卡尔曼滤波(Kalman Filtering，KF)是一种经典的目标跟踪算法，其算法本身及对应的扩展算法在目标跟踪领域具有广泛的应用[3]。基础的卡尔曼滤波算法主要针对线性问题，对频繁转换运动状态的移动对象具有良好的跟踪效果。在卡尔曼滤波算法基础上发展起来的扩展卡尔曼滤波(EKF)算法、无迹卡尔曼滤波(UKF)算法、粒子滤波(PF)算法、容积卡尔曼滤波(CKF)算法[4-7]等则针对非线性问题。其中，UKF算法因采用无迹变换(Unscented Transform，UT)对非线性概率密度分布进行近似估计，具有不需要求导、估计精度高等优点，在目标跟踪领域得到了广泛认可。交互式多模型(Interacting Multiple Model，IMM)算法是一种在广义伪贝叶斯算法的基础上，基于基本卡尔曼滤波构造的一种具有Markov切换系数的多模型滤波器，旨在解决单模型引起的滤波精度不够的问题，具有一定的自适应性。目前，常用的模型包括CV(匀速模型)、CT(转弯模型)、CA(匀加速模型)、CS(“当前”统计模型)、Singer模型及Jerk模型等[8]。将IMM与UKF结合后形成的IMMUKF算法，融合了2种算法的优点，解决了UKF算法中单一模型的不足，增强了与目标运动模式的匹配度，提高了跟踪效果，已经在目标跟踪领域得到了广泛的应用[9]。
传统的IMMUKF算法也存在滤波参数固定、模型转移概率提前给出等不足，对算法性能造成了一定的影响。滤波参数Q、R分别指过程噪声协方差矩阵和量测噪声协方差矩阵，二者对于跟踪精度具有重要影响[10-12]。其中，参数Q对于滤波性能和参数估计精度具有影响；参数R主要影响滤波的修正速度，取值不当可能引起滤波发散。以往实验中，参数Q、R一般采用固定值，通常通过反复试验或者根据前人经验而得出，对于实验精力耗费和跟踪精度影响很大。模型转移概率是影响算法性能的重要因素，模型之间的交互、转移机制是多模型的核心，高效的模型转移策略可以有效提升算法性能。由于运动中的机动和先验信息的失真，以往通过历史先验信息或主观决策事先给出转移概率的方法不能满足实际要求，给滤波过程造成了误差。
针对以上两方面的问题，国内外专家****也进行了广泛的研究。其中，刘楠[1]提出使用k时刻模型集中各自子模型的后验概率最大值作为启发式信息，对系统噪声进行自适应调整；郭继峰等[13]通过深度置信网络对噪声的协方差矩阵进行调整，提升了滤波性能；左东广等[14]通过对Baum辅助函数的最大化实现隐马尔可夫(HMM)模型转移概率的参数估计，进一步将其用于IMM算法中，得到时变的转移概率；郭志等[15]提出通过相邻时刻模型概率之差来体现与实际运动状态的匹配程度变化，以此信息修正转移概率，得到时变的转移概率，方法简单有效，但缺少对子模型之间交互情况的讨论；臧荣春和崔平远[16]提出根据两模型误差压缩率比的变化对模型转移概率进行修正，有效提升了两模型之间的切换速率，但对于多模型的适应性有待进一步研究。
本文首先针对滤波参数Q、R固定问题，提出运用改进的灰狼优化(Improved Grey Wolf Optimizer，IGWO)算法进行自适应优化；其次针对模型转移概率提前给定问题，提出通过构建调节因子进行动态调整；最终形成AIGWO-IMMUKF算法，并进一步通过仿真对所提算法的性能进行了验证和分析。
1 IMMUKF目标跟踪算法 假设有m个模型，系统的状态方程如式(1)所示，量测方程如式(2)所示。
 | (1) |
 | (2) |
式中：xk为目标的状态向量；zk为目标的量测向量；wk和vk分别为过程噪声和量测噪声，并且其均值都为零，用Q、R分别表示过程噪声协方差矩阵和量测噪声协方差矩阵；F为线性状态转移矩阵；h为非线性量测矩阵。
IMMUKF算法计算过程包括模型交互输入、时间更新、量测更新、状态更新和协方差更新、模型概率更新和融合交互输出。具体步骤如下：
步骤1??模型交互输入。
 | (3) |
 | (4) |
式中：μk|kji表达如下：
 | (5) |
式中：
步骤2??时间更新。
UKF算法中常用的采样策略有对称采样、最小偏度单形采样、高斯分布四阶矩对称采样、三阶矩偏度采样等[17]，本文采用对称采样。
选取2n+1个Sigma采样点如式(6)所示，xk和Pk为xk的先验统计信息。
 | (6) |
式中：χki, l为模型i在k时刻的第l个采样点；n为xk的维度；κ的取值如下：
 | (7) |
各Sigma点对应的第i个滤波器，其一阶统计特性和二阶统计特性的加权系数分别为
 | (8) |
 | (9) |
式中：λ=φ2(n+κ)－n，φ为[0, 1]之间的随机数；?为常数。
第i个滤波器转换为
 | (10) |
第i个滤波器估计跟踪值、协方差分别为
 | (11) |
 | (12) |
步骤3??量测更新。
对Sigma点进行非线性变换，如下：
 | (13) |
第i个滤波测量的近似均值和协方差分别为
 | (14) |
 | (15) |
 | (16) |
第i个滤波器增益为
 | (17) |
步骤4??状态更新和协方差更新。
 | (18) |
 | (19) |
步骤5??模型概率更新。
第i个滤波器的似然函数为
 | (20) |
归一化常数为
 | (21) |
式中：cj为模型i的归一化平均参数。
第i个滤波概率更新为
 | (22) |
步骤6??融合交互输出。
 | (23) |
 | (24) |
2 改进算法 2.1 滤波参数Q、R的自适应优化 针对滤波参数取值固定的问题，可采用优化算法对其进行自适应调整。
GWO算法由Mirjalili等[18]于2014年提出，通过模拟灰狼群的社会等级制度和狩猎机制，不断寻找最优值，实现寻优的目的。GWO算法具有较强的全局搜索能力，结构简单，并且概念清晰，参数设置少，算法本身及其改进算法在各种领域得到了广泛应用[19]。
但传统的GWO算法也存在收敛速度不高、精度不够、易陷入局部最优等缺点。本文利用IGWO算法对滤波参数Q、R进行自适应优化。
2.1.1 改进的灰狼优化算法 1) 动态权重调整策略
传统GWO算法中，通过式(25)进行狼群位置的迭代，灰狼ω通过式(26)、式(27)[18]找寻通过α、β、δ狼共同引导的下一个位置，灰狼位置更新示意图如图 1所示。
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| 图 1 灰狼位置更新示意图 Fig. 1 Schematic diagram of gray wolf location update |
| 图选项 |
 | (25) |
 | (26) |
 | (27) |
式中：Xi, α(t)、Xi, β(t)、Xi, δ(t)分别为灰狼当前位置距离α、β、δ灰狼的距离; 其余变量参见文献[18]。
可以看出，虽然对种群中适应度前三的灰狼进行了排序和等级划分，但是在进行位置更迭和引导的过程中，三者权重相同，并没有体现出差别，这与等级划分的初衷是不一致的。因此，本文提出，对α、β、δ的权重进行重新设置，构造基于适应度值的动态权重，如式(28)、式(29)所示，替换传统GWO算法中的式(27)。
 | (28) |
 | (29) |
式中：J1、J2、J3分别为对应α、β、δ的适应度值；X1、X2、X3分别对应当前世界α、β、δ的位置；w2、w3计算思路同w1；t为迭代次数；Xi(t+1)为第t次迭代后的灰狼的位置。
2) 控制参数非线性调整策略
传统GWO算法中调节参数a为线性递减，这将容易陷入局部最优[20-22]。本文运用二次曲线来调整a的值。amax和amin为控制参数的最大值和最小值，一般为2和0，tmax为最大迭代次数，a的取值随迭代次数的变化如下：
 | (30) |
2.1.2 基于IGWO的滤波参数Q、R自适应调整 运用IGWO算法优化IMMUKF算法中的滤波参数Q、R，其中Q为对角阵，R为一个常数矩阵[23]。步骤如下：
步骤1??初始化灰狼种群，确定灰狼初始个数及位置、最大迭代次数；初始化a、A、C及Xα、Xβ、Xδ的值。
步骤2??计算各灰狼适应度值，根据式(26)更新此次迭代的Xi, α(t)、Xi, β(t)、Xi, δ(t)。
步骤3??根据式(25)、式(30)更新a、A、C。
步骤4??使用式(28)、式(29)更新当前智能个体的位置，求得最优解Xi, α(t)。
步骤5??判断是否达到结束条件，若满足，则输出最优解；若不满足，则返回步骤2。
在优化过程中，适应度函数的选取非常关键，不当的适应度函数会导致早熟现象。在此，以信息的实际方差为目标函数，则目标函数定义为
 | (31) |
式中：zk+1|k为IMMUKF算法中的新息序列[22]，
加入IGWO算法后，可以对过程噪声和量测噪声进行在线优化。可以看出，目标函数值越小，相应的实际方差就越小，跟踪精度就越高。将按此算法优化得到的滤波参数Q、R作为滤波输入来优化滤波过程。
2.2 模型转移概率的动态调整 IMM算法中输入交互过程为一个Markov过程，即模型跳变服从Markov链[24]，设Markov概率转移矩阵为Πk=[πij(k)]m×m，则
 | (32) |
式中：πij(k)为k时刻模型i转移到模型j的概率；m为模型的总个数；rk=j表示k时刻匹配到的模型为j。
解算过程中，多模型之间互相交互，模型之间的转换速率成为制约算法性能的重要因素。标准IMM算法中，转移概率通常根据先验信息获得或者通过人为给定，并没有结合后验信息进行实时的调整，这是不符合实际的[25]。对于IMM算法中的子模型，k时刻子模型j的概率uj(k)越大，说明其与目标的真实运动状态越接近，那么此时其他子模型向这一模型转移的可能性就越大；同时与这一匹配模型相差越远的子模型，其转移的渴望度就越大，更有可能发生转移。基于以上思想，对Markov转移概率矩阵进行修正改进。
假设k时刻子模型j匹配概率为uj(k)，子模型i匹配概率为ui(k)，假设模型i向j转换，构造概率调节因子σij(k)为
 | (33) |
根据式(33)，当模型j的概率大于模型i概率时，σij(k)大于1；当模型j的概率小于模型i概率时，σij(k)小于1。同时，该次转换的目标模型的匹配概率越接近1，说明此次转换可能性更大，通过设置其与1的差值进行体现，进一步扩大其影响，提升转换速率。
假设k-1时刻Markov转换矩阵中模型i向j转换的概率为πij(k－1)，则将σjk与其相乘达到动态调整的目的，调整过程为
 | (34) |
根据Markov转移概率矩阵性质可知，k时刻某一模型向其他模型转移的概率之和为1，故需要对式(34)进行归一化处理，最终得到k时刻的转移概率为
 | (35) |
根据以上分析可知，当模型j的概率增大，或者模型i、j之间的模型概率之差增大时，说明其他模型需要尽快向模型j转换，此时转换速率将在原有基础上被进一步扩大；相反，如模型j的概率减小，或者模型i、j之间的模型概率之差减小，则说明模型j匹配度降低，则需要减缓转换速率。可以看出，调节因子σij(k)扩大了匹配模型的作用，减弱了非匹配模型的作用，提高了转换速率，同时改进后的结果也满足转移概率矩阵的2条基本性质。
2.3 AIGWO-IMMUKF算法流程 根据以上两方面的改进，得到AIGWO-IMMUKF算法，其算法流程示意图如图 2所示。
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| 图 2 AIGWO-IMMUKF算法流程示意图 Fig. 2 Flowchart of AIGWO-IMMUKF algorithm |
| 图选项 |
3 仿真验证 仿真在Inter(R)i7-4790处理器，主频3.6 GHz、64位Windows7旗舰版下的MATLAB R2016b中进行。
因为目标跟踪的过程是实时短期连续迭代跟踪，所以任何复杂的运动形式都可以微分成由匀速、匀加速、转弯3种基本运动形式组成的集合。因此，本文假设目标在高度为6km的平面内运动，目标的状态向量为X=(x, ?, ?, y, ?, ?, z, ?,
 |
IGWO算法中维度设置为6，初始种群数为30，最大迭代次数为100次。
根据以上参数设置，运用AIGWO-IMMUKF算法、IGWO-IMMUKF算法、GWO-IMMUKF算法与传统IMMUKF算法、文献[26]中的DIMMUKF算法分别进行200次蒙特卡罗仿真计算，使用文献[27]中FF-LSTM同步进行目标跟踪，使用RMSE(均方根误差)作为评价算法性能的标准，目标跟踪轨迹三维空间如图 3所示，X、Y方向位置、速度RSME变化曲线如图 4、图 5所示，时效性对比如图 6所示。
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| 图 3 跟踪轨迹三维空间示意图 Fig. 3 Sketch map of tracking trajectory in 3D space |
| 图选项 |
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| 图 4 X、Y方向位置RSME随时间变化曲线 Fig. 4 Change of X, Y-direction position RSME with time |
| 图选项 |
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| 图 5 X、Y方向速度RSME随时间变化曲线 Fig. 5 Change of X, Y-direction velocity RSME with time |
| 图选项 |
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| 图 6 算法时效性对比 Fig. 6 Comparison of algorithm timeliness |
| 图选项 |
仿真结果表明，在跟踪精度和误差方面，各算法的优劣顺序依次为AIGWO-IMMUKF、IGWO-IMMUKF、GWO-IMMUKF、DIMMUKF、FF-LSTM、IMMUKF。目标在运动模式转换时刻，容易产生较大的跟踪误差，传统的IMMUKF算法性能不如FF-LSTM算法，但是经过GWO算法的优化后，自适应调整能力大幅提升，跟踪误差减小，误差积累得到弱化，性能上优于DIMMUKF算法和FF-LSTM算法。在此基础上，通过对GWO算法的改进和引入调节因子，跟踪效果得到进一步提升，验证了GWO算法改进的有效性和调节因子构造的合理性。
通过图 6可以看出，FF-LSTM算法因为神经网络强大的性能，其时效性高于传统的IMMUKF算法和DIMMUKF算法，但却不及通过GWO算法优化后IMMUKF算法，改进后形成的AIGWO-IMMUKF算法具有最高的时效性。
4 结论 1) 本文运用IGWO优化滤波参数Q、R，能够实现噪声的自适应调整；调节因子修正模型转换概率能够加速模型之间的转换速率；形成的AIGWO-IMMUKF算法，能够根据运动状态的变化进行自适应调整。
2) 提出的AIGWO-IMMUKF算法，有效改进了传统IMMUKF算法中的缺陷，相比于传统的IMMUKF算法、文献[26]中DIMMUKF算法、文献[27]中的FF-LSTM算法具有更好的跟踪效果，跟踪精度更高，误差更小，算法时效性更强。
3) GWO算法强大的性能可以运用到更多的优化问题之中，更好地发挥其生命力。
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