Abstract:In recent years, the study of partial synchronization of coupled oscillators in complex networks has attracted great attention. The underlying reason is both the extensive existence of the patterns of partial synchronization in brain network and their close relationship to brain functions of cognition and memory. In this paper, we briefly review the research progress in this field. According to the researches by different groups, we classify them as three types, i.e. chimera state, remote synchronization, and clustering synchronization. We mainly discuss the conditions of these three states, as well as their models, detections, and their applications in biology. We discuss the relationship among the three types of states and give some outlooks for future studies. Keywords:complex network/ chimera state/ remote synchronization/ cluster synchronization
此耦合依赖于相参数$ \phi\in[-{\text{π}}, {\text{π}}] $. 令$ r = R/N $, 则参数r与σ就将决定系统的行为. 图6(a)—图6(d)给出了参数r与σ分别取($ 0.33, 0.1 $), ($ 0.33, 0.19 $), ($ 0.33, 0.23 $)及($ 0.33, 0.28 $)时变量$ u_k $的快照. 为方便比较, 同时给出了每个振子的平均相速度$ \omega_k = 2{\text{π}} M_k/\Delta T $, 其中$ M_k $为时间间隔$ \Delta T $内完成的圈数. 常数$ \omega_k $代表锁相区域. 从图6(a)—图6(d)可见, 随着耦合强度σ的增加, 奇异态从单一的非相关区域变成了两个非相关区域, 即观察到了多奇异态[37]. 类似地, 图6(e)—图6(h)给出了从单一的非相关区域变成三个非相关区域的情形. 图 6 单一的非相关区域变成多个非相关区域的情形 (a)—(d)变成两个非相关区域: (e)—(h)变成三个非相关区域. 在每个子图中, 左列代表变量$u_k$的快照, 右列为对应的平均相速度. 改编自文献[37] Figure6. Transition from a classical chimera state with one incoherent domain to multichimera states with two (a)–(d), and three (e)–(h) incoherent domains. In each panel the left column shows snapshot of variables uk, and the right column shows the corresponding mean phase velocities. Figure adapted from Ref. [37].
在大脑网络方面的应用主要是将网络结构考虑成不同大小的真实脑皮层网[13,45-47], 然后研究这些特定网络结构下的奇异态. 值得一提的是, Kang等[13]发现了对应“首晚效应”或半脑睡眠的奇异态. 他们使用的脑皮层网络数据含有998个节点、17865条边[48,49], 但其中含有9个孤立的没有边的节点. 去掉这些孤立节点后, 网络只有989个节点, 其中右半脑含有496个节点($ i = 1 $—496)、左半脑含有493个节点($ i = 497 $—989). 考虑到左右半脑只能通过胼胝体连接, 脑皮层网实际上是个双层网络, 它的17865条边可分成右半脑内的8037条边、左半脑内的7773条边以及连接左右半脑的2055条边. 考虑到通过胼胝体的连边与半脑内的连边具有不同的信号传播速度, Kang等[13]提出了一个双层网模型($ A, B $层)并让层内与层间的耦合强度不同, 分别由$ \lambda_{\rm {in}} $与$ \lambda_{\rm {out}} $表示. A层的方程为
这个双层网模型可展示不同的状态, 包括同步化、无序及奇异态. 图7给出了四个典型的状态, 其中上层为网络A、下层为网络B、子图为它们对应的动力学. 非常有趣的是, 图7(c)与图7(g)显示出网络A无序而网络B同步, 为典型的半脑睡眠现象, 从而再现了“首晚效应”. 图 7 大脑皮层网中的四个典型的行为. 参数为$\alpha={\text{π}}/2-0.1$, 上层为网络A、下层为网络B、子图为它们对应的动力学$u_{i}$ (a)与(e)的耦合参数为($\lambda_{\rm {in}}=0.1$, $\lambda_{\rm {out}}=0.3$); (b)与(f)的耦合参数为($\lambda_{\rm {in}}=0.1$, $\lambda_{\rm out}=1.8$)、(c)与(g)的耦合参数为($\lambda_{in}=0.4$, $\lambda_{\rm {out}}=3.5$); (d)与(h)的耦合参数为($\lambda_{\rm {in}}=4.0$, $\lambda_{\rm {out}}=3.5$). 改编自文献[13] Figure7. Four typical behaviors in the cerebral cortex with $\alpha={\text{π}}/2-0.1$ where the up and down panels represent the two hemispheres, respectively, and the insets are their corresponding dynamics of $u_{i}$ at a moment t. The parameters are $\lambda_{\rm {in}}=0.1$ and $\lambda_{\rm {out}}=0.3$ in panels (a) and (e) of disorder; $\lambda_{\rm {in}}=0.1$ and $\lambda_{\rm {out}}=1.8$ in panels (b) and (f) of chimera state; $\lambda_{\rm {in}}=0.4$ and $\lambda_{\rm {out}}=3.5$ in panels (c) and (g) of an emergent state conceptually similar to the state of unihemispheric sleep; and $\lambda_{\rm {in}}=4.0$ and $\lambda_{\rm {out}}=3.5$ in panels (d) and (h) of synchronization. Figure adapted from Ref. [13].
$r^{\rm {indirect}} = \dfrac{2}{(N-1)(N-2)}\displaystyle\sum\limits_{n = 2, m > n}^Nr_{nm},$
图9给出了这两个序参量对耦合强度κ的依赖性, 可见叶子节点间关联的增加要远快于中心节点与叶子节点间的关联. 叶子节点在κ大约为0.47时达到完全相同步, 而中心节点与叶子节点间的完全相同步要推迟到$ \kappa \approx 0.74 $. 图 9 相同步的过程. 相同步的建立清晰可见, 其中的三个标注分别表明两个、三个与四个叶子节点间的同步化. 改编自文献[57] Figure9. Transition to PS for the hub motif. From the plot the onset of RS is clearly visible. The three annotations indicate synchronization between two, three, and four peripheral oscillators, respectively. Figure adapted from Ref. [57]
从这个角度, 我们可以解释两个主要的特点: 首先, 由于$ \lim\limits_{\alpha\rightarrow\infty}H_{\rm h} = 0 $, 叶子节点间的有效耦合强度下降为零, 从而有效解耦而不能同步. 其次, 通过检验方程(16), 可看清楚耦合强度对中心节点的频率的依赖性. 中心节点越快, 则有效耦合强度越低. 叶子节点实际上是对称的, 因此Nicosia等[60]研究了网络对称性对出现遥同步的影响. 他们考虑的是带相参数的全同的Kuramoto相振子, 其相参数使得相连的振子保持特定的相差, 从而阻碍完全同步. 发现耦合网络的对称性起着重要作用, 具有相同对称性的两个节点可以同步化, 即使它们相距遥远. 这种遥同步是由网络的对称性导致的. Zhang等[61]则进一步研究了这种对称性与遥同步的关系, 将星形网的遥同步推广到了网络的情形, 称为非相干介导远程同步. 具体地, 将N个节点组织成三组$ A, B $与C, 其中A与B相连, B与C相连, 但A与C不相连, 见图10所示. 假定B组至少有两个节点, 且每个组内的节点与连边形成一个相连的子网. 他们发现那两个非连续的A与C同步而中间B组与它们无关, 且镜像对称性是这种遥同步发生的机制, 比如A组中的节点1与C组中的节点N就具有镜像对称性而会完全同步. 图 10A与C组之间的遥同步同步由B组的介导来完成. 节点的颜色代表了它们的状态, 可见节点1与N是完全同步的, 而B组中节点的动力学是无关的. 改编自文献[61] Figure10. Remote synchronization between node groups A and C mediated by incoherence in group B. The colors of the nodes schematically represent their states, indicating that nodes 1 and N are identically synchronized, while the dynamics of the nodes in B are incoherent. Figure adapted from Ref. [61].
其中$ x_i $与$ y_i $分别代表$ u_i $的实部与虚部. 这里固定$ \alpha = 1.0 $与$ \omega = 2.0 $. 图11给出了$ \tau = 0.5 $与$ \varepsilon = 0.1 $时的六个典型的遥同步斑图, 相似的斑图也可在其他的参数τ与ε处发现. 图11的第二列与第三列清楚地表明每一个斑图都有两个或更多的中心节点, 与第一列的斑图只有一个中心节点形成了鲜明的对比. 图 11 参数取$\tau=0.5$与$\varepsilon=0.1$时的六个典型的遥同步斑图. 每个斑图都是按如下条件挑选的: (i) 在中心节点与叶子节点间没有同步化; (ii)所有的叶子节点均相互同步化. 改编自文献[62] Figure11. Six typical patterns of RS for $\tau=0.5$ and $\varepsilon=0.1$. Each pattern is chosen by the conditions: (i) There is no synchronization between the hub and its peripheral nodes; (ii) all the peripheral nodes are synchronized each other. Figure adapted from Ref. [62]
图11的发现也不同于文献[57]中的遥同步斑图, 因此有必要进一步挖掘. 图11的第二列与第三列的一个公共特征是它们的两个中心节点是由一些公共叶子节点相连的. 由此, Kang等[62]提出了一个新的遥同步框架, 见图12, 其中红、蓝、粉红数字分别代表中心节点、叶子节点与公共叶子节点. 这个模型揭示, 当公共叶子节点的耦合强度较小时, 只能形成单个中心节点的遥同步. 但当公共叶子节点的耦合强度较大时, 两个遥同步集团可以合并成一个较大的遥同步集团, 此时那两个中心节点同步成为一个同步集团, 而所有的叶子节点成为另一个同步集团. 详情见原文, 这里不展开讨论了. 图 12 具有两个中心节点的遥同步新框架示意图, 其中红、蓝、粉红数字分别代表中心节点、叶子节点与公共叶子节点. 改编自文献[62] Figure12. A schematic figure of the new framework of RS with two huns, where the nodes with red, blue and pink numbers represent the hub, leaf and common leaf nodes, respectively. Figure adapted from Ref. [62].
4.集团同步集团同步表示网络中特定集团内的振子将同步到相同的轨道而不同集团之间的行为则互不相同. 这种同步集团可以出现在成群的动物中, 其网络为邻居间的视觉连接, 或者由局部通讯网连接的成群的无人驾驶汽车. 集团同步也可以出现在电力网中, 这将是出问题的征兆, 即失去全局同步. 最近的研究表明, 网络拓扑的对称性与同步动力学集团的形成有重要关系[66-70], 并已为较多的实验证实[71-74], 王新刚[70]对此有一个较全面的综述. 为了说明耦合振子网络中的对称性与集团的概念, 图13(a)展示了一个四节点网络, 其中振子是全同的、耦合是双向的[73]. 这个网络总共有六个对称. 图13(b)给出了图13(a)中交换节点1与2的一个反射, 网络结构保持不变. 图13 (c)展示了旋转$ 120^0 $的网络, 其与原始结构(图13(a))不可区分. 这些对称性可由邻接矩阵A的对称性来表示, 其元素为$ {A}_{ij} = 1 $如果节点 i 与节点 j 相连, 否则$ A_{ij} = 0 $. 网络的动力学可写为 图 13 网络中对称性的例子 (a) 四个全同振子通过三根连线耦合的网络; (b) 一个反射操作后的同一网络; (c) 一个旋转操作后的同一网络; (d) 一个$11$个节点的网络有三个集团(蓝、绿、白). 改编自文献[73] Figure13. Examples of symmetries in networks: (a) A network of four identical oscillators coupled through three identical links; (b) the same network after a reflection opera-tion; (c) the same network after a rotation operation; (d) an 11-node network showing three clusters (blue, green, and white). Figure adapted from Ref. [73].
其中拉普拉斯矩阵$ { L} \!=\! \{{L}_{ij}\}, {L}_{ij} \!=\! {A}_{ij} \!-\! \delta_{ij} \displaystyle\sum\nolimits_j{A}_{ij} $. 此时, 矩阵L每行之和等于零, 即节点 i 的输入被对角自耦合平衡了. 在图13(a)的网络中, 节点1, 2与3有相同的运动方程, 因此如果它们从相同的初始条件出发, 就将能永久地保持同步化. 节点4不能与任何其他节点置换且也不与它们同步, 因此在图13(b)与图13(c)中将其标为不同的颜色. 这是网络中对称性与动力学间的亲密关系, 它将网络分成了两个集团1, 2, 3与4. 文献[73]讨论了对于给定的网络, 如何发现所有可能的集团同步斑图. 其主要结论是邻接矩阵的对称性对应动力学的对称性, 当它们从一个同步态出发, 可置换的节点集构成的集团就将保持同步, 即每个集团的同步态是动力学流不变的. 图14给出了所有允许的斑图, 其中属于相同集团的节点标成了同一种颜色. 图 14 五个节点的网络中的集团斑图 左边: 当网络连接为邻接矩阵(方程(20))时所有可能的斑图; 右边: 当网络连接为拉普拉斯矩阵(方程(21))时额外的斑图. 改编自文献[73] Figure14. Patterns of clusters in a five-node network. Left: All possible patterns displayed when the network connectivity is given by the adjacency matrix (Eq. (20)); right: Additional patterns displayed when the network connectivity is given by the Laplacian ma-trix (Eq. (21)). Figure adapted from Ref. [73].
文献[68]指出, 基于集团的坐标变换可以更简单且更快地计算网络的对称性. 图15是关于24个节点的网络上的9个对称性集团, 其中每个集团中的节点具有相同的稳定性, 而不同的集团则稳定性不同, 且这些同步集团可唯一确定. 此外, Dahms[66]等考虑了时间延迟对全同振子网络上集体行为的影响, 发现延迟耦合确实可以诱导出不同的同步集团, 且允许集团同步的耦合矩阵在本征值谱上也显示了非常类似的对称性. 图 15 24个节点构成的网络中对称集团的分组. 改编自文献[68] Figure15. Grouping of symmetry clusters in a CS pattern for a 24-node network. Figure adapted from Ref. [68].