变体飞行器是一类极具发展潜力的现代新型概念飞行器，可通过改变自身的气动外形来适应不同的飞行环境、剖面和任务，确保整个飞行过程的最优飞行效能^[1-2]。因此，相比于传统飞行器，变体飞行器具有更大的飞行包线和更好的环境适应能力^[3]，具有广阔的应用前景和重要的研究价值。但是，由于其强不确定性和复杂多变的气动特点给飞行控制系统的设计带来了巨大挑战，一直受到国内外许多****的关注^[4-6]，是当前航空航天领域的研究热点之一。
目前，针对变体飞行器快速变形过程中的飞行控制系统设计问题，主要采用鲁棒控制、自适应控制和滑模变结构等方法。为保证变体飞行器变形过程的稳定性，文献[7]设计了一种基于自适应神经网络修正的动态面控制方法，解决了控制系统输入、输出受限和反步法中存在的“指数爆炸”的问题。考虑到变体飞行器受外部干扰和不确定性影响严重，气动特性复杂的特点，文献[8]设计了一种带指令滤波的鲁棒控制器，保证了系统具有良好的跟踪性能，且跟踪轨迹光滑不存在跳变。但是，由于变体飞行器是一个复杂的非线性系统，其变形过程存在严重的外部干扰，上述文献多采用几种控制方法相结合的思想，这就导致其控制器设计过程显得异常复杂。
切换系统作为一个处理复杂系统的有效工具，可将一个复杂的非线性系统转化为若干简单子系统切换，这为解决变体飞行器控制系统设计问题提供了一条有效途径，近年来受到了国内外许多****的关注^[9-12]。文献[13-16]构造了一类切换线性变参数(LPV)模型，在真实反映变体飞行器动态特性的同时，将变体飞行器这一复杂系统转化为线性切换模型，简化了飞行控制系统的设计过程。考虑到变形过程中存在的异步切换问题，文献[15]设计了一类H_∞鲁棒控制器保证了控制器异步情况下系统的稳定性。针对变体飞行器切换过程中存在的系统状态跳变问题，文献[16]提出了一种基于平滑过度的切换控制策略，成功抑制了切换过程中的状态跳变，实现了整个变形过程的平稳光滑切换。但是以上针对变体飞行器的切换控制方法，并未考虑实际飞行中存在的强不确定性与外部干扰。
本文主要针对一类后掠角可变的变体飞行器飞行控制问题展开研究。利用切换系统理论，将变体飞行器复杂的气动模型转换为了线性切换系统，在真实反映其变形动态特性的基础上，降低了整个飞行控制系统设计的复杂程度。考虑到变形过程中存在的严重不确定性和外部干扰，提出了一种改进的鲁棒自适应更新律，克服了参数更新对模型的依赖，降低了系统不确定性和外部干扰的影响。利用变形序列已知的特点，设计了一种模型依赖平均驻留时间切换控制律，保证了系统整个切换过程的最终一致有界(Ultimate Uniformly Bounded，UUB)，并降低了方法的保守性，确保系统能够快速切换。通过仿真验证，证明了本文方法的有效性。
1 变体飞行器建模与分析 本文主要以美国NextGen航空公司设计的“火蜂”(Teledyne Ryan BQM34 “Fire-bee”)变体飞行器为研究对象，其结构如图 1所示。“火蜂”变体飞行器是一款变体飞行技术验证机，为适应各类任务需求，如亚音速或超音速飞行、侦查和战斗等，其机翼后掠角可在一定范围内连续变动^{[1, 14]}，以此来改变飞行器的气动与飞行性能，实现“巡航”、“高速”、“标准”和“机动”等多种构型。由于其在飞行过程中的外形变化会引起质心位置、转动惯量、翼展与面积等多种构型参数的变化，还会引起气动力和惯性力的非线性变化，给飞行器的控制器设计带来了巨大挑战。

图 1 变体飞行器结构[1, 14] Fig. 1 Structure of morphing aircraft[1, 14]

图选项

“火蜂”变体飞行器在变形过程中机翼后掠角λ的变化范围为15°~60°(其中15°对应“巡航”状态，60°对应“高速”状态)，且平均气动弦长、机翼面积和机翼展长等参数随机翼后掠角连续变化，重心位置可通过机身的配重自动调整，其他构型参数可参考文献[17]。根据牛顿-欧拉法，“火蜂”变体飞行器的纵向短周期非线性动力学模型为^[1]

(1)

式中：α为迎角；q为俯仰角速率；θ为航迹倾角；δ_e为升降舵偏角；H、V_T和Ma分别为高度、飞行速度和马赫数；m_T、m_w和m_a分别为总重、机翼质量和配重；S和J_f分别为机翼面积和俯仰转动惯量；x_w和x_a分别为机翼质心位置和配重质心位置；q、g、C_L、c和C_m分别为动压、重力加速度、气动力、气动弦长和气动力矩系数。在非线性动力学模型(1)基础上，定义函数f₁和f₂分别为

(2)

利用小扰动线性化方法对系统(1)进行线性化处理。选取高度H=9 144 m、马赫数Ma=0.5作为配平点，可以获得不同机翼后掠角(λ=15°, 30°，45°，60°)下的变体飞行器纵向短周期线性模型：

(3)

式中：

为描述简单，将上述系统改写为

(4)

式中：x=[α, q]^T为状态变量；u=[δ_e]为控制输入；d(t)为外部干扰，并已知其上界为。
根据切换理论，飞行器的整个变形过程，即机翼后掠角由15°变化到60°，可以被描述为一个线性切换系统：

(5)

式中：切换律σ(t)是一个分段右连续的常值函数，每个切换瞬间可在有限集Ω={1, 2, …, m}中取值，m为子系统总数；对于时间序列，当t∈(t_i, t_i+1)，σ(t_i)=p时，即第p个子系统被激活；矩阵(A_p, B_p)对应式(5)的p^th子系统的系统矩阵。
考虑到变体飞行器系统的复杂性，系统(4)在线性化处理时不可避免的忽略了一些结构参数摄动和环境不确定因素的影响。因此，该系统必然存在一定的未建模动态和外部干扰，即获得的模型(5)是一个受外部干扰的不确定线性切换系统。
现给出一些必要定义和引理。
定义1^[18]??如果存在一个正数τ_pq^*，当σ(t_i)=p，σ(t_i+1)=q时，满足，那么就称切换控制律σ(·)是满足模型依赖驻留时间(MDDT)。
注1??在上述定义中，正数τ_pq^*的选取与切换序列密切相关，即τ_pq^*的选择由此刻激活子系统p和下一时刻激活子系统q决定。
引理1^[19]??令常数 ，其中，和V是常数矩阵，则下列不等式成立：

2 问题描述 对于变体飞行器的不确定线性切换系统(5)，给出切换参考系统(5)为

(6)

式中：x_m为期望的状态变量；r为有界参考输入；A_mp和B_mp是已知矩阵，且矩阵A_mp, ?p∈Ω是Hurwitz的。为使得系统(5)能够跟踪给定的参考模型(6)，构造如下的状态反馈控制器：

其中：为参考增益矩阵，满足

(7)

由于矩阵A_p和B_p的不确定性，不能通过式(7)直接获得增加矩阵K_p^*, M_p^*。设计如下的状态依赖控制器：

(8)

其中：矩阵K_p、M_p是K_p^*、M_p^*的估计。定义跟踪误差，可以得到

(9)

其中：。
结合上述讨论，本文的主要目的是：针对存在不确定性和外部干扰的变体飞行器线性切换系统(5)，设计状态反馈控制器(8)和切换控制律σ(·)，使得变体飞行器在变形过程中能够精确跟踪参考模型并具良好抗干扰能力。
3 自适应切换控制器设计 3.1 自适应更新律设计 根据多变量自适应理论^[20]，给出如下的假设。
假设1??存在矩阵，使得矩阵M_p满足条件：

考虑到变体飞行器机翼后掠角λ在整个变形过程中不存在突变，是一个随时间连续变化的过程，整个变形的切换是已知的，即机翼后掠角的变化是事先确定的。因此对于已知的切换序列，当时，假设存在正定对称矩阵P_p和正常数θ_p满足：

(10)

利用如下的自适应更新律^[20]：

(11)

式中：q=1, …, p－1, p+1, …, m; 泄漏率κ_p满足

(12)

观察自适应更新律(11)可知：①利用泄露系数法κ_q，该控制律不需要预知参考增益矩阵K_p^*和M_p^*的不确定边界；②式(11)对于每个子系统的参数估计是连续更新的。
3.2 切换控制律设计 考虑一类满足MDDT的策略的切换序列，即当t∈[t_i, t_i+1)时，有σ(t_i)=p，σ(t_i+1)=q。首先，定义。
根据定义1可知，上述切换序列应满足MDDT：

(13)

式中：，且ξ∈(0, 1)是一个正常数。
注2??考虑到变体飞行器变形过程的实际情况，假设整个切换变形过程是提前已知的。
3.3 系统稳定性分析 本文针对带外部干扰的不确定线性切换系统(5)，利用自适应更新律(11)和切换控制序列(13)，提出了一种新的鲁棒稳定性判据。在切换序列已知的情况下，结合文献[10]，给出如下定理。
定理1??对于存在外部干扰的不确定线性切换系统(5)，当其状态反馈控制器(8)满足自适应更新律(11)，且切换序列σ(·)满足MMDT时，该系统是最终一致有界的，且跟踪误差满足:

(14)

式中：c₁和c₂为2个正常数；d为干扰的上界。且跟踪误差也是有界的，其边界b满足：

(15)

证明??首先，构造Lyapunov函数。

(16)

考虑到切换序列已知，切换律为=p且σ(t_i+1)=q，在切换瞬间t_i+1有

由式(9)和式(11)可知，系统跟踪误差e(·)和参数估计误差和，是连续的。故

由于

可得，即因此，在切换瞬间t_i+1处，Lyapunov函数V(t)满足

(17)

考虑到，则有

(18)

(19)

因为，其中H_p非奇异矩阵。结合引理1，式(18)可以被重写为式(19)。又由可得，。因此，不等式(19)被改写为

(20)

定义正数b为

式中：

当t∈[t_i, t_i+1)，存在以下2种情况：V(t)≥b，此时易得，即V(t)是按指数减小的；V(t) < b，此时V(t)有可能增加。
下面讨论初始时刻V(t₀)≥b和V(t₀) < b两种情况。
情况1??假设当t∈[t₀, t₀+T₁)时，有V(t₀)≥b，其中T₁为Lyapunov函数到达边界b的时刻。设N₁为在[t₀, t₀+T₁)内所有子系统被激活的总次数，N_1p为在[t₀, t₀+T₁)内子系统p^th被激活的次数。由式(17)和(20)可知，当t∈[t₀, t₀+T₁)时，可得

(21)

由可知，当t∈[t₀, t₀+T₁)，V(t) < V(t₀)，且V(t₀+T) < b，即在下一个切换时刻，有，所以，V(t)在时刻之可能超出边界b。同样地，假设时，有V(t₀)≥b，令N₂表示在内所有子系统被激活的总次数。用替换式(21)中的Lyapunov函数V(t)，同样可得当t∈ 时，有。同时，可得到在下一切换时刻，有。因此，可知当t∈[t₀+T₁, ∞)时，有。此式表明，对于满足MDDT条件的切换控制律，当V(t)一旦进入区间[0，b]，就不会再超出边界。综上所述，利用自适应更新律和切换控制律，带存在外部干扰的不确定线性切换系统在状态反馈控制器作用下是一致最终有界的。
情况2??(V(t₀) < b)：利用同样的方法可以得到上述结论。??证毕
4 仿真验证 根据定理1，设计并验证“火蜂”变体飞行器的控制器。考虑“火蜂”变体飞行器不同机翼后掠角(15°, 30°，45°，60°)对应的纵向短周期线性模型。
首先，利用LQR状态反馈控制器设计每个子系统的参考模型，其中Q=diag(0.5, 0.5)，R=2，因此，可以得到参考子系统的状态反馈增益矩阵, 有


同时，令，参考模型为

其次，设计鲁棒自适应更新律。令θ₁=1.8，θ₂=1，θ₃=0.5，θ₄=0.05，解不等式(10)，可得到正定对称矩阵，有

考虑“火蜂”变体飞行器的整个变形过程，其切换序列如图 2所示，由图 2可知，该切换序列包含了变体飞行器由“巡航状态”(λ=15°)到“高速状态”(λ=60°)的整个过程，即能够完整的反映机翼后掠角由“小”变“大”的完整过程。

图 2 变体飞行器切换律 Fig. 2 Switching law of morphing aircraft

图选项

根据定理1，自适应切换控制器的主要参数选取如表 1所示。系统初始状态，，外部干扰d(t)是一个满足高斯分布，均值为零，方差为0.2的随机信号。利用同样的变体飞行器模型参数，根据文献[16]方法，设计相应的鲁棒控制器，可得子系统的控制增益矩阵如下所示:
表 1 自适应切换控制器主要参数 Table 1 Main parameters of adaptive switching controller

主要参数	1th子系统	2th子系统	3th子系统	4th子系统

表选项







进行仿真验证，变体飞行器迎角α和俯仰角速率q的时间响应曲线如图 3所示。观察可知，在变体飞行器的整个切换变形过程中，2种方法都能够保证飞行器的迎角α和俯仰角速率q快速有效的跟踪参考模型，且在外部干扰的情况下能够保持系统稳定，但是对比发现，本文方法具有更好的抗干扰能力。图 4为系统状态跟踪误差的时间响应曲。由图可知：跟踪误差e(t)能够在有效时间内快速收敛，实现系统对参考模型的有效跟踪，在存在外部干扰的情况下，跟踪误差仍能够保持良好收敛性，且在整个变体飞行器变形过程中，本文方法具有良好的抗干扰能力，系统状态的跟踪误差明显小于文献[16]方法。通过上述仿真对比验证可知，利用上文设计的鲁棒自适应切换控制器，在保证变体飞行器在整个切换过程精确稳定跟踪参考模型的同时，具有较好的抗干扰能力。

图 3 迎角和俯仰角速率时间响应曲线 Fig. 3 Time response curves of angle of attack and pitch rate

图选项

图 4 系统状态跟踪误差 Fig. 4 System state tracking error

图选项

5 结论 本文针对一类机翼后掠角可变的变体飞行器控制系统设计问题进行了研究。
1) 将变体飞行器的变形过程建模为一类不确定线性切换系统，降低了系统的复杂性，简化了飞行控制系统的设计过程。
2) 设计了一种改进的自适应更新律，消除了系统外部干扰和各类不确定性影响，保证了系统跟踪误差收敛。
3) 考虑到变体飞行器的变形序列提前已知的特点，设计了一种改进的MDDT的切换方法，允许更为快速的切换，降低了本文方法的保守性。
4) 仿真结果证明了所设计的鲁棒自适应切换控制器能够保证变体飞行器在切换过程中精确跟踪参考模型，并具有良好的抗干扰能力。

参考文献

[1]	YUE T, ZHANG X Y, WANG L X, et al. Flight dynamic modeling and control for a telescopic wing morphing aircraft via asymmetric wing morphing[J]. Aerospace Science & Technology, 2017, 70: 328-338.
[2]	JIANG W L, DONG C Y, WANG Q. A systematic method of smooth switching LPV controllers design for a morphing aircraft[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2015, 28(6): 1640-1649. DOI:10.1016/j.cja.2015.10.005
[3]	殷明, 陆宇平, 何真. 变体飞行器LPV建模与鲁棒增益调度控制[J]. 南京航空航天大学学报, 2013, 45(2): 202-208. YIN M, LU Y P, HE Z. LPV Modeling and robust gain scheduling control of morphing aircraft[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2013, 45(2): 202-208. (in Chinese)
[4]	AFONSO F, VALE J, LAU F, et al. Performance based multidisciplinary design optimization of morphing aircraft[J]. Aerospace Science and Technology, 2017, 67: 1-12. DOI:10.1016/j.ast.2017.03.029
[5]	AJAJ R M, BEAVERSTOCK C M, FRISWELL M I. Morphing aircraft:The need for a new design philosophy[J]. Aerospace Science and Technology, 2016, 49: 154-166. DOI:10.1016/j.ast.2015.11.039
[6]	SU H Q, HUANG Z, BAO X X, et al. Morphing process research of UAV with PID controller[J]. Procedia Engineering, 2015, 99: 873-877. DOI:10.1016/j.proeng.2014.12.615
[7]	WU Z H, LU J C, ZHOU Q, et al. Modified adaptive neural dynamic surface control for morphing aircraft with input and output constraints[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 87(4): 2367-2383.
[8]	WANG L, LIU C S, GONG H J. A novel robust controller with command filter for uncertain morphing aircraft[J]. International Journal of Computer and Electrical Engineering, 2018, 10(1): 523-523.
[9]	AHMADI A A, PARRILO P A. Sum of squares certificates for stability of planar, homogeneous, and switched systems[J]. IEEE Transaction on Automatic Control, 2017, 62(10): 5269-5273. DOI:10.1109/TAC.2016.2647253
[10]	YUAN S, SCHUTTER B D, BALDI S. Robust adaptive tracking control of uncertain slowly switched linear systems[J]. Nonlinear Analysis Hybrid Systems, 2018, 27: 1-12. DOI:10.1016/j.nahs.2017.08.003
[11]	WANG R H, XING J C, XIANG Z R. Finite-time stability and stabilization of switched nonlinear systems with asynchronous switching[J]. Applied Mathematics and Computation, 2018, 316(1): 229-244.
[12]	ZHAO X D, SHI P, YIN Y F, et al. New results on stability of slowly switched systems:A multiple discontinuous Lyapunov function approach[J]. IEEE Transaction on Automatic Control, 2016, 62(7): 3502-3509.
[13]	HE X, ZHAO J. Multiple Lyapunov functions with blending for induced l2-norm control of switched LPV systems and its application to an F-16 aircraft model[J]. Asian Journal of Control, 2014, 16(1): 149-161. DOI:10.1002/asjc.2014.16.issue-1
[14]	王青, 王通, 后德龙, 等. 基于速度线性化的变体飞行器鲁棒LPV控制[J]. 系统工程与电子技术, 2014, 36(6): 1130-1136. WANG Q, WANG T, HOU D L, et al. Robust LPV control for morphing vehicles via velocity-based linearization[J]. System Engineering and Electronics, 2014, 36(6): 1130-1136. (in Chinese)
[15]	CHENG H Y, DONG C Y, JIANG W L, et al. Non-fragile switched H∞ control for morphing aircraft with asynchronous switching[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2017, 30(3): 1127-1139. DOI:10.1016/j.cja.2017.01.008
[16]	江未来, 董朝阳, 王通, 等. 变体飞行器平滑切换LPV鲁棒控制[J]. 控制与决策, 2016, 31(1): 66-72. JIANG W L, DONG C Y, WANG T, et al. Smooth switching LPV robust control for morphing aircraft[J]. Control and Decision, 2016, 31(1): 66-72. (in Chinese)
[17]	SEIGLER T M. Dynamics and control of morphing aircraft[D]. Charlottesville: Virginia Polytechnic Institute and State University, 2005: 30-55
[18]	ZHAO X D, YIN S, LI H Y, et al. Switching stabilization for a class of slowly switched systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2014, 60(1): 221-226.
[19]	XU S Y, CHEN T W. Robust H∞ control for uncertain stochastic systems with state delay[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2002, 47(12): 2089-2094. DOI:10.1109/TAC.2002.805670
[20]	TAO G. Multivariable adaptive control:A survey[J]. Automatica, 2014, 50(11): 2737-2764. DOI:10.1016/j.automatica.2014.10.015