, 姜齐荣清华大学 电机工程与应用电子技术系, 北京 100084
收稿日期：2021-02-07
基金项目：国家重点研发计划项目（2017YFB0903203）
作者简介：许伟(1996-), 男, 硕士研究生
通讯作者：赵争鸣, 教授, E-mail: zhaozm@tsinghua.edu.cn
摘要：在大容量多端口变换器中，高频振荡问题严重威胁系统的可靠运行，而高频变压器的分布电容则是重要的影响因素之一。为了在设计阶段精确计算高频变压器的分布电容，该文对不同绕组结构圆导体和利兹线的分布电容已有计算方法进行了总结，根据圆导体匝间的电场线路径提出了分段解算方法，指出了利兹线现有分析方法研究的不足，并提出了一种修正方法。考虑到高压大容量高频变压器绕组隔离层的影响，对典型C型、Z型绕组排布方式和任意多匝多层多并联绕组排布方式的分布电容解析计算进行重新推导。通过有限元仿真和实验分析，验证了所提方法的准确性，为后续高频变压器的分布电容计算以及系统分析设计提供了基础。
关键词：高频变压器分布电容静电场分析有限元仿真
Calculation method for parasitic capacitance of high-frequency transformers
XU Wei, ZHAO Zhengming
, JIANG QirongDepartment of Electrical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: High-power multi-port converters can have high-frequency oscillations that seriously threaten system reliability, with the parasitic capacitance of the high-frequency transformers (HFTs) being one of the important factors. This paper summarizes the existing methods for calculating the parasitic capacitance of solid wires and litz wires and presents a piecewise solution method based on the electric field lines between solid wires to calculate the HFT parasitic capacitance. This study also corrects the shortcomings of the existing analysis method for litz wires. The analytical method for calculating the parasitic capacitance for typical C-type and Z-type winding arrangements and arbitrary multi-turn, multi-layer winding arrangements is re-derived taking into account the influence of the isolation layer in high-voltage, high-capacity transformer windings. Comparisons with finite element predictions and experimental data verify the accuracy of this method as a foundation for calculating the parasitic capacitance of HFTs for system design and analyses.
Key words: high-frequency transformerparasitic capacitancestatic electric field analysisfinite element method
随着电力电子技术的发展，特别是碳化硅和氮化镓等宽禁带半导体材料以及铁氧体、纳米晶等高频低损耗软磁材料的发展，电力电子变压器或固态变压器近年来成为****们研究的热点，而其中高频变压器作为电气隔离以及电能变换的关键部件必不可少[1-2]。高频变压器体积减小和绕组结构紧凑化设计，以及宽禁带器件高开关频率带来的高di/dt、dv/dt，导致高频变压器杂散参数的影响显著增大[3]。在谐振式直流-直流(DC-DC)变换器中，高频变压器杂散参数，特别是分布电容，会影响变换器的性能。作为谐振腔的重要组成部分之一，分布电容的精确设计和分析计算非常重要[3]。高频情况下，由变压器分布电容以及感性元件组成的网络会产生严重的高频振荡，恶化电磁环境，增加不必要的高频损耗，并且振荡产生的高电压应力可能破坏原有高频变压器的绝缘，严重威胁系统可靠性以及影响装置正常运行[3-5]。因此，在设计高频变压器初期，理论计算分布电容的大小、分析分布电容的影响因素至关重要。
本文中的分布电容(有些文章也称为自电容[6])指的是静态电容，可以在测试部件之间通直流电的方式进行测试[6]。分布电容获取的方法包括解析法[6-10]、有限元法(finite element method，FEM)、实验提取[11-12]，这些方法大多是基于绕组匝间或者层间的静态电容。实验提取的方法往往需要变压器已经制造出来，而本文希望在高频变压器制造之前就已经对其分布电容大小有所预估。有限元仿真方法和解析计算方法均能够在设计阶段对分布电容大小进行预估：有限元仿真方法需要较高的计算能力，搭建精细的模型需要花费较多的时间，并且在参数调整上不够灵活；相比较而言，解析法更加方便快捷，且具有较高的精度。本文主要采用解析法对分布电容的计算进行分析推导，以有限元仿真和实验提取方法作为验证。
绕组间分布电容解析方法包括经典的平行板电容器或者圆柱形电容器模型[6, 13]以及考虑绕组间电场线路径的解析模型[7-10]。铜箔和圆导体分布电容的解析计算方法可以在文[9]中找到。利兹线一般是等效为带双层绝缘的圆导体之后按照圆导体解析计算方法进行分布电容求解，有关利兹线的分布电容求解方法仅在文[6]中有所提及，但是文[6]中并没有提到计算方法的准确性，也没有考虑到利兹线绕组内部空气间隙对等效之后模型的影响。
应用于高压大容量场景的高频变压器，其副边往往需要较多的匝数来满足升压的需求[8]；而应用于低压大容量高隔离场景的高频变压器，则是需要通过较多的绝缘材料和足够的绝缘距离来满足耐压的需求，同时需要多导体并联结构来满足绕组通流能力的需求。这两种应用场景通常会导致绕组趋向多匝多层的形式。针对不同的绕组绕制方式，包括双层绕组、多层绕组甚至不规则绕组的层间电容[6, 13-15]，已有研究常常忽略匝间电场能量的影响，也忽略层间多绝缘介质环境对层间电容的影响。
本文分布电容的计算基于以下假设条件：电场与磁感应变化率无关，并忽略位移电流的影响[8]；绕组所有匝长度相同，沿着匝电压均匀分布[15]；忽略绝缘材料介电常数的微小变化[11]；仅考虑紧邻导体部分之间的分布电容。
本文首先对高频变压器不同结构部件包括不同绕组结构(主要是圆导体和利兹线)之间的分布电容解析计算方法进行总结。然后，根据圆导体之间绝缘层和空气间隙的电场线路径提出了一种求解圆导体之间分布电容的分段解算方法，分析了现有利兹线等效模型方法的局限性，并提出了修正方法。随后本文推导了考虑绝缘介质和磁芯影响的分布电容的求解方法，并以C型绕法和Z型绕法为例提出了考虑匝间电容的分布电容计算方法，并推广到任意的多匝多层绕组形式。本文所提出的方法的准确性均利用COMSOL多物理场分析软件进行了验证，并在一台高频变压器上进行了测试和验证。
1 不同结构部件分布电容解析计算高频变压器主要由磁芯、绕组以及绝缘介质组成，而常用的绕组材料包括铜箔、圆导体和利兹线。高频变压器不同结构部件之间的分布电容主要包括绕组与绕组之间(包括不同层和不同匝)、绕组与磁芯之间的分布电容，同时还需要考虑不同部件之间复杂绝缘介质环境的影响。
铜箔因其厚度较薄，能够大幅消除集肤效应和邻近效应的影响，而被广泛用于高频变压器的绕组。铜箔结构简单，根据其绕制形状的不同分为矩形、环形或者跑道形线圈。铜箔的分布电容可以根据绕制形状，利用对应的平行板电容器模型或者圆柱形电容器模型求解，计算较为简单，因此不作为本文分析的重点。
1.1 圆导体匝间分布电容解析计算关于圆导体之间分布电容的求解方法，早期的研究基于平行板电容器或者圆柱形电容器模型，计算圆导体之间的有效距离deff，然后根据绕组绕制形状按照对应模型进行求解，但是这种方式只能用于粗略的估算[6]。
在现有研究中，****们普遍认为两个圆导体之间的分布电容由绝缘层和空气间隙电容串联组成，而影响两个圆导体之间的分布电容计算的重要因素则是空气和绝缘层中电场线的路径[7-10]。不同****对空气间隙和绝缘层中电场线的路径定义略有差别。文[7-9]中作者均假定在绝缘层中，电场线的方向是垂直于导体表面指向圆心方向，但对空气间隙中电场线的路径定义各有不同。文[7]指出电场线在空气间隙中的方向是沿着最短路径方向，如图 1a所示；文[8]则是通过三角形堆叠排列绕组的电场分布假设空气中电场线路径是沿着圆导体轴向，如图 1b所示；文[9]针对空气间隙电场线路径存在弯曲现象进行建模求解，如图 1c所示。
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| 图 1 (网络版彩图)两个圆导体之间电场线路径 |
| 图选项 |
1.1.1 圆导体匝间电容经典解析计算方法[7-9]图 1中所示的前面3种模型，绝缘层中的电场线沿着圆的轴线方向，图 1d为FEM仿真圆导体匝间电场线分布。假定绕组长度大小为lw, Do为圆导体外径，Dc为内径，通过圆柱形电容器公式可以得到单位角度dθ绝缘层中的电容，
| $\mathrm{d} C_{\mathrm{tt}, \text { ins }}(\theta)=\int_{D_{\mathrm{c}} / 2}^{D_{\mathrm{o}} / 2} \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}} r}{\mathrm{~d} r} \mathrm{~d} \theta=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}}}{\ln \left(D_{\mathrm{o}} / D_{\mathrm{c}}\right)} \mathrm{d} \theta .$ | (1) |
空气间隙中dθ角度对应面积大小为
| $\mathrm{d} S=\frac{l_{\mathrm{w}} D_{\mathrm{o}} \mathrm{d} \theta}{2}.$ | (2) |
| $\mathrm{d} C_{\mathrm{tt}, \mathrm{air}}(\theta)=\frac{\varepsilon_{0} \mathrm{~d} S}{x(\theta)}=\frac{\varepsilon_{0} l_{\mathrm{w}} D_{\mathrm{o}}}{2 x(\theta)} \mathrm{d} \theta .$ | (3) |
| $x_{\mathrm{a}}(\theta)=D_{\mathrm{o}}(1-\cos \theta),$ | (4) |
| $x_{\mathrm{b}}(\theta)=D_{\mathrm{o}}\left(\cos \theta \pm \sqrt{\cos ^{2} \theta-\frac{3}{4}}-\frac{1}{2}\right),$ | (5) |
| $x_{\mathrm{c}}(\theta)=D_{\mathrm{o}} \theta \tan (\theta / 2).$ | (6) |
两根圆导体匝间的分布电容为绝缘层电容和空气间隙电容串联组成，匝间分布电容可以求解为
| $\frac{1}{\mathrm{~d} C_{\mathrm{tt}}}=\frac{2}{\mathrm{~d} C_{\mathrm{tt}, \mathrm{ins}}}+\frac{1}{\mathrm{~d} C_{\mathrm{tt}, \mathrm{air}}}.$ | (7) |
| $C_{\mathrm{tt}}=\int_{0}^{\theta_{\mathrm{m}}} \frac{\mathrm{d} \theta}{\frac{\ln \left(D_{\mathrm{o}} / D_{\mathrm{c}}\right)}{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}}}+\frac{x(\theta)}{\varepsilon_{0} l_{\mathrm{w}} D_{\mathrm{o}}}}.$ | (8) |
可以得到文[7]和文[9]的分布电容表达式分别为：
| $C_{\mathrm{tt}-[7]}=\int_{0}^{\theta_{\mathrm{m}}} \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}} \mathrm{d} \theta}{\ln \left(D_{\mathrm{o}} / D_{\mathrm{c}}\right)+\varepsilon_{\mathrm{r}}(1-\cos \theta)} .$ | (9) |
| $C_{\mathrm{tt}-[9]}=\int_{0}^{\theta_{\mathrm{m}}} \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}} \mathrm{d} \theta}{\ln \left(D_{\mathrm{o}} / D_{\mathrm{c}}\right)+\varepsilon_{\mathrm{r}} \theta \tan (\theta / 2)} .$ | (10) |
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| 图 2 (网络版彩图)本文圆导体匝间电场线路径定义 |
| 图选项 |
靠近圆导体之间的中心部分，即θ较小时，在绝缘层以及空气间隙中电场线路径趋近于水平方向，而靠近外部区域，即θ较大时，电场线路径在绝缘层中垂直于导体表面，在空气中存在弯曲效应。为了便于描述，以θ1作为分界处，将两个圆导体中间绝缘层以及空气间隙区域分为两部分。
在[-θ1, θ1]区间，根据正弦定理和勾股定理，可以得到绝缘层间隙距离dins与角度θ的关系为
| $\left\{\begin{array}{l}\frac{d_{\text {ins }}}{\sin \left(\theta-\theta^{\prime}\right)}=\frac{D_{\mathrm{o}}}{2 \sin (\pi-\theta)}, \\D_{\mathrm{o}} \sin \theta^{\prime}=D_{\mathrm{c}} \sin \theta.\end{array}\right.$ | (11) |
| $d_{\mathrm{ins}}(\theta)=\sqrt{\left(\frac{D_{\mathrm{o}}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{D_{\mathrm{c}}}{2}\right)^{2} \sin ^{2} \theta}-\frac{D_{\mathrm{c}}}{2} \cos \theta .$ | (12) |
| $\mathrm{d} C_{\mathrm{tt}, \mathrm{ins}}(\theta)=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}} \mathrm{d} \theta}{\sqrt{\left(\frac{D_{\mathrm{o}}}{2 D_{\mathrm{c}}}\right)^{2}-\frac{\sin ^{2} \theta}{4}}-\frac{\cos \theta}{2}} .$ | (13) |
在[-θm, -θ1)和(θ1, θm]区间，绝缘层的电容求解可以根据式(1)计算，空气间隙的路径定义根据式(6)计算，分布电容根据式(3)计算。
根据式(1)和(12)求解得到绝缘层电容为
| $\begin{gathered}C_{\mathrm{tt}, \mathrm{ins}}=\int_{0}^{\theta_{1}} \frac{2 \varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}} \mathrm{d} \theta}{\sqrt{\left(\frac{D_{\mathrm{o}}}{2 D_{\mathrm{c}}}\right)^{2}-\frac{\sin ^{2} \theta}{4}-\frac{\cos \theta}{2}}}+ \\\int_{\theta_{1}}^{\theta_{\mathrm{m}}} \frac{2 \varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{w}}}{\ln \left(D_{\mathrm{o}} / D_{\mathrm{c}}\right)} \mathrm{d} \theta.\end{gathered}$ | (14) |
| $C_{\mathrm{tt}, \text { air }}=\int_{0}^{\theta_{1}} \frac{\varepsilon_{0} l_{\mathrm{w}}}{2(1-\cos \theta)} \mathrm{d} \theta+\int_{\theta_{1}}^{\theta_{\mathrm{m}}} \frac{\varepsilon_{0} l_{\mathrm{w}}}{2 \theta \tan (\theta / 2)} \mathrm{d} \theta \text {. }$ | (15) |
1.1.3 仿真验证搭建的有限元仿真模型中绝缘层厚度始终保持为0.5 mm，绕组长度lw为1 000 mm。通过改变导体外径得到不同求解方法对应的结果, 如图 3所示。因导体绝缘层厚度固定，改变外径即对应改变内径。可以看到，文[7]、文[9]中提出的方法以及本文提出的分段求解模型均能够较为准确地预估圆导线之间分布电容的大小；相对而言，本文提出的分段求解模型准确性更高。同时，当绝缘层厚度固定时，圆导体之间分布电容随着导体线径增大逐渐增大。可见，为了减小分布电容，在满足要求的前提下应尽量选择导体线径与绝缘层厚度比值较小的圆导体。
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| 图 3 (网络版彩图)不同方法圆导体间分布电容求解比较 |
| 图选项 |
1.2 圆形绞合利兹线分布电容解析计算因为利兹线复杂的结构特性，具有较细的单股直径以及多达上千股的股数，很难通过有限元仿真建立完整的利兹线绕组模型。为了简化利兹线绕组的分析，一般将利兹线等效为带双层绝缘的圆导体结构[6]，如图 4所示。其中：第1层绝缘为单股利兹线表面的内绝缘，内绝缘层厚度为dins1，介电常数为εr1；第2层绝缘为单根利兹线绞合后的外绝缘，外绝缘层厚度为dins2，介电常数为εr2。
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| 图 4 (网络版彩图)利兹线转换为圆导体结构图 |
| 图选项 |
利兹线绕组之间的电场强度取决于利兹线之间最外层导体的位置、形状以及间距。已有研究方法将利兹线等效为圆导体的等效过程中往往忽略了绞合线内部最外层导体表面绝缘层和空气间隙的影响，没有考虑等效之后的第1层绝缘的有效介电常数的变化，直接按照
仿真以及理论分析发现，直接将最外侧导体作为等效圆导体的边界会导致利兹线之间的有效距离变短，并且由于忽略了空气间隙的影响，等效之后的内绝缘层有效介电常数增加，从而导致等效之后模型求解得到的电容相比原利兹线电容大幅度增加。因此，为了尽量减小这种误差带来的影响，尽可能地保证利兹线绕组分布电容计算的准确性，需要对等效之后内绝缘层的介电常数进行修正，
| $\varepsilon_{1}^{\prime}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{r} 1}\left(d_{\mathrm{ins} 1}+\widetilde{\mathcal{d}}_{\mathrm{air}}\right)}{d_{\mathrm{ins} 1}+\varepsilon_{\mathrm{r} 1} \tilde{d}_{\mathrm{air}}}.$ | (16) |
| $\varepsilon_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{rl}}^{\prime} \varepsilon_{\mathrm{r} 2} \ln \left(D_{\mathrm{o}} / D_{\mathrm{c}}\right)}{\varepsilon_{\mathrm{r} 2} \ln \left(D_{\mathrm{i}} / D_{\mathrm{c}}\right)+\varepsilon_{\mathrm{rl}}^{\prime} \ln \left(D_{\mathrm{o}} / D_{\mathrm{i}}\right)}.$ | (17) |
| $d_{\mathrm{eq}}=D_{\mathrm{o}}-D_{\mathrm{c}}=d_{\mathrm{ins1}}+d_{\mathrm{ins} 2} .$ | (18) |
表 1 利兹线仿真模型参数
| 利兹线外径Do/mm | 2.15 |
| 利兹线内径Di/mm | 1.95 |
| 单股直径Ds/mm | 0.35 |
| 内绝缘层厚度Dins1/mm | 0.05 |
| 外绝缘层厚度Dins2/mm | 0.1 |
| 内绝缘材料介电常数εr1 | 3.5 |
| 外绝缘材料介电常数εr2 | 3.5 |
| 股数Ns | 7 |
表选项
表 2 利兹线分布电容计算结果误差分析
| 计算方法 | 分布电容/pF | 误差/% | ||||
| FEM | 修正前 | 修正后 | 修正前 | 修正后 | ||
| Ctt-[7] | 57.3 | 85.3 | 66.2 | 48.8 | 15.5 | |
| Ctt-[9] | 57.3 | 82.2 | 63.5 | 43.4 | 10.8 | |
| Ctt-proposed | 57.3 | 80.0 | 61.6 | 39.6 | 7.5 | |
表选项
对比FEM的结果，修正后利兹线绕组之间分布电容理论计算结果相比修正前，误差降低了约30%。因此，对利兹线内绝缘的介电常数进行修正是必要的，能够显著提高计算的准确性。同时，对比节1.1中不同计算方法得到的利兹线匝间分布电容大小，可以看到本文提出的方法的准确性更高。
1.3 考虑绝缘介质和磁芯影响下分布电容的计算针对高压大容量的高频变压器，绕组之间以及绕组磁芯之间的电介质环境复杂，除了绕组自身表面的绝缘，绕组之间、绕组磁芯之间还需要隔离层来满足绕组磁芯以及绕组之间的隔离需求。图 5为考虑了带隔离层的圆导体结构。其中：隔离层的间距为diso，隔离层的介电常数为εiso。圆导线增加隔离层之后的电场线的路径定义与图 1或图 2中紧邻圆导体之间电场线路径定义相同。绕组绝缘层外等效的路径长度为隔离层厚度和空气间隙电场线路径长度之和，
| $d_{\mathrm{eq}}=d_{\mathrm{iso}}+x(\theta).$ | (19) |
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| 图 5 (网络版彩图)圆导体之间带隔离层结构 |
| 图选项 |
绕组绝缘层外等效的介电常数由隔离层和空气间隙介电常数根据平行板电容器公式计算得到，
| $\varepsilon_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{iso}}\left[x(\theta)+d_{\mathrm{iso}}\right]}{\varepsilon_{\mathrm{iso}} x(\theta)+d_{\mathrm{iso}}}.$ | (20) |
磁芯表面是带电导体平面，磁芯与圆导体的分布电容计算根据镜像法可以等效为两个圆导体之后再进行分布电容计算，如图 6所示。因为圆导体到磁芯的间距是等效之后两个圆导体之间间距的一半，所以圆导体磁芯之间电场强度是两个圆导体之间的2倍。根据电场能量法分别计算圆导体磁芯之间的电场能量Wtc和圆导体之间的电场能量Wtt为
| $\left\{\begin{array}{l}W_{\mathrm{tc}}=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}}}{2} \iiint\limits_{V / 2}(2 E)^{2} \mathrm{~d} V=\frac{C_{\mathrm{tc}} U^{2}}{2}, \\W_{\mathrm{tt}}=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}}}{2} \iiint\limits_{V} E^{2} \mathrm{~d} V=\frac{C_{\mathrm{tt}} U^{2}}{2}.\end{array}\right.$ | (21) |
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| 图 6 (网络版彩图)磁芯表面绕组镜像法求解 |
| 图选项 |
式(21)表示对电场强度E进行体积V积分，得到的电场能量与分布电容和电压U的关系。
圆导体磁芯之间分布电容是镜像法等效圆导体之间分布电容的2倍，即
| $C_{\mathrm{tc}}=2 C_{\mathrm{tt}}.$ | (22) |
2.1 C型和Z型多匝多层绕组分布电容图 7为C型绕法和Z型绕法的绕组结构示意图。其中：输入电压为Uw，绕组层数为Nl，单层绕组匝数为Nk。为简化分析过程，假设单层绕组中每匝绕组间距一致，静态分布电容大小一致，均为Ctt1，整个绕组部分相邻层绕组间距一致，相邻层绕组对应位置圆导体之间静态分布电容为Ctt2。
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| 图 7 (网络版彩图)C型和Z型绕法绕组结构和层间电势分布 |
| 图选项 |
2.1.1 仅考虑绕组层间电容的经典计算方法[6, 13]经典计算方法仅考虑层与层之间的电势分布，根据图 7a所示的C型绕法层间电势分布，计算得到层与层之间的电场能量为
| $W_{11, \mathrm{C}}=\frac{C_{\mathrm{11}}}{2 N_{\mathrm{k}} D_{\mathrm{o}}} \int_{0}^{N_{\mathrm{k}} D_{\mathrm{o}}} U_{\mathrm{11}}^{2}(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{3} \frac{C_{\mathrm{11}} U_{\mathrm{w}}^{2}}{N_{1}^{2}}.$ | (23) |
| $C_{11}=N_{\mathrm{k}} C_{\mathrm{tt} 2}$ | (24) |
| $\begin{gathered}W_{\mathrm{w}, \mathrm{C}}=\left(\mathrm{N}_{1}-1\right) W_{11}= \\\frac{2}{3} \frac{\left(N_{1}-1\right) N_{\mathrm{k}} C_{\mathrm{tt} 2} U_{\mathrm{w}}^{2}}{N_{1}^{2}}=\frac{C_{\mathrm{w}, \mathrm{C}} U_{\mathrm{w}}^{2}}{2}.\end{gathered}$ | (25) |
| $C_{\mathrm{w}, \mathrm{C}}=\frac{4 N_{\mathrm{k}} C_{\mathrm{tt} 2}\left(N_{1}-1\right)}{3 N_{1}^{2}}.$ | (26) |
| $W_{11, \mathrm{Z}}=\frac{C_{11}}{2 N_{\mathrm{k}} D_{\mathrm{o}}} \int_{0}^{N_{\mathrm{k}} D_{\mathrm{o}}} U_{11}^{2}(x) \mathrm{d} x=\frac{N_{\mathrm{k}} C_{\mathrm{tt} 2} U_{\mathrm{w}}^{2}}{2 N_{1}^{2}}.$ | (27) |
| $\begin{gathered}W_{\mathrm{w}, \mathrm{Z}}=\left(N_{1}-1\right) W_{11, \mathrm{Z}}= \\\frac{\left(N_{1}-1\right) C_{\mathrm{tt} 2} U_{\mathrm{w}}^{2}}{2 N_{1}^{2}}=\frac{C_{\mathrm{w}},{ }_{\mathrm{Z}} U_{\mathrm{w}}^{2}}{2}.\end{gathered}$ | (28) |
| $C_{\mathrm{w}, \mathrm{Z}}=\frac{C_{\mathrm{tt} 2}\left(N_{1}-1\right)}{N_{1}^{2}}.$ | (29) |
无论是C型还是Z型绕法，同层绕组匝与匝之间电势差始终为
| $U_{\mathrm{tt}}=\frac{U_{\mathrm{w}}}{N_{1} N_{\mathrm{k}}}.$ | (30) |
| $W_{\mathrm{tt}}=\sum\limits_{i=1}^{N_{\mathrm{k}}-1} \frac{C_{\mathrm{tt1}} U_{\mathrm{tt}}^{2}}{2}=\frac{\left(N_{\mathrm{k}}-1\right) C_{\mathrm{tt} 1} U_{\mathrm{w}}^{2}}{2 N_{1}^{2} N_{\mathrm{k}}^{2}}.$ | (31) |
| $U_{\mathrm{11}, \mathrm{C}}(i)=\frac{(2 i-1) U_{\mathrm{w}}}{N_{1} N_{\mathrm{k}}}.$ | (32) |
| $W_{11, \mathrm{C}}=\frac{C_{\mathrm{tt} 2}}{2} \sum\limits_{i=1}^{N_{\mathrm{k}}} U_{11}^{2}(i)=\frac{\left(4 N_{\mathrm{k}}^{2}-1\right)}{6} \frac{C_{\mathrm{tt} 2} U_{\mathrm{w}}^{2}}{N_{1}^{2} N_{\mathrm{k}}}.$ | (33) |
| $\begin{gathered}W_{\mathrm{w}, \mathrm{C}}=\left(N_{1}-1\right) W_{11, \mathrm{C}}+N_{1} W_{\mathrm{tt}}= \\\frac{\left(4 N_{\mathrm{k}}^{2}-1\right)\left(N_{1}-1\right) C_{\mathrm{tt} 2} U_{\mathrm{w}}^{2}}{6 N_{\mathrm{l}}^{2} N_{\mathrm{k}}}+\frac{\left(N_{\mathrm{k}}-1\right) C_{\mathrm{tt1}} U_{\mathrm{w}}^{2}}{2 N_{1} N_{\mathrm{k}}^{2}}=\frac{C_{\mathrm{w}, \mathrm{C}}}{2} U_{\mathrm{w}}^{2}.\end{gathered}$ | (34) |
| $C_{\mathrm{w}, \mathrm{C}}=\left(N_{1}-1\right) \frac{\left(4 N_{\mathrm{k}}^{2}-1\right)}{3} \frac{C_{\mathrm{tt} 2}}{N_{1}^{2} N_{\mathrm{k}}}+\frac{\left(N_{\mathrm{k}}-1\right) C_{\mathrm{tt1}}}{N_{1} N_{\mathrm{k}}^{2}}.$ | (35) |
| $U_{11, \mathrm{Z}}(i)=\frac{U_{\mathrm{w}}}{N_{1}}.$ | (36) |
| $W_{11, \mathrm{Z}}=\frac{C_{\mathrm{tt} 2}}{2} \sum\limits_{i=1}^{N_{\mathrm{k}}} U_{11, \mathrm{Z}}^{2}(i)=\frac{C_{\mathrm{tt} 2}}{2} \frac{N_{\mathrm{k}} U_{\mathrm{w}}^{2}}{N_{1}^{2}}.$ | (37) |
| $\begin{gathered}W_{\mathrm{w}, \mathrm{Z}}=\left(N_{1}-1\right) W_{\mathrm{11}, \mathrm{Z}}+N_{1} W_{\mathrm{tt}}=\\\left(N_{1}-1\right) \frac{C_{\mathrm{tt} 2}}{2} \frac{N_{\mathrm{k}} U_{\mathrm{w}}^{2}}{N_{1}^{2}}+\frac{\left(N_{\mathrm{k}}-1\right) C_{\mathrm{tt1}} U_{\mathrm{w}}^{2}}{2 N_{1} N_{\mathrm{k}}^{2}}=\frac{C_{\mathrm{w}, \mathrm{Z}}}{2} U_{\mathrm{w}}^{2}.\end{gathered}$ | (38) |
| $C_{\mathrm{w}, \mathrm{Z}}=\frac{\left(N_{1}-1\right) N_{\mathrm{k}} C_{\mathrm{tt} 2}}{N_{1}^{2}}+\frac{\left(N_{\mathrm{k}}-1\right) C_{\mathrm{tt1}}}{N_{1} N_{\mathrm{k}}^{2}}.$ | (39) |
表 3 搭建有限元模型参数
| 圆导体外径Do/mm | 0.45 |
| 圆导体内径Dc/mm | 0.40 |
| 圆导体表面绝缘距离dins/mm | 0.05 |
| 单层匝数Nk | 3 |
| 绕组层数Nl | 3 |
| 绝缘材料介电常数εr | 3.5 |
表选项
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| 图 8 (网络版彩图)不同绕法FEM仿真电场强度和电场线分布 |
| 图选项 |
通过改变绕组层间隔离层绝缘距离diso，根据节1.1中提出的圆导体之间电容计算公式和节1.3中推导的考虑绝缘层的电容计算方法，得到的绕组导体整体分布电容Cw如图 9所示。可见，无论是C型绕法还是Z型绕法，由于忽略了匝间电场能量，经典方法会低估绕组分布电容大小，并且随着绝缘距离的增加，分布电容大小逐渐下降，这种下降主要是因为层间电容减小引起的。
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| 图 9 (网络版彩图)改变绝缘大小分布电容变化趋势 |
| 图选项 |
随着绝缘距离的增加，单层绕组匝内电容Ctt1与层间对应位置绕组导体的分布电容Ctt2的比例(Ctt1/Ctt2)增大。用绝对误差来分析经典方法和本文方法与有限元计算结果的准确性，如式(40)所示，得到的不同计算方法的绝对误差随Ctt1/Ctt2的变化如图 10所示。
| $\xi=\left|\frac{C_{\mathrm{w}}-C_{\mathrm{FEM}}}{C_{\mathrm{FEM}}}\right| \times 100 \%.$ | (40) |
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| 图 10 (网络版彩图)改变层间和匝间电容比例的误差变化 |
| 图选项 |
其中：Cw为理论计算值，CFEM为仿真结果。
可见，随着层间绝缘距离的增加导致Ctt1/Ctt2比值增大，无论是C型绕法还是Z型绕法，经典方法的计算求解误差逐渐增大，当层间分布电容减小到匝间电容1/2时，C型和Z型绕法的误差分别高达15.1%和24.2%；而本文提出的方法始终能够较为准确地计算绕组不同排布方式下的分布电容大小，对于C型绕法和Z型绕法的计算误差最大分别为3.5%和2.8%。可见，仿真结果验证了本文提出的方法的准确性。
2.2 任意排列绕组分布电容考虑到实际高频变压器绕组连接方式的多样性，文[5]提出了对于双层绕组任意接法的分布电容的求解表达式，也忽略了匝间分布电容的大小。为了增加通用性，考虑到多匝多层多并联绕组的形式，本文推导了多匝多层绕组通用分布电容求解表达式，构建模型如图 11所示。假设绕组输入电压为Uw，绕组排布构成Nk×Nl的矩阵。
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| 图 11 (网络版彩图)一般绕组连接分布电容建模 |
| 图选项 |
仅考虑紧邻绕组之间的分布电容。为了方便描述，定义4个矩阵，分别为：同一水平层的电势差矩阵Uh和分布电容矩阵Ch, 矩阵大小为Nk×(Nl-1)；同一垂直层的电势差矩阵Uv和分布电容矩阵Cv，矩阵大小为(Nk-1)×Nl。其中：(i, j)和(i+1, j)位置绕组之间垂直层的电势差和分布电容分别记为Uvij和Cvij, (i, j)和(i, j+1)位置绕组之间水平层的电势差和分布电容分别记为Uhij和Chij。
总体的绕组能量为
| $\begin{aligned}&W_{\mathrm{w}, \text { general }}=\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{N_{1}-1} \sum\limits_{j=1}^{N_{\mathrm{k}}} C_{\mathrm{h}}^{i {j}}\left(U_{\mathrm{h}}^{i j}\right)^{2}+ \\&\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{N_{1}} \sum\limits_{j=1}^{N_{\mathrm{k}}-1} C_{\mathrm{v}}^{i j}\left(U_{\mathrm{v}}^{i j}\right)^{2}=\frac{C_{\mathrm{w}, \text { general }}U_\mathrm{w}^{2}} {2}.\end{aligned}$ | (41) |
| $C_{\mathrm{w}, \text { general }}=\sum\limits_{i=1}^{N_{1}-1} \sum\limits_{j=1}^{N_{\mathrm{k}}} C_{\mathrm{h}}^{i j}\left(\frac{U_{\mathrm{h}}^{i j}}{U_{\mathrm{w}}}\right)^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N_{1}} \sum\limits_{j=1}^{N_{\mathrm{k}}-1} C_{\mathrm{v}}^{i j}\left(\frac{U_{\mathrm{v}}^{i j}}{U_{\mathrm{w}}}\right)^{2}.$ | (42) |
3 实验验证图 12所示为由利兹线绕组和铁氧体磁芯制造的高频变压器实物图，额定参数如表 4所示。
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| 图 12 (网络版彩图)被测高频变压器实物图 |
| 图选项 |
表 4 高频变压器额定参数
| 容量/(kV·A) | 80 |
| 初次级绕组电压/V | 720 |
| 绕组变比 | 1∶1 |
| 工作频率/kHz | 20 |
表选项
在测试中，因为绕组无法取下，而磁芯会对邻近绕组的测试造成影响，所以无法单独测试初级绕组和次级绕组的分布电容。考虑到磁芯的影响，构建了如图 13所示的等效测量三电容模型。
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| 图 13 (网络版彩图)高频变压器分布电容结构示意图 |
| 图选项 |
将高频变压器划为3个部分，分别为初级绕组、次级绕组和磁芯。分布电容包括初次级绕组之间的电容Cps、初级绕组和磁芯之间的电容Cpc、次级绕组和磁芯之间的电容Csc。
因为绝缘介质的介电常数达到一定频率后基本上不发生变化，分布电容参数的大小不具有频变效应[11]。测试时分别短路初级绕组和次级绕组、初级绕组和磁芯、次级绕组和磁芯，利用Tonghui TH2830L阻抗分析仪可以得到测试结果和等效测量三电容模型的关系(式(43))，测试结果如表 5所示。
| $\left\{\begin{array}{l}C_{\mathrm{pc}}+C_{\mathrm{sc}}=C_{\mathrm {test 1}}, \\C_{\mathrm{ps}}+C_{\mathrm{sc}}=C_{\mathrm{test} 2}, \\C_{\mathrm{ps}}+C_{\mathrm{pc}}=C_{\mathrm{test} 3}.\end{array}\right.$ | (43) |
| 分布电容 | 误差 | ||||||
| Cpc/pF | Cps/pF | Csc/pF | epc/% | eps/% | esc/% | ||
| 实测 | 268.9 | 271.1 | 52.2 | ||||
| 本文 | 276.8 | 276.8 | 53.2 | 2.94 | 2.12 | 1.92 | |
| Ctt-[7] | 290.3 | 290.3 | 54.7 | 7.96 | 7.08 | 4.79 | |
| Ctt-[9] | 277.6 | 277.6 | 53.2 | 3.24 | 2.40 | 1.92 | |
表选项
高频变压器为了满足隔离的需求，存在着骨架、绕组表面的漆包线还有空气间隙等，是一个多介质并存的环境。当磁芯和绕组之间以及初次级绕组之间空气间隙距离较大时，绝缘介质的介电常数对分布电容影响不大，空气间隙分布电容成为整体分布电容计算的主要影响因素。分析表 5中的结果可以发现，实验测试得到的结果和本文方法计算的结果误差均在3%以内，进一步验证了本文提出的方法的有效性。同时，对比其他经典方法，本文方法计算精度也更高。对不同频率下的分布电容进行测试，分布电容参数在工频和20 kHz情况下的差值不超过5%，这也说明了分布电容频变效应不明显，因此本文提出的方法对于工频和高频均是适用的。
4 结论本文针对高频变压器不同部件之间的分布电容计算方法进行了总结，并考虑绕组之间、绕组磁芯之间绝缘介质的影响。在此基础上，针对圆导体匝间分布电容计算，根据FEM仿真电场线路径提出了分段解析模型，该模型比已有模型更加符合实际绕组匝间的电场线分布，具有更高的精度。针对利兹线匝间分布电容，指出利兹线匝间分布电容受利兹线最外部导体位置、形状间距的影响，并提出了利兹线等效内绝缘介电常数的修正方法。仿真验证结果表明，修正之后的准确性相比修正之前大幅提升。
本文基于典型的C型和Z型绕制方式推导了绕组整体分布电容大小的求解公式。对比经典计算方法，本文提出的方法计算准确性更高且鲁棒性更好。经典方法的计算精确度受到层间绝缘距离即层间静态电容的影响，误差随着匝间静态电容与层间静态电容的比值的增大而增大，因此在实际考虑层间绝缘影响的情况下，匝间电场能量不能忽略。在此基础上，本文还提出了任意绕组排布的分布电容计算方法，扩大了适用场景，增加了通用性。
参考文献
| [1] | 赵争鸣, 施博辰, 朱义诚. 对电力电子学的再认识: 历史、现状及发展[J]. 电工技术学报, 2017, 32(12): 5-15. ZHAO Z M, SHI B C, ZHU Y C. Reconsideration on power electronics: The past, present and future[J]. Transaction of China Electrotechnical Society, 2017, 32(12): 5-15. (in Chinese) |
| [2] | 李子欣, 高范强, 赵聪, 等. 电力电子变压器技术研究综述[J]. 中国电机工程学报, 2018, 38(5): 1274-1289. LI Z X, GAO F Q, ZHAO C, et al. Research review of power electronic transformer technologies[J]. Proceedings of the CSEE, 2018, 38(5): 1274-1289. (in Chinese) |
| [3] | 王威望, 刘莹, 何杰峰, 等. 高压大容量电力电子变压器中高频变压器研究现状和发展趋势[J]. 高电压技术, 2020, 46(10): 3362-3373. WANG W W, LIU Y, HE J F, et al. Research status and development of high frequency transformer used in high voltage and large capacity power electronic transformer[J]. High Voltage Engineering, 2020, 46(10): 3362-3373. (in Chinese) |
| [4] | 崔彬, 李欣阳, 薛芃, 等. 双主动全桥变换器的高频振荡影响因素[J]. 清华大学学报(自然科学版), 2020, 60(6): 530-536. CUI B, LI X Y, XUE P, et al. Factors influencing high frequency oscillations in dual active bridge converters[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Technology), 2020, 60(6): 530-536. (in Chinese) |
| [5] | 魏树生, 赵争鸣, 文武松, 等. 共交流母线多端口变换器高频振荡特性分析[J]. 清华大学学报(自然科学版), 2020, 60(9): 751-762. WEI S S, ZHAO Z M, WEN W S, et al. Analysis of the high-frequency oscillation characteristics of a multi-port converter with an AC link[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Technology), 2020, 60(9): 751-762. (in Chinese) |
| [6] | BIELA J, KOLAR J W. Using transformer parasitics for resonant converters: A review of the calculation of the stray capacitance of transformers[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2008, 44(1): 223-233. DOI:10.1109/TIA.2007.912722 |
| [7] | MASSARINI A, KAZIMIERCZUK M K. Self-capacitance of inductors[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 1997, 12(4): 671-676. DOI:10.1109/63.602562 |
| [8] | DALESSANDRO L, CAVALCANTE F D S, KOLAR J W. Self-capacitance of high-voltage transformers[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2007, 22(5): 2081-2092. DOI:10.1109/TPEL.2007.904252 |
| [9] | LIU X, WANG Y, ZHU J, et al. Calculation of capacitance in high-frequency transformer windings[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2016, 52(7): 1-4. |
| [10] | MARCHESAN T B, CHAGAS N B. Analytical calculation of static capacitance for high-frequency inductors and transformers[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2019, 34(2): 1672-1682. DOI:10.1109/TPEL.2018.2829716 |
| [11] | 刘晨, 齐磊, 崔翔, 等. 高压高频变压器寄生电容实验提取方法[J]. 华北电力大学学报(自然科学版), 2017, 44(1): 1-8. LIU C, QI L, CUI X, et al. An experimental method for extracting parasitic capacitances of high-voltage high-frequency transformers[J]. Journal of North China Electric Power University (Natural Science Edition), 2017, 44(1): 1-8. DOI:10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.01.01 (in Chinese) |
| [12] | LIU C, QI L, CUI X, et al. Experimental extraction of parasitic capacitances for high-frequency transformers[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2017, 32(6): 4157-4167. DOI:10.1109/TPEL.2016.2597498 |
| [13] | 杨慧娜, 柏树青. 高频变压器不同绕组结构对分布电容的影响[J]. 华北电力大学学报(自然科学版), 2014, 41(4): 48-55. YANG H N, BAI S Q. Effect of the different winding strategy on distributed capacitances in high frequency transformers[J]. Journal of North China Electric Power University (Natural Science Edition), 2014, 41(4): 48-55. DOI:10.3969/j.ISSN.1007-2691.2014.04.08 (in Chinese) |
| [14] | 赵志英, 龚春英, 秦海鸿. 高频变压器分布电容的影响因素分析[J]. 中国电机工程学报, 2008, 28(9): 55-60. ZHAO Z Y, GONG C Y, QIN H H. Effect factors on stray capacitances in high frequency transformers[J]. Proceedings of the CSEE, 2008, 28(9): 55-60. DOI:10.3321/j.issn:0258-8013.2008.09.010 (in Chinese) |
| [15] | 董纪清, 陈为, 卢增艺. 开关电源高频变压器电容效应建模与分析[J]. 中国电机工程学报, 2007, 27(31): 121-126. DONG J Q, CHEN W, LU Z Y. Modeling and analysis of capacitive effects in high-frequency transformer of SMPS[J]. Proceedings of the CSEE, 2007, 27(31): 121-126. DOI:10.3321/j.issn:0258-8013.2007.31.020 (in Chinese) |
