卫星星座自主定轨指在无实时地面支持的情况下，在星上利用星载导航传感器获取的测量信息以及先验信息进行长时间轨道确定的过程。1984年，Markley首次提出用星座联合的方法来强化基于地球和太阳传感器的自主导航方案，结果表明联合测量可以显著提高轨道精度[1]。Ananda等在1984年给出了基于星间测距的GPS自主导航方法，并利用测量数据开展了仿真研究[2]，但该方案具有亏秩特性，存在星座整体旋转和星钟整体漂移2类问题，是不完全可观的[3-4]。针对上述问题，通常采用引入先验信息、增加观测量和有偏估计3种途径来解决[5]。在引入先验信息方面，对于中、高轨道卫星，通过对升交点赤经和轨道倾角施加约束可以有效解决星座的整体旋转问题。增加观测量的方法通过引入恒星参考、地面信标、地磁参考或脉冲星等测量信息来改善观测矩阵的特性，但需要增加相应的星载测量设备，且导航精度会受到测量精度制约。当采用有偏估计方法时，当模型仅存在微小偏差时，方法具有一定的“稳定性”，并且对观测值中的粗差具有一定的“抗干扰性”，但当粗差较大时，方法有可能失效。显然，以上几种途径均存在一定的局限性。Hill等提出了利用平动点轨道的特殊几何性质来解决星间测距星座自主定轨方法中的“亏秩”问题，这就是著名的星际联合自主导航(Linked Autonomous Interplanetary Satellite Orbit Navigation，LiAISON)方法[6]，该方法可以仅利用星间测距实现平动点轨道导航星座的自主定轨。随后，国内外多名****对LiAISON方法展开了研究。Leonard[7]、Fujimoto[8]等对地球静止轨道(Geostationary Earth Orbit，GEO)和平动点卫星通过星间测距进行轨道定位，并仿真验证了其可行性。
在卫星星座自主定轨过程中，由于星载导航传感器获取的测量信息并不直接与卫星轨道根数有关，因此需要设计自主定轨算法，通过数据融合的方法，对参考轨道根数进行修正，得到所需状态变量的估计值。在星座自主定轨系统中，常用的定轨算法主要有批处理算法、序贯递推算法和抗差估计算法等。由于空间物理环境下，卫星易受到较多的扰动信号干扰，并且卫星定轨具有较高实时性的要求，因此常采用卡尔曼滤波及其改进算法来对卫星状态进行估计。
卫星自主定轨算法在滤波结构层面上可主要分为集中式、分层式和分布式3类。由于在大型星座系统中，卫星数目较多，采用集中式滤波结构对卫星计算和存储有较高要求，不利于实时运行；分布式滤波结构无处理中心，各个卫星同等地对数据进行处理，但由于无法实时获得其他卫星状态的最优估计值，因此只能得到次优的滤波结果；分层式滤波结构的性能介于集中式和分布式之间，而在大型星座自主定轨系统中，考虑到星载设备有限的运算能力、通信能力以及对较高定轨精度的需求，分层式滤波结构往往是更好的选择。
在分层式滤波结构中，通过合理设计子滤波器的结构、规模及其信息融合方法来保证全局滤波的精度和效率。文献[9-12]在线性最小方差意义下，利用拉格朗日乘子法推导出了矩阵加权、标量加权和对角阵加权3种融合方法。这3种方法要求多个融合信息之间是不相关的或是相关性的大小已知，但在实际应用中难以准确获取描述相关性大小的互协方差。文献[13]提出的简单凸组合法忽略了融合信息间的相关性，在相关性未知的情况下实现融合估计，然而在融合信息间存在强相关性的情况下，若忽略该影响会导致估计精度下降，严重情况下甚至会导致滤波发散。文献[14]中的协方差交叉融合法可以在避免计算互协方差的基础上，提高滤波系统的鲁棒性，避免发散。
本文采用LiAISON方法, 利用地月系统中存在的非对称引力来解决地球星座自主定轨中存在的“亏秩”问题，仅通过星间测距以实现自主定轨，该方法结构简单、易于实现，且定轨精度高。本文以由全球导航卫星和拉格朗日卫星构成的联合星座为研究对象，在有限的星载运算能力和通信能力下，对基于分层结构星座自主定轨的信息融合方法展开研究。
1 星座自主定轨模型的建立 本节在分别建立全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System，GNSS)中的卫星和拉格朗日卫星的轨道动力学模型的基础上，以星间距离作为量测信息，建立地月联合星座自主定轨系统的状态方程和测量方程。
1.1 轨道动力学模型 考虑到定轨精度以及实时计算的需求，在全球导航卫星的轨道动力学模型中，考虑了J2项摄动FJ2、太阳引力摄动Fs、月球引力摄动FM以及其他未建模噪声FW，得到如下方程：
 | (1) |
式中:r为地球导航卫星在地心惯性坐标系中的位置矢量; F0为地球重力加速度。
对于地月联合星座而言，卫星质量相对于地球和月球而言可忽略不计，因此拉格朗日卫星轨道动力学模型选用圆型限制性三体问题(Circular Restricted Three-Body Problem, CRTBP)[15]作为基础力学模型。
定义质心会合坐标系Omr-xmrymrzmr：原点位于地月系质心Omr，xmr轴由质心指向月心方向，zmr轴指向系统的角速度方向，ymr轴按右手定则构成。
在CRTBP中，将各物理量进行无量纲化和归一化处理如下：
 | (2) |
式中:[M]、[L]、[T]分别为无量纲化的质量单位、长度单位和时间单位；ME和MM分别为地球和月球质量；d为地球和月球之间的距离；G为万有引力常数。由此可得简化后的CRTBP动力学方程为
 | (3) |
式中：μ为质量参数；向量rm=[xm??ym??zm]T表示卫星在质心会合坐标系中的位置；rPE和rPM分别为归一化后卫星到地球和月球的距离。
1.2 星间测量模型 由于拉格朗日卫星的引入，联合星座自主定轨系统中存在由同类卫星和异类卫星产生的星间测距信息，对它们分别建立量测方程如下。
1) 同类卫星的星间测距模型
对于同类卫星，设ρEi, Ej表示全球导航卫星Ei和Ej之间的距离测量值，ρLk, Ll表示拉格朗日卫星Lk和Ll之间的距离测量值，则其星间距离为
 | (4) |
 | (5) |
式中：rEi/j=[xEi/j??yEi/j??zEi/j]T和rLk/l=[xLk/l??yLk/l??zLk/l]T分别为全球导航卫星和拉格朗日卫星在地球和月球参考坐标系中的位置；ΔEi, Ej和ΔLk, Ll为观测噪声。
2) 异类卫星的星间测距模型
拉格朗日卫星与全球导航卫星测距示意图如图 1所示。
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| 图 1 拉格朗日卫星与全球导航卫星测距示意图 Fig. 1 Schematic diagram of ranging between Lagrange satellite and global navigation satellite |
| 图选项 |
设ρEi, Lk表示全球导航卫星Ei和拉格朗日卫星Lk之间的距离测量值，由于Lk的位置定义于质心会合坐标系中，而Ei的位置定义于地心惯性坐标系中，因此需要利用质心会合坐标系到地心惯性坐标系的旋转矩阵R，将Lk的位置转换到地心惯性坐标系中，即rLkE=[xLkE??yLkE??zLkE]T，由图 1可知
 | (6) |
R的表达式为
 | (7) |
式中：ΩM为月球轨道的升交点赤经；iM为轨道倾角；uM为升交点角距；Rz″、Rx′和Rz分别为基于升交点赤经、轨道倾角和升交点角距的旋转矩阵。
1.3 分层式滤波的结构模型 考虑受到卫星计算能力和存储量的限制，本文采用分层式结构设计星座自主定轨滤波器[16]。GNSS星座由采用Walker 24/3/2结构的中轨道地球卫星(Medium Earth Orbit，MEO)构成，其分布示意图如图 2所示。在构建子滤波器时，将同一轨道面上相邻的4颗卫星进行组合，且同轨相邻的2个子滤波器包含2颗相同的卫星。同时，每个子滤波器包含2颗拉格朗日卫星以保证绝对定位性能。在异轨信息利用方面，可将异轨卫星引入子滤波器，对子滤波器进行集中滤波，此时只利用异轨卫星的预测状态；此外，也可只利用异轨卫星间的测距信息而不对异轨卫星自身状态进行估计。本文采用引入异轨卫星进行集中滤波的方法，并利用与2颗异轨卫星间的星间测距信息提供轨道面外的几何约束信息，以实现更精准的轨道定位。将各子滤波器得到的局部状态估计，经过进一步融合得到星座中各卫星的状态估计结果。本文设计的分层式结构的子滤波器的组成如表 1所示。
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| 图 2 MEO星座半分布式滤波结构示意图 Fig. 2 Schematic diagram of semi-distributed filtering structure of MEO constellation |
| 图选项 |
表 1 分层结构的子滤波器构成 Table 1 Hierarchical sub-filter structure
| 子滤波器编号 | MEO卫星编号 | 拉格朗日卫星编号 | 异轨测量卫星编号 |
| 1 | 1, 2, 3, 4 | La，Lb | 9, 17 |
| 2 | 3, 4, 5, 6 | La, Lb | 9, 17 |
| 3 | 5, 6, 7, 8 | La, Lb | 9, 17 |
| 4 | 7, 8, 1, 2 | La, Lb | 9, 17 |
| 5 | 9, 10, 11, 12 | La, Lb | 1, 17 |
| 6 | 11, 12, 13, 14 | La, Lb | 1, 17 |
| 7 | 13, 14, 15, 16 | La, Lb | 1, 17 |
| 8 | 15, 16, 9, 10 | La, Lb | 1, 17 |
| 9 | 17, 18, 19, 20 | La, Lb | 1, 9 |
| 10 | 19, 20, 21, 22 | La, Lb | 1, 9 |
| 11 | 21, 22, 23, 24 | La, Lb | 1, 9 |
| 12 | 23, 24, 17, 18 | La, Lb | 1, 9 |
表选项
在1.1节中，拉格朗日卫星自主定轨采用了基于圆形限制性三体问题的简化模型，但实际中的轨道往往不是理想圆形的，除此而外，在全球导航卫星的建模中也存在未建模的系统误差。在滤波估计过程中，各子滤波器中的公共系统误差的传播，将引起子滤波器之间存在着复杂的相关性，这使得子滤波器间的互协方差阵不是对角阵。由于本系统具有较强的非线性，且系统噪声参数难以准确获得，这将导致相关性的大小难以准确获知。为了消除相关性带来的影响，可采用方差放大技术进行处理[17]。在滤波过程中，通过对异轨卫星状态误差协方差阵进行放大，并调节放大系数的大小来减弱状态估计相关性带来的影响。
2 信息融合方法 在相同轨道面上，子滤波器之间含有部分公共的卫星状态，如图 3所示，S1~S6、S9~S12为MEO 1~12号卫星的状态，La、Lb代表拉格朗日卫星的状态。为了提高滤波精度，将其公共状态进行融合。
 |
| 图 3 地月联合星座分布式结构状态相关性 Fig. 3 State correlation of distributed structure in Earth-Moon joint constellation |
| 图选项 |
由于各个子滤波器中都含有相同的拉格朗日卫星，因此对拉格朗日卫星状态的融合采用基于多传感的不相关融合方法，本文不作深入讨论。而对于所有全球导航卫星，它们作为公共卫星被包含在同轨相邻的2个子滤波器中，因此，在确保估计精度的前提下，设计高效实用的融合2个局部状态估计的融合方法。
对于随机变量x∈Rn，假设其L个局部状态得到的无偏估计分别为
 | (8) |
式中：E表示求均值运算。
已知估计误差
2.1 简单凸组合法 简单凸组合法的融合后误差方差阵P0以及融合估计
 | (9) |
 | (10) |
简单凸组合法实现简单，应用广泛。当局部状态估计之间不存在相关性时，可以获得最优的融合结果。该方法也常被用在相关性可以忽略的场合，但是会降低融合精度，只能得到次优的估计结果。在局部状态估计之间相关性强时，采用该方法有可能会导致融合结果发散。
2.2 协方差交叉融合法 当对相关性未知的局部状态估计进行融合时，协方差交叉融合法可以在一定程度上避免采用简单凸组合法可能存在的融合结果发散的问题。
协方差交叉融合法是在信息空间上对均值和协方差估计的一个凸组合。协方差交叉融合法是一种特殊形式的按矩阵加权线性无偏融合估计，通过使融合协方差阵的某种范数到达最小，以完成融合。采用协方差交叉融合法计算得到的误差方差阵、融合估计的表达式分别为
 | (11) |
 | (12) |
式中：ω∈[0, 1]。
本文采用的极小化性能指标为使融合后的误差方差阵的迹最小，即
 | (13) |
式中：tr表示矩阵的迹。
对非线性问题，可采用黄金分割法和斐波那契法等方法来对最优权系数ω进行搜索。
定义1??(协方差椭球[18])对于任意一个协方差矩阵Pi, j，其协方差椭球为满足条件xPi, j-1x=c的所有点构成的轨迹，其中c为一常数。
由式(11)求解的融合方差阵P0，其协方差椭圆包含由P1和P2生成的协方差椭圆的公共区域，并且通过两椭圆的4个交点。当两局部估计相关度即误差协方差矩阵P1, 2已知时，融合后的协方差椭圆始终位于P1和P2协方差椭圆的公共区域内部。假设两相关估计
2.3 矩阵加权法 在线性最小方差意义下，即在极小化性能指标J下：
 | (14) |
需要寻求n×n加权矩阵Ai，使得x按矩阵加权融合得到无偏估计：
 | (15) |
加权矩阵应满足约束条件
 | (16) |
采用拉格朗日乘数法对加权矩阵进行求解，引入辅助函数：
 | (17) |
式中：定义拉格朗日乘子向量λi=[λi1, λi2, …, λin]；eiT=[0??…??0??1??0??…??0]。令?F/?A=0以及?F/?λi=0可解出
 | (18) |
由此，可得融合后误差方差阵为
 | (19) |
由Schwartz不等式[19]可以证明：
 |
即融合估计精度高于每个局部估计精度。
上述按矩阵加权线性最小方差最优融合准则，在2个局部估计融合的情况下，可以简化为
 | (20) |
 | (21) |
 | (22) |
 | (23) |
2.4 标量加权法 计算最优加权矩阵要求计算协方差矩阵的逆矩阵，当局部估计数量和状态维数较大时，计算量较大，不利于实时应用。因此，提出标量加权法。
通过寻求最优加权系数ai，使得在极小化性能指标J以及约束条件
 | (24) |
式中：a=[a1, a2, …，aL]；矩阵Ptr定义为
 | (25) |
将约束条件简化为ae=1，并采用拉格朗日乘数法求解加权系数。引入辅助函数：
 | (26) |
令?F/?a=0以及?F/?λ=0可解出
 | (27) |
由此可得融合后的误差方差阵为
 | (28) |
可以证明tr(P0)≤tr(Pi), i=1, 2, …, L，即融合精度高于局部滤波精度。
对于两局部估计融合系统，标量加权法可以简化为
 | (29) |
 | (30) |
 | (31) |
上述各多源融合方法中，线性方差意义下的矩阵加权法、简单凸组合法本质上都是通过对估计状态进行矩阵加权，都存在较复杂的矩阵运算，而线性最小方差意义下的按标量加权和协方差交叉融合法本质上是对估计状态进行标量加权，其算法复杂度较低。其中，在通过标量加权的2种方法中，协方差交叉融合法的加权系数需要在极小化性能指标下不断迭代求解，而标量加权法的加权系数只需通过各局部估计误差协方差矩阵便可求解，因此按标量加权的计算量相应更低。
在精度方面，矩阵加权法考虑了局部估计之间的相关性，其融合精度比简单凸组合法更高；对于协方差交叉融合法，由于该方法可能出现无法找到最优系数或陷入局部最优的情况，并且未考虑相关性的影响，因此其精度比标量加权法低。此外，在实际应用中，由于系统对于实时性往往有较高要求，而按标量加权相比于按矩阵加权，能够在损失较小精度的前提下大大降低运算量，因此按标量加权常常更能满足实际系统的需求。
3 仿真分析 本文以地月联合星座作为仿真对象，其中全球导航卫星选取Walker 24/3/2构型中的24颗MEO卫星，拉格朗日卫星选取L1、L2点的2颗南族Halo卫星。全球导航卫星轨道由轨道动力学模型通过数值积分生成，拉格朗日卫星轨道由受摄三体模型进行数值积分生成并通过多步打靶法进行拼接。通过星间测距，采用扩展卡尔曼滤波算法对卫星状态进行估计以实现自主定轨。
仿真时长设为25 d，滤波周期为100 s，测量精度设为5 m。以GNSS星座中的1号卫星作为分析对象，采用表 1所述滤波结构，通过误差均方根(RMSE)来描述卫星定轨精度，其计算公式为
 | (32) |
式中：Xest, i为i时刻状态估计值；Xi为i时刻状态真值；n为时间点总个数。
采用简单凸组合法计算得到的MEO 1号卫星位置和速度误差如图 4和图 5所示。图中：x, y, z表示卫星在地心惯性坐标系3个坐标轴下的位置误差；vx, vy, vz表示卫星在地心惯性坐标系3个坐标轴下的速度误差。
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| 图 4 全球导航1号卫星位置误差 Fig. 4 Position error of global navigation satellite 1 |
| 图选项 |
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| 图 5 全球导航1号卫星速度误差 Fig. 5 Velocity error of global navigation satellite 1 |
| 图选项 |
采用协方差交叉融合法时需求解最优权系数ω。利用斐波那契法与黄金分割法通过取试探点使包含极小点的区间不断缩短，当区间长度小到一定程度时，区间上各点的函数值均接近极小值，即可得出极小点的近似估计值。两者区别在于斐波那契法迭代区间长度缩短率采用的是斐波那契数，且迭代次数也是给定的，这就使得斐波那契法迭代次数可远小于黄金分割法，因此计算量也大幅减小；但给定迭代次数也造成斐波那契法结束迭代时可能并未求解出近似极小值点，而黄金分割法虽然迭代计算量高，但求解精度也更高。利用2种方法求解的得到的MEO 1号卫星各个时刻的系数如图 6、图 7所示。从图中可看出，斐波那契法系数为离散式的取值，说明在给定的迭代次数下可能并未求解出极小值点；而黄金分割法系数具有连续性。表 2中的仿真结果也说明了采用黄金分割法的滤波精度高于斐波那契法。
 |
| 图 6 斐波那契法系数 Fig. 6 Fibonacci coefficient |
| 图选项 |
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| 图 7 黄金分割法系数 Fig. 7 Golden section coefficient |
| 图选项 |
表 2 多源融合方法精度对比 Table 2 Precision comparison of multi-source fusion algorithm
| 滤波结构 | 融合方法 | 位置误差/m | 速度误差/(0.01 m·s-1) | |||||||
| x | y | z | Er | vx | vy | vz | Ev | |||
| 集中式 | 集中式滤波 | 5.467 549 | 9.577 071 | 10.514 803 | 14.237 305 | 0.108 099 | 0.148 421 | 0.155 596 9 | 0.240 675 | |
| 分层式(存在异轨) | 简单凸组合法 | 6.679 416 | 8.705 221 | 9.154 606 | 14.289 937 | 0.101 462 | 0.120 860 | 0.142 344 | 0.212 517 | |
| 协方差交叉融合法(黄金分割法) | 8.109 820 | 10.348 313 | 10.741 766 | 16.977 51 | 0.116 675 | 0.146 716 | 0.165 420 | 0.250 047 | ||
| 协方差交叉融合法(斐波那契法) | 10.018 536 | 11.017 363 | 11.941 112 | 19.087 784 | 0.144 170 | 0.155 703 | 0.192 832 | 0.286 727 | ||
| 矩阵加权法 | 6.679 956 | 8.705 432 | 9.154 200 | 14.290 057 | 0.101 451 | 0.120 858 | 0.142 267 | 0.212 459 | ||
| 标量加权法 | 6.773 704 | 8.934 194 | 9.415 614 | 14.640 925 | 0.102 883 | 0.121 013 | 0.143 245 | 0.213 888 | ||
| 分层式(无异轨) | 简单凸组合法 | 8.312 577 | 11.529 023 | 11.207 713 | 18.100 557 | 0.116 279 | 0.156 434 | 0.176 578 | 0.263 006 | |
| 协方差交叉融合法(黄金分割法) | 9.591 488 | 12.674 602 | 11.871 365 | 19.838 636 | 0.130 831 | 0.173 818 | 0.189 265 | 0.288 358 | ||
| 协方差交叉融合法(斐波那契法) | 10.910 934 | 12.642 538 | 13.451 177 | 21.443 33 | 0.152 248 | 0.177 840 | 0.216 311 | 0.318 742 | ||
| 矩阵加权法 | 8.312 468 | 11.529 004 | 11.207 722 | 18.100 5 | 0.116 279 | 0.156 543 | 0.176 580 | 0.263 006 | ||
| 标量加权法 | 8.493 928 | 11.724 645 | 11.414 971 | 18.436 803 | 0.116 203 | 0.156 241 | 0.178 031 | 0.263 837 | ||
表选项
同样对MEO 1号卫星，采用标量加权计算得到各个时刻协方差矩阵标量加权系数如图 8所示。
 |
| 图 8 标量加权系数1 Fig. 8 Scalar weighting coefficient 1 |
| 图选项 |
在本质上，协方差交叉融合法和标量加权法都是采用标量系数对协方差矩阵进行融合。对比图 6~图 8可看出，协方差交叉融合法的融合系数变化范围较大，而标量加权法所得的系数只在一定区间内变化。表 2中的仿真结果显示，按标量加权的滤波精度高于协方差交叉融合法的滤波精度。因此，从精度考虑，按标量加权是更优的选择。
按表 1所述分层滤波结构，分别在有无异轨星间测距的情况下，采用不同融合方法对卫星状态进行融合，并与集中式滤波结构的定轨精度进行对比。其中，集中式滤波采用Walker 24/3/2构型中的24颗MEO卫星和拉格朗日卫星中L1，L2点的两颗南族Halo卫星，通过将整个星座组合为一个滤波器，采用扩展卡尔曼滤波集中处理所有量测信息，以实现对所有卫星的状态估计。得到的全球导航1号卫星位置和速度各项误差的统计结果列在表 2中，表中
由滤波结果分析可知，包含异轨信息的各种融合方法的滤波精度都较无异轨时有所提升，说明方差放大技术能够有效减弱滤波器之间相关性带来的影响，并且异轨的引入增加了轨道面外的未知约束信息，由此提高了滤波精度。在含异轨信息的分层结构中采用简单凸组合法、矩阵加权法和标量加权法3种方法融合得到的滤波精最高，且滤波精度大致相似，与集中式滤波精度相当。其中，矩阵加权法精度比标量加权法略高，但计算复杂度也相对更高。协方差交叉融合法虽然提高了系统的鲁棒性，但是由于卫星系统的复杂性，采用黄金分割法和斐波那契法并不能确保找到满足极小化指标的最优系数，因此滤波精度也只能保证不低于最低精度，从仿真结果也可看出，协方差交叉融合法滤波精度相对其他3种方法较低。
4 结论 本文针对卫星自主定轨系统，采用多种融合方法实现融合估计，实验结果表明：
1) 设计的分层式滤波结构，在采用合适的融合方法时具有较高的融合精度，与集中式滤波精度相当，能够满足系统应用的需求。
2) 在利用方差放大法消除状态相关性的影响后，线性最小方差意义下的矩阵加权法退化为简单凸组合法，2种方法的精度几乎相同。
3) 在线性最小方差意义下，矩阵加权法精度略高于标量加权法，但计算复杂度更高耗时更长；在实际系统中，按标量加权更能满足系统对实时性的要求。
4) 本文采用的简化的卫星定轨模型，若是能够建立更精确的卫星运动模型，对状态相关性做较好的估计，则在线性最小方差意义下的3种方法能够按相关性已知的情况进行融合获得更好的滤波精度。
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