国内外均对规避轨道的动力学和控制策略开展了深入研究，这为实现规避路径自主规划提供了坚实的技术支撑。例如，文献[3]研究了航天器面内最优机动规避问题，建立了脉冲大小与机动位移的量化关系，采用分布求解的思路获得最优机动脉冲。文献[4]研究了低轨卫星和静止地球轨道卫星的规避机动问题，为减少与空间碎片的碰撞概率，提出了基于遗传算法的控制策略。文献[5-6]面对非合作交会威胁，研究了考虑潜在威胁区的航天器最优规避机动控制策略，以提升航天器的空间生存能力。相比较，关于航天器规避路径自主规划的研究目前还相对较少。其中，文献[7-9]虽着重研究了航天器日常在轨规避碎片的路径规划问题，但没有兼顾既定参考轨迹，难以满足轨道间机动的障碍规避需求。
Frenet坐标系在DAPRA挑战赛期间的成功应用[10-11]，很好地解决了路径规划技术中的车辆与道路相对位置不易表示的难题，进而成为近年路径规划的常用空间建模方式。文献[12]基于Frenet坐标系研究了车辆运动轨迹描述问题，总结出Frenet坐标系仅与参考线的选取有关，轨迹拟合计算简便，大大简化了运动描述模型，提高了计算效率，是一种高性能、低开销的空间建模方式。文献[13]针对沿公路行驶的自动驾驶汽车存在自主变道、并道以及保持距离难的问题，提出了基于Frenet坐标系的自动驾驶运动轨迹模型，构建了以速度变化率为核心的路径安全性和舒适性惩罚函数，从而可选定平滑、舒适以及安全性更高的车辆运动路径。文献[14-15]基于Frenet坐标系进一步研究了自动驾驶汽车的路径跟踪、车道线检测问题。文献[16-19]将Frenet坐标系应用到翼伞系统、水面无人艇、水下航行器以及航母舰载机等领域，为路径规划研究开拓了新的思路。
人工势场(Artificial Potential Field, APF) 法因具有数学描述清晰、运算迅速、计算量小、硬件要求低以及规划路径平滑等优势[20]，目前在无人机、无人车、仿生人等的路径规划研究中应用广泛。文献[21-24]针对无人机航路规划问题，借鉴人工势场思想，提出了能够满足任务执行指标并保障飞行安全的路径规划方法。文献[25-28]针对移动不够灵活、易入“陷阱”的机器人路径规划问题，发挥人工势场法便于控制、路径平滑的优势，提出了路程短、效率高的路径规划方法。人工势场法也存在局部极小值和震荡等不足，加上空间所特有的轨道特性以及航天器规避空间目标(碎片)后需尽快恢复既定轨道的机动需求，使得人工势场法不适合直接用于在轨规避路径自主规划问题。
在轨航天器的规避路径不仅要避开空间目标(碎片)，还要考虑以最小偏移量沿既定转移轨道继续行进，是典型的多目标最短路径问题。本文针对航天器规避空间目标的轨道机动特性，首先解决路径规划中航天器与既定转移轨道相对位置不易表述的难题，构建基于Frenet的空间运动坐标系实现航天器空间规避运动的简便表示；然后，通过改进人工势场法，实现航天器对空间目标(碎片)的自主规避；最后，构建多目标优化函数，实现在较低燃料消耗下，以最小偏移量规避目标的同时尽快恢复至既定转移轨道继续行进。
1 基于Frenet的空间运动坐标系 航天器在轨道间转移要沿着转移轨道飞行，是以提前确定的转移轨道为参考线的。航天器在规避空间目标(碎片)过程中，为了降低不确定性风险要避免偏离参考线，需沿转移轨道方向保持原有速度，另外产生偏移以避开空间目标(碎片)，规避后再尽快恢复到原有转移轨道上。否则，可能要重新确定转移轨道以及与目标轨道交会时机，甚至面临转移任务的失败。因此，除了顺利规避空间目标(碎片)外，能否沿着既定转移轨道继续行进也是衡量规避路径的重要指标。
航天器规避空间目标(碎片)，通常在轨道平面内采取横向偏移、纵向偏移或者沿着垂直轨道平面方向偏移的规避策略。采取横向偏移的策略所需的速度增量相比其他2种规避策略所需的速度增量更小，所消耗的燃料也更少[3, 29]。因此，本文以横向偏移策略为例，研究航天器规避路径的自主规划，其余策略亦可依此为参考。
航天器规避机动过程中涉及到与空间目标(碎片)的逼近甚至交会，这一相对运动过程若采用绝对轨道参数(例如轨道六根数)来描述将难以明显分辨两者间的相对运动关系[30]，因此这类问题多结合相对运动方程进行描述。空间相对运动可用多种坐标系进行表示，其中地心惯性(Earth Centered Inertial, ECI)坐标系更利于绕地心轨道运动描述，视线(Line of Sight, LOS)坐标系利于航天器与空间目标在惯性空间中相对运动描述，航天器本体(Body Fixed, BF)坐标系利于航天器自身旋转运动的描述。然而，航天器规避机动不仅要考虑沿参考线航行的绝对运动，还要兼顾规避空间目标(碎片)的相对运动，运用上述坐标系表示均较为繁琐、不利于计算。
为解决路径规划中航天器与既定转移轨道相对位置不易表述的难题，构建Frenet坐标系[31-33]来描述航天器规避机动过程。为了便于表述转移轨道平面内航天器及空间目标(碎片)的空间位置，如图 1所示，以近拱点切线方向为x轴、法线方向为y轴建立笛卡儿坐标系。结合笛卡儿坐标系与Frenet坐标系的转换关系[34-35]，把航天器作为参考点，以既定转移轨道为参考线，将参考线方向称为纵向矢量s，将转移轨道平面内每一时刻t与纵向切线相垂直的方向称为法向矢量d，构建沿参考线移动的右手直角Frenet坐标系。据此，航天器规避机动过程便可用单位时间间隔Δt内的纵向偏移Δs(即沿着参考线方向的位移)和横向偏移Δd(即沿法向偏离参考线的位移)来描述，构成三维度的空间运动表达式(Δt, Δs, Δd)。
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| 图 1 基于Frenet坐标系的航天器空间运动 Fig. 1 Space motion of spacecraft based on Frenet coordinate system |
| 图选项 |
基于Frenet坐标系描述航天器规避机动，仅与参考线的选取有关，与航天器的绝对位置无关，这样更容易表述航天器沿既定转移轨道的偏离情况。将航天器规避机动路径的表示，分解成与既定转移轨道(参考线)相关的2个方向，这不仅符合航天器规避机动实际，简化路径规划模型，降低空间运动模型的复杂度，而且表述方式简单，求解状态微分方程方便，利于提高运算效率。
2 航天器规避空间目标的人工势场 始终以转移轨道为参考线，调整各势场作用区域，构造连续可微的势场函数，避免过早轨迹偏离、局部震荡现象，实现航天器在综合势场驱使下对空间碎片的自主规避。
2.1 综合势场 人工势场法通常是将终点作为引力源，障碍作为斥力源，引力势场与斥力势场在空间合成综合势场，驱使运动体沿着势场减弱方向在规避障碍的同时到达终点[36]。人工势场法在路径规划中，只需根据当前位置结合综合势场即可获得平滑而安全的路径，不需像别的算法那样还要进行路径平滑、避障检测等操作[21]，应用优势明显。
在航天器规避机动的运用中，应避免规划路径直奔终点，需尽可能沿参考线方向行进。此外，在距空间碎片较远时应该弱化斥力势场，以免出现过早轨迹偏离现象。同时，在抵近空间碎片时应弱化引力势场，以免出现局部震荡现象。如图 2所示，本文构建了以参考线牵引、远距点斥力忽略、障碍点引力减弱的综合势场模型，其中rob为空间目标的威胁范围，rsafe为引力衰减区范围；‖·‖为2-范数，xob为空间目标当前位置矢量。
 | (1) |
 |
| 图 2 航天器规避机动人工势场示意图 Fig. 2 Schematic diagram of artificial potential field of spacecraft evasive maneuver |
| 图选项 |
式中：U(x, Δs)为当前位置x航天器所受的综合势场；Urefer(Δs)为参考线势场；krefer为参考线势场系数；Uatt(x)为引力势场；katt为引力势场系数；Urep(x)为斥力势场；krep为斥力势场系数。
2.2 参考线势场 为满足航天器需沿参考线方向行进的需求，本文提出将目标点势场使用参考线势场进行替代的方法，使航天器在规避空间目标途中紧跟参考线。参考线势场将约束航天器航迹方向，且确保朝目标轨位航行，即前方势场值要低于后方势场值，该势场采用一个类高斯函数[37]描述如下：
 | (2) |
式中：stotal为整个转移轨道航程；Δs为起始点xst至当前位置x的航程；Δd为沿法向偏离参考线的距离；δ为法向收敛系数[37]。
2.3 引力势场 为顺利规避空间目标(碎片)并避免局部震荡现象，对引力势场函数进行了改进，在空间目标附近设置弱化引力场的环形区域[38]：
 | (3) |
式中：η为与空间目标距离相关的吸引场系数；xgoal为转移轨道与目标轨位交点位置矢量；n为正整数。
2.4 斥力势场 为紧跟转移轨道避免过早轨迹偏离，采用势场平滑过渡策略对斥力势场函数进行改进：
 | (4) |
式中：λ为斥力势场系数；q为正整数；D为斥力过渡区作用范围。
3 航天器规避机动的最优路径 运用综合势场的法向投影，借鉴Jerk描述，综合各评价因素构建全局优化函数，实现以最小横向偏移规避空间目标(碎片)的同时沿既定转移轨道继续行进。
3.1 规避机动路径生成 为使航天器沿参考线方向保持既定轨道转移速度，只考虑综合势场在法向d的投影，以产生横向偏移实现对空间碎片的自主规避。
 | (5) |
式中：r为参考线切向矢量；Ur为综合势场切向分量值；d为参考线法向矢量；Ud为综合势场法向分量值。
为确保综合势场法向分量驱使下的规避路径是平稳且平滑的，本文借鉴文献[34]提出“加速度变化率”和“Jerk描述”概念，构建横向加速度变化率
 | (6) |
 | (7) |
式中：ω为综合势场法向分量的效率系数；Jt(d(t))为横向位移的Jerk描述，d(t)为横向偏移量。
根据文献[13]可知，路径规划的任务是找出能够使得Jt(d(t))最小的横向偏移，而任何Jerk最优化问题中的解都可用一个5次多项式进行表示。据此，可获得横向偏移Δd=d(t)、横向速度
 | (8) |
式中：α0、α1、α2、α3、α4、α5为多项式系数，分别令t0=0以及Δt=t1－t0，代入式(8)即可计算获得其数值。
此外，横向加速度在促使航天器产生横向偏移的同时，要受航天器转向机动能力即航向角速率的约束：
 | (9) |
式中：v(t)为航天器速度；
令Δt=t1－t0为航天器制动时间，在Ud(Δt)驱使下通过式(8)计算可得不同制动时间下的横向偏移。通过横向位移沿参考线在时间上累计，便可获得能够规避空间目标(碎片)的路径。
3.2 燃料消耗估计 在图 1所示的二体模型中，把中心天体作为参考点，将近拱点法向方向作为极角起点，以航天器机动方向为极角正向，航天器沿着引力常数μ的椭圆转移轨道行进。
在规避空间目标(碎片)过程中，采取横向偏移策略，推力方向始终在转移轨道平面内且沿转移轨道法向d，其动力学方程为[39]
 | (10) |
式中：r为轨道半径；θ为航天器的极角；u=[0, 1]为推力开关系数；φ为航天器转向角。
基于电推进发动机高比冲、低燃耗特性[40-41]，采取连续推力机动方式，其推力大小与燃料消耗关系式为[42]
 | (11) |
式中：m为航天器质量；
考虑燃料消耗对航天器质量的影响，对式(11)积分，可得到燃料消耗表达式[41-42]：
 | (12) |
式中：mf为航天器剩余质量；Δm为燃料消耗的估计量。
当考虑燃料消耗相对于航天器质量而言是小量时，可假定整个机动过程航天器质量不变。对式(11)积分后，得到燃料消耗的估计式：
 | (13) |
经分析可知，当
3.3 规避路径最优化 在综合势场法向分量的驱使下可以确保航天器顺利规避空间目标(碎片)，但航天器的规避路径还需要尽可能沿既定转移轨道行进，由此在轨规避路径自主规划便成为了多目标优化问题。
为了获得最优的规避路径，选取多项评价指标。首先，要确保机动路径顺利规避空间目标(碎片)；其次，要使机动路径兼顾轨道保持；然后，要考虑航天器制动时效；最后，还要尽可能节省燃料。依此，在航天器规避路径自主规划过程中，构建全局优化函数Q，以改善并生成最优路径。
 | (14) |
式中：Jt(·)为惩罚Jerk值较大的路径方向[43]，以控制加速度变化率的稳定性；Δd表示减小横向偏移促使航天器沿既定转移轨道行进；Δt表示缩减制动时间提升航天器制动敏捷度；
4 算法对比与算例求解 通过将改进的人工势场法与经典人工势场法以及常用的Dijkstra、RRT路径规划算法进行仿真实验，以对比说明改进算法的应用优势。针对空间碎片规避路径规划问题，运用本文方法进行仿真实验，以检验本文方法的有效性。
4.1 算法对比分析 为说明改进人工势场法的比较优势，分别与经典人工势场法以及常用的最短路径算法进行了仿真对比。如图 3所示，设有一屏障规避问题，即需自主规划出从圆点出发顺利绕过两屏障到达叉地的最短路径，在1.6 GHz、1.8 GHz双核CPU、8 GRAM计算硬件上，运用相同的PyCharm仿真编译环境，分别运用4种算法进行求解。
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| 图 3 屏障规避问题的不同算法求解效果 Fig. 3 Different algorithms to solve the problem of barrier evasion |
| 图选项 |
运用典型广度优先搜索法(Dijkstra算法[44-45])可得到如图 3(a)所示的规避路径。在Dijkstra算法求解过程中，需预先设定搜索区域(图中黑框部分)并采取以起始点为中心向外层扩展的方式(图中小叉代表已搜索节点)，使得搜索过多无关节点，平均耗时0.48 s，所得路径棱角明显，路径长度93.3 m。运用增量式、概率完备且不最优的路径规划算法(RRT算法[22])可得到如图 3(b)所示的规避路径。RRT算法采取以初始状态作为根节点、目标节点作为叶子结点的搜索树方式(图中支路为已搜索区域)，平均耗时0.62 s，所得路径曲折，长度111.4 m。运用经典人工势场法可得到如图 3(c)所示的规避路径。经仿真发现，接近目标过程中路径会出现波动，当引力势场与斥力势场等大反向且受障碍阻断时，会产生局部震荡(图中曲线加粗部分)，出现目标不可达现象。运用改进人工势场法，平均耗时0.29 s后顺利到达目标位置，所得路径如图 3(d)所示，路径长度91.1 m，平滑效果更好。因此，改进的人工势场法能有效弥补经典人工势场在路径波动、局部震荡以及目标不可达方面的不足，与2种常用路径规划算法相比较耗时短、路程少、路径平滑，具有较强的对比优势和应用优势。
4.2 算例求解 设航天器质量为2 000 kg，最大航向角速率6(°)/s，最大推力加速度1.3 m/s2，发动机有效排气速度2 900 m/s，现从初始轨道(36 000 km)，采用霍曼转移，沿既定转移轨道机动至目标轨道(36 300 km)。机动开始后，在转移轨道平面内临时发现一新空间碎片，威胁范围为rob=2 km。此时，空间碎片位置[33 854 5 146]T km，速度[-0.763 0.763]T km/s，预计将在2.39 h后与航天器相撞。因此，需在确保以原定计划完成轨道机动的前提下，规划出最佳规避路径。
在运用基于Frenet和改进人工势场的在轨规避路径自主规划方法求解过程中，将模型参数设置为：krefer=0.2，katt=0.4，krep=0.4，δ=0.96，η=0.4，n=1，q=1，λ=0.4，rsafe=6 000 km，d=34 000 km，μ=3.986×105 km3/s2。
当考虑单目标优化的情况，即分别只考虑式(14)中的单一指标(如只单独考虑燃料消耗或规避安全等制约性因素)，所得规划路径为图 4中虚线，各路径的横向加速度变化情况如图 5中虚线所示。当令γJ=1，γd=0，γt=0，γr=0时，即只考虑规避安全这一因素，规划得规避路径。该路径顺利规避空间碎片并沿参考线方向行进，但不能及时回到既定转移轨道上，消耗燃料6.332 kg。当γJ=0，γd=1，γt=0，γr=0时，即只考虑轨道保持这一因素，规划得规避路径。该路径保持最小偏移直至空间碎片威胁范围才陡然采取规避行为，初始推力变化波动较大，导致19.815 kg的最高燃料消耗，并增加了与空间碎片碰撞的风险。当γJ=0，γd=0，γt=1，γr=0时，即只考虑制动时效这一因素，规划得规避路径。该路径在一发现空间碎片后即开始大推力机动规避，但过早偏离航迹且难以恢复，消耗燃料12.380 kg。当γJ=0, γd=0, γt=0, γr=1时，即只考虑燃料消耗这一因素，规划得黑色虚线路径。该路径在保持最小推力顺利规避空间碎片后，为节省燃料便不再兼顾轨道保持，获得最小的燃料消耗6.076 kg。
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| 图 4 不同全局优化权重下的航天器机动规避路径 Fig. 4 Maneuvering evasion path of spacecraft under different global optimization weights |
| 图选项 |
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| 图 5 不同全局优化权重下的横向偏移加速度 Fig. 5 Lateral deviation acceleration under different global optimization weights |
| 图选项 |
为了更好地满足航天器规避空间碎片的实际需求与偏好，综合考虑规避安全、轨道保持、制动时效以及燃料消耗因素，根据式(14)采取多目标优化方式，即可在一定的优化权重下获得相应的最优规避机动路径。例如当γJ=0.2，γd=0.2，γt=0.1，γr=0.5时，规划得图 4中规避路径。其综合效果虽优于上述4种单目标优化的情况，但仍不能在规避空间碎片后及时恢复至既定转移轨道，消耗燃料8.834 kg。基于此，再通过多次调参实验或运用神经网络进行参数自学习[46]，可获得权重为γJ=0.2，γd=0.4，γt=0.1，γr=0.3的图 4规避路径。该路径满足了碎片规避、轨道保持、制动灵活以及燃料节省的综合指标，最优路径累计消耗燃料9.502 kg。
在顺利规避空间碎片后，若要进一步降低不确定性风险，尽快恢复到既定转移轨道上，则需继续降低燃料消耗评价指标项的权重，以更多的燃料消耗为代价。当γJ=0.3，γd=0.5，γt=0.1，γr=0.1时，可规划得图 4中规避路径，该路径能够在规避空间碎片后，尽快恢复至转移轨道，但该路径燃料消耗将增至10.996 kg。
航天器在规避空间碎片的整个过程中，初始阶段将以引力势场为主导，航天器沿着既定转移轨道行进；随着与碎片距离的缩短，综合场逐渐产生斥力势场，航天器将如图 6(a)所示慢慢产生横向偏移；为了规避空间碎片，航天器不断增大横向偏离量，将经过图 6(b)~(d)所示的规避过程，航天器在横向偏离参考线2.23 km后成功避开空间碎片威胁；随后斥力势场逐渐减弱，航天器将如图 6(e)所示恢复至既定转移轨道继续飞行。由此，所获得的整个规避路径偏移量小、平滑、敏捷，能够满足航天器对空间碎片规避路径自主规划的实际需求。
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| 图 6 航天器沿最优路径规避空间碎片的局部效果 Fig. 6 Local effects of spacecraft evading space debris along an optimal path |
| 图选项 |
5 结论 1) 为更好地解决空间规避运动不易表示的难题，构建了基于Frenet的空间运动坐标系，实现了空间规避运动的简便表示，较好地兼顾沿转移轨道航行的绝对运动和规避空间目标的相对运动。
2) 针对规避空间目标的特殊场景，为避免过早轨迹偏离、局部震荡现象，改进人工势场函数，调整各势场作用区域，避免了传统人工势场法存在过早轨迹偏离以及局部震荡现象，实现了航天器对空间目标的自主规避。
3) 为获得偏移量小且恢复迅速的最优规避路径，综合考虑规避安全、轨道保持、制动时效以及燃料消耗的评价指标，构建了全局优化函数，可获得兼顾轨道保持和目标规避的最优路径，一定程度上能够满足不同任务的需求与偏好。
本文方法不仅能够引导航天器自主规避空间目标，还能时刻以最小偏移为约束沿既定转移轨道继续行进，满足航天器的轨道保持需求，同时对于解决其他领域的障碍规避路径规划问题具有较强的借鉴意义。
参考文献
| [1] | BOMBARDELLI C, ALESSI E M, ROSSI A. Reflectance spec-troscopy characterization of space debris[J]. Advances in Space Research, 2017, 59(10): 2488-2500. DOI:10.1016/j.asr.2017.02.033 |
| [2] | ZHANG B, WANG Z, ZHANG Y. An analytic method of space debris cloud evolution and its collision evaluation for constellation satellites[J]. Advances in Space Research, 2016, 58(6): 903-913. DOI:10.1016/j.asr.2016.03.016 |
| [3] | 苏飞, 刘静, 张耀, 等. 航天器面内机动规避最优脉冲分析[J]. 系统工程与电子技术, 2018, 40(12): 2782-2789. SU F, LIU J, ZHANG Y, et al. Analysis of optimal impulse for in-plane collision avoidance maneuver[J]. Systems Engineering and Electronics, 2018, 40(12): 2782-2789. DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2018.12.23 (in Chinese) |
| [4] | LEE S C, KIM H D, SUK J. Collision avoidance maneuver planning using UA for LEO and UEO satellite maintained in keeping area[J]. International Journal of Aeronautical & Space Sciences, 2012, 13(4): 474-483. |
| [5] | 于大腾, 王华, 孙福煜. 考虑潜在威胁区的航天器最优规避机动策略[J]. 航空学报, 2017, 38(1): 281-289. YU D T, WANG H, SUN F Y. Optimal evasive maneuver strategy with potential threatening area being considered[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(1): 281-289. (in Chinese) |
| [6] | 李学辉. 航天器轨道构型和自主交会对接控制方法研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2018: 101-106. LI X H. Research on spacecraft orbital configuration and autonomous rendezvous and docking control method[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2018: 101-106(in Chinese). |
| [7] | 缪远明, 潘腾. 规避姿态禁区的航天器姿态机动路径规划[J]. 航天器工程, 2015, 24(4): 33-37. MIAO Y M, PAN T. Path planning method for space-craft attitude slew to avoid forbidden celestial[J]. Spacecraft Engineering, 2015, 24(4): 33-37. DOI:10.3969/j.issn.1673-8748.2015.04.006 (in Chinese) |
| [8] | 高鹏, 罗建军. 航天器规避动态障碍物的自适应人工势函数制导[J]. 中国空间科学技术, 2012, 32(5): 1-8. GAO P, LUO J J. Adaptive artificial potential function guidance for dynamic obstacle avoidance of space-craft[J]. Chinese Space Science and Technology, 2012, 32(5): 1-8. (in Chinese) |
| [9] | 曾祥鑫. 自由漂浮空间机器人路径规划及控制方法研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2018: 36-39. ZHEN X X. Research on path planning and control method for free-floating space robot[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2018: 36-39(in Chinese). |
| [10] | HOWARD T, KELLY A. Optimal rough terrain trajectory generation for wheeled mobile robots[J]. The International Journal of Robotics Research, 2007, 26(2): 141-166. DOI:10.1177/0278364906075328 |
| [11] | MONTEMERLO M, BECKER J, BHAT S, et al. Junior: The stanford entry in the urban challenge[J]. Journal of Field Robotics, 2008, 25(9): 569-597. DOI:10.1002/rob.20258 |
| [12] | 王沙晶, 陈建业. 基于Frenet坐标系的智能车运动规划研究[J]. 移动电源与车辆, 2019(1): 22-29. WANG S J, CHEN J Y. Motion planning of autonomous vehicle based on Frenet coordinate system[J]. Movable Power Station & Vehicle, 2019(1): 22-29. (in Chinese) |
| [13] | WERLING M, KAMMEL S, ZIEGLER J, et al. Optimal trajectories for time-critical street scenarios using discretized terminal manifolds[J]. The International Journal of Robotics Research, 2012, 31(3): 346-359. DOI:10.1177/0278364911423042 |
| [14] | 王威, 陈慧岩, 马建昊, 等. 基于Frenet坐标系和控制延时补偿的智能车辆路径跟踪[J]. 兵工学报, 2019, 40(11): 2336-2351. WANG W, CHEN H Y, MA J H, et al. Path tracking for intelligent vehicles based on Frenet coordinates and delayed control[J]. Acta Armamentarii, 2019, 40(11): 2336-2351. DOI:10.3969/j.issn.1000-1093.2019.11.019 (in Chinese) |
| [15] | 龙翔, 高建博, 隗寒冰. 一种自动驾驶汽车系统架构开发与测试验证[J]. 重庆理工大学学报(自然科学), 2019, 33(12): 45-54. LONG X, GAO J B, WEI H B. Development and test validation of a systematic architecture for autonomous vehicle[J]. Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science), 2019, 33(12): 45-54. (in Chinese) |
| [16] | 熊菁, 程文科, 秦子增. 基于Serret-Frenet坐标系的翼伞系统轨迹跟踪控制[J]. 动力学与控制学报, 2005, 3(2): 89-93. XIONG J, CHEN W K, QIN Z Z. Path-following of parafoil system based on Serret-Fremet[J]. Journal of Dynamics and Control, 2005, 3(2): 89-93. (in Chinese) |
| [17] | 严永锁. 基于反馈-滑模策略的水面无人艇路径跟踪控制[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工程大学, 2019: 58-61. YAN Y S. Path tracking control of unmanned surface vehicles based on feedback-sliding mode strategy[D]. Harbin: Harbin Engineering University, 2019: 58-61(in Chinese). |
| [18] | 赵宁宁, 徐德民, 高剑, 等. 基于Serret-Frenet坐标系的多AUV编队路径跟踪控制[J]. 鱼雷技术, 2015, 23(1): 35-39. ZHAO N N, XU D M, GAO J, et al. Formation path following control of multiple AUVs based on Serret-Frenet coordinate system[J]. Torpedo Technology, 2015, 23(1): 35-39. DOI:10.3969/j.issn.1673-1948.2015.01.008 (in Chinese) |
| [19] | 王华, 韩璐, 楚世理, 等. 基于Frenet标架下三维元胞自动机的航母舰载机集群运动建模[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2018, 30(9): 1719-1727. WANG H, HAN L, CHU S L, et al. Shipboard aircraft swarm modeling using a 3D cellular automata model under the Frenet frame[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2018, 30(9): 1719-1727. (in Chinese) |
| [20] | 丁家如, 杜昌平, 赵耀, 等. 基于改进人工势场法的无人机路径规划算法[J]. 计算机应用, 2016, 36(1): 287-290. DING J R, DU C P, ZHAO Y, et al. Path planning algorithm for unmanned aerial vehicles based on improved artificial potential field[J]. Journal of Computer Applications, 2016, 36(1): 287-290. (in Chinese) |
| [21] | 杨丽春, 顾颖彦, 白宇. 基于改进人工势场法的无人机在线航路规划算法[J]. 电子技术应用, 2018, 44(4): 5-9. YANG L C, GU Y Y, BAI Y. UAV's online route planning algorithm based on improved artificial po-tential field[J]. Application of Electronic Technique, 2018, 44(4): 5-9. (in Chinese) |
| [22] | 何仁珂, 魏瑞轩, 张启瑞, 等. 基于拟态电势能的飞行器航路规划方法[J]. 北京航空航天大学学报, 2016, 42(7): 1543-1549. HE R K, WEI R X, ZHANG Q R, et al. Mimetism electric potential energy motion planning algorithm for aircraft[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2016, 42(7): 1543-1549. (in Chinese) |
| [23] | LUGO C I, FLORES G, SALAZA R S, et al. Dubins path generation for a fixed wing UAV[C]//International Conference on Unmanned Aircraft Systems(ICUAS). Piscataway: IEEE Press, 2014: 339-346. |
| [24] | 尚璞. 旋翼无人机路径规划与自主避障控制系统研究[D]. 西安: 西安科技大学, 2019: 89-93. SHANG P. Research on path planning arid autono-mous obstacle avoidance control system of quad-rotor[D]. Xi'an: Xi'an University of Science and Technology, 2019: 89-93(in Chinese). |
| [25] | 张大志, 刘万辉, 缪存孝, 等. 全向移动机器人动态避障方法研究[J]. 北京航空航天大学学报, (2020-07-13)[2020-07-28]. https://doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2020-0155. ZHANG D Z, LIU W H, MIAO C X, et al. Dynamic obstacle avoidance method for omnidirectional mobile robots[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, (2020-07-13)[2020-07-28]. https://doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2020-0155(in Chinese). |
| [26] | 贾正荣, 王航宇, 卢发兴. 基于障碍凸化的改进环流APF路径规划[J]. 航空学报, 2019, 40(10): 323189. JIA Z R, WANG H Y, LU F X. Improved circulating APF route planning based on obstacle convexifica-tion[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2019, 40(10): 323189. (in Chinese) |
| [27] | 陈天德, 黄炎焱, 沈炜. 基于虚拟障碍物法的无震荡航路规划[J]. 兵工学报, 2019, 40(3): 651-658. CHEN T D, HUANG Y Y, SHEN W. Non-oscillation path planning pased on virtual obstacle method[J]. Acta Armamentarii, 2019, 40(3): 651-658. DOI:10.3969/j.issn.1000-1093.2019.03.025 (in Chinese) |
| [28] | MOHANAN M G, SALGOANKA R A. A survey of robotic motion planning in dynamic environments[J]. Robotics & Autonomous Systems, 2018, 100: 171-185. |
| [29] | 钱宇, 徐敏, 郭东, 等. 航天器短期规避路径规划研究[J]. 飞行力学, 2010, 28(5): 67-70. QIAN Y, XU M, GUO D, et al. Route planning for spacecraft collision avoidance maneuver with short-term encounters[J]. Flight Dynamics, 2010, 28(5): 67-70. (in Chinese) |
| [30] | 于大腾. 航天器反交会规避机动方法研究[D]. 长沙: 国防科学技术大学, 2013: 48-56. YU D T. Research on spacecraft anti-rendezvous evasion maneuver method[D]. Changsha: Graduate School of National University of Defense Technology, 2013: 48-56(in Chinese). |
| [31] | 王沙晶. 基于Frenet坐标系采样的自动驾驶轨迹规划算法研究[D]. 兰州: 兰州理工大学, 2019: 44-48. WANG S J. Research of trajectory planning for autonomous driving based frenet coordinate and sampling[D]. Lanzhou: Lanzhou University of Technology, 2019: 44-48(in Chinese). |
| [32] | JURE B, MARIJAN H, IVAN R, et al. Trajectory planning for autonomous vehicle using digital map[C]//IEEE International Conference on Vehicular Electronics 2019 Zooming Innovation in Consumer Technologies. Piscataway: IEEE Press, 2019: 136-142. |
| [33] | FASSBENDER D, HEINRICH B C, WUENSCHE H J. Motion planning for autonomous vehicles in highly constrained urban environments[C]//International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2016: 4708-4713. |
| [34] | WERLING M, ZIEGLER J, S?REN K, et al. Optimal trajectory generation for dynamic street scenarios in a frenet frame[J]. Robotics & Automation, 2010, 4(5): 5-6. |
| [35] | 张玉. 自动驾驶车辆混合运动规划研究[D]. 北京: 北京理工大学, 2018: 98-104. ZHANG Y. Hybrid motion planning for autonomous vehicles[D]. Beijing: Beijing Institute of Technology, 2018: 98-104(in Chinese). |
| [36] | 王文彬, 秦小林, 张力戈, 等. 基于滚动时域的无人机动态航迹规划[J]. 智能系统学报, 2018, 13(4): 524-533. WANG W B, QIN X L, ZHANG L G, et al. Dynamic UAV trajectory planning based on receding horizon[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2018, 13(4): 524-533. (in Chinese) |
| [37] | HUANG Z C, WU Q, MA J, et al. An APF and MPC combined collaborative driving controller using vehicular communication technologies[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2016, 89: 232-242. |
| [38] | 范世鹏, 祁琪, 路坤锋, 等. 基于改进人工势场法的巡航导弹自主避障技术[J]. 北京理工大学学报, 2018, 38(8): 828-834. FAN S P, QI Q, LU K F, et al. Autonomous collision avoidance technique of cruise missiles based on modified artificial potential method[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2018, 38(8): 828-834. (in Chinese) |
| [39] | 张相宇. 特定推力方向约束下的航天器轨道最优控制问题研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2016. ZHANG X Y. Research on optimal orbit control of spacecraft with specific thrust direction[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2016(in Chinese). |
| [40] | 崔红正, 刘文玲, 唐歌实, 等. 不同推力下的非合作空间目标轨道机动检测[J]. 宇航学报, 2016, 37(3): 253-261. CUI H Z, LIU W L, TANG G S, et al. Different thrust maneuvers detection of uncooperative space objects[J]. Journal of Astronautics, 2016, 37(3): 253-261. DOI:10.3873/j.issn.1000-1328.2016.03.002 (in Chinese) |
| [41] | 张晨, 赵育善. 混合推进最省燃料轨道设计方法[J]. 宇航学报, 2015, 36(8): 869-876. ZHANG C, ZHAO Y S. A method for hybrid propul-sion minimum fuel trajectory optimization[J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(8): 869-876. DOI:10.3873/j.issn.1000-1328.2015.08.002 (in Chinese) |
| [42] | 周婷. 空间交会接近段联合机动及燃料优化问题研究[D]. 北京: 清华大学, 2010: 88-93. ZHOU T. Study on joint maneuver and fuel optimization in approach phase for space rendezvous[D]. Beijing: Tsinghua University, 2010: 88-93(in Chinese). |
| [43] | TAKAHASHI A, HONGO T, NINOMIYA Y, et al. Local path planning and motion control for AGV in positioning[C]//Proceedings of the IEEE/RSJ International Workshop on Intelligent Robots & Systems. Piscataway: IEEE Press, 1989: 392-397. |
| [44] | DIJKSTRA E W. A note on two problems in connexion with graphs[J]. Numerische Mathematik, 1959, 1(1): 269-271. DOI:10.1007/BF01386390 |
| [45] | 吴红波, 王英杰, 杨肖肖. 基于Dijkstra算法优化的城市交通路径分析[J]. 北京交通大学学报, 2019, 43(4): 116-121. WU H B, WANG Y J, YANG X X. Analysis of urban traffic vehicle routing based on Dijkstra algorithm optimization[J]. Journal of Beijing Jiaotong University, 2019, 43(4): 116-121. (in Chinese) |
| [46] | 张菁, 何友, 彭应宁, 等. 基于神经网络和人工势场的协同博弈路径规划[J]. 航空学报, 2019, 40(3): 322493. ZHANG J, HE Y N, PENG Y, et al. Neural network and artificial potential field based cooperative and adversarially path planning[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2019, 40(3): 322493. (in Chinese) |
