本文针对FDA对比幅法单脉冲测向的角度欺骗展开研究，首先建立起FDA模型，在此基础上推导出FDA雷达的半功率波束宽度。之后以张角90°的相邻天线比幅单脉冲测向系统为例，仿真分析FDA干扰机对比幅法无源测向系统的角度欺骗效果及误差影响。
1 数据模型 1.1 FDA结构 图 1所示为FDA的基本结构[1]。
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| 图 1 FDA基本结构[1] Fig. 1 Configuration of FDA [1] |
| 图选项 |
设载波频率为f0，阵元n的辐射信号频率为
 | (1) |
式中：Δf为阵元之间的频偏增量；N为阵元数目。
窄带条件下，阵元n的发射信号表示为
 | (2) |
阵元n发射的信号到达远场观测点(R, θ)的信号表达式为
 | (3) |
式中：rn=R-ndsin θ，R为参考阵元到远场观测点的距离，θ为远场观测点相对于参考阵元的角度，d为阵元间距；c为光速。一般地，阵元n与阵元n-1发射的信号传播到远场观测点(R, θ)时所形成的相位差为
 | (4) |
当Δf=0时，
远场观测点(R, θ)处的电场强度的总和为
 | (5) |
取γ=Δft+f0dsin θ/c-ΔfR/c，由于f0?N·Δf，式(5)可化简为
 | (6) |
取阵列因子AF(t, R, θ)为
 | (7) |
取相位方向图为
 | (8) |
1.2 FDA半功率波束宽度 在雷达参数中，波束宽度会对方向图增益的大小产生直接影响，进而影响阵列的扫描范围、阵列孔径等参数的限制条件。当波束指向阵列法线方向时，与相控阵波束宽度仅与阵元数目、阵列孔径及波长相关不同，FDA的波束宽度还与频偏、时间及目标距离有关。由式(7)得FDA归一化的方向性函数为
 | (9) |
一般情况下，波束很窄，| θ |较小，则式(9)可简化为
 | (10) |
式(10)为sinc函数，当sin x/x=0.707时，x=±0.443π，由此可求出当目标位于(R, θ)位置时，FDA的半功率波束宽度为
 | (11) |
式中：λ为波长。
当Δf=0时，式(11)等效为相控阵的半功率波束宽度。由式(11)可知，FDA的波束宽度主要与扫描角、频偏以及距离差有关。
2 FDA干扰机对测向的角度欺骗 雷达电子战中，FDA干扰机在掩护作战飞机突防的过程中，其辐射信号不可避免地会被敌方探测雷达所捕获。相邻天线比幅单脉冲测向技术是雷达无源测向的重要手段，本节在文献[12]对FDA角度欺骗可行性分析的基础上，研究FDA对振幅法测向系统的角度欺骗效果及误差影响。
2.1 相邻天线比幅单脉冲测向角度欺骗 图 2所示为2个轴向正交天线的振幅方向图[14-15]。
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| 图 2 相邻天线的振幅方向图[14] Fig. 2 Amplitude pattern of adjacent antennas[14] |
| 图选项 |
图 2中相邻天线的张角θs=90°，假设2个天线的方向性函数F(θ)完全相同，且满足对称性。则当FDA干扰机位于两天线之间，且偏离两天线等信号轴方向的角度为
 | (12) |
 | (13) |
式中：Qk为天线k相应接收通道的振幅响应；U(t)为雷达信号的振幅调制函数。
天线1、2相减后的功率比值Δ为
 | (14) |
假设F(θ)满足单调性条件：
 | (15) |
则Δ与
采用比幅法测向的系统中通常采用宽带螺旋天线，可以用高斯函数近似表示其方向图F(θ)，即
 | (16) |
式中：K为比例常数。又有
 | (17) |
为简化计算，假设两天线通道增益平衡，即Q1=Q2，则相邻天线比幅单脉冲测向波达方向估计为
 | (18) |
假设相邻天线比幅单脉冲测向系统与FDA干扰机位于同一X-Y平面内，以测向系统位置为坐标原点建立坐标系，其位置关系如图 3所示。
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| 图 3 FDA干扰机与测向系统的位置关系 Fig. 3 Relationship of position between FDA jammer and direction finding system |
| 图选项 |
图 3中假设FDA干扰机位于空间中(RF, θF)的位置，RF为FDA干扰机真实位置到测向系统的距离。由几何关系可知，测向系统测得的干扰机真实方向偏离两天线等信号轴的夹角φF，与FDA干扰机的空间角度位置θF满足如下关系：
 | (19) |
由式(11)可知测向系统接收到的FDA干扰机的信号半功率波束宽度为
 | (20) |
将式(20)代入式(18)，即可得对FDA干扰机的相邻天线比幅单脉冲测向波达方向估计值φF为
 | (21) |
由式(21)可知，对FDA干扰机的测向估计值除了与天线张角θs和功率比值Δ相关之外，还与阵元数目、信号波长、干扰机位置以及阵元间的频偏增量Δf有关。
由式(19)及式(21)可得测向系统计算得出的FDA干扰机空间角度
 | (22) |
测向系统的估计值与真实值的差值Δθ为
 | (23) |
假设测向系统同时测得辐射源距天线系统的距离R，则根据余弦定理可计算出FDA干扰机真实位置与虚拟位置的欧氏距离D为
 | (24) |
2.2 误差分析 对式(18)中的θ0.5、θs和Δ求全微分，可得相邻天线比幅单脉冲测向的系统误差dφ为[13]
 | (25) |
由式(25)可知，半功率波束宽度θ0.5越小，对应的测向曲线的斜率越大、灵敏度越高，对系统误差的影响越小；而Δ越小，信号越靠近相邻波束的等信号方向，系统误差也会越小。另外，半功率波束宽度的变化dθ0.5、天线张角的变化dθs以及功率比值的变化dΔ都可能引起测角误差。
式(18)对θ0.5、θs、Δ分别求导可得
 | (26) |
 | (27) |
 | (28) |
由式(26)~式(28)可知，由半功率波束宽度变化所引起的夹角φ的变化量，正比于由φ与半功率波束宽度之比修正后的半功率波束宽度变化量2φ/θ0.5；由张角变化引起的φ的变化量，正比于由到达角与张角之比修正后的张角变化量2φ/θ0.5；通道失衡引起的误差与半功率波束宽度和天线张角两者都有关系。
此外，测角系统的内部噪声也会引起随机误差。相邻天线的接收通道的内部噪声是不相干的，不能互相抵消，这将引起通道失衡，造成测角误差。不相关热噪声引起的测向误差可近似为
 | (29) |
式中：SNR为信噪比。
3 仿真验证 仿真1 ??功率比值Δ，FDA阵元数目N，频偏增量Δf对测向差值Δθ的影响。
本例中取f0=1GHz，d=0.15m，t=0s，θF=30°。仿真分析FDA阵元总数N，频偏增量Δf，功率比值Δ对相邻天线比幅单脉冲测向系统的角度欺骗效果。取Δf=3kHz，得到图 4；取Δf=5kHz，得到图 5。表 1为计算得出的R=20km时，FDA干扰机真实位置与虚拟位置的欧氏距离D。
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| 图 4 Δ对Δθ的影响(Δf=3kHz) Fig. 4 Impact of Δ on Δθ (Δf=3kHz) |
| 图选项 |
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| 图 5 Δ对Δθ的影响(Δf=5kHz) Fig. 5 Impact of Δ on Δθ (Δf=5kHz) |
| 图选项 |
表 1 不同功率比值、FDA阵元数目、频偏增量取值下的D值 Table 1 Value of D under different power ratios, numbers of FDA array element and frequency deviation increment
| N | Δ/dB | D/km | ||
| Δf=1kHz | Δf=3kHz | Δf=5kHz | ||
| 2 | 1 | 3.35 | 1.21 | 1.73 |
| 3 | 0.41 | 6.79 | 15.26 | |
| 5 | 4.16 | 14.53 | 26.97 | |
| 5 | 1 | 4.68 | 3.35 | 1.21 |
| 3 | 3.59 | 0.42 | 6.81 | |
| 5 | 2.51 | 4.18 | 14.55 | |
| 10 | 1 | 4.94 | 3.88 | 2.01 |
| 3 | 4.39 | 1.19 | 4.43 | |
| 5 | 3.84 | 1.51 | 10.75 | |
表选项
由表 1、图 4和图 5综合比较可以得出，在一定范围内，频偏增量Δf越大，阵元数目N越多，功率比值Δ越大，均越有利于实现FDA干扰机对相邻天线比幅单脉冲测向系统的角度欺骗。且随着FDA干扰机距离的增加，角度欺骗效果越好，即远场条件下FDA干扰机具有较好的角度欺骗效果。
仿真2 ??目标空间位置对测向差值Δθ的影响。
本例中取f0=1GHz，d=0.15m，t=0s，RF=20km，Δf=3kHz，N=10。图 6所示为FDA干扰机的空间角度位置θF对相邻天线比幅单脉冲测向系统的角度欺骗效果。表 2为θF取值变化时，FDA干扰机真实位置与虚拟位置的欧氏距离D。
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| 图 6 θF对Δθ的影响(Δf=3kHz，N=10) Fig. 6 Impact of θF on Δθ (Δf=3kHz, N=10) |
| 图选项 |
表 2 不同功率比值、θF取值下的D值 Table 2 Value of D under different power ratios and different values of θF
| Δ/dB | D/km | |||
| θF=0° | θF=10° | θF=20° | θF=30° | |
| 1 | 14.37 | 11.03 | 7.53 | 3.88 |
| 3 | 12.46 | 9.01 | 5.27 | 1.19 |
| 5 | 10.52 | 6.96 | 2.99 | 1.51 |
表选项
由图 6可知，当其他参数取值固定时，随着θF取值的增加，相邻天线比幅单脉冲测向系统测得的FDA干扰机空间角度
仿真3??FDA阵元间距对测向差值Δθ的影响。
本例中取f0=1GHz，t=0s，RF=20km，θF=30°，Δf=3kHz，N=10。图 7所示为FDA阵元间距d对相邻天线比幅单脉冲测向系统的角度欺骗效果。表 3为d取值变化时，FDA干扰机真实位置与虚拟位置的欧氏距离D。
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| 图 7 d对Δθ的影响(Δf=3kHz，N=10) Fig. 7 Impact of d on Δθ (Δf=3kHz, N=10) |
| 图选项 |
表 3 不同功率比值、阵元间距取值下的D值 Table 3 Value of D under different power ratios and different distances between array elements
| Δ/dB | D/km | |||||
| d=0.10m | d=0.11m | d=0.12m | d=0.13m | d=0.14m | d=0.15m | |
| 1 | 2.20 | 2.72 | 3.12 | 3.43 | 3.68 | 3.88 |
| 3 | 3.87 | 2.29 | 1.09 | 0.15 | 0.59 | 1.19 |
| 5 | 9.84 | 7.27 | 5.29 | 3.74 | 2.51 | 1.51 |
表选项
由图 7可知，当其他参数取值固定时，随着阵元间距d的增加，相邻天线比幅单脉冲测向系统测得的FDA干扰机空间角度
仿真4 ?? FDA载波频率对测向差值Δθ的影响。
本例中取d=0.15m，t=0s，RF=20km，θF=30°，Δf=3kHz，N=10。图 8所示为FDA载波频率f0对相邻天线比幅单脉冲测向系统的角度欺骗效果。表 4为f0取值变化时，FDA干扰机真实位置与虚拟位置的欧氏距离D。
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| 图 8 f0对Δθ的影响(Δf=3kHz，N=10) Fig. 8 Impact of f0 on Δθ (Δf=3kHz, N=10) |
| 图选项 |
表 4 不同功率比值、载波频率取值下的D值 Table 4 Value of D under different power ratios and different carrier frequency
| Δ/dB | D/km | |||||
| f0=1GHz | f0=2GHz | f0=3GHz | f0=4GHz | f0=5GHz | f0=6GHz | |
| 1 | 3.88 | 4.89 | 5.07 | 5.14 | 5.17 | 5.18 |
| 3 | 1.19 | 4.22 | 4.77 | 4.97 | 5.06 | 5.11 |
| 5 | 1.51 | 3.54 | 4.48 | 4.80 | 4.95 | 5.04 |
表选项
由图 8可知，当其他参数取值固定时，随着载波频率f0的增加，相邻天线比幅单脉冲测向系统测得的辐射源角度
仿真5??时间t对测向差值Δθ的影响。
本例中取f0=1GHz，d=0.15m，RF=20km，θF=30°，Δf=3kHz，N=10。图 9所示为时间t对相邻天线比幅单脉冲测向系统的角度欺骗效果。表 5为t取值变化时，FDA干扰机真实位置与虚拟位置的欧氏距离D。
 |
| 图 9 t对Δθ的影响(Δf=3kHz，N=10) Fig. 9 Impact of t on Δθ (Δf=3kHz, N=10) |
| 图选项 |
表 5 不同时间取值下的D值 Table 5 Value of D under different time
| Δ/dB | D/km | ||||
| t=0s | t=0.1s | t=0.2s | t=0.3s | t=0.4s | |
| 1 | 3.88 | 3.72 | 3.68 | 3.63 | 3.58 |
| 3 | 1.19 | 1.10 | 1.02 | 0.83 | 0.65 |
| 5 | 1.51 | 1.43 | 1.24 | 1.12 | 0.91 |
表选项
由图 9可知，当其他参数取值固定时，随着时间t的增加，相邻天线比幅单脉冲测向系统测得的FDA干扰机空间角度
仿真6 ??测向系统误差分析。
本例中取f0=1GHz，t=0s，Δf=3kHz，N=10。相邻天线阵元的夹角为θs=90°，FDA干扰机载波频率为1GHz，半功率波束宽度随工作频率的变化引起的波束宽度dθ0.5误差为4.0°，天线张角的变化dθs为-2.5°。由式(26)和式(27)可得，半功率波束宽度变化dθ0.5和天线张角的变化dθs所引起的两种误差仿真如图 10和图 11所示。图 12所示为根据式(28)计算的通道失衡引起的测向误差。当Δ=1dB时，由式(29)可得，图 13所示为不同信噪比引起的比幅测向系统的随机误差。
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| 图 10 半功率波束宽度变化引起的测向误差 Fig. 10 Direction finding error caused by half-power beamwidth variation |
| 图选项 |
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| 图 11 天线张角变化引起的测向误差 Fig. 11 Direction finding error caused by antenna angle variation |
| 图选项 |
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| 图 12 通道失衡引起的测向误差 Fig. 12 Direction finding error caused by channel imbalance variation |
| 图选项 |
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| 图 13 不同信噪比引起的系统测向随机误差 Fig. 13 Random error of system direction finding caused by SNR variation |
| 图选项 |
由图 10~图 12综合分析可知，波束宽度变化、天线张角变化以及通道失衡引起的系统测向误差随着干扰机距离RF的增加而增大，随着功率比值Δ的增大而增大。由图 13可知，系统测向随机误差随着SNR的增大而减小，随着干扰机距离RF的增加而增大。综上可知，远场条件下，测向系统对FDA干扰机角度信息的测量过程中存在着较大的系统误差和随机误差。
4 结论 本文基于FDA干扰机结构，提出了一种针对比幅法无源单脉冲测向系统的角度欺骗方法：
1) 建立了FDA模型，并在此基础上推导了FDA的半功率波束宽度。
2) 将FDA雷达的3 dB波束宽度代入测向系统，仿真分析了基于FDA干扰机对比幅法测向系统的角度欺骗效果及误差影响。得到一定范围内，载波频率f0、频偏增量Δf、FDA阵元数目N、FDA阵元间距d、目标距离RF、功率比值Δ对比幅法单脉冲测向系统角度欺骗的影响。
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