关于物面距离的计算方法有很多。徐汝锋[11]、陈丽萍[12]等分别在已知曲面方程的情况下提高了点到曲面距离的计算效率。然而，对于计算流体力学中离散的物面，该类方法很难适用。实际上，最短物面距离的确定可归结为这样一个过程：针对流场内的单元，搜索出距离该单元最近的物面单元。最直接的做法便是依次计算比较每个物面单元中心到该单元中心的距离，即枚举法。这种算法虽然准确，但效率低下。为此，多种高效的数据结构被用来加快物面距离的计算过程，如Boger[13]采用的交替方向数字树(Alternative Digital Tree，ADT)、郭中州等[14]采用的k-d树等。Tucker[15]、徐晶磊[16]等基于求解偏微分方程的计算方法效率也较高，但偏微分方程的迭代求解过程需要单独编制程序，带来额外的工作量。王刚等[17]通过将最近物面单元的搜索限制在相邻的几个单元内显著提高了物面距离的计算效率。由于鲁棒性高和便于并行计算等特点，高效的二叉树数据结构算法(ADT、k-d树等)应用最为广泛。
近年来，隐式挖洞已被成功应用于多体相对运动[18]、高超声速边界层转捩[19]、旋翼翼型[20]、桨-涡干扰[21]等研究。Lohner等[22]、Luo[23]在Nakahashi方法的基础上，将网格的尺度与物面距的乘积量作为网格类别的判断标准，提高了插值稳定性。Landmann[24]、Xu[25]等分别通过几种不同方法提高了隐式装配的鲁棒性，其中，Xu等[25]更是成功地将该方法应用于飞行器的抖振研究。田书玲[26]提出了一种基于阵面的相邻单元搜索法，提高了隐式装配效率。然而，目前不同的隐式装配策略一般都需要搜索所有网格的贡献单元及各子网格到自身物面的最短距离，再通过贡献单元到自身物面的距离信息插值得到当前单元到其他物面的最短距离。实际上，该过程中存在着大量不必要的贡献单元的搜索过程，可通过一系列方法进行优化。
另外，由于洞边界处插值单元的流场参数由贡献单元插值而来，因此在物面距离的计算之后，往往需要进行贡献单元的搜索过程。作为隐式挖洞的主要组成部分，贡献单元的搜索占据了大部分时间。为提高贡献单元的搜索效率，ADT[27]、k-d树[28]、模板跳跃法[29]、相邻单元搜索法[30]、哈希映射[31]等方法接连被提出。而本文则提出了一种基于笛卡儿网格映射的局部贡献单元搜索法，有助于加快贡献单元的搜索过程。
本文先介绍了传统隐式挖洞方法，指出其中可优化之处，随后阐述了一种更高效的隐式装配策略。最后将本文策略应用于亚声速30P30N三段式机翼、超声速Titan Ⅳ运载火箭和超声速机翼挂载分离三个典型流动的计算。
1 隐式挖洞 隐式挖洞是一种基于单元品质的隐式重叠网格装配策略。该策略不需要显式地挖去物面内部网格，仅需在搜索贡献单元的同时通过比较单元的品质来实现挖洞。此处的单元品质一般包括物面距离、单元体积及二者的乘积等。相较于显式挖洞，隐式挖洞具有自动化程度高、装配效果好等特点，应用广泛。若将单元到自身物面的最短物面距离作为单元品质，一般的隐式装配策略可简述如下：①计算各子网格到自身物面的最短物面距离；②针对所有网格，搜索贡献单元；③比较所有网格单元到自身物面和其贡献单元所对应物面的最短物面距离，若前者大于后者，则为非活动单元，不参与流场计算，反之则为活动单元，参与流场计算。
图 1为隐式挖洞过程示意图，由A和B两套子网格组成。对于A中单元I，其到自身物面的最短物面距离记为dIA，到B中物面的最短物面距离为dIB。由于dIA>dIB，所以单元I为非活动单元，将不会参与流场的计算。同样道理，对于B中单元J，由于其到自身物面的最短物面距离dJB大于到A中物面的最短物面距离dJA，所以将J也记为非活动单元。对所有单元进行如上处理之后，便可得到如图 2所示的洞边界。
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| 图 1 隐式挖洞 Fig. 1 Implicit holecutting |
| 图选项 |
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| 图 2 洞边界 Fig. 2 Hole boundary |
| 图选项 |
2 隐式装配策略的改进 2.1 改进思路 在传统装配策略中，物面距离的计算通常是指某一网格中所有单元到自身物面的最短物面距离。在计算某一子网格的物面距离之后，通过其贡献单元的物面距离信息插值得到单元到其他物面的最短物面距离。在该过程中，需要计算所有子网格的物面距离信息及所有单元的贡献单元信息。然而，如果从整体网格装配的角度来考量，针对所有网格进行贡献单元的搜索不是必须的。实际上，对于同一个子网格，可以先同时求解其到所有物面的最短物面距离，而非仅仅到其自身物面的最短物面距离，便可直接通过比较同一单元到不同物面的最短物面距离信息来生成洞边界，最后仅仅针对插值单元进行贡献单元的搜索操作。
与传统策略相比，本文策略在本质上是用单元到不同物面的最短物面距离的计算代替了绝大部分的贡献单元搜索过程。以高效的二叉树数据结构(ADT、k-d树)进行贡献单元搜索和物面距离计算为例：若网格A中有M个单元，网格B有N个单元，其中网格B的物面单元数为n，那么使用ADT方法在网格B中搜索所有网格A中单元的贡献单元的时间复杂度为O(Mlog2N)。而计算所有网格A中单元到网格B中物面的最短物面距离的时间复杂度为O(Mlog2n)。对于复杂三维网格来说，N一般远大于n。因此，上述改进后的策略有助于提高网格装配效率。
2.2 网格装配 二叉树数据结构(如ADT、k-d树等)以高效的查询效率而被广泛应用于物面距离的计算。本文采用k-d树方法进行计算, 网格到自身物面的物面距离的具体实现过程可参照文献[14]，此处不再赘述。下面主要阐述本文改进策略的不同之处，具体过程如下：
步骤1??初始化所有网格单元的物面距离为-1。
步骤2??循环所有网格，针对每一个子网格的所有壁面单元建立一个k-d树。
步骤3??循环所有网格，针对每个子网格单元，依次在不同壁面所对应的k-d树中搜索最近的壁面单元。
步骤4??构建一个从该单元到该壁面单元中心的向量，计算该向量与该壁面单元法向量的乘积。
步骤5??若上述向量的乘积非负，则计算单元到最近壁面单元中心的距离。
步骤6??依次比较该单元到自身物面的物面距离和到其他不同物面的物面距离，若前者大于后者则标记为非活动单元，不参与流场计算。
步骤7??循环结束，将与活动单元相邻的非活动单元标记为插值单元。
步骤5中，向量的乘积非负是为了判断单元是否在物面内部。由于物面单元的法向指向物面内部(人为指定)，则物面内部的单元所对应的该向量乘积应为负数，而真正需要计算物面距离的单元所对应的该向量乘积应为非负数，示意图如图 3所示。
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| 图 3 判断单元是否位于物面内部 Fig. 3 Determine whether a cell is inside wall surface |
| 图选项 |
对于图 3中物面内部单元i，其到最近物面单元的向量为di，该物面单元的法向量如图 3中ni所示，显然向量di与ni的乘积为负。与之相反，对于物面外部单元j，其到最近物面单元的向量为dj，该物面单元的法向量如图 3中dj所示, 显然向量dj与nj的乘积非负。
如图 4所示，重叠网格系统由5个圆形子网格和1个背景网格组成。图 5为使用上述物面距离计算方法后网格系统到不同物面的距离云图。可以看出，等高线以网格1和网格4的物面为中心向外辐射，分布合理，计算正确。通过对不同物面距离进行比较，生成最终洞边界，如图 6所示。可以看出，洞边界整齐合理，位于不同物面的中间位置，从而说明了本文方法的有效性。
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| 图 4 重叠网格系统 Fig. 4 Overlapping grid system |
| 图选项 |
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| 图 5 重叠网格系统的物面距离云图 Fig. 5 Wall surface distance contour of overlapping grid system |
| 图选项 |
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| 图 6 挖洞后网格 Fig. 6 Grids after hole cutting |
| 图选项 |
2.3 基于笛卡儿网格映射的局部贡献单元搜索 插值单元主要负责不同子网格之间流场信息的传递，因此其贡献单元的搜索是必须的。本文提出了一种基于笛卡儿网格映射的局部贡献单元搜索法。若在网格B中搜索网格A中插值单元的贡献单元，则将网格B记为目标网格，网格A记为源网格。算法的具体过程可表述如下：
步骤1??对于源网格中的所有插值单元，找出到目标网格物面的最小距离(根据此距离限制搜索区域)。
步骤2??根据目标网格的坐标范围形成包围盒，以目标网格单元的平均尺度作为分辨率生成笛卡儿网格。
步骤3??对于目标网格内的每个单元，若其物面距离不小于步骤1中最小物面距离，则计算出与之相交的笛卡儿网格单元编号，且对于每一个相交的笛卡儿网格单元，关联该目标网格单元。
步骤4??根据源网格插值单元的形心坐标按式(1)计算出所在的笛卡儿单元编号，依次检索该笛卡儿单元所关联的目标网格单元，若形心点位于某个目标网格单元中，则其为贡献单元。
对于任一点P(X, Y, Z)，其对应笛卡儿网格单元编号可由式(1)计算得到：
 | (1) |
式中：Nx、Ny、Nz分别为点P在X、Y、Z 3个方向上的编号；INT()表示取整运算；X0、Y0、Z0为笛卡儿网格起点坐标；ΔX、ΔY、ΔZ分别为笛卡儿网格在X、Y、Z 3个方向上的分辨率。
上述搜索算法实质上是借助于笛卡儿网格的正交性和规律性，快速地定位源网格中插值单元的位置，将贡献单元的搜索范围限制在很少的几个目标网格单元之中，从而有助于提高搜索效率。由于上述步骤1和步骤3中最小物面距离的存在，从而剔除了近物面处尺寸较小的网格，使得参与映射计算的网格尺寸较为均匀，同时每个笛卡儿单元所关联的目标单元数接近。
若源网格包含M个插值单元，目标网格包含N个单元，则使用ADT等常用二叉树进行贡献单元搜索的时间复杂度为O(Mlog2N)，而本文算法的时间复杂度为O(Ma)，a为平均每个笛卡儿单元所关联的目标网格单元数。如上所述，由于笛卡儿网格的分辨率为目标网格单元的平均尺度，则a为一个较小的常数(根据经验，a一般不大于10)，远小于目标网格单元数N(对于三维问题，N一般为105以上量级)。因此，Ma < Mlog2N，即本文所提出的基于笛卡儿网格映射的搜索算法可以提高贡献单元的搜索效率。
图 7为上述搜索算法的示意图。图中：act表示活动单元，frg表示插值单元，hole表示非活动单元。通过frg单元的最短物面距离排除了近物面处细密的网格，从而将笛卡儿网格的范围限定在frg单元的附近，使得笛卡儿网格的尺度与目标网格尺度接近。首先将frg单元映射到笛卡儿网格上，再从该笛卡儿网格所关联的目标单元中寻找贡献单元。
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| 图 7 基于笛卡儿网格映射的局部贡献单元搜索 Fig. 7 Local donor cell search based on Cartesian grid mapping |
| 图选项 |
3 算例 3.1 计算方法 本文采用有限体积法对Navier-Stokes控制方程进行离散求解，空间离散采用Roe-FDS(Flux Difference Splitting)格式、Piecewise Linear插值方法，提供二阶空间离散精度；湍流模型采用Menter SST模型；时间离散采用LUSGS(Lower-UpperSymmetric Gauss-Seidel)隐式计算方法。
3.2 30P30N三段式机翼 对经典的二维30P30N三段式机翼[32]进行了数值模拟。来流马赫数Ma=0.2，雷诺数Re=9.1×106，攻角α=4°。流场网格由4部分组成，前缘襟翼网格包含9 996个三角形单元，主翼型网格包含48 361个三角形单元，后缘缝翼网格包含25 203个三角形单元，背景网格为348 401个四边形单元。挖洞效果如图 8所示，重叠网格的洞边界清晰整洁，位于不同翼面的中间位置。图 9为该三段式机翼压力云图，可看出流场分布合理，重叠边界处等压力线过渡光滑。图 10为翼面压力系数的数值与试验结果对比，Cp为翼型表面压力系数，x为沿翼型弦向位置，c为弦长，计算结果与实验值吻合良好，说明本文改进后的装配策略准确可靠。
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| 图 8 30P30N三段式机翼重叠网格效果图 Fig. 8 Overlapping grid of 30P30N wing |
| 图选项 |
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| 图 9 30P30N翼面压力云图 Fig. 9 Pressure contour of 30P30N wing |
| 图选项 |
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| 图 10 30P30N翼面压力系数对比 Fig. 10 Comparison of pressure coefficients of 30P30N wing |
| 图选项 |
3.3 Titan Ⅳ运载火箭 为进一步验证本文策略在三维复杂流场中的适用性，对大力神Titan Ⅳ运载火箭[33]超声速外流场进行了数值仿真。计算条件为：来流马赫数Ma=1.6, 攻角α=0°，雷诺数Re=1.15×107。图 11为Titan Ⅳ运载火箭重叠网格系统，由3部分组成：1个芯级网格及2个助推器网格，共4 905 743个六面体单元。挖洞后的网格重叠效果如图 12所示，对称面流场速度分布如图 13所示。可以看出，网格重叠区域流场分布合理、光滑。图 14给出了芯级中心线压力数值结果与实验值的比较。图中：p为芯级中心线压强，pref为来流远场压强，l为沿芯级中心线位置，r为芯级半径。计算结果与实验值吻合良好。由于芯级与助推级之间存在连接机构, 导致实验的峰值点略高，且在连接机构附近数值结果与实验值之间的偏差稍大(图 14中l/r值在25~35之间的区域)。
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| 图 11 Titan Ⅳ运载火箭重叠网格系统 Fig. 11 Overlapping grid system for Titan Ⅳ launch vehicle |
| 图选项 |
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| 图 12 TitanⅣ运载火箭挖洞效果 Fig. 12 Hole cutting effect of Titan Ⅳ launch vehicle |
| 图选项 |
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| 图 13 Titan Ⅳ运载火箭对称面流场速度云图 Fig. 13 Velocity contour of symmetry plane flow of Titan Ⅳ launch vehicle |
| 图选项 |
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| 图 14 芯级中心线压力分布 Fig. 14 Pressure distribution along rocket center line |
| 图选项 |
3.4 机翼挂载分离 机翼挂载分离[34]是典型的多体分离问题。同时，机翼与挂载之间狭小的初始距离使得其在重叠网格中也属于一种狭小缝隙问题。本文对该过程进行了数值模拟，模拟高度11 600 m，对应大气压强20 657 Pa，来流马赫数Ma=1.2，攻角α=0°。重叠网格系统如图 15所示，由2部分组成：固定的机翼网格和可以运动的挂载物网格，共5 803 425个单元。图 16为网格装配后某个截面上挂载物的挖洞情况。图中：蓝色单元为挖去的hole单元，不参与流场计算；红色单元为参与计算的act单元；介于二者间的黄绿色单元为frg单元。可以看出，洞边界处于机翼和挂载物中间位置，清晰合理。
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| 图 15 机翼挂载重叠网格系统 Fig. 15 Overlapping grid system of wing store |
| 图选项 |
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| 图 16 机翼挂载分离挖洞效果 Fig. 16 Hole cutting effect of wing store separation |
| 图选项 |
计算中，总模拟时长0.6 s，时间步长取0.002 s，共300步，每一个时间步更新网格装配信息。图 17为采用本文装配策略计算得出的挂载物在0.6 s内不同时刻点的姿态。图 18展示了挂载物下落过程中的位移、速度和角速度的计算结果与实验结果(文献[34])。可以看出，二者吻合良好，说明了本文装配策略在多体分离问题及狭小缝隙问题中的适用性。
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| 图 17 挂载物下落过程 Fig. 17 Falling of store |
| 图选项 |
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| 图 18 机翼挂载分离过程计算结果与实验结果对比 Fig. 18 Comparison of calculation and experiment resultsof wing store separation process |
| 图选项 |
针对上述3种模型，分别采用本文策略、传统策略及文献[26, 35]中改进后的策略进行网格装配的耗时情况，如表 1所示。其中，机翼挂载分离模型的耗时为300个时间步所用总时间。可以看出，相较于传统策略，本文改进后的策略具有更高的效率，对应3个模型分别减少了46.47%、60.72%和67.25%的网格装配时间。与文献[26, 35]中策略相比，也具有一定优势。
表 1 不同策略的网格装配时间比较 Table 1 Grid assembly time comparison of different strategies
| 策略 | 网格装配时间/s | ||
| 30P30N三段式机翼 | Titan Ⅳ运载火箭 | 机翼挂载分离 | |
| 本文策略 | 2.88 | 28.54 | 9 072.34 |
| 文献[35]策略 | 4.03 | 40.56 | 13 670.35 |
| 文献[26]策略 | 4.55 | 51.32 | 16 405.69 |
| 传统策略 | 5.38 | 72.66 | 27 702.00 |
表选项
4 结论 本文对传统隐式挖洞过程进行了优化，提出了一种更高效的隐式装配策略；同时，发展了一种基于笛卡儿网格映射的局部贡献单元搜索法，得出以下结论：
1) 通过对传统隐式挖洞过程进行优化，避免了通过搜索贡献单元来进行物面距离插值的过程，加快了挖洞进程。
2) 不需要针对所有单元进行贡献单元搜索，大大减少了贡献单元的搜索量。
3) 笛卡儿网格具有高度的正交性和规律性，可快速定位插值单元，同时将搜索目标限制在少数几个单元内部，提高了网格装配效率。
4) 通过30P30N三段式机翼、Titan Ⅳ运载火箭和机翼挂载分离3个经典算例验证了本文策略的准确性与可靠性。相较于传统策略，本文策略分别将网格装配时间缩短了46.47%、60.72%和67.25%，相较于其他改进后的挖洞策略，也具有一定优势。
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