式中u代表位移，下标x和y代表位移方向，上标P和S表示波源类型。下标x0表示由波源引起的位移，下标x1表示由自由面反射的P波所引起的位移，下标x2表示由自由面反射的S波所引起的位移。
图1. 线荷载及监测点位置分布图
本文研究了P波源和S波源引起的场地的瞬态响应特性。图2给出了P波源作用下场地内不同位置处瞬态响应过程，图中P表示由波源直接传到监测点的波，PP表示P波经自由面反射后产生的P波，PS表示P波源经自由面反射后产生的S波。在距离震源较近处可以发现P波、PP波和PS波，在距离震源较远处还可以观测到瑞利面波R。
图2. P波源作用下场地内不同位置处瞬态响应
图3给出了S波源作用下场地内不同位置处瞬态响应过程，图中S表示由波源直接传到监测点的波，SP表示S波经自由面反射后产生的P波，SS表示S波经自由面反射后产生的S波。在v > x/ ?r区域可以观测到S波、SP波和SS波，在v < x/ ?r区域还可以观测到另一类波“首波”HD。由于P波波速大于S波，在某些情况下SP波会在S波之前到达监测点。另外，解析解可以用于验证数值解的正确性。
图3. P波源作用下场地内不同位置处瞬态响应
该成果发表在国际期刊International Journal of Solids and Structures上（Zhendong Shan (单振东), Daosheng Ling. An analytical solution for the transient response of a semi-infinite elastic medium with a buried arbitrary cylindrical line source. International Journal of Solids and Structures, 2016, 100-101: 399-410.）
