摘要:携带轨道角动量的涡旋光束作为传输信息的载体能有效提高信息传输效率, 然而在传输过程中受大气湍流影响轨道角动量会发生串扰. 基于螺旋谱分析理论, 推导得到了聚焦拉盖尔高斯光束在各向异性大气湍流中传输时的螺旋谱解析表达式, 并对比分析不同湍流和光束参数对聚焦与非聚焦拉盖尔高斯光束接收功率的影响, 最后利用多相位屏法进行模拟验证. 结果表明: 随着传输距离、湍流强度、拓扑荷数的增大以及湍流内尺度、光束波长的减小, 接收功率减小, 轨道角动量串扰增大; 接收孔径到达一定值时对轨道角动量串扰的影响非常小; 聚焦光束比非聚焦光束的轨道角动量串扰要小. 这些结果将对提高自由空间光通信的质量有一定意义.
关键词: 大气湍流/
聚焦涡旋光束/
轨道角动量串扰/
多相位屏法

English Abstract

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涡旋光通信将涡旋光束的光子轨道角动量(orbital angular momentum, OAM)用于自由空间光通信^[1,2]中, 丰富了通信系统的调制方式, 增加了通信信道容量, 能有效解决随着信息共享需求不断增长而带来的数据传输的潜在瓶颈. 但是, 由于湍流的存在, 携带信息的光束在大气中传输时会受到随机波动的大气湍流折射率的影响^[3-5], 初始OAM态在湍流的影响下扩散到了相邻的OAM态, 导致具有OAM态的入射光束在接收平面上会有许多不同于初始OAM模式的OAM态, 这种效应称为OAM态串扰. OAM态串扰会导致传输系统整体性能下降, 误码率增加, 极大地降低了光束质量^[6].
国内外已展开了许多有关涡旋光束OAM串扰的研究^[7-12], 光束类型多为经典的涡旋光束, 有关聚焦涡旋光束的研究很少. 仓吉等^[13]研究了聚焦高斯空心涡旋光束通过大气湍流传输后焦平面内的光强分布模型. 吴逢铁等^[14]分析了高阶贝塞尔光束聚焦后的重建行为, 数值模拟了光束重建后的三维光场分布和截面光强分布. 罗亚梅等^[15]研究了聚焦高斯涡旋光束在聚焦场中电场和磁场的偏振奇点变化规律. 目前的研究没有涉及大气湍流对聚焦涡旋光束OAM串扰的影响. 本文以聚焦拉盖尔高斯(Laguerre-Gaussian, LG)涡旋光束为模型, 根据螺旋谱分析理论, 利用衍射积分公式, 详细研究了这类光束在真空中传输的光强分布以及受大气湍流影响后的螺旋谱分布特性, 重点分析了湍流强度、各向异性系数、湍流内尺度、焦距、拓扑荷数、光束束腰半径及光束波长对OAM串扰的影响, 并与LG光束的结果做比较, 最后利用多相位屏方法模拟验证了所得结果.

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2.1.聚焦LG涡旋光束

将会聚透镜放置在LG光束源平面前方, 经过会聚透镜后的光场^[16]表示为

${U_1}(r,\theta,0)={U_0}(r,\theta,0)\exp \left( - \frac{{{\rm{i}}k{r^2}}}{{2f}}\right), $

$\begin{split}{U_0}(r,\theta,0)=\; & A{( - {\rm{i}})^l}{\left( {\frac{{\sqrt 2 r}}{{{w_0}}}} \right)^l}L_p^l\left( {\frac{{2{r^2}}}{{{w_0}^2}}} \right)\\ & \times\exp \left( {\frac{{ - {r^2}}}{{{w_0}^2}}} \right)\exp ({\rm{i}}l\theta ), \end{split}$

式中, ${U_0}(r, \theta, 0)$为入射LG光束源平面光场表达式, r, θ分别表示源平面极坐标中的径向参数和角向参数, $A = \sqrt {{{2 p!} / {\left( {l + p} \right)!{\text{π}}}}} $为归一化因子, w₀为初始波束束腰半径, l为LG光束的OAM指数, p为径向指数, $L_p^l\left( {} \right)$为广义拉盖尔多项式, $k = {{2{\text{π}}} / \lambda }$为波数, $\lambda $为波长, f为焦距.
根据菲涅耳衍射积分表达式, 得到聚焦LG光束在真空中传输距离为L时的表达式为

$\begin{split} & {U_{{\rm{free}}}}\left(\rho,\phi,L\right)= \\ & A{\left( - {\rm{i}}\right)^l}{\left(\frac{{\sqrt 2 \rho }}{{{w_0}}}\right)^l}\frac{{{{\left(2 - q\right)}^p}}}{{{q^{l + p + 1}}}} \exp \left( - \frac{{{\rho ^2}}}{{{w_0}^2q}}\right)\exp \left( - \frac{{{\rm{i}}k{\rho ^2}}}{{2qf}}\right) \\ &\times L_p^l\left[\frac{{(2/{w_0}^2 \!+\! {\rm{i}}k/f){\rho ^2}}}{{q\left(2 - q\right)}}\right] \exp \left({\rm{i}}kL\right)\exp \left( - {\rm{i}}l\phi \right), \\[-17pt]\end{split} $

其中, $\rho $, $\phi $分别表示接收平面极坐标中的径向参数和角向参数. $q = 1 + 2{\rm{i}}L/(k{w_0}^2) - L/f$, L为传输距离, L = f.
图1中x表示接收平面上的点离光轴的距离. LG光束聚焦后, 光束尺寸减小, 光强增大, 焦距越短效果越明显. 这是由于聚焦效果与焦距有一定关系, 当瑞利距离远大于焦距f时, 聚焦效果更好.
图 1 聚焦LG光束真空中传输不同距离的光强分布
Figure1. Intensity distribution of the focused LG beam propagating at different distances in vacuum

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2.2.聚焦LG涡旋光束串扰特性

为了更清晰地描述轨道角动量模式, 通常把涡旋光束的表达式分解成螺旋谐波函数的线性叠加, 从而形成了轨道角动量谱, 也称为螺旋谱. 聚焦LG光束经过大气湍流后的光场用螺旋谐波函数展开^[17]为

$U\left( {\rho,\phi,L} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π}}} }}\sum\limits_{l = - \infty }^\infty {{a_l}} \left( {\rho,L} \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\phi } \right), $

式中

${a_l}\left( {\rho,L} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π}}} }}\int_0^{2{\text{π}}} {U\left( {\rho,\phi,L} \right)} \exp \left( { - {\rm{i}}l\phi } \right){\rm{d}}\phi, $

${\left| {{a_l}\left( {\rho, L} \right)} \right|^2}$则表示聚焦LG光束在$\left( {\rho, L} \right)$位置处的模式概率密度. 在大气湍流中, 模式概率密度与湍流介质的系综平均有关:

$\begin{split}& |{a_l} (\rho,L)|^2 \\=\;& \frac{1}{{2{\text{π}}}}\int\nolimits_0^{2{\text{π}}} {\int\nolimits_0^{2{\text{π}}} {{U_{{\rm{free}}}}\left( {\rho,\phi,L} \right)} } U^*_{{\rm{free}}} (\rho ',\phi ',L) \\& \times\exp \big[-{\rm i} l (\phi - \phi')\big] \big\langle \exp [\psi ( \rho,\phi,L)\big] \\& + {{\exp }^*} \big[\psi (\rho ',\phi ',L)\big] \big\rangle {\rm d}\phi {\rm d}\phi'. \end{split} $

基于Rytov相位结构函数的二次近似, 有关系式^[18]:

$\begin{split} &\left\langle {\exp \left[ {\psi \left( {\rho,\phi,L} \right)} \right] + {{\exp }^*}\left[ {\psi \left( {\rho ',\phi ',L} \right)} \right]} \right\rangle\\ \approx\; & \exp \left\{ { - \left[ {{\rho ^2} + {{\rho '}^2} - 2\rho \rho '\cos \left( {\phi - \phi '} \right)} \right]/{\rho _0}^2} \right\}, \end{split}$

其中${\rho _0}$是光束在各向异性non-Kolmogorov湍流下的空间相干长度, 形式为

${\rho _0} = {\left[ {{{\text{π}}^2}{k^2}L/3\int_0^\infty {{\kappa ^3}{\varPhi _n}(\kappa ){\rm{d}}} \kappa } \right]^{ - 1/2}}, $

式中, ${\varPhi _n}(\kappa )$为各向异性大气湍流的功率谱^[19],

$\begin{split}& {\varPhi _n}(\kappa )\\ =\; & A(\alpha )C_n^2{\mu ^2}\frac{{{\rm{exp}}\left\{ { - \left[ {{\mu ^2}{\rm{(}}{\kappa _x}^2 + {\kappa _y}^2{\rm{)}} + {\kappa _z}^2} \right]/{\kappa _l}^2} \right\}}}{{{{\left[ {{\mu ^2}{\rm{(}}{\kappa _x}^2 + {\kappa _y}^2{\rm{)}} + {\kappa _z}^2 + {\kappa _0}^2} \right]}^{\alpha /2}}}},\\ & \qquad 3 < \alpha < 4 ,\\[-10pt] \end{split}$

其中, ${\kappa _0} = 4{\text{π}}/{L_0}$, ${\kappa _l} = c(\alpha )/{l_0}$, l₀, L₀分别为湍流的内、外尺度.

$A(\alpha ) = \frac{{\Gamma (\alpha - 1)}}{{4{{\text{π}}^2}}} {\rm{sin}}\left[ {\frac{{\text{π}}}{2}(\alpha - 3)} \right] , $

$c(\alpha ) = \left[ {{\text{π}}A(\alpha )\Gamma \left(\frac{{ - \alpha + 3}}{2}\right)\left(\frac{{ - \alpha + 3}}{3}\right)} \right] { ^{\textstyle\frac{1}{{\alpha - 5}}}}, $

式中, μ为大气湍流各向异性系数, α为non-Kolmogorov湍流功率谱指数, 其范围为3 < α < 4, Г()为伽马函数, ${\kappa _x}$, ${\kappa _y}$, ${\kappa _z}$分别为空间波数在x, y, z方向上的分量, $C_n^2$表示湍流折射率结构常数.
将(9)式代入(8)式得到^[20]:

$\begin{split}{\rho _0}=\; &\left\{{\mu ^{2 - \alpha }}\frac{{{{\text{π}}^2}{k^2}LA(\alpha )}}{{6(\alpha - 2)}}C_n^2\left[{{\kappa '}_l}^{2 - \alpha }\gamma \exp \left(\frac{{{\kappa _0}^2}}{{{\kappa _l}^2}}\right)\right.\right.\\& \left.\left.\times\Gamma\left(2 - \frac{\alpha }{2},\frac{{{\kappa _0}^2}}{{{\kappa _l}^2}}\right) - 2{\kappa'_0}^{4 - \alpha } \right] \right\}^{ - 1/2},\\[-18pt]\end{split}$

其中, $\gamma =2{\kappa '_0}^2 - 2{\kappa '_l}^2 + \alpha {\kappa '_l}^2$, ${\kappa '_0}^2 = {\kappa _0}^2/{\mu ^2}$, ${\kappa '_l}^2 = {\kappa _l}^2/{\mu ^2}$. $\Gamma(x, y)$是不完全伽马函数. 利用(8)式并根据积分表达式^[21]

$\begin{split} &\int_0^{2{\text{π}}} {\exp \left[ { - {\rm{i}}l{\phi _1} + \eta \cos ({\phi _1} - {\phi _2})} \right]} {\rm{d}}{\phi _1} \\ =\; & 2{\text{π}}\exp ( - {\rm{i}}l{\phi _2}){{\rm{I}}_n}(\eta ), \end{split}$

可得到各向异性湍流下聚焦LG光束的模式概率密度表达式为

$\begin{split} |a_l(\rho,L)|^2 =\; & 2{\text{π}}{A^2} \Big(\frac{{2{\rho ^2}}}{{{w_0}^2}}\Big)^l \bigg|\frac{{{{\left(2 - q\right)}^p}}}{{{q^{l + p + 1}}}} \bigg|^2 \\&\times \Big| \exp \Big(- \frac{{2{\rho ^2}}}{{{w_0}^2q}}\Big)\exp \Big( - \frac{{{\rm{i}}k{\rho ^2}}}{{qf}} \Big) \Big| \\&\times \Big| L_p^l \Big(\frac{{(2/{w_0}^2 + {\rm{i}}k/f ){\rho ^2}}}{{q (2 \!-\! q)}}\Big)\Big|^2 \\&\times\exp \Big(- \frac{{2{\rho ^2}}}{{{\rho _0}^2}} \Big) {{\rm{I}}_{l - {l_0}}} \Big(\frac{{2{\rho ^2}}}{{{\rho _0}^2}}\Big), \\[-17pt]\end{split} $

其中${{\rm{I}}_{l - {l_0}}}$是第一类修正贝塞尔函数.
这样大气湍流中不同螺旋谐波指数l携带的能量表示为

${C_l} = {\int_0^R {\left| {{a_l}\left( {\rho,L} \right)} \right|} ^2}\rho {\rm{d}}\rho, $

式中, R为光束的接收孔径, 螺旋谱定义式$P = {C_l} \big/\displaystyle\sum\nolimits_{q = - \infty }^\infty {{C_q}} $表示光束展为不同OAM的螺旋谐波的能量占光束总能量的权重, C_q为各级螺旋谐波的能量.

根据(15)式研究聚焦LG光束、LG光束通过各向异性大气湍流时的螺旋谱特性. 如没有特殊说明, 设置光束和湍流参数如下: λ = 1060 nm, l = 3, p = 0, w₀ = 0.02 m, l₀ = 0.001 m, L₀ = 1.552 m, $C_n^2$=${10^{ - 14}} {m^{ - 2/3}}$, L = 1000 m, μ = 1; α = 11/3.
由图2可得, 随着传输距离增大, 光束螺旋谐波主量不断减小, 相邻的螺旋谐波分量逐渐增大, 轨道角动量发生串扰. 相比LG光束, 聚焦后的LG光束串扰明显较小.
图 2 LG光束(a)、聚焦LG光束(b)在湍流中传输不同距离时的螺旋谱分布
Figure2. Spiral spectrum distribution of LG beam (a) and focused LG beam (b) at different distances in turbulence

图3中轨道角动量模的接收功率P_m表示在发射平面处携带的轨道角动量模l被传输到接收平面处, 接收平面接收到信号的轨道角动量模m = l时的螺旋谱, 即轨道角动量模信号被正确传输的概率.
图 3 不同波束参数下LG、聚焦LG光束在湍流中的接收功率　(a)波长; (b)拓扑荷数; (c)束腰半径; (d)接收孔径
Figure3. Receiving power of LG and focused LG beams in turbulence under different beam parameters: (a) Wavelength; (b) topological charge; (c) waist radius; (d) receiving aperture.

从图3(a)可以看出, 波长越小的光束接收功率越小, OAM发散程度越严重. 同一波长, 聚焦后光束的接收功率增大, 波长越短增大效果越好. 这是因为波长短的波束瑞利距离大, 从而增强了光束的聚焦效果. 图3(b)中随着拓扑荷数的增大接收功率减小, 之后趋于一定值, 即湍流对OAM串扰的影响趋于稳定. 聚焦LG光束的串扰相对较轻, 但随拓扑荷数的增大, 其接收功率逐渐接近非聚焦光束, 聚焦对减小串扰的效果逐渐降低.
图3(c)中, LG光束存在一个最佳的w₀值使得接收功率达到最大, 而聚焦LG光束随着w₀值的增加其接收功率不断增大. 这是由于聚焦效果随w₀值的增大而增强, 大气湍流对光束的影响越小. 图3(d)所示随着接收孔径R的增大OAM发散逐渐增强, 当R达到一定值时, OAM发散趋于稳定. 聚焦光束在R较大时减小串扰的效果较好.
图4所示, 整体来看, 聚焦LG光束的接收功率较大. 但图4(a)中随着传输距离的增大, 聚焦LG光束的接收功率逐渐趋于LG光束. 这是由于随着传输距离增大, 焦距也增大, 当焦距趋于瑞利距离时, 聚焦效果减弱, 光束性质趋于一致. 由图4(b)可知, 接收功率随湍流强度的增大而减小, OAM串扰越严重. 湍流强度较大时, 聚焦后的LG光束对减小串扰的效果较好, 抗湍流效果较明显.
图 4 不同湍流参数下LG、聚焦LG光束在湍流中的接收功率　(a)距离; (b)湍流强度; (c)湍流内尺度; (d)各向异性系数
Figure4. Receiving power of LG and focused LG beams in turbulence under different turbulence parameters: (a) Distance; (b) turbulence intensity; (c) turbulence internal scale; (d) anisotropy coefficient.

图4(c)表明湍流内尺度越小接收功率越小, 随着内尺度不断增大接收功率曲线趋于一定值. 这是由于内尺度较小时, 传输路径上会有更多的湍流涡旋使光强分布更分散. 图4(d)随着各向异性系数的减小, 接收功率逐渐减小. 各向异性系数越小时, 大气湍流强度越大, 此时聚焦对减小串扰的作用较大, 这一结果与图4(b)得出的结论一致.

利用多相位屏法进行数值模拟. 相位屏是利用快速傅里叶变换的功率谱反演法产生的, 多相位屏法认为大范围的湍流环境可以通过一层一层的相位屏来模拟, 当光束一层层穿过相位屏就模拟了光束通过真实的湍流环境.
图5采用多相位屏法模拟了聚焦LG光束在大气湍流中传输时的光强分布. 聚焦LG光束受湍流影响光斑逐渐破裂, 相位发生畸变, 受聚焦影响光斑尺寸逐渐减小, 在焦平面处达到最小值.
图 5 多相位屏法模拟聚焦LG光束在湍流中传输示意图
Figure5. Multiphase screen method to simulate the propagation of focused LG beam in turbulence

图6中多相位屏模拟参数如下: 网格数(512 × 512)、尺寸(1.5 m)、间距(100 m). 聚焦LG光束受湍流影响OAM发生串扰, 随传输距离的增大串扰越来越严重; 相比LG光束, 聚焦LG光束的螺旋谐波主量较大, OAM发散程度较轻, 传输距离为1000 m时效果最好. 当传输距离越来越大时, 聚焦LG光束的螺旋谐波主量值越来越接近LG光束, 说明焦距的增大减弱了聚焦效果, 这个结论与前面的理论分析相对应.
图 6 LG光束、聚焦LG光束在大气湍流中传输不同距离时的螺旋谱分布
Figure6. Spiral spectrum distribution of LG and focused LG beams propagation at different distances in atmospheric turbulence

研究了聚焦LG涡旋光束经大气湍流传输时OAM态的串扰特性, 分析了大气湍流及光束参数对LG和聚焦LG光束接收功率等的影响, 得到以下规律: 1) OAM串扰随着传输距离、湍流强度、拓扑荷数的增大而增大; 2) OAM串扰随着湍流内尺度、光束波长的减小而增大; 3)接收孔径到达一定值时对OAM串扰的影响非常小; 4) 相比LG光束, 聚焦LG光束在大气湍流中传输时OAM串扰要小. 导致这一现象的原因是当LG光束聚焦后, 光束尺寸减小, 光强密度增大, 在传输过程中大气湍流与光束的相互作用面积减小, 从而使光束湍流负效应减小. 因此在涡旋光通信中我们可以用聚焦涡旋光束作为信号光减弱OAM模式间的串扰, 提高通信质量. 该研究结果对减小空间光通信中串扰问题有一定的理论参考价值.