应用数学博士研究生培养方案

(学科专业代码: 070104)

一、培养目标

本博士点坚持党的教育方针，培养德智体全面发展的应用数学方面高层次的专门人才，具有严谨的治学态度，良好的科学素养和广博坚实的数学基础，深入掌握某一子学科的专门知识，并对相关的应用领域有较好的了解，熟悉所研究领域的现状和发展趋势，具有较强的数学建模能力和发展数学方法的能力，能熟练使用计算机及数学软件，具有独立从事科学研究的能力，并在有关研究方向的一些较重要课题中做出系统的、创造性的成果，或与有关专业人员合作解决某些重大实际问题。至少掌握一门外语，能熟练阅读本专业的外文资料，具有一定的写作能力和进行国际学术交流的能力。毕业后能从事与应用数学相关的数学基础理论研究或者相应的教学、科研或管理工作。

二、研究方向

1、研究方向之一：线性算子的谱理论及应用

线性算子的谱理论是算子理论的重要组成部分，其中与应用联系密切的微分算子理论是以近代量子物理为主要应用背景，从经典的Sturm-Liouville问题拓展开来，综合微分方程、泛函分析、算子代数、半群理论等现代方法的一门新兴分支学科。它的应用为微分方程中的许多问题提供了统一的解决模式，成为处理微分方程、积分方程问题的一种行之有效的方法。

本研究方向侧重于对线性算子的谱理论，特别是与应用联系密切的线性微分算子的谱分解进行研究，包括微分算子谱的定性分析、离散谱的判别准则、连续谱存在的范围、特征值的渐进估计、按特征函数展开、连续谱的广义特征展开，并由此延伸到微分算子理论中若干基本问题：微分算子的自伴性、微分算子亏指数的判定、谱的离散性与亏指数的关系以及势函数是广义函数的非自伴微分算子的谱分解。同时对其相关的加权Sobolev函数空间理论、无穷维动力系统的吸引子、非线性问题中的分形、湍流理论等问题加以探讨。这些问题的研究与解决，不仅将完善微分算子谱分解理论，而且为应用提供新的途径和方法。

2、研究方向之二：最优化

最优化是一门集理论与实验、既严密又富启发性的学科，既可当作基础数学的一个分支来研究，又几乎在所有国民经济和科学技术领域有广泛的应用。本方向研究致力于当前应用最广泛的若干最优化问题的可实现算法及解的性质，包括线性和非线性规划、多目标规划、不可微规划、变分不等式和互补问题、全局优化、组合优化，以及一些实际问题的最优化建模、模型性质和最优化方法的应用。研究工作强调密切联系当前国民经济和科学技术领域的实际，重视理论的严密性，强调算法的可靠性、效率等实算性能和实际中的切实可用性，重视与其它学科（如工程力学、管理科学等）的交叉渗透以及从实际问题中发现新的概念、新的优化方法。在重视理论研究的同时，重视软件研制和数值实验。

3、研究方向之三：数学物理

数学物理是构造及研究那些描述很大一类物理现象的数学模型的理论。该物理现象联系着各种物理领域以及电动力学、弹性理论和流体动力学中的波动过程，还联系着连续介质力学中的大量别的研究方向。本研究方向侧重于无穷维Hamliton系统的研究，尤其是研究无穷维Hamliton算子谱的分布情况，离散谱的存在性，特征函数系展开，代数指标，系统地研究点谱、连续谱和剩余谱的特征，其中包括有些谱集为空集的条件，揭示无穷维Hamliton算子结构，从而可以刻画相应的以各种应用为背景的动态无穷维Hamliton系统解的构造和解的性质。探讨非自伴算子的特征函数为基础的谱方法，建立新的近似解方法，为力学提供数学依据。同时研究不定度规空间的谱理论。建立无穷维Hamliton算子的谱理论框架。算子的谱理论是当代力学的数学基础，是解决数学物理方程和其它一些数学问题的重要手段。无穷维Hamliton算子是希尔伯特空间中的一类无界非自伴算子，其谱理论是众所周知的具有重要意义的问题。

4、研究方向之四：结构与多学科优化建模和实用数学规划算法的求解

伴随有限元、差分、边界元、无网格等众多数值方法的发展和软件商品化，力学与物理、化学乃至各个工程学科的性能的复杂分析得以实现，学术界和工程界越来越把关注的焦点从数值分析转向数值优化，本研究方向侧重于结构与多学科优化设计和最优控制的模型建立和算法求解，从而为科学、技术和经济各领域优化问题的广泛实际应用，提供新的途径和方法。由于多学科交叉渗透以及对于线性和非线性规划和几何规划理论研究、方法论证、算法的软件实现的依赖性，对于多学科耦合分析下优化问题的关注性，本方向的研究可以切割为相对独立又有机联系的两部分：其一是多学科优化问题的模型建立的方法和优化求解的程序实现，生源主要来自力学、物理、其它工程领域或经济的硕士生，将其培养具有较强的数学建模能力，能熟练使用计算机及数学软件，具有较强的解决实际问题的能力；其二是优化问题的实用算法的提出和收敛性的论证、鲁棒性的保证，生源主要来自数学领域进行过运筹学某个分支研究的硕士生，将其培养为重视理论的严密性，具有强调算法实现和效率、善于从实际问题中发现新概念和新方法的能力。

5、研究方向之五：最优化与多目标决策

运筹学是应用数学的一个重要分支，由于运筹学产生时强烈的应用背景以及优化问题的普遍存在，使得最初源于军事需要的运筹学，在几乎所有国民经济和科学技术领域得到广泛应用。新世纪，科学将高度社会化，社会高度科学化，自然科学与社会科学等门类科学的交叉、综合将形成强大的潮流，科学将以多种形式广泛地向社会的经济、政治、军事、教育等许多领域渗透，并最终演变成主宰社会发展的支配力量。为了适应社会发展对数学的需要，本研究方向以传统的运筹学理论为基础、以计算机技术和其他数学方法为工具，瞄准国民经济与社会发展中的重大优化理论与应用问题进行深入地研究，包括线性和非线性规划，离散变量优化，多目标决策，运筹学的智能化研究，运筹学在经济管理领域中的数学建模等。注重与其他学科（包括经济管理、计算机技术以及数学的其他分支）的交叉渗透。由于该方向以运筹学的理论与应用为研究对象，必将同时涉及到经济和社会发展中的许多问题以及计算机相关领域的知识，因此，该研究方向具有较强的学科交叉性。

6、研究方向之六：微分方程数值解法

许多复杂的实际物理问题为（偏）微分方程的数值解法提出了更高的要求：针对不同类型方程设计相应的稳定、高精度、高分辨率、适应间断问题、计算速度快、节省贮存空间等。因此研究（偏）微分方程的数值解法有着十分重要的理论和现实意义。本方向研究的时空有限元方法将时间和空间变量统一考虑，充分发挥有限元方法的优势；间断有限元方法是上世纪90年代发展起来的方法，具有形式高阶精度、高分辨率、易于实现等优点；有限体积法及高分辨率差分方法等是计算流体力学和计算数学工作者关注的重要数值方法。我们不仅针对不同的方程类型设计行之有效的数值格式，而且利用Sobolev函数空间理论解决（偏）微分方程广义解的存在唯一性及解的先验估计，证明数值解的稳定性、收敛性等性质，并再现激波、溃坝、边界层等物理问题的数值模拟，为实际部门解决此类问题提供依据和实际操作程序。

7、研究方向之七：多目标（向量）优化理论与方法

在经济分析、金融管理、生态保护、社会可持续发展以及国家安全等重大决策问题中存在大量多目标（向量）优化问题，在这些问题中，判断决策“好”或“坏”的标准(指标)是多个的，甚至是无穷多个，即优化问题的目标函数是多目标（向量值）函数。这就涉及到决策者的“偏好”(目标空间的偏序)。对于这类优化问题，“最优解”概念与数值优化问题中解的概念有本质的不同，它们是一种均衡或平衡的概念。这种判断好坏的思想更加符合时代的追求和企望。因此，多目标（向量）优化问题是更加贴近实际情况的一类数学模型，处理这类新的优化问题需要新的概念，新的数学方法和数学工具。本方向致力于多目标（向量）优化理论与方法的研究，内容包括多目标（向量）优化问题解的存在性、拓扑性、最优性条件、对偶理论、稳定性以及向量变分不等式与向量平衡问题等。

三、学习年限及学分要求

1．全日制度和在职（不脱产）博士生：

学习年限：全日制博士生一般为三年，在职（不脱产）博士生一般为四年

总学分 18 分

公共学位课须修 2 门： 9 分

专业学位课须修 2 门： 5 分

专业选修课（含一门跨学科专业课） 须修2--4 门： 4 分

教学实习或社会实践分

前沿讲座（含文献综述）须参加 10～20 次： 2 分

2．硕博连读研究生：

学习年限：硕博连读生学习年限为 5年。第一阶段以课程学习为主，时间为一年半；第二阶段以科学研究和撰写博士学位论文为主，时间为三年半。

总学分 40 分

公共学位课须修 2 门： 10 分

专业学位课须修 5--6 门： 20 分

专业选修课（含一门跨学科专业课） 须修 5--6 门： 10 分

教学实习或社会实践分

前沿讲座（含文献综述）须参加 10～20 次： 2 分

四、课程设置

见课程设置表，其中专业学位课中，全日制博士生和在职（不脱产）博士生按照研究方向至少需修2门课程，硕博连读研究生按照研究方向需修5-6门课程，且有4门与同级硕士同期上课（与硕士生要求相同），1—2门为博士阶段课程（与博士生课程相同）。

五、前沿专题讲座基本要求

1. 讲座（讨论班）的基本范围或基本形式

基本范围：各研究方向在国内外前沿领域的研究现状及发展趋势分析。

基本形式:：（1）导师报告。

（2）在导师指导下，研究生查阅文献，分析、总结、报告、评论。

2．次数、考核方式及基本要求

次数：在第2～3学期开始安排，每月2—4次。

基本要求：（１）准确深入理解导师报告的内容。

（２）博士生需承担报告任务，要求对指定报告的文献进行认真准备，在将文献报告清楚、提出问题、解答问题的基础上，具备独立跟踪查阅有关研究信息和获取研究材料的能力，并能够总结发展现状、分析发展趋势。通过讲座班的培养与训练，使博士生逐步具备独立思考、发现问题、解决问题以及最终独立进行科研立项的能力。

考核方式：考核方式应根据平时在前沿讲座中的表现，结合期末提交的书面报告，给出综合评定成绩。

六、学位论文要求

本专业博士论文应具有系统性、科学性、前沿性、创造性，并具有一定难度。其中创造性包括：创造新方法解决新问题，用已有方法解决新问题，创造新方法解决老问题，获得新知识、新概念、新成果。论文应该能够反映出作者对某一学科具有坚实宽广的基础理论和系统深入的专门认识，对课题研究现状具有系统、深入的了解，具有独立从事科学研究工作的能力。论文叙述严谨、文笔通畅，内容充实，约10万字左右。

本专业博士论文所含主要成果能够发表在国内核心期刊或者国际学术期刊。

论文评定方式：同行专家评阅、评议。

七、本专业研究生实践能力培养的基本要求

教学实习：在导师指导下，讲授部分硕士生选修课内容，总学时48学时左右；负责部分课下辅导、作业批改等工作。

学术交流：参加国内学术交流活动，如出席国内学术会议，并能够准确报告会议情况，必要时提交书面报告；在数学科学学院学术讨论会上做学术报告。

科研活动：参加导师科研项目，包括查阅文献、参加科研讨论、编制或调试计算机程序等。

课程设置表

全日制和在职（不脱产）博士生课程设置

硕博连读研究生课程设置：