现代战争中，由于高新科技的融入，各种作战平台的速度、航程和机动能力得到了极大的提升，使得战场态势变化更加复杂，作战之间的信息交互加强，所需要处理的数据量也大大增加，对空战态势的快速处理能力提出了新的要求。因此，准确、迅速、及时地反应战场态势的变化，并对战场环境威胁做出评估是飞行员作出决策的前提。战场威胁的评判是根据战场态势变化以及作战意图，估计目标对我方是否构成为威胁，并确定威胁的大小。
空战威胁评估是一类多属性决策问题，对于多指标的决策问题，可采用的理论和方法有：基于统计理论的经典推理、贝叶斯推理^[1]以及证据理论^[2]；基于知识的专家系统^[3]、黑板模型^[4]等方法；基于现代发展很快的模糊集合理论^[5]、智能算法^[6]；面向对象的决策论、对策论^[7]。本文采取定性与定量相结合的方法，对于定量指标建立模型求解，对于定性指标采用二元模糊进行评价；鉴于主观赋权法主要依据决策者的专业知识以及偏好来赋权，如层次分析法(AHP)等，具有较大主观性；客观赋权是通过决策数据，建立数学模型独立求解权重，如熵权法等。主客观赋权都为考虑指标之间的内在关系，简单地认为评价指标之间是相互独立的，本文采取一种基于指标之间灰色关联度的确权方法克服了指标之间的耦合性。
理想点接近法(TOPSIS)^[8-12]和灰色关联分析法(GRA)^[13-16]都是通过计算每一个决策方案指标序列与正负理想状态序列的接近程度来进行排序决策的方法，由于TOPSIS仅仅考虑指标之间的欧氏距离，不能直接反映评价指标序列的变化态势，在进行决策分析时存在不足。GRA是一种从系统角度分析的决策方法，利用各指标间数据之间整体变化态势的相似程度来评价方案与理想状况之间的接近程度，依据评价指标的灰色关联度大小来决策。GRA能够很好地反映各方案的内部变化规律，可以弥补TOPSIS的不足。同时运用灰色关联度以及欧氏距离得到相对贴近度，依据相对贴近度确定目标威胁排序。
本文提出了一种基于GRA和TOPSIS的目标威胁评估方法。将目标威胁评估各个指标值的最大值、最小值分别作为参考序列，敌方目标的各个指标作为评价序列，定义参考序列与评价序列之间的灰色关联深度，并根据极大熵准则建立了基于灰关联深度系数的客观权重极大熵配置模型。这样充分反映了被评价对象与评价指标间重要性关联程度，同时建立评估之间灰色关联度模型，体现指标之间的关联性、耦合性，基于指标之间灰色关联度修正灰色关联深度极大熵模型确定的权重，使得指标权重更加客观可信。为了充分利用评估指标所蕴含的信息，本文同时采用TPOSIS以及GRA，得到与正负理想方案之间的相对贴近度，依据相对贴近度确定目标威胁排序。
1 空战目标威胁评估体系 影响目标威胁排序因素有很多，本文主要考虑目标的空战能力、敌我双方的速度、距离、角度以及敌机的作战意图。下面根据不同指标特点建立数学模型:
1) 空战能力因子
对于单机的空战能力，借鉴文献[17]，构建单机空战能力威胁函数：

(1)

式中：A为战机的机动能力；B为机载武器系统的攻击能力；D为机载设备探测能力；E为飞机的生存能力；F为飞机的操纵效能；G为飞机的基本飞行性能；H为飞机的电子对抗能力；w_i为空战能力因子权重，i=1, 2, …, 7, AHP由得到。
2) 角度威胁因子

(2)

式中：q^B和q^R分别为我机航向角与目标线的夹角和目标航向与目标线夹角。
3) 距离威胁因子

(3)

式中：d为我机与目标之间的距离; r_mt为敌机所携带导弹的攻击距离; r_m为我机导弹最大射程；r_r为我机雷达最大跟踪距离; r_tem=(r_r-r_mt)/(r_m-r_mt)。
4) 速度威胁因子

(4)

式中:v_b为我方载机速度；v_r为敌机速度。
5) 空战意图威胁因子

(5)

2 基于灰色关联深度系数的权重确定 对于现代空战威胁评估问题，确定评估指标的权重是其重要研究内容。为了克服灰色关联度仅能反映评估指标序列之间的相关性，本文提出了一种新的基于灰色关联深度确定指标权重的方法。充分考虑了指标之间的耦合关系以及不同的评价对象对指标权重确定的影响。
2.1 构建评估矩阵 假设多属性决策问题有m个评价方案或评价对象组成方案集G={G₁, G₂, …, G_m}，n个评价指标或者属性组成指标集T={T₁, T₂, …, T_n}，评价对象G_i对应于指标T_j的属性值为y_ij, i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n，则G对T的评价矩阵Y=[y_ij]_m×n。
2.2 指标的规范化处理 在多属性决策问题中，可以将评价指标划分为效益型、成本型和固定型3类。效益型指标即指标值与评价值成正相关，成本型指标即指标值与评价值成负相关，固定型指标即指标维持在某一个恰当的数值最好。考虑到不同评价指标的属性不同以及量纲不同，需要对评价指标的数值进行规范化处理，使得不同量纲、不同属性的指标具有相同的效益属性。下面对不同属性的评价指标数值进行规范化处理。
效益型：

(6)

成本型：

(7)

固定型：

(8)

式中：α_j为固定型指标y_ij的最佳取值。经过上述规范化处理后，可以得到规范化后的评价矩阵X=[x_ij]_m×n。
2.3 基于灰色深度极大熵确定权重 灰色系统理论中的灰色关联分析是基于参考序列与评价序列之间的关联程度，对方案的优劣进行的度量和分析。在进行灰色关联分析的同时，指标序列中各个元素属的内在联系也在一定程度上得到了体现。设X₀={x₀₁, x₀₂, …, x_0n}为参考序列，X_i={x_i1, x_i2, …, x_in}为评价序列，则灰色关联系数计算公式为

(9)

式中：ρ?[0, 1]为分辨系数。聚合各项的关联系数，得到灰色关联度为

(10)

式中：ω_j为指标的权重。

2.3.1 确定分辨系数 在大多数的灰色关联度模型中，分辨系数^[18]取值都为0.5，实际上分辨系数ρ的大小决定了两级最大差Δ_max对关联系数γ贡献的大小，其反映的是其他序列对参与比较的参考序列和比较序列的影响大小。分辨系数的取值不同，得到的关联系数的分布也不同。如果得到的关联度的区分度很小，会导致各比较序列的关联度差异很小，从而很难区分比较序列。依照文献[11]提出的分辨系数取值准则计算分辨系数，选取分辨系数的原则是尽可能使关联度的取值区分较大。

(11)

(12)

式中：Δ_v为绝对差的平均值；X_Δ为绝对差均值与绝对差最大值的比值。
则ρ的取值应该满足：
当时，ρ≤1.5X_Δ；当时，ρ>1.5X_Δ。

2.3.2 灰色关联深度系数 评价指标的灰色关联度反映的是指标序列整体态势变化和序列的相似性。并没有考虑到不同评价指标在方案之间变动的内在显著性，即从不同方案之间关于同一指标的变化，纵向维度考虑指标的内在变化。为了更加客观全面地反映评价指标之间重要性，确定不同指标的权重，因而需要对序列的变化对指标影响进行量化分析，因为提出了灰色关联深度系数的概念，它能在一定程度上考虑到指标的内在关联性以及评价指标的相对重要性。
γ_ij⁺、γ_ij^-为m个方案序列与正理想解、负理想解之间关于关于第j个指标的关联系数，令：

(13)

则q_ij⁺、q_ij^-称为基于正负理想解的灰色关联深度系数，从而可以得到m个方案的灰色关联深度系数矩阵Q⁺=[q_ij⁺]_m×n、Q^-=[q_ij^-]_m×n。

2.3.3 权重极大熵配置模型的构建和求解 在确定权重时, 可以依据各指标数据传递给决策者的信息量大小来确定其权重根据极大熵原则，基于灰色关联深度系数和序列灰色关联度，建立基于极大熵准则的权值求解模型，建模步骤如下。
步骤1??确定指标权重的变化范围。
灰色关联深度系数客观反映了不同的评价序列所表现出的内在变动规律性的显著程度。在多属性决策问题中，对所有评价方案两两做关于每一个指标的关联度分析，得出的灰色关联系数一定程度上反映了不同指标之间的关联性以及相同指标与方案之间的变化。基于上述思想，指标的权重可约束在灰色关联深度系数范围内，构建权重的变化范围:

(14)

步骤2??指标权重方差波动范围约束。
指标权重的波动范围也由灰色关联深度系数决定, 可以引入指标权重方差的约束条件如下^[1]：

(15)

(16)

(17)

式中：i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n；D⁺(j)、D^-(j)为第i个指标的正负灰色关联深度系数的方差大小，反映的是权重的变化范围。
步骤3??建立指标权值的极大熵模型。
利用步骤1和步骤2的权值变动和波动约束, 构建基于灰色关联深度系数的客观权重极大熵模型如下:

(18)

2.4 基于指标间关联度修正权重 在进行空战威胁评估时，往往会忽略评价指标之间的耦合性，导致在确定指标权重时造成误差，因而需要对两两关联度较大的指标权重进行调整。指标关联度较大，说明两个指标之间包含有相同信息，需要将重叠信息滤去。

2.4.1 指标间灰色关联度矩阵 在多属性决策问题中，评价指标之间耦合关系往往被忽略，在确定指标权重时，不可单独孤立求解单个指标的权重，需要考虑各评价指标之间的相互影响。本文利用指标之间灰色关联度体现其内在的耦合关系。
首先以第1个指标序列Z₁作为参考序列，分析其他指标序列与它的灰色关联度；依次以Z_i(i=1, 2, …, m)作为参考序列，分析指标序列之间的灰色关联度r_ij，由此可以得到一个关于指标间的灰色关联度的矩阵[r_ij]_n×n，即

(19)

采用阈值原则，若指标间的灰色关联度超过阈值，则视为关联；若指标之间的灰色关联度不超过阈值，则视为不关联。

2.4.2 阈值的确定 对于决策者来说，很难准确描述评价之间的关联关系，但对指标之间是否存在关联关系有一个大致的判断。对于决策者而言，可把属性间判断为独立的灰色关联度的值作为阈值^[19]。在分析多属性决策问题时，一般会有多对指标间可视为独立，则把所有指标之间独立的关联度的最大值作为灰色关联度的阈值ψ，即有

(20)

式中：r_ij为确定的两个相互独立指标的灰色关联度。

2.4.3 权重的修正 基于2.4.1节和2.4.2节所确定的指标间灰色关联度以及阈值，对确定的权重做如下调整：

(21)

式中：l_k(k=1, 2, …, m)表示的是专家确定的两两关联度较大的权值信息去除程度，本文采取l_k=0.5。进过上述调整后的权重为ω′=(ω′₁, ω′₂, …, ω′_n)，对进过调整后的权重进行归一化处理得ω=(ω₁, ω₂, …, ω_n)。
3 基于GRA-TOPSIS空战威胁评估流程 本文建立了基于GRA-TOPSIS空战威胁评估体系(见图 1)。分别建立灰色关联度和灰色关联深度模型确定权值的范围，建立极大熵模型求解权重，再利用指标间的灰色关联度修正权值；结合了GRA与TOPSIS的优点分别到正负理想贴近度，最终得到相对综合贴近度。

图 1 威胁评估处理流程 Fig. 1 Threat assessment process

图选项

1) 对评价指标数值进行规范化处理，得到所有方案评价指标矩阵F=(x_ij)_m×n。
2) 确定正理想方案x_j⁺和负理想方案x_j^-

(22)

(23)

式中：X⁺代表效益型指标；X^-代表成本型指标。
3) 计算评价对象到正负理想方案的灰色关联度。计算第i个方案与正理想方案和负理想方案关于第k指标的灰色关联系数分别为

(24)

(25)

式中：ρ?[0, 1]为分辨系数。加权各项(j=1, 2, …, n)的关联系数，得到第i个方案与正理想方案和负理想方案关于第j指标的灰色关联度r_i⁺、r_i^-，分别为

(26)

(27)

4) 根据欧氏距离计算公式，计算每一个方案与正负理想方案之间的距离d_i⁺、d_i^-, 并对d_i⁺、d_i^-做规范化处理。

(28)

(29)

5) 计算评价对象与正、负理想解的贴近度。分别对r_i⁺、r_i^-、d_i⁺、d_i^-进行无量纲化处理。

(30)

(31)

(32)

(33)

6) 加权计算进行无量纲化处理后的欧氏距离和灰色关联度。当D_i^-、R_i⁺的值越大，评价方案越趋近正理想解；与之相反D_i⁺、R_i^-的数值越大，评价方案越趋近负理想解。融合灰色关联度和欧氏距离可得到

(34)

(35)

式中：α和β分别反映了决策者对于位置和形状的偏爱程度，且α+β=1, α, β∈[0, 1]。
7) 加权求得综合欧氏距离和灰色关联度的相对贴近度。第i个方案的相对贴近度为

(36)

4 仿真分析 我机在空战中遭遇敌方4架3种机型(F-16C、F-15E、F-5E)的战机，敌机在我方机载火控雷达的探测跟踪范围内，我机的速度为320 m/s，导弹的最大射程为60 km，雷达的最大跟踪距离为120 km。空战态势如表 1所示。
表 1 敌机的参数信息 Table 1 Enemy aircraft parameter information

目标	机型	作战意图	qB/(°)	qR/(°)	rr/km	vr/(m·s-1)
1	F-16C	攻击	80	-45	50	300
2	F-16C	掩护	45	-45	70	325
3	F-5E	攻击	-60	80	60	320
4	F-15E	干扰	-45	15	60	330

表选项






根据式(1)~式(5)可以求得目标属性矩阵

运用TOPSIS理论，可找到数学正负理想解：

对敌机不同属性的评价指标，根据式(6)~式(8)对目标属性进行规范化处理，得到规范化矩阵：

求解正负理想解：

可根据式(11)、式(12)确定分辨系数：

故根据ρ的取值规则确定

本文中确定ρ的值为

由式(23)、式(24)可得到正负灰色关联系数矩阵：

由正负灰色关联系数矩阵，可根据式(13)得到正负灰色深度矩阵：

可根据式(14)~式(17)确定各指标权值的取值范围:

根据极大熵模型可求得指标权重为

根据灰色关联度式(9)、式(10)求得指标之间的关联度为

将指标之间的关联度体现在三维空间如图 2所示，指标1~5分别为空战能力、空战意图、角度、距离和速度。

图 2 各指标之间的关联度 Fig. 2 Correlation degree among indexes

图选项

通过咨询多位专家意见，综合专家意见，认为角度因素以及距离、速度之间不存在耦合关系，相互独立；空战能力与飞机所处态势无关。基于以上两点考虑，确立解耦合阈值ψ=0.598 0，根据式(21)，l_k均取0.5，求得修正后的指标权重:

可根据式(24)~式(27)分别确定各敌机与正理想解、负理想解之间的加权灰色关联度以及相对贴近度，如表 2所示。
表 2 灰色关联度 Table 2 Grey relational degree

敌机编号	正理想解灰色关联度	负理想解灰色关联度	相对贴近度
1	0.815 8	0.616 7	0.547 7
2	0.633 1	0.725 3	0.444 1
3	0.783 4	0.605 4	0.542 2
4	0.593 7	0.746 7	0.421 2

表选项






由表 2可以看出，融合正负理想解灰色关联度，对目标威胁值的排序更加合理。敌机2、4与负理想解的灰色关联度大于正理想解的灰色关联度，敌机1、3与正理想解的灰色关联度大于负理想解的灰色关联度，明显敌机1、3的威胁值大于2、4，最终确定敌机威胁排序为：1>3>2>4，与客观事实相符。
可根据式(28)、式(29)确定各敌机与正负理想解之间的加权欧氏距离如表 3所示。
表 3 欧氏距离 Table 3 Euclidean distance

敌机编号	正理想解欧氏距离	负理想解欧氏距离	TOPSIS方法欧氏距离
1	0.353 6	0.629 1	0.394 4
2	0.529 3	0.424 5	0.590 9
3	0.330 3	0.604 1	0.387 8
4	0.543 0	0.521 3	0.546 9

表选项






由表 3可以看出，融合正负理想解欧氏距离，对目标威胁值的排序更加合理。敌机1、3与负理想解的欧氏距离大于正理想解的欧氏距离，敌机2、4与正理想解的欧氏距离大于负理想解的欧氏距离，明显的敌机2、4威胁值大于1、3，综合正负理想解的欧氏距离目标的威胁值区分度明显，最终确定敌机威胁排序为：2>4>1>3，与客观事实相符。
根据式(30)~式(33)对正负理想解的欧氏距离和灰色关联度进行无量纲化处理，如表 4所示。
表 4 无量纲化处理及威胁排序(α=0.5, β=0.5) Table 4 Dimensionless processing and threat sorting(α=0.5, β=0.5)

敌机编号	正理想解灰色关联度	负理想解灰色关联度	正理想解欧氏距离	负理想解欧氏距离	正理想解贴近度	负理解贴近度	相对贴近度	威胁排序
1	1.000 0	0.825 9	0.651 2	1.000 0	1.000 0	0.738 6	0.574 2	2
2	0.776 0	0.971 4	0.974 7	0.674 9	0.725 5	0.973 1	0.427 1	4
3	0.960 3	0.810 8	0.608 3	0.960 3	0.960 3	0.709 6	0.575 1	1
4	0.727 7	1.000 0	1.000 0	0.828 6	0.778 2	1.000 0	0.437 6	3

表选项






本文采取了4种方法对敌机威胁进行排序，综合考虑了指标序列之间的贴近度和单个指标之间的贴近度，对于数据的规范化处理，分别采用模糊处理(TOPSIS、GRA和GRA-TOPSIS)和建立数模型方法，得到敌机威胁排序如表 5所示。
表 5 四种方法相对贴近度与威胁排序比较 Table 5 Comparison of relative nearness degree and threat sorting of four methods

敌机编号	TOPSIS			GRA			GRA-TOPSIS			数学模型
	相对贴近度	威胁排序		相对贴近度	威胁排序		相对贴近度	威胁排序		相对贴近度	威胁排序
1	0.394 4	3		0.547 7	1		0.574 2	2		0.610 7	1
2	0.590 9	1		0.444 1	3		0.427 1	4		0.593 0	2
3	0.387 8	4		0.542 2	2		0.575 1	1		0.487 1	3
4	0.546 9	2		0.421 2	4		0.437 6	3		0.452 1	4

表选项






由表 5中4种方法威胁排序结果对比(见图 3)，可以看出数学模型规范化处理后，目标威胁的区分度最大，GRA-TOPSIS综合运用了数据信息，使得威胁排序更加合理。

图 3 四种方法相对贴近度对比 Fig. 3 Comparison of relative nearness degree calculated by four methods

图选项

为了更加清晰地说明不同参数对目标威胁结果的影响，其对比结果如图 4所示。图中参数组合1、2及4分别与表 6中的第1组参数α=0.2, β=0.8、第2组参数α=0.4, β=0.6及第三组参数α=0.7, β=0.3相对应；参数组合3与表 5中的GRA-TOPSIS参数(α=0.5, β=0.5)相对应。根据决策者对于威胁评价序列贴近度和各个指标的贴近度的偏爱程度，得出不同的目标威胁的排序结果，如表 6所示。

图 4 决策者的不同偏好对比 Fig. 4 Comparison of different preferences among decision makers

图选项

表 6 α，β不同取值时目标威胁排序 Table 6 Target threat sorting at different values of α, β

敌机编号	α=0.2，β=0.8				α=0.4，β=0.6				α=0.7，β=0.3
	正理想解贴近度	负理想解贴近度	相对贴近度		正理想解贴近度	负理想解贴近度	相对贴近度		正理想解贴近度	负理想解贴近度	相对贴近度
1	1.000 0	0.825 9	0.547 7		1.000 0	0.756 0	0.569 5		1.000 0	0.703 6	0.575 2
2	0.776 0	0.971 4	0.444 1		0.735 6	0.972 7	0.430 6		0.705 2	0.973 7	0.420 2
3	0.960 3	0.810 8	0.542 2		0.960 3	0.729 8	0.568 2		0.960 3	0.669 1	0.575 1
4	0.727 7	1.000 0	0.421 2		0.768 1	1.000 0	0.434 4		0.798 4	1.000 0	0.443 9
排序	1>3>2>4				1>3>4>2				1>3>4>2

表选项






从表 6可以看出，决策者的主观偏好会对最终的威胁排序结果有影响，在实际空战中，每一位飞行员都有自己决策偏好，不能一概而论，得出一个统一的结果。
5 结论 针对以往的客观赋权法不能从逻辑视角体现指标相对评价对象的重要程度，使得评估结果与客观事实存在一定偏差的问题，以及运用GRA和TOPSIS进行目标威胁评估存在不足的问题，提出了一种基于TOPSIS-GRA目标威胁评估方法，可以得出
：1)针对将目标威胁评估问题转化成多属性决策问题，将目标的作战意图引入到评估体系中，使得评估体系更加合理，评估结果更加可性。
2)在灰色关联度理论的基础上，将灰色关联深度理论引入，结合极大熵理论，避免了人为因素对权重求解的影响。
3)考虑到评估指标之间存在内在耦合性，不满足线性加权理论要求，故提出指标之间的纵向维度的灰色关联度，避免了指标之间相关性的影响，同时也满足了线性加权理论。
4)将GRA与TOPSIS相结合，克服了TOPSIS和GRA两种方法本身的局限性，使得目标威胁相对贴近度更加准确，从而更加合理地反映目标威胁的大小。同时本文还考虑了决策者的不同主观偏好，得出不同的威胁评估结果，充分说明了决策者主观偏好对结果的影响。

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