随着目标机动性能的提升、观测场景的日益复杂，使用单个传感器的观测数据已经不能满足逐渐提高的目标跟踪要求。在这种情况下，国内外****将单传感器RFS滤波器推广到多传感器领域。目前，典型的多传感器RFS跟踪方法有迭代校正式概率假设密度(Iterated-Corrector PHD，IC-PHD)滤波器[11]、平行组合近似多传感器(Parallel-Combination Approximate Multisensory，PCAM)CPHD/PHD滤波器[12]、多传感器CPHD(Multi-Sensor CPHD，MS-CPHD)滤波器[13]和多传感器多目标多伯努利(Multi-sensor Multi-target Multi-Bernoulli，MS-MeMBer)滤波器[14]。
IC-PHD滤波器以迭代的方式对每个传感器上的观测数据执行单传感器PHD滤波过程，该方法虽然易于实现，但滤波性能会受到传感器顺序的影响。PCAM-CPHD/PHD滤波器是多传感器CPHD/PHD滤波器的一种顺序无关且易于计算的原则化理论近似，其滤波结果虽然不受传感器顺序的影响，但鲁棒性会随传感器数量的增加而降低。MS-CPHD滤波器是一种多传感器矩近似滤波器，在更新过程中需要得到所有多传感器量测划分结果，因此其精确解难以实现。为了克服这一局限，文献[13]提出了一种两步贪婪划分机制，只求得有限个权重较高的量测划分假设，并通过高斯混合模型得到了其近似解。之后，文献[14]提出一种精确的MS-MeMBer滤波器，并利用两步贪婪划分机制得到其近似解。不同于MS-CPHD滤波器，MS-MeMBer滤波器直接用多伯努利分布来近似多目标后验密度，具有更高的滤波精度。
虽然MS-MeMBer滤波器通过两步贪婪划分机制对多传感器量测进行了高效的分割，但其在量测划分过程中忽略了杂波量测集的约束，当观测场景中杂波密度较高时，往往不能得到较优的量测划分假设，进而滤波性能严重下降。为此，本文提出了一种基于杂波量测集约束的改进MS-MeMBer滤波器，将杂波量测集的影响加入到量测划分过程中，并重新推导了杂波场景下单目标多传感器量测集权重的计算公式和单目标多传感器量测似然函数。该滤波器在多传感器量测划分过程中不需要改变原来的两步贪婪划分机制，且能得到更优的量测划分结果。仿真结果表明，在杂波密度较高的场景下，改进MS-MeMBer滤波器的滤波性能明显优于原始MS-MeMBer滤波器。
1 MS-MeMBer滤波器 1.1 预测过程 MS-MeMBer滤波器的预测过程和单传感器MeMBer滤波器[6]的预测过程相同。对于k-1时刻的多伯努利后验密度：
 | (1) |
若在下一时刻，每个伯努利成分继续存活的概率为ρs, k(·)，每一个新生目标出现的概率为rB, k，且其空间分布为pB, k，则经预测后的概率密度仍为多伯努利形式：
 | (2) |
式中：(rk|k-1(i), pk|k-1(i))代表相互独立的伯努利随机集，其存在概率为rk|k-1(i)，概率密度函数为pk|k-1(i)。
存活的多伯努利随机集满足：
 | (3) |
 | (4) |
式中：〈·, ·〉为内积函数；fk|k-1(x|·)为状态转移函数。
1.2 多传感器量测分割 MS-MeMBer滤波器在更新过程中，需要求得所有多传感器量测的分割形式。多传感器量测分割的定义如下：
假设在更新过程中，k时刻产生的量测为Z1∶S, k={Z1, k, …, ZS, k}，S为传感器个数, Zi, k表示传感器i产生的量测集。将量测Z1∶S, k按照预测后的Mk|k-1个多伯努利项重新分割表示为P=Z1∶S, k=(W1∶S0, W1∶S1, …, W1∶SMk|k-1)，W1∶S0=W10∪…∪WS0表示S个传感器产生的杂波量测集，W1∶Sj=W1j∪…∪WSj(j>0)表示第j个伯努利随机有限集(rk|k-1(j), pk|k-1(j))在S个传感器上生成的单目标多传感器量测集。定义
由于求得所有的量测分割假设具有组合上的复杂性，MS-MeMBer滤波器的精确解难以实现。文献[14]通过两步贪婪划分机制求取了有限个权重较高的量测分割假设，得到了MS-MeMBer滤波器的近似解。
两步贪婪划分机制将多传感器量测分割问题分解成独立的子问题进行求解。首先，针对每个伯努利RFS求取其可能对应的目标量测集；然后，将每个伯努利RFS的局部较优解进行组合，得到若干个全局较优的多传感器量测分割假设。
图 1和图 2为两步贪婪划分机制的原理。假设接收到4个传感器的数据，且共有3个预测的伯努利成分。如图 1所示，先对每个伯努利项分别求得其局部较优解，也就是求得部分权重较高的目标量测集。求解过程按照传感器顺序依次进行，且zi0表示未关联到传感器i中的量测。图 2为第二步划分的流程，将每个伯努利成分的局部最优解组合得到最终量测划分结果。求解过程按照伯努利成分顺序依次进行，空集?表示考虑每个伯努利项未关联到量测情况。
 |
| 图 1 第1步划分 Fig. 1 The first partitioning step |
| 图选项 |
 |
| 图 2 第2步划分 Fig. 2 The second partitioning step |
| 图选项 |
1.3 更新过程 若预测后的多目标概率密度具有如式(2)所示的形式，则更新后的多目标概率密度可近似表示为
 | (5) |
式中：rk|k(P, j)、pk|k(P, j)(·)分别为
 | (6) |
 | (7) |
式中：
单目标多传感器似然函数为
 | (8) |
并且
 | (9) |
 | (10) |
 | (11) |
式中：gi(·|x)为传感器的量测似然函数；ci(z)为传感器i的杂波密度函数；φW1∶Sjj[1]用来衡量量测集W1∶Sj是由第j个伯努利项产生的假设比重；KP用来表示杂波量测集W1∶S0所带来的影响；αP代表量测分割假设P在
2 改进的MS-MeMBer滤波器 改进MS-MeMBer滤波器的预测过程和原始MS-MeMBer滤波器的预测过程一致，但在更新过程中添加了杂波量测集划分的约束，重新推导了杂波环境下单目标多传感器量测集权重的计算公式和单目标多传感器似然函数。
2.1 公式推导 由式(9)可以看出，1.2节中的两步贪婪划分机制忽略了杂波量测集W1∶S0的约束。考虑杂波量测集的影响KP，式(9)经变形可得
 | (12) |
由文献[13]可得，Ci(n)(0)=λine-λi，λi为传感器i上的杂波强度。
则式(12)可简化为
 | (13) |
式中：杂波环境下的单目标多传感器量测集权重为
 | (14) |
将式(10)代入式(14)可得
 | (15) |
式中：杂波环境下的单目标多传感器似然函数为
 | (16) |
2.2 高斯混合实现 在高斯混合模型下，目标的状态转移函数和量测似然函数均满足高斯分布：
 | (17) |
 | (18) |
式中：Fk-1为目标状态转移矩阵；Qk-1为过程噪声协方差矩阵；Hi, k为量测矩阵；Ri, k为量测噪声协方差矩阵。
假设k-1时刻每个多伯努利项概率密度具有高斯混合的形式：
 | (19) |
式中：N(·;m, Σ)代表均值为m、方差为Σ的高斯分布；Jk-1(i)为高斯成分的数量；wn, k-1(i)代表相应的权重。
若给定目标存活概率ρs, k(x)和新生目标的概率密度pB, k(i)(x)：
 | (20) |
 | (21) |
则每个预测的多伯努利项概率密度pk|k-1(i)(x)同样为高斯混合的形式，且满足：
 | (22) |
 | (23) |
式中：
 | (24) |
 | (25) |
对于式(7)，如果经预测的每个伯努利项概率密度为高斯混合形式：
 | (26) |
则更新后的每个多伯努利项同样为高斯混合的形式：
 | (27) |
式(28)、式(29)分别为更新后的权重和对应高斯项。
 | (28) |
 | (29) |
式中：
 | (30) |
3 仿真实验与分析 如图 3所示，研究二维观测区域[-1 000 m，1 000 m]×[0 m，2 000 m]内4个相继出现消失的目标。
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| 图 3 目标真实运动轨迹 Fig. 3 True movement trajectories of target |
| 图选项 |
目标的状态变量
表 1 目标真实运动情况 Table 1 True movement of targets
| 初始状态 | 存活时间/s |
| [-100 m，-10 m/s，1 800 m，-10 m/s] | 1~70 |
| [100 m，10 m/s，1 800 m，-10 m/s] | 1~70 |
| [-100 m，-10 m/s，200 m，10 m/s] | 30~100 |
| [100 m，10 m/s，200 m，10 m/s] | 30~100 |
表选项
观测过程共持续100帧，采样间隔为Δt=1 s。共有3个传感器进行观测，检测概率均为pi, D=0.85。根据目标初始状态设置新生目标模型，目标存活概率为ρsv=0.99。目标状态转移矩阵Fk、过程噪声协方差矩阵Qk、量测矩阵Hk、量测噪声协方差矩阵Rk分别为
 |
式中：过程噪声标准差σv=3 m/s；量测噪声标准差σε=8 m。
在仿真中，为了防止假设的伯努利项数目无限增长，设置每个目标混合分量的上限为Jmax=100，多伯努利项的上限为Mmax=100，剪枝门限Tmax=10-3，量测分割假设集
 | (31) |
式中：
图 4为杂波强度λk=10场景下传统MS-MeMBer滤波器和改进MS-MeMBer滤波器的OSPA距离比较。图 5为2种方法的势估计对比结果。可以看出，在杂波密度较小时，2种方法具有相似的OSPA距离和势估计结果。
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| 图 4 OSPA距离比较(λk=10) Fig. 4 OSPA distance comparison(λk=10) |
| 图选项 |
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| 图 5 势估计结果(λk=10) Fig. 5 Estimated cardinality(λk=10) |
| 图选项 |
图 6和图 7分别为杂波强度λk=50和λk=100场景下2种方法的OSPA距离对比结果。可以看出，随着杂波密度的升高，传统MS-MeMBer滤波器的性能严重下降，而改进MS-MeMBer滤波器具有更高的鲁棒性和更小的OSPA距离误差。
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| 图 6 OSPA距离比较(λk=50) Fig. 6 OSPA distance comparison(λk=50) |
| 图选项 |
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| 图 7 OSPA距离比较(λk=100) Fig. 7 OSPA distance comparison(λk=100) |
| 图选项 |
图 8和图 9分别为杂波强度λk=50和λk=100场景下2种方法的势估计对比结果。经分析可得，在杂波密度较大时，原始MS-MeMBer滤波器出现了势估计偏差，而改进MS-MeMBer滤波器仍能得到较为准确的势估计结果。
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| 图 8 势估计结果(λk=50) Fig. 8 Estimated cardinality(λk=50) |
| 图选项 |
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| 图 9 势估计结果(λk=100) Fig. 9 Estimated cardinality(λk=100) |
| 图选项 |
表 2给出了不同杂波密度场景下2种方法的平均单步运行时间。通过对比分析可以看出，2种方法具有相同的时间复杂度。
表 2 平均单步运行时间 Table 2 Average single-step running time
| 杂波密度λk | 平均单步运行时间/ms | |
| 改进MS-MeMBer滤波器 | 传统MS-MeMBer滤波器 | |
| 10 | 23.54 | 23.22 |
| 50 | 28.85 | 28.09 |
| 100 | 32.46 | 33.10 |
表选项
图 10为2种方法在不同检测概率场景下的性能比较，此时设置杂波强度λk=50。2种方法的平均单步OSPA距离用折线图表示。可以看出，随着观测场景中检测概率的提高，2种方法的滤波性能均得到改善，但改进MS-MeMBer滤波器始终具有更高的滤波精度。
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| 图 10 平均单步OSPA距离 Fig. 10 Average single-step OSPA distance |
| 图选项 |
4 结论 在传统MS-MeMBer滤波器的基础上，本文提出了一种改进的MS-MeMBer滤波器。
1) 改进滤波器将杂波量测集的影响加入到量测划分过程中，给出了杂波条件下单目标多传感器量测似然函数，并重新计算了单目标多传感器量测集的权重。
2) 改进滤波器通过两步贪婪划分机制，提升了多传感器量测划分假设的质量。
3) 仿真结果表明，改进滤波器与传统MS-MeMBer滤波器具有相同的时间复杂度。且在杂波密度较高场景下，改进滤波器具有更高的鲁棒性，对多目标的滤波精度明显优于原始MS-MeMBer滤波器。
改进滤波器只能对多目标的状态进行估计，而不能输出航迹。如何通过航迹维持手段得到航迹估计结果则是下一步研究的重点内容。
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