有限元计算的收敛性，基于熊文林[20]的切线刚度矩阵对称化方法对弹塑性矩阵进行对称化处理。考虑含石量UH模型的对称弹塑性矩阵为
 | (21) |
式中：Dep为弹塑性矩阵；De为弹性矩阵；
 | (22) |
式中:
3.3 考虑含石量UH模型的加卸载判断准则 考虑含石量UH模型中，随着应力的变化, 当前屈服面发生改变，当为加载阶段时，屈服面不断向外发展，当为卸载阶段，或处于加载的软化阶段时，屈服面则向内收缩。根据这个特点，用当前屈服面与平均主应力轴的交点的变化来进行加卸载的判断，作为加卸载判断准则[21]。在图 3中，当前屈服面与轴的交点可表示为
 | (23) |
 |
图 3 n和n+1时刻当前屈服面与 |
| 图选项 |
式中:
n时刻的应力状态是已知的，通过n时刻的应力可以求出n时刻的交点
如果
如果
在变换应力与真实应力中有：
 | (24) |
如果
如果
4 应力更新算法 应力更新算法应用的是半隐式回映算法[22-23]，在这种算法中，对于塑性参数增量、塑性流动方向r和塑性模量D采用不同方法进行求解，塑性参数增量的求解采用隐式算法，而塑性流动方向和塑性模量的求解采用显示算法。这种算法综合了显示和完全隐式2种算法，不用求解塑性流动方向和塑性模量梯度，相比于完全隐式算法，算法推导简单，而相比于显示算法，该种算法更加稳定。算法的流程如图 4所示。
 |
| 图 4 应力更新算法流程 Fig. 4 Flowchart of stress update algorithm |
| 图选项 |
具体可以分为以下步骤：
步骤1??弹性预测，计算弹性试应力。
弹性预测阶段，已知n-1时刻(σn-1, εn-1, Δε, εn-1p)的值，计算按照弹性状态进行，塑性应变保持不变，由应变增量Δε进行弹性预测状态的驱动，得到弹性试应力σntrail为
 | (25) |
式中：De为弹性矩阵张量。
步骤2??加卸载的判断，确定材料是否处于弹性或弹塑性状态。
由弹性试应力σntrail可以求出变换应力空间中
在变换应力空间中弹性试应力
的屈服函数可采用另一种公式表示为
 | (26) |
由式(26)可解得屈服面与
 | (27) |
则弹塑性状态的判别条件为
1) 如果
2) 如果
步骤3??计算塑性参数增量。
塑性修正阶段，在进行计算时，应变增量Δε不发生改变，由塑性参数增量Δλ进行塑性修正状态的驱动。考虑含石量UH模型的塑性参数增量Δλ可以表示为
 | (28) |
步骤4??塑性修正及应力更新。
 | (29) |
 | (30) |
 | (31) |
 | (32) |
 | (33) |
步骤5??一致切线模量。
在该算法中，最后需要求解一致切线模量，也称为算法模量，即考虑含石量UH模型的弹塑性矩阵，弹塑性矩阵的表达式即为式(21)。
5 三轴试验有限元分析 5.1 有限元计算模型及参数 应用考虑含石量UH模型进行大型三轴试验的有限元模拟，与试验数据进行比较，来对模型进行验证。有限元计算模型采用三维实体单元模型，试样直径为0.3 m，高为0.6 m，由于试样和施加的荷载均为对称形式，取试样的1/4建立有限元计算模型。模型的边界条件为：面1(上表面)设为自由表面，面3(下表面)设为法向位移约束，面2(内表面)设为对称边界。加载方式为位移加载，即在加载过程中，土体所受到的围压不发生变化，对土体顶面(面1)施加竖向位移。单元类型为C3D8单元(即八节点六面体线性完全积分单元)。施加的初始围压为100 kPa，超固结比OCR=1，土性参数[24]如表 1所示, ν为泊松比。网格划分如图 5所示。
表 1 土体材料参数 Table 1 Soil material parameters
| 参数 | 数值 |
| M | 1.17 |
| λ | 0.03 |
| κ | 0.01 |
| ν | 0.3 |
| e0 | 0.89 |
| c/kPa | 56.37 |
| PR/% | 51.8 |
表选项
 |
| 图 5 有限元网格 Fig. 5 Finite element mesh |
| 图选项 |
5.2 计算结果分析 图 6为应用考虑含石量UH模型和不考虑含石量UH模型对西部红层软岩土石混合填料的三轴压缩试验进行有限元分析所得到的应力-应变曲线, εd为剪应变, σ1为最大主应力。由图 6可以发现，应用考虑含石量UH模型所得到的应力-应变曲线相比应用不考虑含石量UH模型所得到的应力-应变曲线，考虑含石量UH模型计算的结果和实测数据更加吻合，说明了考虑含石量UH模型有限元程序的有效性。
 |
| 图 6 应力-应变曲线 Fig. 6 Stress-strain curves |
| 图选项 |
6 山区机场高填方地基变形有限元分析 6.1 有限元计算模型及参数 本文选取康定机场AS5-AS5′剖面[25]作为参考，由于对称性，故取其左边一半进行分析，截面尺寸如图 7所示。路堤顶部宽度为15 m，坡度为1∶1.5，填土高30 m，分为3层，每层填土高为10 m，且每层填土都建有一条宽度为2 m的马道，地基土按10 m计算，分为2层，底层地基为4.5 m，上层地基为5.5 m。
 |
| 图 7 截面尺寸 Fig. 7 Size of section |
| 图选项 |
根据康定机场工程地质勘察报告[25]，计算时选取其中数据作为土体的工程参数，如表 2和表 3所示，填土采用弹性模型，地基土材料模型采用考虑含石量UH模型。地下水位位于地基表面，地基土层下为不透水的基岩，边界条件为：侧面约束法向位移，底面约束水平与垂直方向位移，坡面和地基顶面为自由面，地基顶面为排水面，其余面不排水。填筑速率为90 d填筑10 m，填筑施工分3个阶段，填土分3个施工步骤，即先填筑10 m，然后进行90 d的施工间歇期再进行填筑。填筑完成后，进行1 200 d的固结沉降。三维有限元网格划分如图 8所示。
表 2 填土土体材料参数 Table 2 Soil material parameters of filling
| 土层 | E/MPa | ν | γ/(kN·m-3) |
| 填土层1 | 40 | 0.2 | 22 |
| 填土层2 | 35 | 0.2 | 21.6 |
| 填土层3 | 28 | 0.3 | 21.1 |
| 注: γ为重度，E为弹性模量。 | |||
表选项
表 3 地基土体材料参数 Table 3 Soil material parameters of subgrade
| 土层 | M | λ | κ | ν | e0 | c/kPa | PR/% | γ/(kN·m-3) | 渗透率/(10-4 m·d-1) |
| 下层地基 | 1.42 | 0.22 | 0.022 | 0.2 | 0.81 | 40 | 40 | 21 | 1 |
| 上层地基 | 0.98 | 0.4 | 0.04 | 0.2 | 0.85 | 18 | 0 | 18.5 | 2 |
表选项
 |
| 图 8 有限元网格 Fig. 8 Finite element mesh |
| 图选项 |
6.2 计算结果分析
6.2.1 竖向位移 在实际施工时，设置了L7-1沉降监测点，位置如图 8所示。图 9为应用考虑含石量UH模型、不考虑含石量UH模型、MCC模型有限元计算结果与实际监测结果的竖向位移比较曲线。可以看出，应用考虑含石量UH模型所计算的结果相较于不考虑含石量UH模型和MCC模型，考虑含石量UH模型计算的结果与实际监测结果是比较吻合的。在填土期的30 d前，3个模型计算的沉降结果较为接近，在30 d后，考虑含石量UH模型和不考虑含石量UH模型计算的沉降量相比MCC模型计算的沉降量要小，并且可以看出随着时间的推移，相差越来越大，这是由于UH模型考虑了土体的超固结性，所计算的沉降值要小，更符合实际情况。而且可以发现，由于考虑含石量UH模型考虑了含石量，考虑了土石之间的咬合强度所产生的黏聚力，增大了地基土体的抗剪强度，使得计算得到的竖向位移相比不考虑含石量UH模型计算的竖向位移要小，和实测结果更加吻合。从而说明了在山区机场高填方地基变形分析方面应用考虑含石量UH模型计算的有效性。
 |
| 图 9 沉降监测点上竖向位移随时间的变化曲线 Fig. 9 Change curves of vertical displacement at settlement monitoring point with time |
| 图选项 |
图 10为地基表面和对称轴的交点的竖向位移随时间的变化曲线。可知，在填土填筑时该点的竖向位移变形速率较高，竖向位移增加较快，而在填筑完固结时该点的竖向位移变形速率较低，竖向位移增加较慢，大约在第1 260 d竖向位移曲线开始变缓，在第1 620 d，沉降量达到1.48 m，可见由于高填方工程的填方量大，填筑荷载大，高填方地基的沉降量是较大的。
 |
| 图 10 地基表面和对称轴交点上的竖向位移随时间的变化曲线 Fig. 10 Change of vertical displacement at the intersection of subgrade surface and symmetry axis with time |
| 图选项 |
图 11为在不同填方高度填土完成时地基表面各点竖向位移曲线。图 12为第1层填土后地基的竖向位移云图, U为位移，U3为竖向位移。由图 11可知，对称轴附近地基表面土体相较其他地方地基表面土体竖向位移较大，并且随着填筑高度的增加，竖向位移增大。由图 11和图 12可知，坡脚点的竖向位移为正值，说明坡脚土体有一定的隆起，并发现随着填筑高度的增加，坡脚土体隆起逐渐增强。这是由于高填方地基的填方高度高，填筑荷载大，上层地基土体较软时，容易出现坡脚隆起，导致失稳滑坡的灾害，在施工中要采取有效措施，防止灾害的发生。
 |
| 图 11 不同填筑高度下地基表面各点的竖向位移曲线 Fig. 11 Vertical displacement curves of each point on the surface of subgrade under different filling heights |
| 图选项 |
 |
| 图 12 第1层填土后地基表面各点的竖向位移云图 Fig. 12 Vertical displacement contour of each point on the surface of subgrade after the first-layer fill |
| 图选项 |
6.2.2 侧向位移 最终高填方地基的侧向位移如图 13所示，U1为侧向位移。可知，在地基与填土层交界面左部位置靠近坡脚区域土体侧向位移较大，最大为60.5 cm，并发现在坡顶处出现“回缩”现象，最大为6.97 cm。可见，高填方地基层和填土层中所产生的侧向位移也是较大的，尤其是靠近坡脚和坡顶部位，在工程施工中要注意采取有效措施来消减其侧向变形。
 |
| 图 13 侧向位移云图 Fig. 13 Contour of lateral displacement |
| 图选项 |
6.2.3 超静孔隙水压力 图 14为填筑完第3层土时地基超静孔隙水压力云图, POR为超静孔隙水压力。图 15为地基对称轴上距地面2.75 m处地基土体的超静孔隙水压力随时间的变化曲线。由图 14可知，地基底部接近于对称轴位置区域的土体的超静孔隙水压力较大，远离该区域的土体超静孔隙水压力逐渐降低。由图 15可知，在填土填筑过程中，超静孔隙水压力快速增大，在填筑完固结时，超静孔隙水压力又迅速减小。这是因为，根据有效应力原理“在荷载作用下所产生的总应力由有效应力(作用于土颗粒骨架上的应力)和超静孔隙水压力(产生于孔隙水的应力)所组成”，在填土过程中，荷载增加，总应力增大，有效应力和超静孔隙水压力也随之增大，在填筑完固结的这段时间，孔隙水慢慢排出，超静孔隙水压力降低，总应力不变，有效应力增大，土的体积减小，变得密实，强度增大。根据图 15发现，填筑至20 m时，即填筑完
 |
| 图 14 超静孔隙水压力云图 Fig. 14 Contour of excess pore water pressure |
| 图选项 |
 |
| 图 15 超静孔隙水压力随时间的变化曲线 Fig. 15 Change of excess pore water pressure with time |
| 图选项 |
第2层填土时，超静孔隙水压力最大，达到286.58 kPa，在填筑完第3层填土后的固结期，由于孔隙水逐渐排出，超静孔隙水压力随着时间的推移逐渐变小，在第1 620 d时孔隙水基本排出，超静孔隙水压力变为3 kPa，基本完全消散。
7 结论 1) 将含石量引入到UH模型中，建立了考虑含石量的UH模型，应用该模型能够合理反映土石混合料的应力应变特性，能够对山区机场高填方工程进行合理分析。
2) 考虑含石量UH模型应用当前屈服面与平均主应力轴的交点的变化规律作为加卸载的判断准则，实现了硬化和软化的统一考虑。
3) 应用半隐式回映应力更新算法，实现了考虑含石量UH模型在有限元中的应用，算法推导简单，稳定可靠。
4) 应用考虑含石量UH模型的有限元程序，对机场高填方地基变形进行了三维有限元分析，发现由于考虑含石量UH模型考虑了土的超固结性，计算的沉降量相比MCC模型计算的沉降量要小，由于考虑了含石量，考虑了土石之间的黏聚力，抗剪强度得到提高，计算的沉降量相比不考虑含石量UH模型计算的沉降量小，和实际结果更加吻合；发现坡脚点的位移为正值，说明坡脚土体有一定的隆起；超静孔隙水压力随填筑过程陡增，而后又在固结期超静孔隙水压力迅速消散。
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