任凭, 何梦伊
中国海洋大学 工程学院, 青岛 266100
收稿日期：2020-06-14
基金项目：国家重点研发计划项目（2018YFC0308504）；国家自然科学基金资助项目（51409237）；中央高校基本科研业务费（201964012）
作者简介：任凭(1980-), 男, 副教授。E-mail: robotics@ouc.edu.cn

摘要：该文针对二自由度悬索并联机器人的轨迹跟踪控制进行计算力矩控制器设计。在处理悬索张力问题时，采用区间分析方法对由控制器参数与末端执行器初始状态构成的参数空间进行分析，确定满足悬索张力约束的解析充分条件以及可靠空间。该方法可以跟踪水平轨迹、竖直轨迹和圆周轨迹等典型周期轨迹，以及动态工作空间内的点对点轨迹。当初始状态位于期望轨迹之外时，该方法可以实现运动轨迹的自动过渡。仿真结果表明：可靠空间内的参数组合可以确保末端执行器以指数速率收敛于期望轨迹，并始终保持悬索张力为正。
关键词：悬索并联机器人计算力矩法区间分析轨迹跟踪
Tracking control of a two-DOF cable-suspended parallel robot using the computed torque method
REN Ping, HE Mengyi
College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China

Abstract: A computed torque controller was developed for trajectory tracking control of a two-DOF cable-suspended parallel robot. Interval arithmetic was used to analyze the cable tensions' parameter space consisting of the controller parameter and the initial states of the end-effector and to obtain the sufficient conditions of the reliable parameter space which satisfied the tension constraints. This method can track various trajectories such as periodic horizontal, vertical and circular trajectories, as well as point-to-point dynamic trajectories. When the initial state is not on the desired trajectory, the method provides a transition to the desired trajectory. Simulations show that the parameter combinations in the reliable space ensure that the end-effector converges exponentially to the desired trajectory and that the cable tensions remain positive at all times.
Key words: cable-suspended parallel robotscomputed torque controlinterval analysistrajectory tracking
索驱动并联机器人(cable-driven parallel robots)的研究与发展起源于20世纪80年代，Miura等^[1]、Landsberger等^[2]先后提出将并联机构的刚体分支替换为长度可调的柔索等设想，柔索并联机构随之诞生。索驱动并联机器人采用柔性绳索替代传统刚性连杆作为牵引机构，具有工作空间大、运动惯量小和运动速度快等优点。由于其结构简单、易于模块化，因此制造和维修成本较低。索驱动并联机器人的这些优势，使其在物料搬运、天文观测和运动仿真等领域得到了广泛运用^[3]。
索驱动并联机器人通常采用的控制算法包括PID(proportional integral derivative)控制^[4-5]、计算力矩控制^[6]、鲁棒控制^[7-9]等。本文所选取的是基于反馈线性化的计算力矩方法，是基于机器人动力学模型的一种控制方法。根据柔索张紧条件的不同，索驱动并联机器人可以分为存在冗余索的完全约束索驱动并联机器人(fully constrained cable-driven parallel robots)和主要靠重力维持张力的悬索并联机器人(cable-suspended parallel robots)。由于柔索只能承受单向拉力而必须始终处于张紧状态，因此给控制研究带来了挑战。目前在基于索驱动并联机器人任务空间(task space)的控制研究中，针对柔索张力约束的处理方法主要有3种：1) 经验法，根据仿真或实验结果反复试验控制器参数以满足柔索的张力约束。如Zi等^[10]设计了六自由度悬索并联机器人的模糊PI控制器，通过仿真与实验获取了控制器参数数值。2) 张力分配优化法，针对完全约束索驱动并联机器人，通过优化算法将末端执行器的控制力分配至各条柔索，以维持柔索的张紧状态。如Kino等^[4]针对水平平面二自由度三索构型提出了一种鲁棒PD控制方法，并通过矢量封闭条件维持张力约束；Khosravi等^{[5, 8]}针对竖直平面三自由度四索构型提出了一种鲁棒PID控制方法，并基于Jacobian矩阵零空间对张力进行分配；Aflakiyan等^[6]利用计算力矩与线性规划实现了欠驱动四索构型的三自由度位置控制与张力分配；Chellal等^[11]对现有的张力分配优化算法进行了综述，随后提出了一种非迭代分配算法并将其应用于六自由度八索构型的视觉伺服控制器中。3) 工作空间法，对于悬索并联机器人，无法对张力分配进行优化，则针对当前控制器参数推导其可达工作空间，在初始点位与目标点位之间设置过渡点位，使末端执行器分步到达期望位置。文[7, 12-14]对六自由度悬索并联机器人定点运动控制器的参考输入进行规划，获得了位于控制器可达工作空间内的过渡点，并用解析不等式组描述出了满足张力约束的可达工作空间范围，从而使过渡点的计算更加高效。
目前针对二自由度悬索并联机器人的研究，主要集中在轨迹规划。文[15-18]提出了类似钟摆频率特性的动态轨迹规划方法，能够实现超出机构静态工作空间的轨迹。其中，文[15]提出了若干动态周期性轨迹的规划方法；文[16]采用多项式和三角函数两种方法规划动态点到点运动轨迹；文[17]采用多项式判别矩阵推导出了多项式轨迹满足张力约束的系数条件；文[18]中引入驱动冗余，分析了该机构的动态轨迹规划问题。在国内，张文佳等^[19]在Gosselin等研究工作的基础上针对该悬索并联机器人的高速点到点轨迹提出了一种新的S形-梯形组合规划方法。
上述研究工作中规划的运动轨迹虽然均具可行性，但在实现过程中仍需要设计相应的控制器与之配合。因此本文同样以该二自由度悬索并联机器人为研究对象，在文[20]提出的静态工作空间内点到点控制器的基础上，设计可实现动静态工作空间内轨迹跟踪的计算力矩控制器。
在处理悬索并联机器人张力约束问题时，本文在前述研究的基础上提出一种方法，即把对可达工作空间的分析转化为对控制器参数与初始状态参数空间的分析。基于给定的轨迹，获得满足张力约束的可靠参数空间，确保末端执行器收敛于给定轨迹，从而实现机器人的轨迹跟踪控制。
1 机器人动力学模型平面二自由度悬索并联机器人的几何模型^[16]如图 1所示，由电机驱动的2个线轴分别固定在水平框架的p₁和p₂位置。2条悬索分别从线轴伸出，连接至末端执行器。该末端执行器视为质点m，质量忽略不计。图中柔索长度分别用L₁和L₂来表示。该机构的静态工作空间可认为是线轴在水平框架上的2个固定点垂直虚线向下构成的区域。

图 1 二自由度悬索并联机构的几何模型

图选项

如图 1所示建立O-XY直角坐标系，假设2线轴之间距离为A，则两线轴p₁、p₂和质点的位置坐标矢量分别表示为：$\boldsymbol{p}_{1}=[0, A/ 2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{p}_{2}=[0,-A / 2]^{\mathrm{T}}, $$\boldsymbol{p}=[x, y]^{\mathrm{T}} $。在理想模型状态下，柔索长度L₁和L₂可以表示为$ L_{i}=\sqrt{\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_{i}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_{i}\right)}$。
忽略悬索质量和弹性等因素后，系统的动力学模型可根据Newton-Euler方法建立：

$\sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{ - {F_i}(\mathit{\boldsymbol{p}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_i})}}{{{L_i}}}} \right)} + m\mathit{\boldsymbol{g}} = m\mathit{\boldsymbol{\ddot p}}.$

(1)

其中：F_i为柔索张力，g为重力加速度。通过求解式(1)，可以得到柔索张力F₁和F₂矢量表达式为

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{F_1}}\\{{F_2}}\end{array}} \right] = m{\mathit{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}(\mathit{\boldsymbol{g}} - \mathit{\boldsymbol{\ddot p}}),$

(2)

$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left[ {\frac{{\mathit{\boldsymbol{p}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_1}}}{{{L_1}}}\quad \frac{{\mathit{\boldsymbol{p}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_2}}}{{{L_2}}}} \right].$

(3)

假设末端执行器总是运动在水平框架的下方，即x>0。在此区域的动静态工作空间内，矩阵M总可逆，从而保证了柔索拉力F_i有效解的存在。由于柔索只能承受单向拉力，故拉力F_i始终为正，根据式(2)化简得：

${(g - \ddot x)(y + A/2) + x\ddot y > 0,}$

(4)

${(g - \ddot x)(y - A/2) + x\ddot y < 0.}$

(5)

机构在运动过程中需时刻严格满足上述不等式，从而保证柔索拉力恒大于零。因此在接下来的计算力矩控制器的设计中，式(4)和(5)将构成控制器参数与初始状态参数的2个约束条件。
2 计算力矩控制器设计以机器人动力学模型为基础，计算力矩控制通过加入位移、速度反馈和加速度前馈得到相应控制器，消除机器人系统中的非线性项，从而使被控对象简化为一个更容易受控制的线性定常系统^[6]。根据建立的平面二自由度悬索并联机构的动力学模型式(1)和(2)，柔索张力的控制输入可选为

${\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{F_1}}\\{{F_2}}\end{array}} \right] = m{\mathit{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}(\mathit{\boldsymbol{g}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_p}).}$

(6)

将式(6)代入式(2)，可化简为

${\mathit{\boldsymbol{\ddot p}} = {\mathit{\boldsymbol{a}}_p}.}$

(7)

可以看出，式(7)为解耦的二阶积分串级项。选取二阶线性系统a_p如下：

${\mathit{\boldsymbol{a}}_p} = {{\mathit{\boldsymbol{\ddot p}}}_d} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}\mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde p}}} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_0}\mathit{\boldsymbol{\tilde p}}.$

(8)

其中$ \widetilde{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_{\mathrm{d}}$表示实际轨迹和期望轨迹之间的跟踪误差。即

${\mathit{\boldsymbol{a}}_p} = {{\mathit{\boldsymbol{\ddot p}}}_{\rm{d}}} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}(\mathit{\boldsymbol{\dot p}} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot p}}}_{\rm{d}}}) - {\mathit{\boldsymbol{K}}_0}(\mathit{\boldsymbol{p}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{\rm{d}}}).$

(9)

其中: p表示实际轨迹，p_d表示期望轨迹。
由式(7)和(8)可得

$\mathit{\boldsymbol{\ddot p}} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\kern 1pt} \mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde p}}} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_0}\mathit{\boldsymbol{\tilde p}} = 0.$

(10)

式(10)为常系数二阶线性系统。分析可得平面二自由度悬索并联机构的控制律完整表达式为

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathit{\boldsymbol{F}}_1}}\\{{\mathit{\boldsymbol{F}}_2}}\end{array}} \right] = m{\mathit{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}[\mathit{\boldsymbol{g}} - {{\mathit{\boldsymbol{\ddot p}}}_{\rm{d}}} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}\mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde p}}} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_0}\mathit{\boldsymbol{\tilde p}}].$

(11)

考虑到悬索机构静态工作空间的对称性以及控制器设计的易实现性与快速收敛性，在此选取正定对称矩阵K₁和K₀为

$\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathit{\boldsymbol{K}}_0} = {\mathop{\rm diag}\nolimits} \left[ {\omega _{\rm{c}}^2,\omega _{\rm{c}}^2} \right],}\\{{\mathit{\boldsymbol{K}}_1} = {\mathop{\rm diag}\nolimits} \left[ {2{\omega _{\rm{c}}},2{\omega _{\rm{c}}}} \right],\quad {\omega _{\rm{c}}} > 0.}\end{array}$

(12)

式(12)代入式(10)，可得二自由度悬索并联机构在临界阻尼模式下的二阶线性系统，其中ω_c为控制器的自然频率参数。相较于欠阻尼与过阻尼模式，临界阻尼模式具有无超调、响应速度快等优势。
在末端执行器跟踪期望轨迹x_d(t)的运动过程中，其初始状态位置为(x₀, y₀)，初始速度为(v_x0, v_y0)。根据所设计的计算力矩控制器，以位移竖直方向为例，可以求得其时域解为

$\begin{array}{*{20}{c}}{x(t) = {x_{\rm{c}}}(t) + {x_{\rm{d}}}(t) = }\\{\left[ {\left( {{\omega _{\rm{c}}}\left( {{x_0} - {x_{{\rm{d}}0}}} \right) + {v_{{x_0}}} - {{\dot x}_{{\rm{d}}0}}} \right)t + {x_0} - {x_{{\rm{d}}0}}} \right]{{\rm{e}}^{ - {\omega _{\rm{c}}}t}} + {x_{\rm{d}}}(t).}\end{array}$

(13)

其中：x_c(t)表示指数过渡部分，x_d(t)表示期望轨迹。x_c(t)和x_d(t)的初始状态用x_c0和x_d0表示，其余各式同理。
将时域解及其二阶导数代入式(4)和(5)可得：

$\begin{array}{c}{G_1}(t) + \left( {g - {{\ddot x}_{\rm{d}}}(t)} \right){y_{\rm{c}}}(t) - {{\ddot x}_{\rm{c}}}(t)\left( {{y_{\rm{d}}}(t) + {y_{\rm{c}}}(t) + \frac{A}{2}} \right) + \\{x_{\rm{c}}}(t)\left( {{{\ddot y}_{\rm{d}}}(t) + {{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} \right) + {x_{\rm{d}}}(t){{\ddot y}_{\rm{c}}}(t) > 0,\end{array}$

(14)

$\begin{array}{*{20}{c}}{{G_2}(t) + \left( {g - {{\ddot x}_{\rm{d}}}(t)} \right){y_{\rm{c}}}(t) - {{\ddot x}_{\rm{c}}}(t)\left( {{y_{\rm{d}}}(t) + {y_{\rm{c}}}(t) - \frac{A}{2}} \right) + }\\{{x_{\rm{c}}}(t)\left( {{{\ddot y}_{\rm{d}}}(t) + {{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} \right) + {x_{\rm{d}}}(t){{\ddot y}_{\rm{c}}}(t) < 0.}\end{array}$

(15)

其中：

${{G_1}(t) = \left( {g - {{\ddot x}_{\rm{d}}}(t)} \right)\left( {{y_{\rm{d}}}(t) + \frac{A}{2}} \right) + {x_{\rm{d}}}(t){{\ddot y}_{\rm{d}}}(t),}$

${{G_2}(t) = \left( {g - {{\ddot x}_{\rm{d}}}(t)} \right)\left( {{y_{\rm{d}}}(t) - \frac{A}{2}} \right) + {x_{\rm{d}}}(t){{\ddot y}_{\rm{d}}}(t).}$

G₁(t)和G₂(t)为将期望轨迹代入式(4)和(5)后的表达式。由于规划后的轨迹始终满足张力约束，因此在随后的参数可靠空间分析中，可将G₁(t)、G₂(t)视为恒满足约束条件的安全裕量项。
3 参数可靠空间分析利用上述计算力矩控制器对轨迹进行跟踪控制，实现对水平轨迹、竖直轨迹和圆周轨迹等典型周期性轨迹的跟踪，以及对动态点对点轨迹的跟踪。采用区间分析方法确定关于控制器自然频率ω_c、末端执行器初始位置与初始速度的可靠参数空间。可靠空间内的参数组合能够确保末端执行器经过式(13)中的指数过渡部分收敛于给定的期望轨迹且满足张力约束。
区间分析又称区间算术，是一种寻找非线性不等式组解空间的有效方法。区间$ I=[\underline{I}, \bar{I}]$被定义为变量，其中$ \underline{I}$和$ \bar{I}$分别表示区间上界和下界，与经典算法相比，区间分析定义了区间上的运算而不是数字。假设2个区间$ M=[\underline{M}, \bar{M}]$和N= $[\underline{N}, \bar{N}] $，一般情况下有：

$\begin{matrix} MN=[\underline{MN},\overline{MN}]= \\ [\min (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{M}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{N},\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{M}\bar{N},\bar{M}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{N},\bar{M}\bar{N}), \\ \max (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{M}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{N},\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{M}\bar{N},\bar{M}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{N},\bar{M}\bar{N})]. \\\end{matrix}$

本文中关于各参数的区间分析主要基于上式进行，具体区间运算法则可参见文[21]。
对不等式(14)和(15)进行区间分析得：

$\begin{matrix} & \underline{{{G}_{1}}(t)}+\underline{\left( g-{{{\ddot{x}}}_{\text{d}}}(t) \right){{y}_{\text{c}}}(t)}-\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)\left( {{y}_{\text{d}}}(t)+{{y}_{\text{c}}}(t)+\frac{A}{2} \right)}+ \\ & \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)\left( {{{\ddot{y}}}_{\text{d}}}(t)+{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t) \right)}+\underline{{{x}_{\text{d}}}(t){{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}>0, \\ \end{matrix}$

(16)

$\begin{matrix} \overline{{{G}_{2}}(t)}+\overline{\left( g-{{{\ddot{x}}}_{\text{d}}}(t) \right){{y}_{\text{c}}}(t)}-\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)\left( {{y}_{\text{d}}}(t)+{{y}_{\text{c}}}(t)-\frac{A}{2} \right)}+ \\ \overline{{{x}_{\text{c}}}(t)\left( {{{\ddot{y}}}_{\text{d}}}(t)+{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t) \right)}+\overline{{{x}_{\text{d}}}(t){{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}<0. \\\end{matrix}$

(17)

上述不等式为机构运动时张力约束条件区间分析的一般形式。基于规划后的轨迹，通过求解式(16)和(17)可以获得控制器自然频率与末端执行器初始状态满足张力约束的充分条件。下面选取文[15-16]中的一些典型轨迹进行分析验证。对于规划后的可靠轨迹，由于假设末端执行器始终位于水平框架下方且张力在X轴方向的分量始终为正，因此总有$ g-\ddot{x}_{\mathrm{d}}(t)>0, x_{\mathrm{d}}(t)>0$。利用这2个不等式可对区间分析的结果进行适当简化。
3.1 竖直轨迹假设末端执行器沿平行于X轴的方向周期性运动，表示如下^[15]：

${{x}_{\text{d}}}(t)={{x}_{\text{d}0}}+r\sin (\omega t),{{y}_{\text{d}}}(t)=0,{{x}_{\text{d}0}}>r>0.$

(18)

其中：x_d0是轨迹在X轴的期望初始位置，r是轨迹竖直运动范围的半径，ω是轨迹周期运动的频率。将上述参数方程代入式(16)和(17)得到区间分析形式如下：

$\begin{matrix} & \underline{{{G}_{1}}(t)}+\min \left\{ \left( g-r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)},\left( g+r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)} \right\}- \\ & \max \left\{ \begin{matrix} \underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right), \\ \overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right) \\\end{matrix} \right\}+ \\ & \begin{matrix} \min \left\{ \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right\}+ \\ \min \left\{ \left( {{x}_{\text{d}0}}-r \right)\underline{\cdot {{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\left( {{x}_{\text{d}0}}+r \right)\underline{\cdot {{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right\}>0, \\\end{matrix} \\ \end{matrix}$

(19)

$\begin{matrix} & \overline{{{G}_{2}}(t)}+\max \left\{ \left( g-r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)},\left( g+r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)} \right\}- \\ & \min \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right),\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right), \\ \overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right),\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right) \\\end{array} \right\}+ \\ & \max \left\{ \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right\}+ \\ & \max \left\{ \left( {{x}_{\text{d}0}}-r \right)\cdot \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\left( {{x}_{\text{d}0}}+r \right)\cdot \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right\}<0. \\ \end{matrix}$

(20)

其中：根据文[15]有

${{G}_{1}}(t)=\frac{A}{2}\left( g+r{{\omega }^{2}}\sin (\omega t) \right)\Rightarrow \overline{{{G}_{1}}(t)}=\frac{A}{2}\left( g-r{{\omega }^{2}} \right),$

${{G}_{2}}(t)=\frac{A}{2}\left( g+r{{\omega }^{2}}\sin (\omega t) \right)\Rightarrow \overline{{{G}_{2}}(t)}=-\frac{A}{2}\left( g-r{{\omega }^{2}} \right).$

由于$g-\ddot{x}_{\mathrm{d}}(t)>0 $，因此$\underline{\left(g-\ddot{x}_{\mathrm{d}}(t)\right) y_{\mathrm{c}}(t) }$简化为$ \min \left\{\left(g-r \omega^{2}\right) \cdot \underline{y_{\mathrm{c}}(t),}\left(g+r \omega^{2}\right) \cdot \underline{\left.y_{\mathrm{c}}(t)\right\}}\right.$, $\overline{ \left(g-\ddot{x}_{\mathrm{d}}(t)\right) y_{\mathrm{c}}(t) } $简化为$\max \left\{\left(g-r \omega^{2}\right) \cdot \overline{y_{\mathrm{c}}(t)}, \quad(g+\right. $$ \left.\left.r \omega^{2}\right) \cdot \overline{y_{c}(t)}\right\}$同时始终有$x_{\mathrm{d}}(t)>0 $，因此$\underline{x_{\mathrm{d}}(t) \ddot{y}_{\mathrm{c}}(t) }$简化为$ \min \left\{ {\left( {{x_{{\rm{d}}0}} - r} \right)\underline { \cdot {{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} ,\left( {{x_{{\rm{d}}0}} + r} \right)\underline { \cdot {{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} } \right\},\overline {{x_{\rm{d}}}(t){{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} $简化为$\max \left\{\left(x_{\mathrm{d} 0}-r\right) \cdot \overline{\ddot{y}_{\mathrm{c}}(t)},\left(x_{\mathrm{d} 0}+r\right) \cdot \overline{\ddot{y}_{\mathrm{c}}(t)}\right\} $。
式(19)和(20)的解集即为竖直轨迹的可靠参数空间，此空间内的参数组合可以确保悬索张力在运动过程中恒为正。
3.2 水平轨迹假设末端执行器沿平行于Y轴的方向周期性运动，表示如下^[15]：

$\begin{array}{c}x_{\mathrm{d}}(t)=x_{\mathrm{d} 0}, y_{\mathrm{d}}(t)=y_{\mathrm{d} 0}+r \sin (\omega t), \\x_{\mathrm{d} 0}>0, r>0.\end{array}$

(21)

其中：x_d0是轨迹在X轴的期望初始位置，y_d0是轨迹在Y轴的期望初始位置，r是轨迹水平运动的半径，ω是轨迹周期运动的频率。
将上述参数方程代入式(16)和(17)得到区间分析形式如下：

$\begin{matrix} & \underline{{{G}_{1}}(t)}+g\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}- \\ & \max \left\{ \begin{matrix} \underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\infty }}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right), \\ \overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d}}}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right) \\\end{matrix} \right\}+ \\ & \min \left\{ \begin{matrix} & \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right),\underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \\ & \overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right),\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \\ \end{matrix} \right\}+{{x}_{\text{d0}}}\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}>0, \\ \end{matrix}$

(22)

$\begin{matrix} & \overline{{{G}_{2}}(t)}+g\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}- \\ & \min \left\{ \begin{matrix} \underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d}}}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right),\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right), \\ \overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d}}}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right),\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right) \\\end{matrix} \right\}+ \\ & \max \left\{ \begin{matrix} & \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{\left. {{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t) \right)},\underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \right. \\ & \overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{\left. {{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t) \right)},\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \right. \\ \end{matrix} \right\}+{{x}_{\text{d0}}}\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}<0. \\ \end{matrix}$

(23)

其中：

$\begin{matrix} {{G}_{1}}(t)=g\left( {{y}_{\text{d}0}}+r\sin (\omega t)+\frac{A}{2} \right)-{{x}_{\text{d}0}}r{{\omega }^{2}}\sin (\omega t) \\ \Rightarrow \underline{{{G}_{1}}(t)}=-r\left( g-{{x}_{\text{d}0}}{{\omega }^{2}} \right)+g\left( {{y}_{\text{d}0}}+\frac{A}{2} \right), \\\end{matrix}$

$\begin{matrix} {{G}_{2}}(t)=g\left( {{y}_{\text{d}0}}+r\sin (\omega t)-\frac{A}{2} \right)-{{x}_{\text{d}0}}r{{\omega }^{2}}\sin (\omega t) \\ \Rightarrow \overline{{{G}_{2}}(t)}=-r\left( g-{{x}_{\text{d}0}}{{\omega }^{2}} \right)+g\left( {{y}_{\text{d}0}}-\frac{A}{2} \right). \\\end{matrix}$

对于水平轨迹，由于在$ \left(g-\ddot{x}_{\mathrm{d}}(t)\right) y_{\mathrm{c}}(t)$中有$g-\ddot{x}_{\mathrm{d}}(t)=g $，在$ x_{\mathrm{d}}(t) \ddot{y}_{\mathrm{c}}(t)$中有$x_{\mathrm{d}}(t)=x_{\mathrm{d} 0} $。其中g和x_d0均为常数，因此$\underline {\left( {g - {{\ddot x}_{\rm{d}}}(t)} \right){y_{\rm{c}}}(t)} $简化为$g \; \underline{y_{c}(t)}, \quad \overline{\left(g-\ddot{x}_{\mathrm{d}}(t)\right) y_{\mathrm{c}}(t)} $简化为$ g \quad \overline{y_{c}}(t)$, $\underline {{x_{\rm{d}}}(t){{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} $简化为${x_{{\rm{d}}0}} \; \underline {{y_{\rm{c}}}(t)} ,\overline {{x_{\rm{d}}}(t){{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} $简化为${x_{{\rm{d}}0}}\;\overline {{{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} $。
式(22)和(23)的解集即为水平轨迹的可靠参数空间，此空间内的参数组合可以确保悬索张力在运动过程中恒为正。
3.3 圆周轨迹假设末端执行器围绕点(x_d0, y_d0)的圆周轨迹运动，表示如下^[15]：

$\begin{matrix} {{x}_{\text{d}}}(t)={{x}_{\text{d}0}}+r\cos (\omega t),{{y}_{\text{d}}}(t)={{y}_{\text{d}0}}+r\sin (\omega t), \\ {{x}_{\text{d}0}}>r>0. \\\end{matrix}$

(24)

其中：x_d0是轨迹在X轴的期望初始位置，y_d0是轨迹在Y轴的期望初始位置，r是圆周轨迹的半径，ω是轨迹周期运动的频率。将上述参数方程代入式(16)和(17)，经过简化，得到区间分析形式如下：

$\begin{matrix} & \underline{{{G}_{1}}(t)}+\min \left\{ \left( g-r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)},\left( g+r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)} \right\}- \\ & \max \left\{ \begin{matrix} \underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\infty }}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right), \\ \overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d}}}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right) \\\end{matrix} \right\} \\ & +\min \left\{ \begin{matrix} & \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right),\underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \\ & \overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right),\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \\ \end{matrix} \right\}+ \\ & \min \left\{ \begin{matrix} \underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}\left( {{x}_{\text{d}0}}-r \right),\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}\left( {{x}_{\text{d}0}}+r \right) \end{matrix} \right\}>0, \\\end{matrix}$

(25)

$\begin{matrix} & \overline{{{G}_{2}}(t)}+\max \left\{ \left( g-r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)},\left( g+r{{\omega }^{2}} \right)\cdot \overline{{{y}_{\text{c}}}(t)} \right\}- \\ & \min \left\{ \begin{matrix} \underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d}}}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right),\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right), \\ \overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d}}}-r+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right),\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( {{y}_{\text{d0}}}+r+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}-\frac{A}{2} \right) \\\end{matrix} \right\} \\ & +\max \left\{ \begin{matrix} & \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{\left. {{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t) \right)},\underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \right. \\ & \overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( -r{{\omega }^{2}}+\underline{\left. {{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t) \right)},\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( r{{\omega }^{2}}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \right. \\ \end{matrix} \right\}+ \\ & \max \left\{ \begin{matrix} \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}\left( {{x}_{\text{d}0}}-r \right),\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)}\left( {{x}_{\text{d}0}}+r \right) \end{matrix} \right\}<0. \\\end{matrix} $

(26)

其中：

$\begin{matrix} {{G}_{1}}(t)=\left( g+r{{\omega }^{2}}\cos (\omega t) \right)+\left( {{y}_{\text{d}0}}+r\sin (\omega t)+\frac{A}{2} \right)- \\ \qquad \begin{matrix} r{{\omega }^{2}}\sin (\omega t)\left( {{x}_{\text{d}0}}+r\cos (\omega t) \right)\Rightarrow \underline{{{G}_{1}}(t)}= \\ -r\sqrt{{{\left( g-{{x}_{\text{d}0}}{{\omega }^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{\text{d}0}}+\frac{A}{2} \right)}^{2}}\cdot {{\omega }^{4}}}+g\left( {{y}_{\text{d}0}}+\frac{A}{2} \right), \\\end{matrix} \\\end{matrix}$

$\begin{matrix} {{G}_{2}}(t)=\left( g+r{{\omega }^{2}}\cos (\omega t) \right)+\left( {{y}_{\text{d}0}}+r\sin (\omega t)+\frac{A}{2} \right)- \\ r{{\omega }^{2}}\sin (\omega t)\left( {{x}_{\text{d}0}}+r\cos (\omega t) \right)\Rightarrow \underline{{{G}_{2}}(t)}= \\ r\sqrt{{{\left( g-{{x}_{\text{d}0}}{{\omega }^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{\text{d}0}}+\frac{A}{2} \right)}^{2}}\cdot {{\omega }^{4}}}+g\left( {{y}_{\text{d}0}}-\frac{A}{2} \right). \\\end{matrix}$

式(25)和(26)的解集即为圆周轨迹的可靠参数空间，此空间内的参数组合可以确保悬索张力在运动过程中恒为正。
3.4 动态点到点轨迹动态点到点轨迹要求末端执行器依次通过静态工作空间外的一系列点位，因此采用分段连续方程构建期望运动轨迹。其中，从目标点i运动至目标点i+1的轨迹可描述为^[16]

$\begin{matrix} {{x}_{\text{d}i}}(t)={{A}_{i}}-{{B}_{i}}\cos \left( {{\omega }_{i}}t \right)+{{r}_{i}}\cos \left( 2{{\omega }_{i}}t \right), \\ {{y}_{\text{d}i}}(t)={{C}_{i}}-{{D}_{i}}\cos \left( {{\omega }_{i}}t \right). \\\end{matrix}$

(27)

其中：

${{A}_{i}}=\left( \frac{{{x}_{i}}+{{x}_{i+1}}}{2} \right)-{{r}_{i}},{{B}_{i}}=\left( \frac{{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}}{2} \right),$

${{C}_{i}}=\left( \frac{{{y}_{i}}+{{y}_{i+1}}}{2} \right),{{D}_{i}}=\left( \frac{{{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}}{2} \right),$

${{\omega }_{i}}=\sqrt{\frac{{{{\ddot{y}}}_{i}}}{{{D}_{i}}}},{{r}_{i}}=\frac{1}{4}\left( {{B}_{i}}-\frac{{{{\ddot{x}}}_{i}}}{\omega _{i}^{2}} \right).$

期望轨迹的上下限选取各分段期望轨迹的共同上下限，如：$ \underline {{G_1}(t)} = \min \left( {\underline {{G_{1i}}(t)} } \right),\overline {{G_2}(t)} = $$\max \left(\overline{G_{2 i}(t)}\right) $等，从而得到动态点到点轨迹的公共可靠参数空间。将上述参数方程代入式(16)和(17)，可以得到区间分析形式如下：

$\begin{matrix} & \underline{{{G}_{1}}(t)}+\min \left\{ \left( g-\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{d}}}(t)} \right)\cdot \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)},\left( g-\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{d}}}(t)} \right)\cdot \underline{{{y}_{\text{c}}}(t)} \right\}- \\ & \max \left\{ \begin{matrix} \underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{y}_{\text{d}}}(t)}+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\underline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{y}_{\text{d}}}(t)}+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right), \\ \overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{y}_{\text{d}}}(t)}+\underline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right),\overline{{{{\ddot{x}}}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{y}_{\text{d}}}(t)}+\overline{{{y}_{\text{c}}}(t)}+\frac{A}{2} \right) \\\end{matrix} \right\} \\ & +\min \left\{ \begin{matrix} & \underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{d}}}(t)}+\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right),\underline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{d}}}(t)}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \\ & \overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{d}}}(t)}+\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right),\overline{{{x}_{\text{c}}}(t)}\cdot \left( \overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{d}}}(t)}+\overline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right) \\ \end{matrix} \right\}+ \\ & \min \left\{ \underline{{{x}_{\text{d}}}(t)}\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)},\overline{{{x}_{\text{d}}}(t)}\underline{{{{\ddot{y}}}_{\text{c}}}(t)} \right\}>0, \\ \end{matrix}$

(28)

$\begin{matrix}\overline {{G_2}(t)} + \max \left\{ {\left( {g - \overline {{{\ddot x}_{\rm{d}}}(t)} } \right) \cdot \overline {{y_{\rm{c}}}(t)} ,\left( {g - \underline {{{\ddot x}_{\rm{d}}}(t)} } \right) \cdot \overline {{y_{\rm{c}}}(t)} } \right\} - \\\min \left\{ {\begin{matrix}{\underline {{{\ddot x}_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\underline {{y_{\rm{d}}}(t)} + \underline {{y_{\rm{c}}}(t)} - \frac{A}{2}} \right),\underline {{{\ddot x}_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\overline {{y_{\rm{d}}}(t)} + \overline {{y_{\rm{c}}}(t)} - \frac{A}{2}} \right),}\\{\overline {{{\ddot x}_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\underline {{y_{\rm{d}}}(t)} + \underline {{y_{\rm{c}}}(t)} - \frac{A}{2}} \right),\overline {{{\ddot x}_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\overline {{y_{\rm{d}}}(t)} + \overline {{y_{\rm{c}}}(t)} - \frac{A}{2}} \right)}\end{matrix}} \right\}\\ + \max \left\{ {\begin{matrix}{\underline {{x_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\underline {{{\ddot y}_{\rm{d}}}(t)} + \underline {{{\ddot y}_c}(t)} } \right),\underline {{x_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\overline {{{\ddot y}_{\rm{d}}}(t)} + \overline {{{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} } \right)}\\{\overline {{x_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\underline {{{\ddot y}_{\rm{d}}}(t)} + \underline {{{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} } \right),\overline {{x_{\rm{c}}}(t)} \cdot \left( {\overline {{{\ddot y}_{\rm{d}}}(t)} + \overline {{{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} } \right)}\end{matrix}} \right\} + \\\max \left\{ {\underline {{x_{\rm{d}}}(t)} \overline {{{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} ,\overline {{x_{\rm{d}}}(t)} \overline {{{\ddot y}_{\rm{c}}}(t)} } \right\} < 0.\end{matrix}$

(29)

区间分析后的不等式解集即为可靠参数空间，此空间内的参数组合可以确保悬索张力在运动过程中恒为正。
3.5 初始状态的调整上述区间分析所获得的针对特定期望轨迹的可靠参数空间，在更为一般性的情况下存在着不包含末端执行器实际初始状态的可能性，因此需要对实际初始状态进行调整。末端执行器初始点位(x₀, y₀)可以采用文[20]中的定点控制方法在机构静态工作空间内进行调节；初始速度$\left(v_{x_{0}}, v_{y_{0}}\right) $)则可以通过在期望轨迹之前规划过渡轨迹来改变。
4 仿真验证为了验证所求参数空间的可靠性，对二自由度悬索并联机器人的轨迹跟踪工作以及运动过程中的柔索张力进行数值仿真。仿真主要针对末端执行器初始状态与期望轨迹初始状态不重合的情形进行分析验证，将二者完全重合的情况视为次要问题。在仿真实验中，两线轴之间距离A为0.75 m，重力加速度9.8 m/s²。期望轨迹各参数数值根据文[15-16]中的计算方法进行选取。
当初始点位与初始速度给定时，通过区间分析可以得到关于ω_c的一维可靠空间；当初始速度给定，初始点位为变量时，可以通过区间分析得到初始点位(x₀, y₀)和ω_c的三维可靠空间。
4.1 关于ω_c的一维可靠空间仿真1) 竖直轨迹。
选取$ x_{0}=0.74 \mathrm{~m}, x_{\mathrm{d} 0}=0.75 \mathrm{~m}, y_{0}=0.01 \mathrm{~m} $, $0.1{\rm{m}},{v_{{x_0}}} = {v_{{y_0}}} = 0{\rm{m}}/{\rm{s}},r = 0.5{\rm{m}},\omega = 2.5{{\rm{s}}^{ - 1}},$$\sqrt{g / x_{\mathrm{d} 0}}$，通过区间运算可以得到竖直轨迹的控制器自然频率ω_c的解域为$0 \mathrm{~s}^{-1}<\omega_{\mathrm{c}}<8.345 \mathrm{~s}^{-1} $。
2) 水平轨迹。
选取$ x_{0}=2.01 \mathrm{~m}, x_{\mathrm{d} 0}=2 \mathrm{~m}, y_{0}=0.11 \mathrm{~m}, y_{\mathrm{d} 0}=$$0.1 \mathrm{~m}, v_{x_{0}}=v_{y_{0}}=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, r=0.5 \mathrm{~m}, \omega=2.5 \mathrm{~s}^{-1}$，通过区间运算可以得到控制器自然频率ω_c的解域为$ 0.757 \mathrm{~s}^{-1}<\omega_{\mathrm{c}}<0.782 \mathrm{~s}^{-1}$。
3) 圆周轨迹。
选取$ x_{0}=25.01 \mathrm{~m}, x_{\mathrm{d} 0}=25 \mathrm{~m}, y_{0}=0.01 \mathrm{~m}, y_{\mathrm{d} 0}=$$0 \mathrm{~m}, v_{x_{0}}=v_{y_{0}}=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, r=0.417 \mathrm{~m}, \omega=0.625 \mathrm{~s}^{-1} $，通过区间运算可以得到控制器自然频率ω_c的解域为$0.265 \; 5 \mathrm{~s}^{-1}<\omega_{\mathrm{c}}<0.266 \; 3 \mathrm{~s}^{-1} $。
4) 动态点对点轨迹。
选取一组目标点作为仿真轨迹，利用式(27)来规划目标点之间的轨迹，确保轨迹的连续性，各段轨迹描述如下：

$\begin{array}{l}1 \to 2\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{\rm{d}}1}}(t) = 1.375 - 0.5\cos (1.565t) + 0.125\cos (3.13t)}\\{{y_{{\rm{d}}1}}(t) = 0.4\cos (1.565t),}\end{array}\\2 \to 3\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{\rm{d}}2}}(t) = 2.05 - 0.4\cos (1.565t) + 0.3\cos (3.13t)}\\{{y_{{\rm{d}}2}}(t) = - 0.4\cos (1.565t),}\end{array}\\3 \to 4\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{\rm{d}}3}}(t) = 2.37 - 0.1\cos (1.476t) + 0.53\cos (2.95t)}\\{{y_{{\rm{d}}3}}(t) = - 0.05 + 0.45\cos (1.476t),}\end{array}\\4 \to 5\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{\rm{d}}4}}(t) = 2.6 - 0.3\cos (1.4t) + 0.7\cos (2.8t)}\\{{y_{{\rm{d}}4}}(t) = - 0.5\cos (1.4t)}\end{array}\end{array}$

(30)

选取$ x_{0}=0.99 \mathrm{~m}, x_{\mathrm{d} 0}=1 \mathrm{~m}, y_{0}=0.3 \mathrm{~m}, y_{\mathrm{d} 0}=$$ 0.4 \mathrm{~m}, v_{x_{0}}=v_{y_{0}}=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 通过区间运算可以得到控制器自然频率$ 0 \mathrm{~s}^{-1}<\omega_{\mathrm{c}}<1.1 \mathrm{~s}^{-1}$。
选取ω_c：竖直轨迹ω_c=5 s^-1，水平轨迹ω_c=7 s^-1，圆周轨迹ω_c=0.266 s^-1，点对点轨迹ω_c=1 s^-1。对末端执行器运动过程中的实际轨迹与期望轨迹进行仿真，收敛情况如图 2所示。为了验证所求得的可靠参数空间满足机构张力约束，对上述参数下运动过程中的张力进行仿真。如图 3所示，悬索在运动过程中张力恒为正。

图 2 期望轨迹与实际轨迹

图选项

图 3 两柔索张力

图选项

4.2 (x₀, y₀)和ω_c的三维可靠空间仿真1) 竖直轨迹。
选取v_x0=2.5 m/s, v_y0=0, x_d0=0.75 m, y_d0=0 m, r=0.1 m, $\omega=\sqrt{g / x_{\mathrm{d} 0}} $，此时轨迹实际初始速度大于期望轨迹初始速度。
2) 水平轨迹。
选取v_x0=0 m/s, v_y0=1 m/s, x_d0=2 m, y_d0=0.1 m, r=0.5 m, ω=2.5 s^-1，此时轨迹实际初始速度小于期望轨迹初始速度。
3) 圆周轨迹。
选取v_x0=0 m/s, v_y0=2 m/s, x_d0=2 m, y_d0=0.1 m, r=1 m, ω=2 s^-1，此时轨迹实际初始速度与期望轨迹初始速度相等。
4) 动态点对点轨迹。
选取v_x0=0.1 m/s, v_y0=0.1 m/s，期望轨迹如式(30)所示，此时轨迹实际初始速度大于期望轨迹初始速度。
通过区间运算可以得到ω_c和(x₀, y₀)的三维可靠空间如图 4所示，从图 4中可以看出，越接近初始期望位置的初始点所对应的控制器参数ω_c的解域范围越大，在与期望初始点重合时达到最大解域。其中，(x₀, y₀)所能取到的最大区域如图 5所示，此区域中的初始点均可获得满足张力约束的ω_c解集。

图 4 控制器参数ωc与(x0, y0)的三维可靠空间

图选项

图 5 (x0, y0)的可靠区域

图选项

5 结论本文针对二自由度悬索并联机器人的轨迹跟踪控制设计计算力矩控制器，并围绕悬索张力始终为正这一条件获得2个不等式约束。随后采用区间分析分别求解不同轨迹下关于控制器参数与初始状态的不等式，从而获得满足悬索张力约束的控制器参数与初始状态的可靠参数空间。针对水平轨迹、竖直轨迹、圆周轨迹以及动态点到点轨迹的仿真实验结果表明：本文所提出的方法可以使末端执行器以指数速率收敛于期望轨迹，并实现运动轨迹的自动过渡。如果将初始速度同样视为变量，那么仿真实验中的可靠参数空间可以进一步扩展为五维，从而获得更丰富的参数组合。

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