1.National Laboratory of Solid State Microstructures, Department of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China 2.Collaborative Innovation Center of Advanced Microstructures, Nanjing University, Nanjing 210093, China
Fund Project:Project supported by the National Basic Research Program of China (Grant No. 2016YFA0300401) and the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11774152)
Received Date:21 December 2020
Accepted Date:03 January 2021
Available Online:04 January 2021
Published Online:05 January 2021
Abstract:High-Tc cuprates, iron-based superconductors, heavy-fermion superconductors and κ-type layered organic superconductors share some common features ? the proximity of the superconducting state to the magnetic ordered state and the non-s-wave superconducting pairing function. It is generally believed that the Cooper pairings in these unconventional superconductors are mediated by spin fluctuations. In this paper, we present a brief overview on the spin dynamics and unconventional pairing, focusing on high-Tc cuprates and iron-based superconductors. In particular, we will overview the properties of the neutron spin resonance and its possible origin, the pairing mechanism in Hubbard model within the weak-coupling framework and its application to the aforesaid unconventional superconductors. We point out that the interplay between magnetism and superconductivity is still an area of active research. Keywords:unconventional superconductivity/ spin excitation/ superconducting pairing symmetry/ spin resonance
铜氧化物高温超导体的磁性和超导性来自具有正方形晶体结构的铜氧平面, 铜的$3 {\rm d}^{9}$电子组态中一个未配对电子在未掺杂时构成反铁磁长程序, 由此其磁结构的平移周期性相对于晶体结构的平移周期性扩大了二倍, 所以在所谓的反铁磁波矢$ (\pi, \pi) $处出现公度的弹性中子散射峰. 在未掺杂的母体如La2CuO4中, 非弹性中子散射测量得到的自旋激发谱如图2所示[35,36]. 早期的工作发现[35], 除最近邻海森堡反铁磁交换外, 包含至第三近邻的自旋交换作用和四个自旋的环形交换(ring exchange)作用, 线性自旋波理论计算所得结果(图2(a)和图2(b)中实线所示)可以很好地描写实验得到的自旋激发色散和中子散射强度(图2(a)和图2(b)中的符号所示). 后来, 同一实验组利用更高质量的样品和更大角探测范围的中子谱仪发现[36], 尽管低能激发可以很好地由线性自旋波理论解释, 但靠近$ (0, \pi) $处的高能自旋波强度明显被压制, 而且在自旋波能量以上还存在连续的谱特征(图2(c)和图2(d)). 这个结果表明, 铜氧化物高温超导母体的自旋激发不能完全由基于反铁磁奈尔序的自旋波(即磁振子)来描写. 最近, 在另一个虽然不超导, 但被认为是目前最好的实现了最近邻海森堡反铁磁交换(即具有最小的次近邻等其他交换作用)的体系Cu(DCOO)2·4D2O中, 中子散射实验也在$ (0, \pi) $附近观察到类似的反常[37]. 一种观点认为这反常是由于$ (0, \pi) $附近的磁振子(自旋为1)部分分数化为两个自旋为1/2的自旋子所致[36,37,38,39]. 但也有观点认为是由于超出线性自旋波近似的多磁振子的相互作用效应[40-42]. 这表明, 即使是未掺杂的反铁磁母体也含有通常基于奈尔态出发的线性自旋波所没有包含的关联效应, 但是其低能磁激发确实能很好地由最近邻海森堡模型的自旋波理论描写. 图 2 铜氧化物高温超导母体La2CuO4的自旋波色散和自旋波强度与二维波矢的依赖关系, 波矢方向见插图. (a)和(c)表示色散, (b)和(d)表示自旋波强度. 其中的实线是线性自旋波理论的计算结果(见文中介绍). 图(a)和图(b)来自文献[35], 图(c)和图(d)来自文献[36] Figure2. (a), (c) Spin-wave dispersion in La2CuO4 along high symmetry directions in the two dimensional Brillouin zone as indicated in the inset. (b), (d) Spin-wave intensity as a function of the wave vector. Line is the prediction of the linear spin-wave theory. Fig. (a) and Fig. (b) are reproduced from Ref. [35], Fig. (c) and Fig. (d) from Ref. [36].
一定浓度掺杂后, 反铁磁长程序消失, 但自旋涨落依然存在. 表现为自旋激发可以很好定义为一种集体激发, 也即自旋激发谱函数在其特征波矢处会呈现很好定义的洛伦兹型峰. 在超导态, 中子散射实验揭示出自旋激发谱具有普适色散关系, 通常称之为沙漏状(hourglass)色散, 如图3所示[25]. 它的基本特征是: 在低能部分, 自旋激发色散开口向下; 在高能部分, 开口向上; 在$ (\pi, \pi) $点两支色散交汇, 形成所谓的“自旋共振模”[18](“自旋共振模”将在第4节中专门介绍). 如果自旋激发的特征波矢不在公度的$ (\pi, \pi) $, 我们将这种自旋激发称之为非公度的. 所以, 沙漏状色散也可描述为: 自旋共振模能量以下, 随能量增加, 非公度量变小; 而自旋共振模能量以上, 则非公度量随能量增加. 尽管在低能和高能区自旋激发都是非公度的, 但是非公度峰在动量空间的分布却显著不同[43,44]. 如图4所示, 在自旋共振模以下的低能区非公度峰沿轴向分布, 即$ (\pi, \pi\pm\delta \pi) $和$ (\pi\pm\delta \pi, \pi) $, 而高能区非公度峰沿对角线方向分布, 即$ (\pi\pm\delta \pi, \pi\pm\delta \pi) $. 实验发现, 非公度量($ \delta $)和掺杂浓度(x)有关[45,46]. 在欠掺杂区, 非公度量和掺杂浓度成正比, 即所谓的Yamada关系$ \delta = 2 x $[45]. 在最佳掺杂及过掺杂区, 非公度量缓慢增长并最终趋于常数[45,46]. 在正常态, 虽然实验可以确认有自旋涨落存在, 但其激发相对超导态有较大的展宽, 实验也没有发现其具有普适的色散关系. 图 3 中子散射实验揭示的掺杂铜氧化物高温超导自旋激发普适色散—沙漏状色散. 图(b)用于比较掺杂和未掺杂体系自旋激发谱的变化, 其中的实线表示未掺杂体系的自旋激发色散(纵轴的单位为meV). 图(a)和图(b)分别来自文献[25]和文献[47] Figure3. The universality of the spin excitations in doped high-Tc cuprates—the hourglass dispersion revealed by neutron scattering experiments. Figure (b) is shown for a comparison with the dispersion in the undoped system, which is represented schematically by the solid lines. The figures are reproduced from Ref. [25] and Ref. [47], respectively.
图 4 中子散射实验揭示的铜氧化物高温超导YaBa2Cu3O6.6自旋激发在动量空间的分布 (a)激发能$ E = 24\;{\rm{meV}} $; (b)激发能 $ E = 34\;{\rm{meV}} $; (c)激发能 $ E = 75\;{\rm{meV}} $. 其中$ 34\;{\rm{meV}} $对应于自旋共振模能量. 图来自文献[43] Figure4. Images of spin excitations in the momentum space for YaBa2Cu3O6.6 revealed by neutron scattering experiments, at different excitation energies: (a) $ E = 24\;{\rm{meV}} $; (b) $ 34\;{\rm{meV}} $; (c) $ 75\;{\rm{meV}} $. $ 34\;{\rm{meV}} $ is the energy of the spin resonance. Figures are reproduced from Reference [43].
其中, $ E( {{k}})>0 $表示超导态的准粒子能量. 对于电-声子机制的常规超导, 这时势$ V_{\rm s}( {{k}}- {{k}}^{\prime}) $描述的是交换声子而产生的有效电子间吸引作用, 通常可以近似为常数$ -V_0 $. 这样, (6)式的解近似为一个不依赖$ {{k}} $的常数, 即常规的s-波配对. 对于交换反铁磁自旋涨落的超导配对, 其有效相互作用势通常会在自旋涨落的特征波矢附近表现为一个强峰. 如图7(a)所示, 对于四方晶格的哈伯徳模型, 这个强峰围绕$ {{Q}} = (\pi, \pi) $. 所以, (6)式可以近似为$ \varDelta( {{k}}) \approx -V_{\rm s}(-{ Q}) \varDelta( {{k}}+{ Q})/2 E( {{k}}+{ Q}) $. 由于$ V_{\rm s}({{q}}) $总是大于零的排斥势, 方程有解必然要求$ \varDelta( {{k}}) = -\varDelta( {{k}}+{ Q}) $. 根据这个要求, 我们可以理解铜氧化物超导的d-波配对态和铁基超导中同时具有电子型和空穴型费米口袋系统中的$ {\rm s}_{\pm} $-波配对态. 掺杂后铜氧化物高温超导自旋涨落的特征波矢靠近反铁磁波矢$ (\pi, \pi) $, 相应地自旋涨落导致的电子间有效相互作用势具有围绕$ (\pi, \pi) $的峰, 如图7(a)所示. 而空穴掺杂铜氧化物超导的典型电子费米面如图8中的粗黑线所示, 由于靠近$ (0, \pi) $和$ (\pi, 0) $的费米面可以近似由$ (\pi, \pi) $连接. 按照自旋涨落机制对能隙函数的要求, 围绕$ (0, \pi) $和$ (\pi, 0) $的能隙须反号, 所以给出的最有利的配对波函数是$ {\rm d}_{x^{2}-y^{2}} $-波, 其中能隙的节点(能隙为零的点)沿图中对角线方向. 图8所示是基于单带哈伯徳模型将方程(3)代入方程(5), 然后计算得到的对应最可能超导能隙在布里渊区的分布. 可以清楚看出, 表现为很好的$ {\rm d}_{x^{2}-y^{2}} $-波分布, 与上面的分析一致. 而扩展s-波$ \varDelta( {{k}}) = \varDelta(0)(\cos k_{x}+\cos k_{y}) $的能隙函数在$ k_{x}\pm k_{y} = \pm \pi $四条线围成的一半布里渊区内取正号, 另一半取负号, 不满足由$ (\pi, \pi) $连接的两片费米面变号的要求, 所以在能量上并不有利. 图 8 利用哈伯徳模型的弱耦合计算方法(方程(3)和方程(5))得到的最有利能隙函数在布里渊区的分布. 其中的粗黑线表示电子费米面, 点线表示配对能隙函数的节点(能隙为零的点). 计算参数基于对铜氧化物高温超导的近似描述, 具体见图7的说明文字. 图来自文献[67] Figure8. The most favorable pairing function obtained from the weak-coupling approach to the Hubbard model Eqs.(3) and (5). The solid lines denote the Fermi surface and dotted lines denote the gap nodes. The parameters are the same as those given in the caption of Fig. 7, which are thought to describe approximately high-Tc cuprates. Figure is reproduced from Ref. [67].
典型的铁基超导体具有两类费米面, 分别为空穴型费米面和电子型费米面, 它们之间存在一定的套叠, 所以自旋极化率会在套叠波矢$ {{Q}}_{\rm{AF}} $处显示一个峰. 同理, 反铁磁涨落导致的电子配对要求由波矢$ {{Q}}_{\rm{AF}} $连接的两片费米面上的能隙函数反号[74]. 图9所示的是基于描写铁基超导的有效两带哈伯徳模型[75]计算所得结果[76]. 图9 (a)所示的是自旋极化率$ \chi({{q}}, \omega = 0) $在动量空间的分布, 可以看出它在$ (0, \pi) $及其对称点存在峰. 这是由于围绕Γ点的空穴费米面与围绕M的电子费米面之间的套叠而形成, 如图9(d)所示, 其中$ {{Q}}_{\rm{AF}} = (0, \pi) $. 这个结果对应于典型铁基超导体中的条纹反铁磁涨落[16]. 由此可以计算这种反铁磁自旋涨落导致的超导配对对称性, 结果如图9 (b)和图9(c)所示, 分别表示能隙函数在电子型费米面和空穴型费米面上的分布. 可以看出, 每个费米面上能隙符号不变且大小也变化很小, 但不同费米面上反号. 这种能隙现在普遍称之为$ {\rm s}_{\pm} $-波配对[13,77]. 基于能更好描写铁基超导能带结构的五带哈伯徳模型[78], 弱耦合计算结果与上述的两带模型结果定性一致[79,80]. 这反映出, 在自旋涨落机制中最主要的物理是空穴型与电子型费米面之间套叠产生的自旋涨落使这两个费米面上的超导能隙反号[74]. 最后, 我们还想强调的是: 波矢为$ {{Q}}_{\rm{AF}} = (\pi, 0) $的反铁磁自旋涨落作为“胶水”导致的电子配对并不是能带间电子配对而是带内配对. 即, 两个配对电子并不分别位于由$ {{Q}}_{\rm{AF}} $连接的空穴型能带和电子型能带上, 而是要么都位于空穴带要么都位于电子带. 这是因为配对的两个电子如果一个位于空穴型能带另一个位于电子型能带(带间配对), 则无法满足分别具有$ {{k}} $和$ -{{k}} $的总动量为零的条件. 在这里, 自旋涨落作为“胶水”的作用体现为: 一对$ {{k}} $和$ -{{k}} $的位于空穴带(电子带)的电子, 经由波矢为$ {{Q}}_{\rm{AF}} $的自旋涨落被散射至电子带(空穴带), 这样的散射形成了束缚态, 即库珀对. 图 9 (a)自旋激发率$ \chi ({{q}}, \omega = 0) $, (b)电子型能带和(c)空穴型能带上最有利配对函数在动量空间的分布. 这些结果基于对描写铁基超导最简单的两带哈伯徳模型[75]的弱耦合理论计算[76]. (d)费米面, 其中$ Q_{\rm{AF}} $表示围绕Γ的空穴费米面与围绕M的电子费米面之间的套叠波矢. 图来自文献[76] Figure9. Momentum dependence of the spin susceptibility $ \chi ({{q}}, \omega = 0) $ (a), the most favorable pairing functions on the electron Fermi pocket (b) and hole Fermi pocket (c). The results are obtained from the weak-coupling approach to the two-band Hubbard model [76], which is thought to be the simplest model describing iron iron pnictides [75]. (d) The Fermi surface in which $ Q_{\rm{AF}} $ denote the nesting wavevector between the hole pocket around Γ and electron pocket around M. Figures are reproduced from Ref. [76].
4.自旋共振模与非常规超导如前所述, 除铜氧化物高温超导外, 目前发现掺杂后铁基和重费米子超导都没有比较普适的自旋激发色散. 但这几类非常规超导的自旋激发具有一个共同特征—中子自旋共振峰. 自旋共振峰首先在最佳掺杂铜氧化物高温超导体YBa2Cu3O6.92中被发现[18]. 利用中子散射实验, Rossat-Mignod等[18]发现其自旋激发谱在反铁磁波矢$ (\pi, \pi) $处能量41 meV附近存在一个峰, 如图10(a)所示. 由于这个峰的尖锐度在当时的实验测量中只受仪器分辨率限制, 所以被认为是一种自旋共振模. 自旋共振峰在正常态会消失(见图10), 尽管有实验表明在铜氧化物高温超导体的赝能隙区也能观察到. 它的强度具有与超导能隙类似的温度依赖关系(如图11所示), 因此被认为与超导紧密相关. 其后, 在铜基超导的其他体系包括空穴和电子掺杂体系[95-97], 铁基超导的多个体系[16,19,59,60], 以及重费米子超导中[20,28]都发现了自旋共振峰. 在一些体系中, 单纯从中子散射谱的能量依赖上来观察, 自旋共振模对应的峰并不很明显, 尤其是在过掺杂区域. 所以有一些实验是通过探测超导态与正常态中子散射谱的差别来观察某一能量处是否存在附加峰, 同时辅之以研究峰的强度是否与超导能隙具有类似的温度依赖关系来确定. 图 10 中子散射实验在(a)铜氧化物超导YBa2Cu3O6.92, (b)铁基超导BaFe1.85Co0.15As2和(c)重费米子超导CeCoIn5中测量的自旋极化率Im$ \chi ({{q}}, \omega) $与能量的依赖关系. 其中不同符号点标志的曲线表示不同温度的结果. 图来自文献[18,59, 20] Figure10. Spin susceptibility Im$ \chi ({{q}}, \omega) $ measured by neutron scattering on (a) YBa2Cu3O6.92, (b) BaFe1.85Co0.15As2 and (c) CeCoIn5 for different temperatures below and above the superconducting transition temperature. Figures are reproduced from Refs. [18, 59, 20], respectively.
图 11 (a)铜氧化物超导YBa2Cu3O6.97, (b)铁基超导Ba0.6K0.4Fe2As2和(c)重费米子超导Nd0.05Ce0.95CoIn5中自旋共振峰强度随温度的依赖关系. 图分别来自文献[27, 19, 28] Figure11. Temperature evolution of the neutron intensity around the spin resonance in (a) the high-Tc cuprate YBa2Cu3O6.97, (b) iron-based superconductor Ba0.6K0.4Fe2As2 and (c) heavy fermion superconductor Nd0.05Ce0.95CoIn5. Figures are reproduced from References [27, 19, 28], respectively.